\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
%\usepackage{slashbox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{multicol} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Original aimablement fourni par Françoise Poirier
%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : J. C. Souque
\usepackage{pst-plot,pst-text,pst-eucl,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=4cm, bottom=2.5cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\def\e{\text{e}}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Corrigé du baccalauréat Métropole--Antilles--Guyane--\\La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STAV~\decofourright\\[5pt]Métropole--Antilles--Guyane--La Réunion juin 2013 }}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

{\footnotesize
Une enquête est réalisée auprès de touristes étrangers ayant séjourné dans une région française sur leur consommation de produits du terroir. Les résultats sont les suivants : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 89\,\% des touristes ont consommé des produits du terroir pendant leur séjour en France et, parmi ceux-ci, 90\,\% en ont acheté pour ramener dans leur pays ; 
\item[$\bullet~$] 25\,\% des touristes qui n'en n'ont pas consommé pendant leur séjour, en ont malgré tout acheté pour ramener dans leur pays.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On interroge au hasard un de ces touristes.
 
On désigne par :
 
$C$ l'événement: \og Le touriste a consommé des produits du terroir pendant son séjour en France\fg ; 

$R$ l'événement : \og Le touriste a acheté des produits du terroir pour ramener dans son pays \fg.
}
\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item \begin{description}
\item[] $p(C)=\np{0.89}$ car 89\,\% des touristes ont consommé des produits du terroir pendant leur séjour.  
\item[]$p_{C}(R)=\np{0.9}$  car  parmi ceux-ci, 90\,\% en ont acheté pour ramener dans leur pays.
\item  $p\left(\overline{C} \cap R\right)= \np{0.25}$ car 25\,\% des touristes en ont malgré tout acheté pour ramener dans leur pays. 
 \end{description}
\item Construisons un arbre de probabilités décrivant cette situation en précisant les valeurs des probabilités sur 
chaque branche. 

\begin{center}
\psset{nodesep=1mm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{C}\taput{\np{0.89}}}
	{\TR{R}\taput{\np{0.9}}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.1}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$}\tbput{\np{0.11}}}
	{\TR{R}\taput{\np{0.25}}
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\np{0.75}}
	}
}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons $p(C \cap R)$ et $p\left(\overline{C} \cap R\right)$. 
		\begin{description}
		\item[] $p(C \cap R)=p(C)\times p_{C}(R)=\np{0.89}\times \np{0.9}=\np{0.801}$.
		\item[] $p\left(\overline{C} \cap R\right)=p(\overline{C})\times p_{\overline{C}}(R)=\np{0.11}\times \np{0.25}=\np{0.0275}$.
		\end{description}
		\item La probabilité que le touriste ramène des produits du terroir dans son pays est $p(R)$.
		
		$ p(R)= p(C \cap R)+p\left(\overline{C} \cap R\right)=\np{0.801}+\np{0.0275}=\np{0.8285}$.
		\end{enumerate} 
\item Les événements $R$ et $C$ sont indépendants si $ p(C \cap R)=p(C)\times p(R)$. 

$ p(C \cap R)= \np{0.89}\quad p(C)\times p(R)= \np{0.89}\times \np{0.8285}=\np{0.737}$.

Les événements ne sont pas indépendants
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2  QCM\hfill 4 points}

\medskip

{\footnotesize
%Compléter le QCM donné en \textbf{annexe A} (à rendre avec la copie).
 
Pour chaque question, une et une seule des trois réponses proposées est exacte. 

Cocher la bonne réponse. Aucune justification n'est demandée.

