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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole, La Réunion, Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2017}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé STAV  Métropole--La Réunion--Antilles--Guyane ~\decofourright\\[5pt]septembre 2017}}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\textbf{L'annexe A est à rendre avec la copie}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip
{\footnotesize
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Dans un camping, on considère deux catégories de clients : les clients français et les clients étrangers. Le camping souhaite évaluer la proportion de clients satisfaits des prestations du camping.

La direction du camping réalise régulièrement des enquêtes qui lui permettent de disposer des
renseignements suivants :
\begin{itemize}

\item  Dans la région où il est implanté, le camping accueille 45\,\% de clients étrangers et, parmi eux,
83 \,\% déclarent être satisfaits des prestations du camping.
\item 78\,\% des clients français déclarent être satisfaits des prestations du camping.
\end{itemize}

On interroge un client au hasard parmi tous ceux qui ont passé au moins une nuit au camping pendant la
période de l’enquête.

On considère les évènements suivants :
\begin{itemize}
\item $E$ : le client est étranger.
\item $S$ : le client est satisfait des prestations du camping.
\end{itemize}
}
\begin{enumerate}
\item Décrivons l’énoncé par un arbre de probabilités.

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$E$~}\taput{0,45}}
	{
	\TR{$S$}\taput{$\np{0.83}$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\np{0.17}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{E}$~}\tbput{$\np{0.55}$}}
	{\TR{$S$}\taput{$\np{0.78}$}
	\TR{$\overline{S}$}\tbput{$\np{0.22}$}
	}
}
\end{center} 

\item $E\cap S$ est l’événement : \og le client est étranger et a été satisfait des prestations du camping.\fg

 $p(E\cap S)=p(E)\times p_{E}(S)=\np{0.45}\times \np{0.83}=\np{0.3735}$.
\item Montrons  que $p(S) = 0,8025$. $E$ et $\overline{E}$ formant une partition de l'univers,

$p(S)= p(E\cap S)+ p\left(\overline{E}\cap S\right) = p(E) \times p_{E}(S) + p\left(\overline{E}\right)\times p_{\overline{E}}(S) = \np{0.3735} + \np{0.55}\times \np{0.78}=\np{0.8025}$.
\item On choisit un client satisfait des prestations de ce camping.

Nous avons montré que la probabilité que la personne choisie fût étrangère et satisfaite était 0,3735. Ce résultat étant inférieur à la moitié de la probabilité que la personne soit satisfaite donc il est plus probable que la personne soit française.

{\footnotesize \emph{Remarque :} Nous aurions pu calculer $p_{S}(E)$ et $p_{S}(\overline{E})$ et comparer }
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip
{\footnotesize
Dans cette partie, les résultats numériques seront arrondis à $10^{-4}$ près.

On admet qu’en 2015 la proportion $p$ de clients satisfaits des prestations du camping est de 0,8025.

Suite à la saison 2015, une enquête est réalisée sur un échantillon aléatoire (assimilable à un tirage avec remise) de 180 clients présents au camping en 2016.}
\begin{enumerate}
\item  Déterminons l’intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 de la fréquence de clients satisfaits pour cet échantillon.

\emph{On rappelle que l’intervalle de fluctuation asymptotique à $0,95$ d’une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$, lorsque la proportion $p$ est connue, est }: 
 

\[\Bigg [ p-1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}~;~ p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\Bigg]\]
 
 $n=180>30\quad np=\np{0.8025}\times 180=\np{144.45} >5 \quad n(1-p)=180\times \np{0.8025}=\np{35.55}>5$ 
 
\[  I=\Bigg[\np{0.8025}-1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.8025}(1-\np{0.8025})}{180}}~;~ \np{0.8025}+1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.8025}(1-\np{0.8025})}{180}}\Bigg]\approx \left[\np{0.7443}~;\np{~0.8607}\right]\]
 
 
\item Suite à cette enquête, on a noté $151$ clients satisfaits.

