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%tapuscrit et corrigé  : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  STD2A 16 juin 2016~\decofourright}\\[4pt]\textbf{Antilles-Guyane } }
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 7 points}

\medskip

%Une entreprise d'ébénisterie spécialisée dans les meubles en acajou souhaite moderniser le logo de son enseigne. Il s'agit d'un grand A en fer forgé d'allure plutôt austère, dont on a un
%schéma ci-dessous, sur lequel ont été reportées des mesures en décimètres. On envisage d'y
%apporter deux modifications, qu'on étudie dans les parties A et B de l'exercice.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(15,9.5)
%%\psgrid
%\psline(9,1.7)(5.5,8.8)(0,0)%CBA
%\uput[r](0,0){A} \uput[u](5.5,8.8){B} \uput[r](9,1.7){C} 
%\uput[ur](8,3.7){D} \uput[ul](3.4,5.4){E} 
%\uput[ul](4.2,7.2){BE = 13} \uput[r](12,7){BE = 13 dm}
%\uput[ur](6.8,6.4){DB = 17,9} \uput[r](12,5){DB = 17,9 dm}
%\uput[d](5.7,4.3){DE = 15,8} \uput[r](12,3){DE = 15,8 dm}
%\psline(8,3.7)(3.4,5.4)(8,3.7)
%\psdots(9,1.7)(5.5,8.8)(0,0)(3.4,5.4)(8,3.7)
%\rput(8.5,0.2){Figure 1}
%\end{pspicture}
%\end{center}

\textbf{Partie A : Une planche en acajou}

\medskip

%On souhaite remplir le triangle BED avec une planche en acajou, et en connaître la masse.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %En utilisant la relation d'Al-Kashi, déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ près de l'angle $\widehat{\text{EDB}}$ en degrés.
Dans le triangle BDE, la relation d'Al-Kashi permet d'écrire :

$\text{BE}^2 = \text{BD}^2 + \text{DE}^2 - 2 \times \text{BD}\times \text{DE}\times \cos \left(\widehat{\text{BDE}} \right) \iff 13^2 = 17,9^2 + 15,8^2 - 2 \times 17,9 \times 15,8\times \cos \left(\widehat{\text{BDE}} \right) \iff 169 = 320,41 + 249,64 - 565,64\cos \left(\widehat{\text{BDE}} \right)\iff \cos \left(\widehat{\text{BDE}} \right) = \frac{ 570,05 - 169}{565,64} = \dfrac{401,05}{565,64} \approx 44,844$ soit environ 44,84\degres au centième près.
\item %La planche en acajou installée a une épaisseur de 5~cm. La masse volumique de
%l'acajou est de 0,70 kg.dm$^{-3}$. Quelle sera alors la masse de la planche au kg près ?

%\emph{On rappelle que la masse est le produit du volume par la masse volumique.}
La hauteur  [EH] issue de E dans le triangle BDE est telle que $\text{EH} = \text{DE} \times 
\cos \left(\widehat{\text{DEH}} \right)  = \text{DE} \times \sin \left(\widehat{\text{BDE}} \right) \approx 15,8 \times \sin 44,84$, soit $\text{EH} \approx 11,141$~dm.

L'aire du triangle BDE est donc égale à :

$\dfrac{\text{BD} \times \text{EH}}{2} \approx \dfrac{17,9 \times 11,141}{2} \approx 99,712$~dm$^2$.

Le volume de la planche est donc environ :

$99,712 \times 0,5 = 49,856$~dm$^3$, ce qui donne une masse de :

$49,856 \times 0,7 = \np{34,8992}$ soit 35~kg au kilo près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Prolongement du tracé}

\medskip

%On se place dans un repère orthonormé, comme présenté en annexe 1.
%
%On donne les coordonnées respectives des points A, B, C, D, E et F dans ce repère :
%
%\[\text{A}(-6~;~0)\quad \text{B}(10~;~25)\quad \text{C}(20~;~5)\quad \text{D}(18~;~9)\quad \text{E}(3~;~14)\quad \text{F}(25~;~0)\]
%
%On recherche une fonction $f$ définie sur l'intervalle [20~;~30] telle que $f(x) = ax^2 + bx + c$ où
%$a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels à déterminer de telle sorte que sa courbe représentative $\mathcal{C}_f$
%réponde aux contraintes suivantes :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item $\mathcal{C}_f$ passe par les points C(20~;~5) et F(25~;~0)
%\item (BC) est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point C.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le coefficient directeur de la droite (BC).
Le coefficient directeur de la droite (BC) est égal à :

