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%source : Chlorofil
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie Correction }}
\rfoot{\small{Novembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Nouvelle Calédonie Novembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}


 %Le sujet comporte \pageref{LastPage} pages
 
\medskip
 %Les  annexes A, B et C sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées

\vspace{1cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 1 :\hfill (6 points)}

\bigskip

\textbf{Les résultats seront donnés à l’entier près.}

\medskip

Depuis le dernier mondial, le nombre de licenciées en football féminin est en hausse annuelle de
15\,\% par an. On considère dans cet exercice que cela restera désormais vrai chaque année.

\medskip

En 2019, en France, il y avait \np{184 228} licenciées femmes.

(\emph{Source :} www.mouv.fr)

\medskip

Pour tout entier $n$, on note $u_n$, le nombre de licenciées femmes en France l’année $2019+ n$.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate} 
\item Donnons la valeur de $u_0$. Par lecture du texte nous avons $ u_0= \np{184 228}$.
\item Calculons $u_1$. 
 Le nombre de licenciées subissant une hausse de 15\,\%, le coefficient multiplicateur associé à cette évolution est \np{1.15}.
 Ainsi $u_1=1,15\times u_0$ d'où 

$u_1=1,15\times  \np{184228}\approx\np{211862}. $

 Ce résultat correspond au nombre de licenciées femmes en 2020.
\item Pour déterminer le terme suivant de la suite, nous multiplions  chaque terme par le même nombre, ici \np{1.15}. Il en résulte que la suite ($u_n$) est une suite géométrique de raison \np{1.15} et de premier terme $u_0=\np{184228}$.  Le terme général d'une suite géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n=u_0\times (q)^n$.

$u_n=\np{184226}\times \left(\np{1.15}\right)^n$.
\item En utilisant le terme général de la suite géométrique défini à la question précédente, sachant que 2026=2019 +7, le nombre de licenciées
femmes que l’on peut espérer en France en 2026 est alors $u_7$. En remplaçant $n$ par 7 nous obtenons

 $u_7=\np{184228}\times 1,15^7\approx \np{490050}$.
\end{enumerate}
\item La FFF (Fédération Française de Football) espère atteindre la barre des 1 million de
licenciées femmes d’ici 2031.
\begin{enumerate}
\item  L’algorithme donné en \textbf{Annexe A (à rendre avec la copie après avoir été
numérotée)}, qui permet, à la fin de son exécution, de déterminer la valeur \textbf{N} pour laquelle
la barre du million de licenciées femmes est atteinte,  y est complété.
\item  L’algorithme donne \textbf{N=13}.

 L'année où le million de licenciées sera atteint, est 2019+13=2032, il est manifeste que  la FFF n'atteindra pas ses objectifs.
\item Déterminons la valeur du pourcentage de hausse annuelle constant à planifier pour que la FFF atteigne ses
objectifs en 2031.

 Appelons $t$ ce taux. Le coefficient multiplicateur associé est donc $1+t$. En 2031, nous avons alors  $n=12$.
 
 Déterminons $t$ pour que $\np{184228}\times \left(1+t\right)^{12}= \np{1000000}$
 
 $\left(1+t\right)^{12}=\dfrac{\np{1000000}}{\np{184228}} $ d'où $t= \left(\dfrac{\np{1000000}}{\np{184228}}\right)^{1/12}-1$
 
 $t\approx \np{0.15138}$. 
 
 Pour atteindre l'objectif d'un million de licenciées en 2031, il faudrait que la hausse annuelle soit de \np{15.2}\,\%,
valeur   arrondie à $10^{-1}$ près
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 2 :\hfill (5 points)}

\bigskip


\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à } \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath\textbf{près}.

\medskip

On s’intéresse au volume annuel de lait produit, en litres, par une brebis dans un troupeau.

Pour une brebis prélevée au hasard, ce volume est une variable aléatoire $X$ distribuée selon la loi
normale de moyenne \textmu = 119 et d’écart type \textsigma= 19.

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item Déterminons $P(100\leqslant X \leqslant 138)$.

 En utilisant une calculatrice, $P(100\leqslant X \leqslant 138)\approx\np{0.682}$.

\emph{Remarque : On pouvait s'apercevoir que} 100=\textmu $-$\textsigma \emph{et } 138= \textmu+\textsigma  \emph{d'où le résultat.}

  La valeur obtenue dans le contexte de l’exercice peut s'interpréter comme la probabilité que la brebis produise  entre 100 et 138  litres  de lait par an 
\item Déterminer la probabilité qu’une brebis prélevée au hasard dans le troupeau produise
moins de $100$ litres de lait par an. Pour ce faire, calculons $P(X\leqslant 100)$.