\medskip
 
\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,5$ point.\\ 
L'absence de réponse n'enlève et n'ajoute pas de point.\\ 
Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est $0$.}

\medskip

Une urne contient $30$~boules rouges et $20$~boules vertes indiscernables au toucher. On prélève successivement et avec remise $4$~boules de cette urne. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de boules vertes obtenues après les quatre tirages.
}
\bigskip
\begin{enumerate}
\item X suit une loi binomiale de paramètres :
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
\hspace{-3.5mm}\ding{52}$n=4$ et $p=\dfrac{2}{5}$& $n=4$ et $p=\dfrac{3}{5}$&$n=50$ et p=$\dfrac{2}{5}$\\
\end{tabularx}
{\footnotesize répétition de  4 épreuves et la probabilité d'obtenir une boule verte  est $\frac{20}{50}$}.

\medskip

\item La probabilité $P(\text{X}=2)$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
$\left(\dfrac{2}{5}\right)^2$& $\left(\dfrac{2}{5}\right)^2\ \left(\dfrac{3}{5}\right)^2$&\hspace{-3.5mm}\ding{52}$6 \times \left(\dfrac{2}{5}\right)^2 \times \left(\dfrac{3}{5}\right)^2$\\
\end{tabularx}
{\footnotesize $p(\text{X}=2)=\binom{4}{2}\left(\frac{2}{5}\right)^2 \times \left(\frac{3}{5}\right)^{4-2}$}

\medskip

\item La probabilité $P(\text{X}\leqslant 1)$ est égale à :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
\np{0.1296}& \np{0.3456}&\hspace{-3.5mm}\ding{52}\np{0.4752}\\
\end{tabularx}
{\footnotesize $p(\text{X}=0)=\np{0.1296}\quad p(\text{X}=1)=\np{0.3456}\quad p(\text{X}\leqslant 1)=p(\text{X}=0)+p(\text{X}=1)$}.

\medskip

\item L'espérance de la variable aléatoire X est

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\square~~$}X}} 
\hspace{-3.5mm}\ding{52}\np{1.6}& \np{4.4}&80\\
\end{tabularx}
{\footnotesize E(X)=$np$ or $np=4\times \frac{2}{5}=\np{1.6}$.}

\medskip

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 11 points}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (1 - x)\text{e}^x.$

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.
 
\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la limite de la fonction $f$ en $+ \infty$.
		
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty}f(x)=\lim_{x \to +\infty}(1-x)\times \lim_{x \to +\infty}(\e^x)=-\infty \times +\infty=-\infty$
 
		\item Puisque $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$, nous pouvons donc affirmer que la courbe $\mathcal{C}$  et l'axe des abscisses sont asymptotes lorsque  $x$ tend vers $- \infty$.  
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x, \  f'(x)=-1\e^x+(1-x)\e^x=-x\e^x$.  
		\item Pour tout  réel $x,\   \e^x >0$ par conséquent $f'(x)$ est du signe de $- x$ pour tout réel $x$.
		
		Il en résulte que pour tout réel $x\in \R_{-}^{*},\  f'(x)>0$ et pour tout réel $x\in \R_+^{*},\  f'(x)>0$.
		\item \'Etudions la variation de  $f$.

Si pour tout $x\in I, \  f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $x\in ]-\infty~;~0[,\ f'(x)>0$, par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour $x \in]0~;~+\infty[,\ f'(x)<0$, par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Dressons le tableau de variation de $f$ sur $\R$.

 \begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$-\infty$} \uput[u](4.5,2.45) {$0$}    \uput[u](7.73,2.45){$+\infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){\scriptsize de $f$}
 \uput[d](1.37,0.45){$0$}\uput[dr](7.32,0.45){$-\infty$}
\psline{->}(1.75,0.5)(4,1.55)\psline{->}(5,1.55)(7.3,0.5)
\uput[u](4.5,1.5){$1$}
\end{pspicture}
}

\end{center}
	\end{enumerate} 
\item Résolvons dans $\R$ l'équation $f(x) = 0$ c'est-à-dire $(1-x)\e^x=0$.

Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs  le soit.