$\dfrac{y_{\text{C}} - y_{\text{B}}}{x_{\text{C}} - x_{\text{B}}} = \dfrac{5 - 25}{20 - 10} = 
\dfrac{- 20}{10} = - 2$.
\item %Donner l'expression de $f'(x)$ , où $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
Sur l'intervalle [20~;~30], on a $f'(x) = 2ax + b$
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %En exploitant les contraintes précédentes, justifier que les coefficients $a$, $b$ et $c$ vérifient le système suivant:
		
		
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%625 a+ 25b +c 	&=&0\\
%400 a + 20 b + c&=&5\\
%40a+b			&=&- 2
%		\end{array}\right.\]
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item $\mathcal{C}_f$ passe par  C(20~;~5), donc $5 = a \times 400 + 20b + c$ ; 
\item $\mathcal{C}_f$ passe par F(25~;~0), donc $0 = 625a + 25b + c$ ;
\item (BC) est tangente à $\mathcal{C}_f$ au point C signifie que le nombre dérivé $f'(20)$ est égal au coefficient directeur de la droite (BC). Donc $f'(20) = - 2 = 2\times a \times 20 \iff 40a + b = - 2$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
Conclusion : les nombres $a$, $b$ et $c$ vérifient le système : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
625 a+ 25b +c 	&=&0\\
400 a + 20 b + c&=&5\\
40a+b			&=&- 2
		\end{array}\right.\]
		\item %Un logiciel de calcul fournit la réponse suivante : $f: x \longmapsto 0,2 x^2 - 10x + 125$.
		
%Vérifier que cette expression convient.
On a bien :

\[\left\{\begin{array}{l c l}
625 \times 0,2+ 25\times (- 10) +c 	&=&0\\
400 \times 0,2 + 20 \times (- 10) + c&=&5\\
40\times 0,2- 10			&=&- 2
		\end{array}\right. \iff 
		\left\{\begin{array}{l c l}
125 - 250 + 125 	&=&0\\
80 + - 200 + 125	&=&5\\
8 - 10				&=&- 2
		\end{array}\right.\]
Ces trois égalités sont vraies.

	\end{enumerate}
\item  %Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [20~;~30]. On dressera le tableau de variations de $f$ sur [20~;~30].
On a donc $f'(x) = 0,4x - 10$.

$\bullet~~$$0,4x - 10 > 0 \iff 0,4x > 10 \iff 4x > 100 \iff x > 25$ : sur ]25~;~30], $f'(x) > 0$, la fonction est croissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$$0,4x - 10 < 0 \iff 0,4x < 10 \iff 4x < 100 \iff x < 25$ : sur [20~;~25[, $f'(x) < 0$, la fonction est décroissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$$0,4x - 10 = 0 \iff 0,4x = 10 \iff 4x = 100 \iff x = 25$ : $f(25)$ est le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle [20~;~30].
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ ci-dessous.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&20 &21 &22 &23 &24 &25 &26 &27 &28 &29 &30\\ \hline
$f(x)$	&5	&3,2	&1,8	&0,8	&0,2	&0	&0,2	&0,8	&1,8	&3,2	&5\\ \hline

\end{tabularx}
\end{center}
		\item %Dans le repère donné en annexe 1, tracer la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle [20; 30].
Voir l'annexe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 7 points}