$P(X\leqslant 100)\approx 0,159$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

On considère, pour la suite de l’exercice, que la probabilité de prélever au hasard une brebis qui
produise moins de $100$ litres de lait par an est 0,16.

\begin{enumerate}[resume]
\item Dans un élevage de brebis, on prélève un échantillon de $56$ brebis. Le nombre de brebis
est suffisamment important pour que le choix puisse être assimilé à un tirage successif avec
remise.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de brebis qui produisent moins de 100 litres
de lait par an parmi les 56 brebis.
\begin{enumerate}[resume]
\item  Justifions que la loi de probabilité de $Y$ est la loi binomiale de paramètres $n = 56$ et $p = 0,16$.

 $Y$ est distribuée selon la loi binomiale de paramètres $n = 6$ et $p= \np{0.99}$ puisque il y a répétition de 56 tirages indépendants et identiques caractérisés par deux issues soit la brebis produit moins de cent litres de lait par an   avec une probabilité  $p=0,16$  soit elle produit plus de cent litres de lait par an de probabilité $q=1-p=0,84$.
 
 Par conséquent, $p(Y=k)=\binom{56}{k}(\np{0.16})^k(\np{0.84})^{6-k}$.

 
\item  Déterminer la probabilité qu’il y ait strictement moins de 6 brebis produisant moins de
\np{100} litres par an.

Déterminons $p(Y <6)$ arrondi à $10^{-3}$ près

$p(Y<6)=P(0\leqslant Y\leqslant 5)\approx \np{0.098}$.
\item Les brebis qui produisent moins de $100$ litres de lait par an sont destinées à la vente.

Le nombre de brebis de cet échantillon que l’éleveur peut espérer vendre est $56 \times 0.098\approx 5$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 3 :\hfill (5 points)}

\bigskip


Soit $f$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x)=\dfrac{1}{1+\e^{-x}}\]

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.
\begin{enumerate}

\item Déterminons la limite de $f$ en $+\infty$. 

$\displaystyle \lim_{x\to +\infty} \e^{-x}=0, \quad \lim_{x\to +\infty}1+ \e^{-x}=1, \quad \lim_{x\to +\infty}\dfrac{1}{1+ \e^{-x}}=1$.

Interprétons graphiquement.

 La courbe représentative de $f$ admet la droite d'équation $y=1$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$.

\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $[0~;~+\infty[$.
\begin{enumerate}
\item Déterminer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de $[0~;~+\infty[$.

Nous pouvons considérer $f$ de la forme $\dfrac{1}{v}$ avec $v(x)=1+\e^{-x}$.

Nous avons alors $f'=\dfrac{-v'}{v^2}$ où $v'$ est la fonction dérivée de $v$.

$v'(x)=-\e^{-x}$ d'où $f'(x)=\dfrac{-\e^{-x}}{(1+\e^{-x})^2}$.
\item \' Etudions d'abord le signe de $f' (x)$. 

Pour tout $x\in [0~;~+\infty[,\quad \e^{-x} >0$ ainsi que  $(1+\e^{-x})^2$. Il en résulte que pour tout $x\in [0~;~+\infty[ f'(x)>0$ comme quotient de deux termes strictement positifs.

Déduisons en  le sens de variation de $f$.



Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $[0~;~1+\infty[,\:f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.


\end{enumerate}
\item  Le tableau de valeurs  est complété dans l'\textbf{Annexe B (à rendre avec la copie après avoir été
numérotée)}.

\emph{Remarque : Nous ne pouvons remplir le tableau que pour les réels positifs, la fonction n'étant pas définie pour les réels strictement négatifs.}  
\item La courbe représentative de la fonction $f$  a été tracée dans le repère orthogonal \Oij \\ 
 donné en \textbf{Annexe B}.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}


\textbf{\Large \textsc{ Exercice} 4 :\hfill (4 points)}

\bigskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple, donné en \textbf{Annexe C (à rendre avec la copie
après en avoir numéroté la feuille)}.

Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.

Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l’absence de réponse n’enlève et
n’ajoute pas de point.

\textbf{Cocher}, pour chaque proposition, la réponse qui convient. Aucune justification n’est demandée.

\vspace{1.5cm}

\textbf{ANNEXE A (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie) }

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 1}

\bigskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
U réel, \textbf{N} entier\\
U prend la valeur \np{184 228}\\
\textbf{N} prend la valeur 0\\
\hspace{2em}Tant que \textcolor{blue}{U$<10^{6}$}.. faire\\
\hspace{2em}U prend la valeur \textcolor{blue}{\np{1.15} U}...........\\
\textbf{N} prend la valeur \textbf{N}+1\\
Fin tant que\\
Afficher \textbf{N} \\
\hline
\end{tabular}\\
\end{center}

\newpage

\textbf{ANNEXE B (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie) }

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 3}

\bigskip

\textbf{Les résultats seront donnés à } \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath \textbf{près}.

