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%source : Chlorofil
%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {STAV Métropole-Réunion septembre 2020},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength{\parskip}{5pt}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small S. T. A. V.}
\lfoot{\small{Métropole--Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}.  M. E. P{}.}}}
\begin{center}
 {\Large \textbf{Sciences et Technologies de l'Agronomie et du Vivant \\[5pt]Métropole--La Réunion septembre 2020}}

%\vspace{0,25cm}
%
%La calculatrice est autorisée.
%
%\smallskip
%
%
%\textbf{Les annexes A, B$_1$ et B$_2$ sont à rendre avec la copie après avoir été numérotées.}

\end{center}
  
\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill  6 points}

\medskip


\textbf{Partie A}

\medskip


En 2018, il y a eu \np{2560}  participants à l'UTMB, Ultra Trail du Mont Blanc, dont 270 femmes. Les coureurs sont classés selon leur catégorie : espoir, senior ou vétéran.

On sait que

\begin{list}{\textbullet}{}
\item  11/16 des participants sont classés dans la catégorie vétéran.
\item 687 des coureurs sont des hommes seniors.
\item Aucune femme espoir n'a participé à la course.
\item Il y a 66 femmes vétérans de plus que de femmes seniors.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Il y a 270 femmes, ce qui fait $\np{2560}-270=\np{2290}$ hommes.
\item 11/16 des participants sont classés dans la catégorie vétéran, ce qui en fait $\dfrac{11}{16}\times \np{2560} = \np{1760}$.
\item On place 687 hommes seniors, et 0 femme espoir.
\item Il y a 66 femmes vétérans de plus que de femmes seniors et la somme de ces deux catégories est 270. Si on appelle $x$ le nombre de femmes seniors, on a $2x+66=270$. Il y a donc 102 femmes seniors et 168 femmes vétérans.
\end{list}

\smallskip

On complète alors le tableau d'effectifs par soustractions:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash} X|}} \hline
\diagbox[dir=SE]{Sexe}{Catégorie}& Espoir& senior& Vétéran&Total\\
 \hline
Homme& \textcolor{blue}{11}& \textcolor{blue}{687} & \textcolor{blue}{\np{1592}}& \textcolor{blue}{\np{2290}}\\
 \hline
 Femme&\textcolor{blue}{0} & \textcolor{blue}{102} & \textcolor{blue}{168} & \textcolor{blue}{270}\\
 \hline
 Total & \textcolor{blue}{11} & \textcolor{blue}{789} & \textcolor{blue}{\np{1760}} &\np{2560}\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item 
\begin{enumerate}

\item  $\np{2290}$ hommes ont participé à la course, dont 687 seniors.\\
Le pourcentage de seniors chez les hommes est donc
$\dfrac{687}{\np{2290}}\times 100 = 30$.

\item $\np{270}$ femmes ont participé à la course, dont 102 seniors.\\
Le pourcentage de seniors chez les femmes est donc
$\dfrac{102}{\np{270}}\times 100 \approx 37,8$.
\end{enumerate}

\item On choisit une personne participant à l'UTMB au hasard; on appelle $S$ l'évènement  \og être dans la catégorie senior \fg{} et $F$ l'évènement  \og être une femme \fg.

On veut déterminer s'il y a dépendance ou indépendance entre les évènements \og être dans la catégorie senior \fg{} et \og être une femme \fg.

$P(S\cap F) = \dfrac{102}{\np{2560}} \approx 0,040$;
$P(S) = \dfrac{789}{\np{2560}} \approx 0,308$
et $P(F)=\dfrac{270}{\np{2560}} \approx 0,105$

$P(S) \times P(F) \approx 0,033 \neq 0,040$ donc
$P(S) \times P(F)  \neq P(S\cap F)$ donc les deux évènements $S$ et $F$ ne sont pas indépendants. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une étude portant sur un échantillon de 200 coureurs inscrits cette année à l’UTMB montre que 130 d'entre entre eux  n'ont jamais eu de blessure.

\begin{enumerate}
\item  La fréquence $f$, dans cet échantillon, des coureurs qui n'ont jamais eu de blessure est: $f=\dfrac{130}{200}= 0,65$.