\medskip

%Un ébéniste doit construire un meuble pour enfant. Il s'agit d'un coffre à jouets qui, fermé,
%peut faire office de banquette et qui, ouvert, offre deux espaces de rangements.
%
%Ce meuble fermé est un parallélépipède rectangle ABCDEFGH de longueur AB = 8~dm, de
%largeur AE = 3~dm et de hauteur AD = 3~dm.
%
%Les points I et J sont les milieux respectifs de [BC] et de [AD]. Les points L et K sont deux
%points des arêtes respectives [EH] et [FG] , tels que EL = FK = 2,5~dm.
%
%On donne ci-dessous une représentation en perspective parallèle de ce coffre fermé (Figure 2)
%et une autre de ce coffre en position ouverte suivant la charnière [IJ] (Figure 3).
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{>{\centering \arraybackslash}X}}
%Figure 2 : Coffre fermé& Figure 3 : Coffre ouvert\\
%\psset{unit=0.66cm}
%\begin{pspicture}(9,4.5)
%\psframe(0.3,0.3)(7.6,3.1)%ABCD
%\psline(7.6,3.1)(8.8,3.9)%CG
%\psline(7.6,0.3)(8.8,1.1)(8.8,3.9)(1.5,3.9)(0.3,3.1)%BFGHD
%\psline[linewidth=1.1pt](0.3,1.6)(7.6,1.6)(8.8,3.3)%JIK
%\psline[linewidth=1.1pt,linestyle=dashed](8.8,3.3)(1.5,3.3)(0.3,1.6)%KLJ
%{\scriptsize \uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[d](7.6,0.3){B} \uput[dr](7.6,3.1){C} \uput[l](0.3,3.1){D} 
%\uput[ur](1.5,1.1){E} \uput[r](8.8,1.1){F} \uput[ur](8.8,3.9){G} \uput[u](1.5,3.9){H}
%\uput[dr](7.6,1.6){I} \uput[l](0.3,1.6){J} \uput[r](8.8,3.3){K} \uput[l](1.5,3.3){L}}
%\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.5,1.1)(1.5,3.9)%AEH
%\psline[linestyle=dashed](1.5,1.1)(8.8,1.1)%EF
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.66cm}
%\begin{pspicture}(9,4.5)
%\psframe(0.3,0.3)(7,0.7)%H'G'K'L'
%\psline(7,0.3)(9.1,1.6)(9.1,3.6)(2.4,3.6)(0.3,0.7)%G'FKLL'
%\psline[linewidth=1.1pt](0.3,0.7)(7,0.7)(9.1,3.6)(2.4,3.6)%L'K'KL
%\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(2.4,1.6)(2.4,3.6)%AEL
%\psline[linestyle=dashed](2.4,1.6)(9.1,1.6)%EF
%\psline[linewidth=1.1pt](1.4,2.2)(8.1,2.2)%JI
%\psline[linewidth=0.4pt](1.4,2.2)(1.4,1)(8.1,1)(8.1,2.2)%JABI
%{\scriptsize \uput[dl](0.3,0.3){H$'$}\uput[d](7,0.3){G$'$}\uput[r](7,0.7){K$'$}\uput[l](0.3,0.7){L$'$}
%\uput[r](8.1,1){B}\uput[r](9.1,1.6){F}\uput[r](9.1,3.6){K}
%\uput[u](2.4,3.6){L}\uput[l](1.4,2.2){J}\uput[l](0.3,0.7){L$'$}
%\uput[ul](1.4,1){A}\uput[ur](2.4,1.6){E}}\uput[r](8.1,2.2){I}
%\end{pspicture}
%\end{tabularx}
%\end{center}

\textbf{Partie A : Recherche de la valeur de l'angle de coupe}

\medskip

%Afin de pouvoir régler la machine pour la découpe de la pièce, on a besoin de connaîtrel'angle $\widehat{\text{CIK}}$. Pour cela, on se place dans le repère orthonormé $\left(\text{A}~;\frac{1}{8}\vect{\text{AB}},~\frac{1}{8}\vect{\text{AE}},~\frac{1}{8}\vect{\text{AD}}\right)$, représenté ci-dessous (figure 4).

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9,4.5)
%\psframe(0.3,0.3)(7.6,3.1)%ABCD
%\psline(7.6,3.1)(8.8,3.9)%CG
%\psline(7.6,0.3)(8.8,1.1)(8.8,3.9)(1.5,3.9)(0.3,3.1)%BFGHD
%\psline[linewidth=1.1pt](0.3,1.6)(7.6,1.6)(8.8,3.3)%JIK
%\psline[linewidth=1.1pt,linestyle=dashed](8.8,3.3)(1.5,3.3)(0.3,1.6)%KLJ
%{\scriptsize \uput[dl](0.3,0.3){A} \uput[d](7.6,0.3){B} \uput[dr](7.6,3.1){C} \uput[l](0.3,3.1){D} 
%\uput[ur](1.5,1.1){E} \uput[r](8.8,1.1){F} \uput[ur](8.8,3.9){G} \uput[u](1.5,3.9){H}
%\uput[dr](7.6,1.6){I} \uput[l](0.3,1.6){J} \uput[r](8.8,3.3){K} \uput[l](1.5,3.3){L}}
%\psline[linestyle=dashed](0.3,0.3)(1.5,1.1)(1.5,3.9)%AEH
%\psline[linestyle=dashed](1.5,1.1)(8.8,1.1)%EF
%\multido{\n=0.3000+0.9125}{9}{\psline(\n,0.25)(\n,0.35)}
%\multido{\n=0.300+0.933}{4}{\psline(0.25,\n)(0.35,\n)}
%
%\end{pspicture}
%Figure 4
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Donner sans justification les coordonnées des points F et H.
On lit F(8~;~3~;~0) et H(0~;~3~;~3).
\item  %On admet que :