La fréquence de clients satisfaits  est $\dfrac{151}{180}\approx \np{0.8389}$. Cette fréquence appartenant à l'intervalle de fluctuation 
nous pouvons considérer le fait que la proportion de clients satisfaits est, en 2016, toujours égale à \np{0,8025}.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  7 points}

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur [0~;~240 ] par 

\[f(x) = -\e^{0,016x} + 0,32x + 44.\]

On désigne par  $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$, donnée en \textbf{ANNEXE A}, dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item  Pour tout réel $x$ de [0~;~240 ] $f'(x)=-\np{0.016}\e^{\np{0.016}x}+\np{0.32}$ .
\item  Résolvons sur [0~;~240] l’inéquation $- 0,016\e^{0,016 x} + 0,32 \geqslant 0$.
\begin{multicols}{2}
\begin{align*}
- 0,016\e^{0,016 x} + 0,32 &\geqslant 0\\
0,32   &\geqslant 0,016\,\e^{0,016 x} \\
\dfrac{0,32}{0,016}\e^{0,016 x} &\geqslant \e^{0,016 x} \\
20&\geqslant \e^{\np{0.016}x}\\
\end{align*}

\begin{align*}
\ln (20)&\geqslant \ln \left(\e^{\np{0.016}x}\right)\\
\ln(20)&\geqslant \np{0.016}x\\
\dfrac{\ln (20)}{\np{0.016}}&\geqslant x\\
\np{62.5}\ln (20)&\geqslant x\\
\end{align*}
\end{multicols}

L'ensemble solution de l'inéquation est $\left[0~;~\np{62.5}\ln (20)\right]$ soit environ $[0~;~\np{187.2}]$.
 %On donnera l’ensemble des solutions sous la forme d’un intervalle dont les bornes sont les valeurs exactes, puis approchées si besoin à $10^{-1}$ près.
\item \begin{enumerate}
\item    $f(0)=43$, $f\left(\dfrac{\ln 20}{0,016}\right)=-\text{e}^{\np{0.016}\times \frac{\ln 20}{\np{0.016}}}+\np{0.32}\times \frac{\ln 20}{\np{0.016}}+44=-\text{e}^{\ln20}+20\ln 20+44 $ 

$f\left(\dfrac{\ln 20}{0,016}\right)=-20+20\ln 20+44=24+20\ln 20\approx \np{83.9}$

$f(240)=-\text{e}^{\np{3.84}}+\np{0.32}\times 240+44\approx \np{74.3}$.

\item Étudions la variation de $f$.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0 $ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[0~;~\np{62.5}\ln 20[,\:f'(x)>0 $ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $]\np{62.5}\ln 20~;~240],\:f'(x) < 0$ par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons le tableau de variation de $f$ sur [0~;~240].
 
\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
%\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$0$} \uput[u](4.5,2.45) {$\np{62.5}\ln 20$}    \uput[u](7.73,2.45){$240$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $f$}
 \uput[u](1.37,0){$43$}\uput[u](7.32,0){$\approx \np{74.3}$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.55)(7.3,0.55)
\uput[d](4.5,2){$24+20\ln 20$}
\end{pspicture}
}
\end{center}
%Déduire des questions précédentes, le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0~;~240].
\end{enumerate}

\item  On donne en \textbf{ANNEXE A} la représentation graphique de la fonction $f$.

Résolvons graphiquement l’équation $f(x) = 80$. Traçons la droite d'équation $y = 80$ et lisons les abscisses des points d'intersection de cette droite avec la courbe représentative de $f$.

Avec la précision permise par le graphique, les valeurs étant arrondies à l’unité, nous trouvons 144 ou 223. L'ensemble solution est $\{143~;~223\}$.
%   et on laissera les traits de construction apparents sur l\textbf{'ANNEXE A (à rendre avec la copie)}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip
{\footnotesize
Un institut de recherche agronomique a réalisé une expérimentation sur l'évolution du rendement d'une variété de blé suivant la quantité d’azote apportée par hectare.

Ce rendement est modélisé par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{PARTIE A}, avec $x$ la concentration d'azote exprimée en kg/ha, et $f (x)$ le rendement du blé exprimé en quintaux/ha.

