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%source : Chlorofil
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rfoot{\small{novembre 2015}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\Nouvelle-Calédonie novembre 2015 corrigé}}
  \end{center}

\vspace{0,25cm}

La calculatrice est autorisée.

\smallskip

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip

Pour équiper une de ses serres en système d’arrosage \og goutte à goutte\fg, une personne prend des
renseignements concernant des goutteurs auprès d’un fournisseur de matériel de jardinage.

\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.}

\emph{Les probabilités seront arrondies à $10^{-3}$ près si nécessaire.}

\medskip

\textbf{Partie \no 1 :}
\medskip

On appelle $X$ la variable aléatoire égale au débit, en litre par heure, d’un goutteur.

On admet que $X$ est distribuée selon la loi normale de moyenne $\mu= 2$ et d’écart type $\sigma= 0,3$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminons la probabilité que le débit en $\text{L.h}^{-1}$ d’un goutteur pris au hasard soit compris entre 1,4 et 2,6.

À l'aide de la calculatrice $p( \np{1.4} \leqslant X \leqslant \np{1.6})\approx \np{0.954}$.
  
\emph{remarque : \footnotesize Nous savons que dans le cas d'une distribution normale $p(\overline{x}-2\sigma\leqslant X\leqslant\overline{x}+2\sigma)\approx \np{0.95}$.}

La probabilité que le débit en $\text{L.h}^{-1}$ d’un goutteur pris au hasard soit compris entre 1,4 et 2,6 est d'environ \np{0.954}.

\item Un goutteur est dit défectueux si son débit est inférieur à 1,4  $\text{L.h}^{-1}$.

Déterminons la probabilité qu’un goutteur pris au hasard soit défectueux, déterminons $p(X<\np{1.4})$.

À l'aide de la calculatrice, $p(X<\np{1.4})\approx \np{0.023}$.

\emph{remarque : \footnotesize  À partir de la considération  de la symétrie de la courbe nous pouvons écrire que\\
$p(X<\np{1.4})=p(X>\np{2.6})=\dfrac{1-p(\np{1.4}\leqslant X\leqslant \np{2.6})}{2}=\dfrac{1-\np{0.954}}{2}=\np{0.023}$.}

\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie \no 2 :}
\medskip

La personne décide d’acheter 50 goutteurs.

On suppose le stock du fournisseur suffisamment important pour que le choix puisse être assimilé à un
tirage successif avec remise.

On admet que la probabilité qu’un goutteur soit défectueux est égale à 0,023.

On appelle $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de goutteurs défectueux parmi les 50.

\begin{enumerate}
\item La loi de probabilité de $Y$ est binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,023$ puisque il y a répétition de 50 tirages indépendants et identiques caractérisés par deux issues soit le goutteur est défectueux de probabilité $p=0,023$  soit il n'est pas défectueux de probabilité $q=1-p=0,977$.
 
 Par conséquent, $p(X=k)=\dbinom{50}{k}(\np{0.023})^k(\np{0.977})^{50-k}$.
\item Calculons la probabilité qu’aucun goutteur ne soit défectueux.

$p(Y=0) = \np{0.977}^{50}\approx \np{0.312}$.
\item Calculons la probabilité qu’au moins 2 goutteurs soient défectueux.

$p(Y\geqslant 2)=1- \left(p(Y = 0) + p(Y = 1)\right) = 1 - \np{0.312} - \np{0.368} = \np{0.320}$.

La probabilité qu'au moins deux goutteurs soient défectueux est d'environ \np{0.320}.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip
La courbe ($\mathcal{C}$) donnée ci-dessous, est la représentation graphique dans un repère orthogonal d’une fonction
$f$ dérivable sur $\R$ ;
\begin{center}
\psset{xunit=1.7cm,yunit=1.8cm}
\begin{pspicture}(-6.8,-3)(2.6,4)
\multido{\n=-6+1}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dotted](\n,-2.5)(\n,3.5)}
\multido{\n=-2+1}{6}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=orange,linestyle=dotted](-6.5,\n)(2.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-6.5,-2.5)(2.5,3.5)
\psbezier[linecolor=blue](-6.5,1.92)(-5,1.8)(-4,1.6)(-2.5,1.5)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1,2)(-0.5,2.4)(0,3)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,3)(0.5,3.3)(0.72,3.15)
\psbezier[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0.72,3.15)(1.15,2.2)(1.26,-1)(1.5,-2.5)
\uput[u](-2.5,1.5){A}\uput[u](0.5,3.3){B}\uput[u](-6.2,2){\blue $\mathcal{C}$}
\psdots[dotstyle=*](-2.5,1.5)(0.5,3.3)
\psline[linewidth=1pt](-4,1.5)(-1,1.5)\psline[linewidth=1pt](-1,3.3)(2,3.3)
\uput[dr](-4,1.5){$\mathcal{T}$}\uput[dr](-1,3.3){$\mathcal{D}$}
%\pscustom[linewidth=1pt,fillstyle=hlines]{
%\psline(-2,0)(-2,1.57)\pscurve(-2,1.58)(-1.5,1.73)(-1,2)(-0.5,2.4)(0,3)\psline(0,3)(0,0)
%}
\pscustom[linewidth=1pt,fillstyle=hlines]{
\pscurve(-2,1.58)(-1.5,1.71)(-1,2)(-0.5,2.4)(0,3)
\psline(0,0)(-2,0)(-2,1.58)
}
\rput (-1,1){\color{red}{\huge $\mathcal{A}$}}
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-2.5,1.5)(-2,1.58)(-1.5,1.71)(-1,2)
\end{pspicture}
\end{center} 