%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] I a pour coordonnées (8~;~0~;~1,5)
%\item[$\bullet~~$] K a pour coordonnées (8~;~3~;~2,5)
%\item[$\bullet~~$] C a pour coordonnées (8~;~0~;~3)
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{IC}}$ et $\vect{\text{IK}}$.
On a $\vect{\text{IC}}\begin{pmatrix}8 - 8\\0 - 0\\3 - 1,5\end{pmatrix}$, donc $\vect{\text{IC}}\begin{pmatrix}0\\0\\1,5\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{IK}}\begin{pmatrix}8 - 8\\3 - 0\\2,5 - 1,5\end{pmatrix}$, donc $\vect{\text{IK}}\begin{pmatrix}0\\3\\1 \end{pmatrix}$.
		\item %Calculer le produit scalaire $\vect{\text{IC}} \cdot  \vect{\text{IK}}$.
On en déduit que $\vect{\text{IC}} \cdot  \vect{\text{IK}} = 0 + 0 + 1,5 = 1,5$.
		\item %En déduire la valeur exacte du cosinus de l'angle $\widehat{\text{CIK}}$, puis la valeur arrondie au degré près de cet angle.
On a $\text{IK}^2 = 1^2 + 3^2 = 1 + 9 = 10$, d'où $\text{IK} = \sqrt{10}$. 
	On sait que le produit scalaire peut aussi s'écrire :
		
$\vect{\text{IC}} \cdot  \vect{\text{IK}} = \text{IC} \times \text{IK} \times \cos \left(\widehat{\text{CIK}}\right) \iff 1,5 = 1,5 \times \sqrt{10} \times \cos \left(\widehat{\text{CIK}}\right) \iff \cos \left(\widehat{\text{CIK}}\right) = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{CIK}} \approx 71,56$ soit environ 72\degres{} au degré près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Représentation du meuble en perspective centrale}

%\medskip
%
%L'objectif de cette partie est de représenter ce meuble en position ouverte (figure 3) en
%perspective centrale. Dans cette représentation en perspective centrale, on note a, b, e, f, g$'$,
%h$'$, i, j, k, k$'$, l et l$'$ les images respectives des points A, B, E, F, G$'$, H$'$, l, J, K, K$'$, L et L$'$.
%
%Sur l'annexe 2, les points a, b, i, f et k ont été placés et la ligne d'horizon a été tracée.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Construire le point \texttt{e}.
Les droites (BF) et (AE) sont parallèles, donc leurs représentations (\texttt{bf}) et (\texttt{ae}) sont sécantes en un point de la droite d'horizon.

Les droites (AB) et (EF) étant frontales leurs représentations (\texttt{ab}) et (\texttt{ef}) sont parallèles.

Donc la droite (\texttt{bf})  coupe la droite d'horizon au point d'horizon (\texttt{n}).

Le point (\texttt{e}) est le point commun à la droite (\texttt{an}) et à la parallèle à (\texttt{ab}) contenant (\texttt{f}).    
\item %B est le milieu de [FG$'$] (voir la figure 3 représentant le coffre ouvert) : le point \texttt{b} sera-t-il le milieu du segment [\texttt{fg}$'$] ? Justifier.
Les droites (G$'$F) et (H$'$E) étant parallèles leurs représentations (\texttt{g}$'$\texttt{f}) et (\texttt{h}$'$\texttt{e}) sont sécantes au point de fuite \texttt{n}. Sur ces droites les proportions ne sont pas respectées, donc le point \texttt{b} n'est pas  le milieu du segment [\texttt{fg}$'$].
\item  %Que peut-on dire des droites (\texttt{be}) et (\texttt{g}$'$\texttt{a}) ? Justifier.

%En déduire une construction du point \texttt{g}$'$.
Les droites (BE) et (G$'$A) sont parallèles donc les droites (\texttt{be}) et (\texttt{g}$'$\texttt{a}) sont sécantes en un point \texttt{p} sur la droite d'horizon.