À l'aide des résultats de la \textbf{partie A}, répondons aux questions suivantes (les résultats sont arrondis à l'unité).
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item Le rendement du blé sans aucun apport d'azote est $f(0)$ soit 43 quintaux par hectare.
\item En utilisant le tableau de variation de la fonction $f$, il résulte que le rendement  du blé suivant la concentration d’azote croît lorsque la concentration d'azote augmente jusqu'à une concentration d'environ \np[kg/ha]{187} mais dès que la concentration d'azote dépasse \np[kg/ha]{188}, le rendement diminue.   
\item Selon ce modèle, déterminons dans quel intervalle doit se situer la concentration d’azote si l'on souhaite que le rendement soit d'au moins $80$~quintaux/ha et sans apport inutile d'azote. Nous avons montré que $f(x)=80$ pour $x$ valant environ 144 ou 223. La courbe étant au dessus de la droite d'équation $y=80$ entre ces valeurs, par conséquent l'intervalle à considérer est $[144~;~223]$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  3 points}

\medskip
{\footnotesize
On pose $\displaystyle I = \int_{1}^{4}g(x)\mathrm{d}x$ avec $g$ définie et dérivable sur $]0~;~ +\infty[$ par $g(x)=\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{2} x$.

On désigne par $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère orthonormé donné ci-dessous

(unités graphiques: \np[cm]{2}  en abscisses et en ordonnées).


\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=2cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.25)(6.5,5.25)
\multido{\n=+1}{7}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,5)}
\multido{\n=0+1}{6}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(6.1,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(0,0)(6.3,5)
\psframe[fillstyle=hlines,hatchcolor=yellow](1,0)(4,3)
\psframe[fillstyle=vlines, hatchcolor=violet](1,0)(4,2)
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0.42}{6}{ x 0.5 mul 2  x div add}
\uput [ur](1.5,2){\blue $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}

\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item  $I$ peut être interprétée comme l'aire du domaine plan délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x=4$.
Nous pouvons remarquer, à l’aide du graphique, que cette aire  est comprise entre l'aire du rectangle ayant pour longueur 3 unités et pour largeur 2 unités  et l'aire du carré ayant pour longueur 3 unités. Par conséquent nous avons bien  $6\leqslant I \leqslant 9$.
\item Calculons la valeur exacte de $I$.

$g$ est une fonction continue et positive sur $[1~;~4]$. Elle admet une primitive $G$ définie par $G(x)= 2\ln x +\dfrac{x^2}{4}+\lambda$ 

$\displaystyle I = \int_{1}^{4}\left(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{2} x\right)\mathrm{d}x=\left[2\ln x+\dfrac{1}{2}\times \dfrac{x^2}{2}\right]_1^4=\left[2\ln x+\dfrac{x^2}{4}\right]_1^4=2\ln 4+4-\dfrac{1}{4}=4\ln 2+\dfrac{15}{4}$.

{\footnotesize \emph{Remarque} nous pouvons ainsi vérifier que $I$ est compris entre 6 et 9.}
\item  En considérant que $I$  est l'aire $\mathcal{A}$ du domaine défini supra, nous avons donc :

$\mathcal{A}= \left(4\ln 2+\dfrac{15}{4}\right)\times 2\times 2$ cm$^2$ soit $\mathcal{A}\approx \np{6.52}\times 4$ cm$^2\,\approx 26,09$ cm$^2$. % Déterminer une valeur approchée de $I$ en cm$^2$ arrondie au mm$^2$ près.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip
{\footnotesize
Un salarié désire connaître la somme globale qu’il percevra sur dix années de travail dans la même entreprise.

La première année, son salaire annuel était de \np{18 000}~\euro{} et chaque année il augmente de \np{1.2}\,\%.

