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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lfoot{\small{Métropole--Réunion}}
\rfoot{\small{7 juin 2019}}
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\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
{\Large \textbf{Corrigé du baccalauréat STAV\\[5pt]Métropole--La Réunion 7 juin 2019}}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie après avoir été numérotée}

\medskip

Les quatre exercices sont indépendants

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize
Afin de préparer un voyage à l'étranger, une personne se renseigne sur l'efficacité d'un traitement contre le paludisme. Le traitement n'est pas efficace à 100\,\%, on peut quand même être malade en ayant pris le traitement.

Une étude montre que, pour les voyageurs français partis récemment dans un pays où le paludisme sévit :

\setlength\parindent{10mm}
$\bullet~~$ 60\,\% ont pris le traitement,

$\bullet~~$ parmi les voyageurs ayant pris le traitement, 2\,\% ont quand même contracté la maladie.
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On choisit un voyageur français au hasard. On considère les évènements suivants:

$T$ : \og le voyageur a pris le traitement\fg{} et $M$ : \og le voyageur a contracté la maladie \fg.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Nous avons complété sur l'annexe A (à rendre avec la copie) les quatre zones pointillées correspondant aux probabilités des évènements de l'arbre de probabilité traduisant la situation.
\item   L'évènement $T \cap M$  est : \og Le voyageur a pris le traitement et a contracté la maladie \fg.

 $P(T \cap M) = 0,012$ car $P(T\cap M)=P(T)\times P_T(M)=\np{0.6}\times\np{0.02}$.
\item  Une étude statistique sur les voyageurs français ayant effectué un séjour dans un pays infecté par le paludisme montre que 5\,\% d'entre eux ont contracté la maladie. Les autorités sanitaires françaises s'appuient sur cette proportion pour effectuer leurs calculs de probabilité.
	\begin{enumerate}
		\item Justifions que $P\left(\overline{T} \cap M\right) = 0,038$.
		
		$P(M) = P(T\cap M)+P\left(\overline{T}\cap M\right)$. Nous savons par hypothèse que $P(M)=\np{0.05}$  et d'après la question précédente que $P(T\cap M)=\np{0.012}$.
		
		Par conséquent  $P(\overline{T}\cap M)= \np{0.05}-\np{0.012}=\np{0.038}$.
		\item La probabilité que le voyageur ait contracté la maladie sachant qu'il n'a pas pris le traitement est notée $P_{\overline{T}}(M)$.
		
		$P_{\overline{T}}(M)=\dfrac{P\left(\overline{T}\cap M\right)}{P\left(\overline{T}\right)}=\dfrac{\np{0.038}}{\np{0.4}}\approx \np{0.095}$
		
\emph{Dans cette question, toute démarche, même non aboutie, sera prise en compte dans la notation.}
\item  En nous servant de cette étude, nous avons intérêt  à prendre le traitement car avec le traitement la probabilité de contacter la maladie est \np{0,012} tandis que sans traitement, elle est de \np{0.095} c'est-à-dire d'une valeur nettement supérieure.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En France, en 2018, le taux de voyageurs français voyageant dans une zone à risque atteints à leur retour par le paludisme était de 5\,\%.

Une agence de voyages a permis en 2018 le départ de $116$ touristes vers cette zone à risque et $3$ ont développé la maladie.

\textbf{Rappel} : \emph{l'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$, lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, est }:

\[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1  - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1  - p)}{n}}\right]\]

\begin{enumerate}
\item Déterminons l'intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ de la fréquence de personnes ayant développé la maladie en 2018, obtenue sur un échantillon de taille $116$

  $\left(\text{les bornes seront arrondies à } 10^{-3} \text{près}\right)$. 
  
  Nous avons : $n = 116$  et $p = \np{0.05}$.
Par conséquent,  $n = 116 >30$ ; $np = 116 \times \np{0.05} = 5,8\geqslant 5$ et 
$n(1 - p) = 116\times (1 -\np{0.05} ) = 100 \times \np{0.95} = 110,2 \geqslant 5$.

Les trois conditions sont réalisées donc nous pouvons déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\%

\[I=\Bigg[\np{0.05} -1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.05} (1- \np{0.05} )}{116}} ~;~ \np{0.05} +1,96 \sqrt{\dfrac{\np{0.05} (1- \np{0.05} )}{116}}\Bigg]\approx [\np{0.010}~;~\np{0.090}]\]
 
 \item La fréquence observée dans le groupe est $\dfrac{3}{116}\approx \np{0.026}$.
  