On trace donc la droite (BE) qui coupe la droite d'horizon en \texttt{p}.

Le point \texttt{g}$'$ est le point commun aux droites (\texttt{pe}) et (\texttt{bf}.
\item  Terminer, sur l'annexe 2, la représentation de ce meuble en position ouverte.

On soignera le tracé et on laissera apparents les traits de construction.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\medskip

%On souhaite décorer un meuble avec un motif qui renvoie à un univers d'enfant : on pense à
%une fleur.
%
%Un pétale de fleur est donné par l'ellipse $\mathcal{E}$ dessinée ci-dessous (figure 5), et dont les points
%R, S, T et U sont les sommets.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(14,7)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](\n,0)(\n,7)}
\multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(14,7)
\psline(6,0)(6,6) \psline(1,3)(11,3)
\psellipse(6,3)(5,3)\uput[ur](11,3){R} \uput[l](1,3){T}
\uput[u](6,6){U}\uput[ur](6,0){S}
%\def\petale{\psset{unit=0.5cm}\psellipse(0,0)(5,3)}
%\multido{\n=0+60}{6}{\rput{\n}(11,3){\petale}}
\uput[r](12,5){R(11~;~3)}
\uput[r](12,4){S(6~;~0)}
\uput[r](12,3){T(1~;~3)}
\uput[r](12,2){U(6~;~6)}
\uput[ur](6,3){V}
\uput[d](7,-0.8){Figure 5}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A : Une fleur à quatre pétales}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner une équation cartésienne de l'ellipse $\mathcal{E}$.
On sait qu'une équation de $\mathcal{E}$, centrée en (6~;~3) et d'axes 5 et 3 est :

$\dfrac{(x - 6)^2}{5^2} + \dfrac{(y - 3)^2}{3^2} = 1$.
\item %Le deuxième pétale de cette fleur est l'ellipse $\mathcal{F}$ d'équation : $\dfrac{(x - 11)^2}{9} + \dfrac{(y + 2)^2}{25} = 1$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point R de coordonnées (11~;~3) est un point commun aux
%ellipses $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$.
R$(11~;~3) \in \mathcal{E} \iff \dfrac{(11 - 6)^2}{5^2} + \dfrac{(3 - 3)^2}{3^2} = 1 \iff \dfrac{(5)^2}{5^2}  = 1$ : égalité vraie ;

R$(11~;~3) \in \mathcal{F} \iff \dfrac{(11 - 11)^2}{9} + \dfrac{(3 + 2)^2}{25} = 1 \iff \dfrac{5^2}{5^2}  = 1$ : égalité vraie.

Le point F est commun aux deux ellipses $\mathcal{E}$ et $\mathcal{F}$.
		\item %Préciser les coordonnées du centre W de l'ellipse $\mathcal{F}$.
		
%Sur l'annexe 3, placer le point W.
On a W$(11~;~- 2)$. Voir le tracé de l'ellipse sur l'annexe.
		\item %Déterminer une transformation qui permet d'obtenir l'ellipse $\mathcal{F}$ à partir de l'ellipse $\mathcal{E}$. On précisera le ou les éléments caractéristiques de cette transformation.
On passe de $\mathcal{E}$ à $\mathcal{F}$ par la rotation de centre R et d'angle 90\degres.
		\item %Déterminer les valeurs exactes des abscisses des points d'intersection de $\mathcal{F}$ avec l'axe des abscisses.
		Les points de $\mathcal{F}$ communs à l'axe des abscisses ont une ordonnée nulle ; leurs abscisses vérifient donc :
		
$\dfrac{(x - 11)^2}{9} + \dfrac{(0 + 2)^2}{25} = 1 \iff \dfrac{(x - 11)^2}{9} = 1 - \dfrac{4}{25} \iff \dfrac{(x - 11)^2}{9} = \dfrac{21}{25} \iff (x - 11)^2 = \dfrac{189}{25} \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x - 11&=&\sqrt{\frac{189}{25}}\\
x - 11&=&- \sqrt{\frac{189}{25}}
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&11 + \sqrt{\frac{189}{25}}\approx 13,75\\
x &=&11 - \sqrt{\frac{189}{25}}\approx 8,25
\end{array}\right.$
		
On vérifie ces résultats sur la figure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Une fleur à six pétales}