La droite $\mathcal{T}$ est tangente à ($\mathcal{C}$) au point A. La droite $\mathcal{D}$ est tangente à ($\mathcal{C}$) au point B.

Les droites $\mathcal{T}$ et $\mathcal{D}$ sont parallèles à l’axe des abscisses.

La droite d’équation $y = 2$ est asymptote à ($\mathcal{C}$) en $-\infty$.

Pour chacune des quatre propositions suivantes, indiquer si elle est \textbf{vraie} ou \textbf{fausse}. Justifier vos réponses.

Une réponse exacte non justifiée ne rapporte pas de point. Une réponse inexacte n’enlève pas de point.

\vspace{0.25cm}

\begin{description}
\item[Proposition 1 :] L’ensemble des solutions de l’inéquation $f (x) > 2$ est $[-1~;~0]$.

La proposition est \textbf{fausse} car $f(-1)=2$ par conséquent $-1$ ne doit pas faire partie de l'ensemble solution.
\item[Proposition 2 :] L’équation $f'(x)=0$ admet une seule solution sur $\R$.

La proposition est \textbf{fausse} car la tangente en A et celle en B sont parallèles à l'axe des abscisses par conséquent aux abscisses de ces points le nombre dérivé est nul.

L'équation \og $f'(x) = 0$\fg{} admet au moins deux solutions sur $\R$.

\item[Proposition 3 :] $\displaystyle \int_{-2}^0 f(x )\mathrm{d}x \geqslant 3$.

La proposition est \textbf{vraie} car $f$ étant positive sur [-2~;~0], l'intégrale peut s'interpréter comme l'aire du domaine plan délimité par la courbe, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=-2$ et $x=0$. Cette aire a plus de trois unités d'aire ou plus de trois carreaux.
\item[Proposition 4 :] $\displaystyle \lim_{x\to - \infty} f(x) = 2 $.

La proposition est \textbf{vraie} car, par hypothèse, la droite d’équation $y = 2$ est asymptote à ($\mathcal{C}$) en $-\infty$.

\end{description}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  3 points}

\medskip

Lors de la première insémination artificielle, on considère que la proportion de vaches fécondées est de 65\,\%.

Dans une exploitation, sur un échantillon de 120 vaches, 72 ont été fécondées dès la première insémination.

On suppose la population assez grande pour assimiler cet échantillon à un tirage effectué avec remise.

\bigskip
\textbf{On rappelle que :}

Pour une proportion connue $p$ dans une population, l’intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 d’une
fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est
\[\Bigg[p-1,96\sqrt{\dfrac{ p(1-p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\Bigg] .\]

\smallskip 
\begin{enumerate}
\item  Déterminons l’intervalle de fluctuation asymptotique à 0,95 de la fréquence des vaches fécondées pour un
échantillon de taille 120.%, les bornes étant arrondies à $10^{-3}$ près.

$n=120>30,\quad np=120\times \np{0.65}=78>5,\quad n(1-p)=120\times \np{0.35}=42>5$.

\[\left[\np{0.65} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.65}(1 - \np{0.65})}{120}}~;~\np{0.65} + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.65}(1 - \np{0.65})}{120}}\right] \approx \Bigg[\np{0.564}~;~\np{~0.736}\Bigg]\]

{\footnotesize Les bornes de l'intervalle sont arrondies à $10^{-3}$ près.}

\item  Le résultat de la fréquence observée sur l’échantillon de vaches fécondées n'est pas en contradiction avec la proportion théorique $p = 0,65$ annoncée puisque cette fréquence est $\frac{72}{120}$ soit $\np{0.6}$. Ce nombre appartient à l'intervalle de fluctuation. 
\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  7 points}

\medskip

On considère la fonction $g$ définie sur l’intervalle $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$ par : 

\[g(x) =\ln(2x + 3) - 3x +1.\]

On note $(\mathcal{C}_g)$ la courbe représentative de $g$ dans un repère orthogonal.

\begin{enumerate}
\item Calculons la valeur exacte de $g(3)$.

 $g(3)=\ln (2\times 3+3)-3\times 3+1=\ln9-8$ or $9=3^2$ par conséquent $\ln 9=2\ln 3$.