\item On détermine un intervalle de confiance à 95\,\% de la proportion $p$ des coureurs qui n'ont jamais eu de blessure:

\smallskip

$I_C=\left[f - 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right]
=\left[0,65 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,65\times 0,35}{200}}~;~0,65 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,65\times 0,35}{200}}\right]\\
\phantom{I_C}
\approx \left [ 0,61~;~0,69 \strut\right ]$

\item Cédric a eu l'information que trois quarts des participants n'ont jamais eu de blessure aux précédentes éditions de l’UTMB. 

Une proportion de trois quarts correspond à $0,75$ qui n'appartient pas à l'intervalle de confiance.
Donc au seuil de risque 5\,\%, il ne semble pas possible que l'on ait la même proportion cette année sur l'ensemble des inscrits.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  5 points}

%\medskip
%
%Les résultats seront donnés  à  $10^{-2}$ près.

\medskip

En 2020, la production annuelle moyenne de lait chez un éleveur est de 119 litres par brebis.

Il souhaite augmenter sa production moyenne pour atteindre $200$ litres par brebis. Pour cela, il effectue des aménagements dans la bergerie.  Il espère que sa production annuelle moyenne de lait va augmenter de 10\,\% par an. 
(\emph{Source} :  https://bioreferences.bioetclic.org)

On note $u_n$ la production annuelle moyenne par brebis attendue, en litres,  l'année  $2020+n$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_1 =u_0+u_0\times \dfrac{10}{100} =119+119\times \dfrac{10}{100} = 130,9$ et
$u_2= u_1+u_1\times \dfrac{10}{100} =130,9+130,9\times \dfrac{10}{100} = 143,99$% Interpréter les résultats dans le contexte de l'exercice.

On peut estimer que la production moyenne par brebis sera, en litres, de $130,9$ en 2021, et d'environ $144$ en 2022.

\item \begin{enumerate}
\item% Déterminer la nature de la suite $(u_n$). On précisera le premier terme et la raison de cette suite.

Ajouter 10\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{10}{100}$, soit $1,1$; donc pour tout $n$, $u_{n+1}=1,1 u_n$.

La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=1,1$ et de premier terme $u_0=119$.

\item %Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
On en déduit que pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n$ donc $u_n= 119\times 1,1^n$.

\end{enumerate}

\item Afin d'estimer le nombre d'années nécessaires pour obtenir une production annuelle moyenne de lait supérieure à 200 litres par brebis, on propose les trois algorithmes ci-dessous.

Parmi les trois algorithmes suivants, on cherche celui qui permet d'afficher la réponse au problème posé.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{X|}}\hline

 \centering Algorithme 1&\centering \textcolor{blue}{Algorithme 2} & \centering Algorithme 3 \tabularnewline
 \hline
\begin{minipage}[b]{0.27\textwidth}
\raisebox{-2ex}[0pt][0pt]{}

 U réel\\
 N entier\\ 
 U prend la valeur 119\\
 N prend la valeur 0\\
 \\
 Tant que U < 200 faire\\
\hspace*{0.4cm} U prend la valeur 1,1 $\times$ U \\
Fin tant que\\
\\
 N prend la valeur N+1\\
 Afficher N\\
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[b]{0.27\textwidth}
\blue
 U réel\\
 N entier\\
 U prend la valeur 119\\
 N prend la valeur 0 \\
 \\
Tant que U < 200 faire\\
\hspace*{0.4cm} U prend la valeur 1,1 $\times$ U \\
\hspace*{0.4cm} N prend la valeur N+1 \\
Fin tant que\\
\\
 Afficher N\\
\end{minipage}
&
\begin{minipage}[b]{0.27\textwidth}

U réel\\
N entier\\
U prend la valeur 119\\
N prend la valeur 0\\
\\
Tant que U < 200 faire\\
\hspace*{0.4cm} U prend la valeur 1,1 $\times$ U\\
\hspace*{0.4cm} N prend la valeur N+1\\
Fin tant que\\
\\
Afficher U\\
\end{minipage}\\
\hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On cherche un nombre d'années, donc il faut afficher la variable N; on peut donc éliminer l'algorithme 3.
\item Le compteur d'années N doit être augmenté de 1 à chaque tour de boucle, donc l'instruction \og N prend la valeur N+1 \fg{} doit être à l'intérieur de la boucle \og Tant que \fg{}; on peut donc éliminer l'algorithme 1.
\end{list}

L'algorithme cherché est le 2.