%\medskip
%
%\parbox{0.7\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
%\begin{pspicture}(-1,-6)(21,12)
%\multido{\n=0+2}{11}{\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](\n,-6)(\n,12)}
%\multido{\n=-4+2}{9}{\psline[linewidth=0.4pt,linestyle=dashed](0,\n)(21,\n)}
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,-6)(21,12)
%\psline(6,0)(6,6) \psline(1,3)(11,3)
%\psellipse(6,3)(5,3)\uput[ur](11,3){R} \uput[l](0,3){A}
%\pscircle(11,3){5}
%\rput(11,3){\psellipse(5,0)(5,3)}
%\rput{60}(13.5,7.33){\psellipse(0,0)(5,3)}
%\rput{120}(8.5,7.33){\psellipse(0,0)(5,3)}
%\rput{240}(8.5,-1.33){\psellipse(0,0)(5,3)}
%\rput{300}(13.5,-1.33){\psellipse(0,0)(5,3)}
%\uput[d](10,-5.5){Figure 6}
%\end{pspicture}}\hfill \parbox{0.25\linewidth}{Les points A et R ont
%pour coordonnées :
%
%A(0~;~3)
%
%R(11~;~3)\vspace{5cm}}
%
%\vspace{1cm}
%
%
%On préfère finalement une fleur à six pétales (figure 6).

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle transformation, appliquée de façon répétée, permet d'obtenir cette fleur à six pétales à partir de l'ellipse $\mathcal{E}$ ?
On fait cinq rotations de centre R et de 60 \degres de l'ellipse $\mathcal{E}$.
\item %On souhaite reproduire ce motif en utilisant un pavage hexagonal.
	\begin{enumerate}
		\item %Sur l'annexe 4, on a représenté la fleur obtenue à la question 1, ainsi que les points R et A.

%Construire au compas l'hexagone régulier de centre R, admettant le point A pour sommet. On appellera cet hexagone ABCDEF et on laissera apparents les traits de construction.
Voir la figure.
%Cet hexagone encadre la fleur grisée et l'ensemble constitue le motif \og fleur \fg.
		\item %Par quelle(s) translation(s) peut-on réaliser le pavage présenté en annexe 4 ? En exprimer les éléments caractéristiques à l'aide des points A, B, C, D, E, F ou R, ettracer en annexe 4 un représentant des vecteurs en question.
Pour paver le plan on peut utiliser les translations de vecteurs $3\vect{\text{AR}}$, $\vect{\text{BF}}$ et $2\vect{\text{AF}}$. Voir l'annexe.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 1 - Exercice 1 (à rendre avec la copie)}

\bigskip

\psset{unit=0.425cm}
\begin{pspicture}(-7,-1)(33,27)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridwidth=0.5pt,griddots=5](-7,-1)(33,26)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-7,-1)(33,26)
\psdots(-6,0)(10,26)(20,5)(18,9)(3,14)%ABCDE
\uput[ul](-6,0){A} \uput[u](10,26){B} \uput[d](20,5){C} \uput[ur](18,9){D} \uput[ul](3,14){E} 
\psline(20,5)(18,9)
\psline(-6,0)(3,14)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=cyan](10,26)(18,9)(3,14)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{20}{30}{x dup mul 0.2 mul 10 x mul sub 125 add}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\newpage

%\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 - Exercice 2 (à rendre avec la copie)}

\medskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(0,-15)(18,22)
%\psgrid
\psdots(2.3,15)(5.6,15)(7.15,13)(4.35,7.3)(4.5,13)%kfbai
\psline(2.3,15)(5.6,15)(7.15,13)(4.35,7.3)%kfba
\psline(7.15,13)(4.5,13)%bi
\rput{90}(2.,15.4){\texttt{k}}
\rput{90}(5.8,15.3){\texttt{f}}
\rput{90}(7.65,13){\texttt{b}}
\rput{90}(4.15,6.8){\texttt{a}}
\rput{90}(4.5,13.4){\texttt{i}}
\rput{90}(17.1,0.5){\texttt{g}$'$}
\rput{90}(3.1,11){\texttt{e}}
\rput{90}(0.7,9.19){\texttt{p}}
\psline(1,0)(1,25)
\rput{90}(0.7,12.5){ligne d'horizon}
\psline(1,21)(5.6,15)(10.2,9)(14.8,3)(19.4,-3)%fn
\rput{90}(0.7,21){\texttt{n}}
\psline(4.35,7.3)(1,21)%an
\psline(5.6,15)(3.51,10.74)%fe
%\psline[linecolor=red](5.6,15)(2.8,9.3)
\psline(7.15,13)(1,9.19)%bep
\psline(1,9.19)(4.35,7.3)(7.7,5.41)(11.05,3.52)(14.4,1.63)(17.75,-0.26)
\psline(1,21)(7.7,-6.4)(14.3,-33.8)
\psline(16.9,0.2)(14.1,-5.5)(11.3,-11.2)(8.5,-16.9)
\psline(16.9,0.2)(14,0.2)
\psline(2.3,15)(18.58,0.2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe 3 - Exercice 3 à rendre avec la copie}
\medskip