Or : $\np{0.026} \in I $ par conséquent le nombre de malades dans ce groupe de $116$ touristes est  compatible avec les chiffres de la moyenne nationale des voyageurs, c'est-à-dire 5\,\% de personnes atteintes.

 
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
{\footnotesize
En 2011, Clémentine a acheté une voiture, son prix était alors de \np{10500}~ \euro. En 2018, elle décide de changer de voiture car sa famille s'est agrandie. Elle souhaite la revendre pour faciliter l'achat d'une voiture familiale.

On note $P_{1} = \np{10500}$, le prix de la voiture, en euros, lors de l'achat.

Si besoin les résultats seront arrondis au centime d'euro près.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant que la décote, c'est-à-dire la baisse de la valeur d'une voiture est estimée à 14\,\% par an, déterminons le prix estimé de la voiture de Clémentine en 2012 puis 2013.

À une baisse de 14\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{0.86}. 

En 2012 on a donc $P_1 =\np{10500}\times\np{0,86}=\np{9030}$, en 2013 $P_2=\np{9030}\times \np{0.86}=\np{7765,80}$
\end{enumerate}

Le prix de la voiture est modélisé par une suite. On note $P_n$ le prix de la voiture après $n$ années.

\begin{enumerate}[resume]
\item  La suite $\left(P_n\right)$ est une suite géométrique puisque chaque élément se déduit du précédent en le multipliant par le même nombre \np{0.86}. Il en résulte que  la raison de cette suite est \np{0.86}.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Nous avons complété l'algorithme de l'annexe A (à rendre avec la copie) qui a pour but de faire apparaître la valeur de la voiture en 2018.
		\item  Le montant auquel Clémentine peut espérer vendre sa voiture en 2018 est de \np{3653.24}~euros.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
{\footnotesize	
On suppose que Clémentine ne réussit pas à vendre sa voiture au prix espéré et qu'elle décide donc de garder sa voiture. Elle souhaite changer de contrat d'assurance et prendre le moins cher possible lorsque le prix de la voiture sera inférieur au dixième de son prix d'achat.}
	
\begin{enumerate}[resume]
\item  Donnons, au bout de combien d'années le prix de la voiture sera inférieur au dixième de son prix d'achat.

Pour ce faire, résolvons $P_n<\dfrac{P_1}{10}$ c'est-à-dire $\np{10500}(\np{0.86}^{n-1})<\np{1050}$ ou $\np{0.86}^{n-1}< \np{0,1}$.

En prenant le logarithme de chaque membre  $(n - 1)\ln (\np{0,86})<  \ln( \np{0.1})$

$ n >\dfrac{\ln \np{0,1}}{\ln\np{0,86}}+1\approx \np{16,26}$.

Au bout de dix-sept années, le prix de la voiture sera inférieur au dixième de son prix d'achat.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
{\footnotesize  

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~100]$ par :

\[f(x) = -50 \ln (x) + 2x + 160.\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentant la fonction $f$ dans un repère orthogonal du plan.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons la limite en $0$ de cette fonction $f$.%, en justifiant votre démarche

On a $\displaystyle\lim_{x\to 0} -50\ln(x) = + \infty$ et $\displaystyle \lim_{x\to 0}2x+160=160$.

D'où par somme $\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = +\infty$.
\item Dérivons la fonction $f$. La fonction  $f'$ est définie sur $]0~;~100]$ par :

\[f'(x)= -50\times \dfrac{1}{x}+2=\dfrac{-50 + 2x}{x}\]

\item Étudions le signe de la dérivée. Puisque $x\in](0~;~100]$ le signe de la dérivée est celui de $- 50 + 2x$ sur ce même intervalle 

Sur $\R,\quad - 50 + 2x > 0 \iff x > 25$.

Il en résulte si $x\in ]0~;~25[,\ f'(x)< 0$ et si $x\in ]25~;~100],\ f'(x)> 0$
 
Étudions les variations de $f$ : 

Si pour tout $x\in I,\: f'(x) < 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $]0~;~25[,\ f'(x)<0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x) > 0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $]25~;~100], \: f'(x) > 0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.