\item %Par la méthode de votre choix, que vous expliquerez, déterminer l'année à partir de laquelle l'éleveur atteindra son objectif.
À la calculatrice, on trouve $u_5=119\times 1,1^5 \approx 192<200$ et $u_6=119\times 1,1^6 \approx 211\geqslant 200$.

C'est donc à partir de $n=6$ qui correspond à l'année 2026 que l'éleveur atteindra son objectif.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  5 points}

\medskip


On s'intéresse à une population de tortues dont le nombre d'individus diminue de façon inquiétante.

L’évolution de cette population, en fonction du temps, peut être modélisée par la fonction $f$ définie
sur $[0~;~+\infty[ $ par
\[f(x)=332\,\e^{-0,261x}\]où $x$ représente le nombre d'années écoulées à partir du début de l'année 2020 et $f(x)$ le nombre de tortues.

\medskip

\begin{enumerate}
\item % Donner le nombre de tortues au début de l'année 2020 et au début de l'année 2021.
%
%On arrondira à l'entier près par défaut.

L'année 2020 correspond à $x=0$, donc le nombre de tortues au début de l'année 2020 est $f(0)=332$.

L'année 2021 correspond à $x=1$, donc le nombre de tortues au début de l'année 2021 est $f(1) \approx 255$.

\item %Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
D'après le cours, $\ds\lim_{X\to -\infty} \e^{X}=0$.
Or $\ds\lim_{x\to +\infty} -0,261x=-\infty$. 

Donc $\ds\lim_{x\to +\infty} \e^{-0,261x}=0$ et donc $\ds\lim_{x\to +\infty} f(x)=0$.

\item %Déterminer l'expression de la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[ $ .
La dérivée de la fonction $x \longmapsto \e^{u(x)}$ est $x \longmapsto u'(x)\e^{u(x)}$ donc la dérivée $f'$ de la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par $f'(x) = 332\times (-0,261)\e^{-0,261x}$ soit $f'(x)=-86,652\e^{-0,261x}$.

\item %Étudier le signe de la dérivée et 
Pour tout réel $X$, $\e^{X}>0$ donc pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[ $, 
$\e^{-0,261x}>0$ donc $f'(x)<0$.

On en déduit le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[ $:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{4cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \esp & +\infty \\
 \hline
f'(x) &   & \pmb{-} & \\  
\hline
  &  \Rnode{max}{332} &    &    \\
f(x) & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &      & & \Rnode{min}{0} \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max}{min}
%\rput*(-2,0.65){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item% Interpréter les résultats précédents dans le contexte de l'exercice.
À partir de 2020, le nombre de tortues va décroitre régulièrement et tendre vers 0.

\item Des études permettent d'affirmer que, si le nombre de tortues à une date donnée est inférieur au seuil critique de 30 individus, alors l'espèce est vouée à l'extinction.
%Par la méthode de votre choix que vous expliquerez, déterminer cette date.

À l'aide de la calculatrice, et par essais successifs, on trouve $f(9)\approx 31>30$ et $f(10) \approx 24<30$; donc à partir de $2020+10$ soit 2030; le nombre de tortues sera inférieur au seuil critique.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill  4 points}

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple.
Pour chaque proposition, une seule réponse est exacte.

% Une réponse exacte rapporte un point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'enlève pas de point.
 
On cocher, pour chaque proposition, la réponse qui convient. %Aucune justification n'est demandée.

\begin{enumerate}

\item La taille en centimètres d'une femme en France est une variable aléatoire $X$ distribuée selon la loi normale de moyenne $\mu=163$.

95\,\% des femmes ont une taille comprise entre \np[cm]{152}  et \np[cm]{174}.

L'écart-type de la variable aléatoire, arrondi à $10^{-1}$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$\boxtimes$~~ $\blue 5,5 $ &\Square~~ $3,7 $&\Square~~ $11 $& \Square~~ $6$
\end{tabularx}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
D'après le cours, on sait que si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale de paramètres $\mu$ et $\sigma$, $P( \mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu+2\sigma) \approx 0,95$.