\psset{unit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-7,-9)(28,12.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=,gridwidth=0.5pt,griddots=5](-7,-9)(28,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(-7,-9)(28,12)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=2](0,0)(0,0)(28,12)
\psline(6,0)(6,6) \psline(1,3)(11,3)
\psellipse[fillcolor=lightgray](6,3)(5,3)\uput[ur](11,3){R} \uput[l](0,3){A}
\uput[dr](11,-2){W}
\uput[u](6,6){U}\uput[ul](1,3){T} \uput[ur](6,0){S}\uput[ur](6,3){V}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.4](11,3)(0,3)(6,6)(1,3)(6,0)(6,3)(11,-2)
\psellipse(11,-2)(3,5)
%\psset{origin={11,3}}
%\multido{\n=30+60}{7}{\rput{\n}(0,0){\psellipse(0,0)(3,5)}}
\multido{\n=30+60}{6}{\psrotate(11,3){\n}{\psellipse(6,3)(5,3)}}
\end{pspicture}
\vspace{1cm}

\textbf{Annexe 4 - Exercice 3 à rendre avec la copie}

\bigskip

\psset{unit=0.13cm}
\begin{pspicture*}(-10,-30)(90,30)
%\psgrid
\uput[ur](11,0){R} \uput[l](0,0){A}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.4](11,0)(0,0)
\psset{origin={11,0}}
{\pspolygon(11;0)(11;60)(11;120)(11;180)(11;240)(11;300)
\uput[r](22;0){D} \uput[ur](20;28){E} \uput[ul](11;60){F} \uput[dl](20;-28){C} \uput[dr](11;-60){B} }
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{->}(-11,0)(22,0)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{->}(11;-60)(11;60)
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt]{->}(-5.5,-9.5)(5.5,9.5)
\psset{origin={0,0}}

\def\fleur1{\psset{unit=0.15cm}
\rput(0,0){\psellipse(5,0)(5,3)}
\rput{60}(2.5,4.33){\psellipse(0,0)(5,3)}
\rput{120}(-2.5,4.33){\psellipse(0,0)(5,3)}
\rput{180}(-5,0){\psellipse(0,0)(5,3)}
\rput{240}(-2.5,-4.33){\psellipse(0,0)(5,3)}
\rput{300}(2.5,-4.33){\psellipse(0,0)(5,3)}}
\rput(-24,0){\fleur1}
\rput(-24,-20){\fleur1}
\rput(-24,-40){\fleur1}
\rput(11,0){\fleur1}
\rput(46,0){\fleur1}
\rput(81,0){\fleur1}
\rput(-24,20){\fleur1}
\rput(11,20){\fleur1}
\rput(46,20){\fleur1}
\rput(81,20){\fleur1}
\rput(-6.5,30){\fleur1}
\rput(-6.5,10){\fleur1}
\rput(-6.5,-10){\fleur1}
\rput(-6.5,-30){\fleur1}
\rput(28.5,10){\fleur1}
\rput(63.5,10){\fleur1}
\rput(98.5,10){\fleur1}
\rput(28.5,30){\fleur1}
\rput(63.5,30){\fleur1}
\rput(98.5,30){\fleur1}
\rput(11,-20){\fleur1}
\rput(46,-20){\fleur1}
\rput(81,-20){\fleur1}
\rput(28.5,-10){\fleur1}
\rput(63.5,-10){\fleur1}
\rput(98.5,-10){\fleur1}
\rput(28.5,-30){\fleur1}
\rput(63.5,-30){\fleur1}
\rput(98.5,-30){\fleur1}
\rput(-24,30){\fleur1}

%\psset{origin=11,3}}\pspolygon(11;0)(11;60)(11;120)(11;180)(11;240)(11;300)
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}