Nous obtenons bien la valeur donnée $g(3)=2\ln 3- 8$.
\item Déterminons la limite de $g$ en $-\dfrac{3}{2}$.
\[\displaystyle \lim_{x\to -\frac{3}{2}}g(x)=-\infty.\]
 En effet $\displaystyle \lim_{x\to -\frac{3}{2}}2x+3=0\quad \lim_{X\to 0}\ln X=-\infty $. Par conséquent $\displaystyle \lim_{x\to -\frac{3}{2}}\ln 2x+3=-\infty$, d'autre part nous avons $\displaystyle \lim_{x\to -\frac{3}{2}}(-3x+1)=-\dfrac{-9}{2}+1=\dfrac{11}{2} $.
 %et interpréter graphiquement ce résultat.
 
La fonction n'étant pas définie en $-\frac{3}{2}$  et la limite étant infinie, alors la droite d'équation $x=-\frac{3}{2}$ est asymptote à la courbe représentative de $g$.
\item Déterminons la fonction dérivée $g'$  de la fonction $g$ sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$ 

\[g'(x)=\dfrac{2}{2x + 3} - 3=\dfrac{2 - 3(2x + 3)}{2x + 3}=\dfrac{-6x - 7}{2x + 3}\]


Par conséquent, pour tout $x$ appartenant $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$, $g'(x)=\dfrac{-6x-7}{2x+3}$.

\item \begin{enumerate}
\item  Étudions le signe de $g'(x)$. 

Sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right],\ 2x+3>0$ par conséquent le signe de $g'(x)$ est celui de $-6x-7$.


Sur $\R\,  -6x-7>0 \iff x<-\dfrac{7}{6}$. Il en résulte : 

si $x\in \left]-\dfrac{3}{2}~;~-\dfrac{7}{6}\right[, \ g'(x) > 0$,

si $x\in \left]-\dfrac{7}{6}~;~3\right],\ g'(x) < 0$.

\item Dressons le tableau de variations de la fonction $g$.

Étudions d'abord le sens de variation  de $g$. 

Si pour tout $x\in I,\:f'(x) > 0$ alors $f$ est  strictement croissante sur $I$. 

Sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~-\dfrac{7}{6}\right[ \ g'(x) > 0 $ par conséquent $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x \in I, \:f'(x) < 0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.

Sur $\left]-\dfrac{7}{6}~;~3\right],\ g'(x) < 0$ par conséquent $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Construisons enfin le tableau de variation de $g$ sur $\left]-\dfrac{3}{2}~;~3\right]$.
 
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\psline[linewidth=0.5pt](1.1,0)(1.1,3)
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){\scriptsize $-\frac{3}{2}$} \uput[u](4.5,2.45) {\scriptsize $-\frac{7}{6}$}    \uput[u](7.73,2.45){$3$}
\uput[u](0.5,1.9){$g^{\prime}$}\uput[u](2.76,2){$+$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$-$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variation}\rput(0.4,1){de $g$}
 \uput[d](1.37,0.45){$-\infty$}\uput[d](7.32,0.45){\scriptsize $2\ln3-8$}
\psline{->}(1.7,0.55)(4,1.55)\psline{->}(5,1.5)(7.3,0.55)
\uput[u](4.5,1.425){\scriptsize $\ln 2-\ln 3+\frac{9}{2}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\item %\emph{Pour cette question, toute trace de recherche ou d’initiative sera prise en compte.}

Résolvons %par la méthode de votre choix (par le calcul ou à l’aide de la calculatrice) et en détaillant votre démarche 
l’équation $g(x)=-3x+1$:
\begin{align*}
\ln (2x+3)-3x+1&=-3x+1\\
\ln (2x+3) &=0\\
\ln (2x+3) &=\ln 1\\
2x+3&=1\\
2x&=-2 \\
x&=-1\\
\end{align*}

L'ensemble des solutions de l'équation est $\left\lbrace -1 \rule{0pt}{12pt} \right\rbrace $.

\vfill

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.7cm}
\def\xmin{-2}   \def\xmax{4}
\def\ymin{-7}   \def\ymax{5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,gridlabels=0,gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,-120][$y$,210] 
\uput[dl](0,0){$O$}
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)% première et terminale 
\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\def\f{3 2 x mul add ln 3 x mul sub 1 add }%   définition de la fonction
\psplot[plotpoints=4000,linecolor=blue]{-1.499999}{3}{\f}%  tracé de la courbe
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](-1.5,\ymin)(-1.5,\ymax)
\def\g{1 -3 x mul add}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{-2}{3}{\g}
\uput[ur](1.5,-1.7){\blue $\mathcal C_g$}
\uput{10pt}[d]{-56.31}(1,-2){\red $y=-3x+1$}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed,showpoints=true](-1,0)(-1,4)
\uput*[d](-1,0){\red $-1$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document}