 Or nous savons que pour tout $x\in\R, \ \e^x>0$, par conséquent cela revient à résoudre $1-x=0$ d'où $x=1$. 
 L'ensemble des solutions de l'équation $f(x)=0$ est $\{1\}$. 
 
Les coordonnées du point d'intersection de $\mathcal{C}$ avec l'axe des abscisses sont alors (1~;~0). 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Complétons le tableau de valeurs donné ci-dessous. 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&$- 2$	&$- 1,5$&$- 1$ 	&$- 0,5$ 	&$0$&$0,5$ 	&$1$&$1,25$\\ \hline 
$f(x)$	&\np{0.4}		&\np{0.6}		&\np{0.7}		&	\np{0.9}		&\np{1}	&	\np{0.8}	&0	&$-\np{0.9}$\\ \hline
\end{tabularx}
\emph {\small Les résultats sont arrondis au dixième près}.

\medskip  
		\item  La courbe $\mathcal{C}$ a été tracée ci-dessous dans un repère orthonormal d'unité graphique 4 cm.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Traçons la droite $\Delta$ d'équation $y = - x + 1$ dans le même repère que la courbe $\mathcal{C}$. 
		\item Résolvons dans $\R$, l'équation : $f(x) = - x + 1$.
		
		$(1-x)\e^{x}=-x+1 \iff (1-x)\e^{x}-(1-x)=0 \iff (1-x)(\e^x-1)=0$
		
		Pour qu'un produit de facteurs soit nul, il faut et il suffit que l'un au moins des facteurs  le soit.
		d'où $1-x=0$ ou $\e^x-1=0$. Il en résulte $x=1$ ou $x=0$
		
		Les solutions de l'équation $f(x)=-x+1$ sont $0$ ou $1$.
	\end{enumerate} 
\item Soit la fonction $F$ définie sur $\R$ par $F(x) = (2 - x)\text{e}^x$. 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$ si pour tout $x, \   F'(x)=f(x)$.		
		\[F'(x)=-1\e^x+(2-x)\e^x=-\e^x+2\e^x-x\e^x=\e^x-x\e^x=(1-x)\e^x=f(x).\]	
$F$ est donc une primitive de $f$ sur $\R$.	
		\item  $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x=\left[F(x)\right]_0^1=F(1)-F(0)=(2-1)\e^1-(2-0)\e^0=\e-2$. 
		\item Pour tout $x\in[0~;~1],\ f>0$, l'aire $\mathcal{A}$  du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ est, en unités d'aire, $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\mathrm{d}x$. 
	
L'unité d'aire vaut 16\,cm$^2$. $\mathcal{A}=16 (\e^{1}-2)\approx \np{11.4925}$, l'aire $\mathcal{A}$ du domaine vaut au mm$^2$ près \np[cm^2]{11.49}.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=4cm, yunit=4cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2.5,-1)(1.5,1)
\psaxes[Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-2.1,-1.1)(1.45,1.15)
\multido{\n=-2.1+0.1}{36}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](\n,-1.1)(\n,1.1)}
\multido{\n=-1.1+0.1}{23}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=orange](-2.1,\n)(1.4,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{-2.1}{1.25}{2.72818 x exp  1 x sub mul}
\psplot[linecolor=red,linewidth=0.75pt,plotpoints=800]{-0.1}{1.4}{1 x sub }
\uput[r](0,1.1){$y$}\uput[d](1.4,0){$x$}\uput[ur](1.25,-0.9){$\mathcal{C}$}\uput [l](1.4,-0.2){$\Delta$}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,linecolor=cyan,hatchwidth=0.5pt]{
\psline(0,0)(0,1)
\psplot[plotpoints=8000,linecolor=cyan, linewidth=0.75pt]{0}{1}{2.71828 x  exp  1 x sub  mul}
%\psline(1,3)(1,0)
} \rput(0.25,0.5){\Large \textcolor {cyan}{$\mathcal{A}$}}
\end{pspicture}






\end{document}