Dressons le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(10,3.5)
\psframe(9.5,3)
\psline(0,1.5)(9.5,1.5)\psline(0,2.5)(9.5,2.5)  \psline(3.5,0)(3.5,3)\psline(3.4,0)(3.4,3)
\uput[u](1.75,2.5){$x$} \uput[u](3.7,2.5){$0$}\uput[u](9.1,2.5){$100$}\uput[u](6.4,2.5){$25$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $f'(x)$}\uput[u](1.3,0.5){Variations de $f$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1.5)(6.4,2.5)
\uput[u](6.4,1.75){$0$}\uput[u](4.9,1.75){$-$}\uput[u](7.8,1.75){$+$}
\psline{->}(4,1.25)(5.9,0.5)\psline{->}(6.85,0.5)(8.78,1.25)
\uput[d](3.8,1.6){\small $+\infty$ } \uput[d](6.4,0.4) {\scriptsize $210-100\ln 5 $}
\uput[d](8.8,1.6){\scriptsize $360-100\ln 10$}
\end{pspicture}
\end{center}

$210-100\ln 5\approx \np{49.06}\qquad 360-100\ln 10\approx \np{129.74}$
 %en déduire le tableau de variations complet de $f$, c'est-à-dire en précisant les valeurs remarquables, sur $]0~;~100]$
\item Donnons, à l'unité près, les solutions de l'équation $f(x) = 60$.% .par la méthode de votre choix que vous expliquerez.

 La fonction $f$ est dérivable et strictement décroissante sur $]0~;~25[$, 60 appartient à l'intervalle $]f(25)~;~+\infty[$,  par conséquent il existe une unique valeur $\alpha$ appartenant à $]0~;~25[$  telle que $f(\alpha)=60$. À l'aide du menu table d'une calculatrice, nous trouvons à l'unité près 12.
De la même manière sur l'intervalle ]25~;~100[ nous trouvons à l'unité près 45. 

Les solutions de l'équation sont, à l'unité près, 12 et 45. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize Dans une parcelle, on a relevé un nombre anormalement élevé d'animaux d'une espèce nuisible. La situation est jugée sous contrôle lorsque le nombre d'individus de cette espèce dans cette parcelle est inférieur ou égal à 60.

\medskip

On met en place une méthode pour tenter de réguler les nuisibles. À partir du premier jour, l'évolution du nombre d'animaux de cette espèce en fonction du temps est modélisée par la fonction définie sur $]1~;~100]$ par 

\[f(x) = -50\ln (x) + 2x + 160\]

où $x$ représente le nombre de jours écoulés depuis la mise en place de la méthode de régulation.

À l'aide de la partie A :
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminons la  période de temps pour laquelle  le nombre d'animaux nuisibles est inférieur ou égal à $60$.
 Nous avons vu dans la partie A que $f(x) =60$ pour $x=12$ et  que la fonction était strictement décroissante sur ]0~;~25[ 
 
 par conséquent pour tout $x\in [12~;~25[, \:  f(x) \leqslant 60$
 
 Nous avons vu dans la partie A que $f(x) = 60$  aussi pour $x = 45$ et  que la fonction était strictement croissante sur ]25~;~45].
 
Par conséquent pour tout $x\in ]25~;~45], \  f(x) \leqslant 60$. $f(25)\leqslant 60$.

Il en résulte que la période de temps pour laquelle  le nombre d'animaux nuisibles est inférieur ou égal à $60$ est [12~;~45]
 
 %On veillera à rédiger une phrase cohérente avec le cadre de cet exercice.
\item  Cette méthode semble  efficace  pour aider à prendre la décision de l'appliquer la saison prochaine puisque  12 jours suffiront à obtenir ce résultat, mais après $45$ jours la situation ne sera plus sous contrôle, l'effectif aura, à nouveau, dépassé 60. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  3 points}

\medskip
{\footnotesize
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple dont les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'enlève pas de points.

\medskip

Vous ferez correspondre avec précision \textbf{sur votre copie} le numéro de la question traitée et la réponse donnée.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item D'après le Bulletin épidémiologique hebdomadaire (BEH), près de 20\,\% des adultes en France ont un taux de \og mauvais \fg cholestérol supérieur à la limite recommandée de $1,6$ g/L de sang.

Le taux de mauvais cholestérol d'un individu est une variable aléatoire $X$ distribuée selon la loi normale de moyenne $1,27$ g/L et d'écart type $0,4$ g/L.