L’algorithme suivant permet de calculer la somme recherchée :

\begin{center}

\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace{2em}N entier naturel\\
\hspace{2em}U réel\\
\hspace{2em}S réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{2em}U prend la valeur \np{18 000}\\
\hspace{2em}S prend la valeur \np{18 000}\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{2em}Pour N allant de 1 à 9\\
\hspace{4em}U prend la valeur U*1,012\\
\hspace{4em}S prend la valeur S+U\\
\hspace{2em}Fin Pour\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace{2em}Afficher S\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item  Le tableau est complété sur l'\textbf{ANNEXE A (à rendre avec la copie)} qui donne les valeurs de U et S calculées
par l’algorithme.
\item Le salaire annuel peut être modélisé par une suite arithmétique ou géométrique.  En toute logique,  oui. Elle peut être modélisée par une suite géométrique 
de raison \np{1.012} puisque l'on passe d'un terme au suivant en le multipliant par ce nombre.
  
\item La valeur affichée par cet algorithme en sortie est \np{190037.67}.
\item On a modifié l’algorithme ci-dessus de deux façons différentes :
\end{enumerate}

\begin{multicols}{2}
\begin{minipage}{6cm}
Algorithme 1 : 

\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace{2em}N entier naturel\\
\hspace{2em}U réel\\
\hspace{2em}S réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{2em}U prend la valeur \np{18 000}\\
\hspace{2em}S prend la valeur \np{18 000}\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{2em}Pour N allant de 1 à 9\\
\hspace{4em}U prend la valeur U*1,012\\
\hspace{4em}S prend la valeur S+U\\
\hspace{4em} Afficher S\\
\hspace{2em}Fin Pour\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}

\columnbreak
\begin{minipage}{6cm}
Algorithme 2 :

\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace{2em}N entier naturel\\
\hspace{2em}U réel\\
\hspace{2em}S réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{2em}U prend la valeur \np{18 000}\\
\hspace{2em}S prend la valeur \np{18 000}\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{2em}Pour N allant de 1 à 10\\
\hspace{4em}U prend la valeur U*1,012\\
\hspace{4em}S prend la valeur S+U\\
\hspace{2em}Fin Pour\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace{2em}Afficher S\\
\hline
\end{tabular}
\end{minipage}
\end{multicols}

Dans le premier algorithme, les modifications n'ont pas d'incidence sur la somme recherchée puisqu'il ajoute à chaque passage dans la boucle la valeur de $S$.
En revanche le second algorithme a une incidence sur $S$ puisqu'il  a été ajouté une boucle donc la somme affichée en sortie est celle perçue sur onze années.
\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe A (à compléter et à rendre avec la copie)}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}}

\begin{center}
\psset{xunit=0.05cm,yunit=0.11cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.2,-3)(243,95)
\multido{\n=0+5}{49}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,0)(\n,89)}
 \multido{\n=0+5}{18}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](0,\n)(244,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=10,,Dy=10,]{->}(0,0)(0,0)(247,89)
\uput[ur](0.5,90){\footnotesize Courbe représentative de la fonction $f$}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{240}{2.71828  x 0.016 mul exp neg x 0.32 mul add 44 add}
\uput [u](25,53){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psset{arrowscale=2}
 \def\Func{2.71828  x 0.016 mul exp neg x 0.32 mul add 44 add}
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 143.589261 def \Func)(!143.589261 /x 143.589261 def \Func)(143.589261,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(!0 /x 222.65127 def \Func)(!222.65127 /x 222.65127 def \Func)(222.65127,0)
\psline[linewidth=0.95pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](187.2,0)(187.2,83.91)(0,83.91)
\end{pspicture}

\end{center}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill }

\medskip

Les résultats sont arrondis au cent près.
\renewcommand\arraystretch{2}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
N &1			&2 	&3	& 4\\\hline
U &\np{18 216}	&\np{18434.59}	&	\np{18655.81}&\np{18879.68}\\\hline
S &\np{36 216}	&\np{54650.59}	&\np{73306.40}	&\np{92186.18}\\\hline
\end{tabularx}

\medskip

\emph{Rem.} { \footnotesize Vu la réponse donnée pour N=1, nous avons considéré qu'au cent \footnote{nom donné au début pour les divisions de l'euro} près signifiait au centime près et non à la centaine près, d'autant que les valeurs de U et S sont calculées par l'algorithme.}

\vfill

Si vous photocopiez ce corrigé pensez à en créditer l'\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}, merci.
\end{document}