D'après le texte, on sait que $P(152 \leqslant X \leqslant 174) \approx 0,95$ autrement dit $P(163-11 \leqslant X \leqslant 163+11)\approx 0,95$ ou encore $P(\mu-11 \leqslant X \leqslant \mu+11)\approx 0,95$.

On peut donc estimer que $2\sigma\approx 11$ donc que $\sigma\approx 5,5$.
\end{tabular}

\item Dans une station de ski, on a constaté que la probabilité qu'il neige un jour donné est $0,6$. La station de ski est ouverte $100$ jours par an. La probabilité qu'il neige au maximum 60 jours par an, arrondie à $10^{-4}$, est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\Square~~ $\np{0,5433}$ &\Square~~ $\np{0,0812}$&$\boxtimes$~~ $\blue\np{0,5379}$ & \Square~~ $\np{0,4621}$
\end{tabularx}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de jours où il neige, suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,6$.

La probabilité qu'il neige au maximum 60 jours par an est
$P(X\leqslant 60)\approx \np{0,5379}$.
\end{tabular}

\item\ 

\begin{minipage}[]{4cm}
\psset{xunit=0.75cm,yunit=0.75cm,labelFontSize=\scriptstyle,showorigin=false}
\begin{pspicture}(-3,-5)(5,5)
\multido{\n=-2+1}{7}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](\n,-4.5)(\n,4.5)}
\multido{\n=-4+1}{9}{\psline[linewidth=0.25pt ,linecolor=lightgray,linestyle=dashed](-2.3,\n)(4.3,\n)}
% \multido{\n=-11000+1000}{22}{\psline[linewidth=0.75pt](0,\n)(50,\n) \uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psaxes[linewidth=0.95pt]{->}(0,0)(-2.7,-4.5)(4.4,4.4)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{-1.54}{3.34}{x 2.5 sub x mul 2 sub x mul 2 add}
\psplot[linewidth=0.75pt,linecolor=red,plotpoints=2500]{-1.1}{3.2}{x 2 neg mul 2 add}
\uput[u](2.9,3){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput[r](0,2){A}\uput[dl](0,0){0}\uput[u](-1,3){\red $\Delta$}
\end{pspicture}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[]{8cm}
$\mathcal{C}_f$ est la courbe  représentative d'une  fonction $f$.

$\Delta$ est la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point au point A$(0~;~2)$
\end{minipage}

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\Square~~ $f'(0)=2 $ &\Square~~ $f(2)=0 $&$\boxtimes$~~$\blue f'(0)=-2$& \Square~~ $f(0)=-2  $.
\end{tabularx}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
La tangente $\Delta$ passe par le point A\,$(0~;~2)$ et le point de coordonnées $(1~;~0)$.

Le coefficient directeur de cette tangente est d'une part $f'(0)$, et d'autre part,
$\dfrac{0-2}{1-0} = -2$.

Donc $f'(0) =-2$.
\end{tabular}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]2~;~+\infty[$ par $f(x)=\dfrac{3x-5}{x-2}$.
 Une primitive $F$ de $f$ sur $]2~;~+\infty[$ est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\Square~~ $F(x)=\dfrac{-1}{(x-2)^2} $ &$\boxtimes$~~ $\blue F(x)=\ln(x-2)+3x-5$\\
\Square~~ $ F(x)=\ln(x-2)+\dfrac{3}{2}x^2-5x$& \Square~~ une autre solution.
\end{tabularx}

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.93\linewidth}}
$f(x)=\dfrac{3x-5}{x-2} = \dfrac{3x-6+1}{x-2}
= \dfrac{3(x-2)+1}{x-2}= 3+ \dfrac{1}{x-2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$
qui a pour primitive  sur $]2~;~+\infty[$  la fonction $F$ définie par
$F(x)= \ln(x-2) +3x +k$, où $k$ est un réel quelconque.

En prenant $k=-5$, on peut dire que la fonction $F$ définie par $F(x)= \ln(x-2) +3x -5$ est une primitive de la fonction $f$ sur  $]2~;~+\infty[$.
\end{tabular}

\end{enumerate}

\end{document}