On a représenté ci-dessous quatre courbes de Gauss dont l'une est associée à la variable aléatoire $X$ et trois autres à des lois normales $\mathcal{N}(1,43~;~0,4)$, $\mathcal{N}(1,43~;~0,22)$ et $\mathcal{N}(1,27~;~0,22)$ :

\begin{center}
\psset{xunit=7cm,yunit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(0.35,-0.15)(2.1,1.4)
\multido{\n=0.5+0.1,\na=0.5+0.1}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,1.4)\uput[d](\na,0){\np{\na}}}
\multido{\n=0.0+0.2}{8}{\psline[linewidth=0.2pt](0.5,\n)(2.1,\n)}\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.2]{->}(0.5,0)(0.5,-0.1)(2.1,1.4)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=0.5,Dx=0.1,Dy=0.2](0,0)(0,0)(1.6,1.4)
\psGauss[mue=1.27,sigma=0.4]{0.4}{2.1}\uput[ul](0.6,0.1){\blue A}
\psGauss[mue=1.43,sigma=0.4,linestyle=dotted]{0.4}{2.1}\uput[ul](0.6,0.22){B}
\psGauss[mue=1.43,sigma=0.32,linestyle=dashed]{0.4}{2.1}\uput[dr](0.7,0.13){\small D}
\psGauss[mue=1.27,sigma=0.32,linecolor=blue]{0.4}{2.1}\uput[dr](0.8,0.4){\small C}
\uput[u](1.8,0){taux de cholestérol}
\end{pspicture}

\end{center}

Question : La courbe correspondant à la variable aléatoire $X$ est:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
 \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{A }&\psframebox{B} & \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{C} & \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{D}
\end{tabularx}
\end{center}

\item  La courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet une tangente T au point A d'abscisse 5.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1.6cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.85,-2.75)(10,2.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,-2.75)(10,2.6)
\multido{\n=-2.5+0.5}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(10,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.5,-2.75)(10,2.6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x dup mul 15 mul 45 add 59 x mul sub x 3 exp sub 16 div}
\psdots(3,-2)(7,2)
\psline(3,-2)(7,2)
\uput[ul](5,0){A}\uput[ul](6.7,1.7){T}
\uput[r](0.2,2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Question: La valeur de $f'(5)$ est égale à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
 \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(5)=-1$}& \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$ f'(5)=0$} & {$f'(5)=1$}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f'(5)=2$}
\end{tabularx}
\end{center}


\item  $g$ est une fonction définie sur $]3~;~+ \infty[$ telle que $\displaystyle\lim_{\substack{x \to 3\\x > 3}} g(x) = + \infty$.

\begin{center}
\psset{xunit=1.8cm,yunit=0.4cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-10.1)(6,12.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\multido{\n=0.0+0.5}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-10)(\n,13)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5](0,0)(0,-9.9)(6,11.9)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{6}{3 1 x div add }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dotted]{3.1}{6}{3 1 x 3 sub  div add }
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{3.1}{6}{3 1 x 3 sub  div add  neg}
\rput(0.75,11){\blue Graphe 1}\rput(3.75,11){Graphe 2}
\rput(3.75,-9.5){Graphe 3}
\end{pspicture*}
\end{center}

Question : Une courbe représentative pouvant correspondre à la fonction $g$ est:

{\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{
>{\setlength\hsize{0.17\hsize}}X>{\setlength\hsize{0.17\hsize}}X>{\setlength\hsize{0.17\hsize}}X >{\setlength\hsize{0.49\hsize}}X}
\textbf{A.}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{Graphe 1}&\textbf{B.}\psframebox{ Graphe 2}&\textbf{C.}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{Graphe 3}&\textbf{D.}  \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ au moins 2 graphes conviennent}
\end{tabularx}
\end{center} }
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1} :

\vspace{1cm}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$~~} \naput{\np{0.6}}}
	{\TR{$M$} \naput{\np{0.02}}
	\TR{$\overline{M}$}\nbput{\np{0.98}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{T}$~~} \nbput{\np{0.4}}}%\nbput{\ldots}}
	{\TR{$M$}
	\TR{$\overline{M}$}
	}	
}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 }: On souhaite faire afficher la valeur de la voiture en 2018 à l'aide de cet algorithme:

\vspace{1cm}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace{0.5cm}$P$ réel; $i$ entier naturel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{0.5cm}$P$ prend la valeur $\np{10500}$\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{0.5cm}Pour $i$ allant de 1 à 7\\
\hspace{1cm}$P$ prend la valeur $\np{0.86}P$\\
\hspace{0.5cm}Fin Pour\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $P$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}