\medskip

\renewcommand\arraystretch{1.8}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$		& $-4$	& $-2$ 	&$-1,5$	&$-0,5$	&$0$ 	&$0,5$	&$1$ 	&$2$& $4$\\\hline
$f(x)$	&	$f$ non définie 	&	$f$ non définie	&	$f$ non définie	&	$f$ non définie	&	\np{0.50}	&	\np{0.73}	&	\np{0.88}	&\np{0.98}	&\np{1}\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip

%\hspace{-2cm}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=6.cm,labelFontSize=\scriptstyle,comma=true}
\begin{pspicture}(-5.5,-0.5)(7,1.3)
\multido{\n=-5.2+0.2}{58}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-0.16)(\n,1.2)}
\multido{\n=-0.16+0.04}{34}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](-5.2,\n)(6.2,\n)}
\multido{\n=-5+1}{12}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,-0.16)(\n,1.2)}
\multido{\n=0+0.2}{6}{\psline[linewidth=0.6pt,linecolor=gray](-5.2,\n)(6.2,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2,]{->}(0,0)(-5.4,-0.16)(6.3,1.2)
\rput(0.1,1){J} \rput(1,0.03){\textbf{I}}
\def\func{1 2.71828  x 2 mul neg  exp 1 add div}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{6.5}{\func}
\end{pspicture}

\newpage

\textbf{ANNEXE C  (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie) }

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice} 4}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Un biologiste réalise une étude sur le nombre de souriceaux par portée des souris d’un
laboratoire. L’étude a été effectuée sur 72 souris.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.45cm}|*{6}c|}
\hline
Nombre de souriceaux
par portée 	&5	& 6& 7 &8	& 9 &10\\\hline
Effectif 	&7 	&12&22 &19 	&8	& 4\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\medskip

\hspace{-1.31cm}
 \begin{tabularx}{1.092\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\Box~~ \psCancel[linewidth=0.05pt]{\text{La moyenne est } 7,5}$	&$\Box~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{\text{L’écart type est environ } 1,7}$& $\Box$~~\hspace{-3.5mm}\ding{52}  L’écart type est environ 1,3\\ 
\end{tabularx}

\vspace{1cm}
     

\item Soit $f$ la fonction définie sur $\left]\dfrac{4}{3}~;~+\infty\right[$  par $f(x) = \ln(3x - 4)$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d’abscisse 2 est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}X}
$\Box~~ $\hspace{-3.5mm}\ding{52} $y = \frac{3}{2 } x - 3 + \ln 2$	&$\Box~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{y = \ln [2(x - 2)] + \frac{1}{2}}$\\
$\Box~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{y = 2x- 4 + \ln 2}$ & $\Box$~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{aucune des réponses précédentes}\\ 
\end{tabularx}

\vspace{2cm}
  





%ANNEXE C – suite et fin (à compléter, numéroter et à rendre avec la copie) 


\item Soit l’arbre de probabilité :

\bigskip

\begin{center}
\psset{nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=0.75,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$N$~}\taput{$\np{0.4}$}}
	{
	\TR{$M$}\taput{$\np{0.2}$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\np{0.8}$}
	}
\pstree{\TR{$\overline{N}$~}\tbput{$\np{0.6}$}}
	{\TR{$M$}\taput{$\np{0.25}$}
	\TR{$\overline{M}$}\tbput{$\np{0.75}$}
	}
}

\end{center}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
$\Box~~ \psCancel[linewidth=0.05pt]{P(M) = 0,45}$	&$\Box~~$\hspace{-3.5mm}\ding{52} $P(M) = 0,23 $& $\Box~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{P(M) = 1,55}$&$\Box~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{P_M(N) = 0,2}$ \\ 
\end{tabularx}



\vspace{2cm}

\item Donner la valeur exacte de l’intégrale $\displaystyle \int_0^2 \e^{-2x}\mathrm{d}x$

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X p{6.2cm}}
$\Box$~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{0,49} 	&$\Box~~\psCancel[linewidth=0.05pt]{\e^{-4}} -1 $& $\Box~~$\hspace{-3.5mm}\ding{52} $\frac{ 1}{2}-\frac{1}{2}\e^{-4}$& $\Box$~~  \psCancel[linewidth=0.05pt]{aucune des réponses précédentes}\\ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}



\end{document}

2020-BAC31-NOR-NC 1/7
SESSION 2020
Nouvelle-Calédonie
BACCALAURÉAT TECHNOLOGIQUE
E4 MATHS ET TECHNO INFORMATIQUE ET MULTIMÉDIA
Série : STAV
Durée : 120 minutes
_______________________