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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STD2A},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  STD2A  ~\decofourright}\\[5pt] \textbf{Métropole--La Réunion 18 juin 2019}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 9 points}

\medskip

%\parbox{0.7\linewidth}{Le mobilier national a présenté en 2017 une exposition
%intitulée \og Sièges en Société, du Roi-Soleil à Marianne \fg{} à la galerie des Gobelins.
%
%L'objectif de cet exercice est d'étudier une modélisation mathématique du profil d'un rocking-chair présenté lors de l'exposition.}\hfill
%\parbox{0.28\linewidth}{\includegraphics[width=4cm]{rocking}
%}
%
%\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.07cm}
%\begin{pspicture}(100,125)
%\psarc[linewidth=1.25pt](75,25){25}{0}{90}
%%\psdots(0,125)(0,25)(100,25)(75,50)(75,25)(50,0)(50,50)
%%\psellipse[linecolor=red](50,25)(50,25)
%\parametricplot[linewidth=1.25pt,plotpoints=2000]{-180}{0}{t cos 50 mul 50 add t sin 25 mul 25 add}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0}{75}{x dup mul 31 mul 300 div 5.375 x mul sub 125 add x 3 exp 0.0006 mul sub}
%\rput(50,15){arc d'ellipse}\rput(80,70){arc de cercle}\rput(50,100){Courbe représentative} \rput(50,90){d'une fonction}\psline{->}(30,95)(10,85)
%\psline{->}(80,65)(80,50)\psline{->}(50,13)(50,2)
%\end{pspicture}
%}
%\hfill 
%\parbox{0.38\linewidth}{On envisage pour cette modélisation de
%raccorder, comme représentés ci-contre, un
%arc d'ellipse $\mathcal{E}$, un arc de cercle $\mathcal{C}$, et la
%courbe représentative $\mathcal{L}$ d'une fonction.}
%
%\bigskip
%
%On souhaite représenter cette modélisation dans \textbf{l'annexe 1 à rendre avec la copie.}
%
%Dans le plan muni d'un repère orthonormé \Oij{}, on considère les points :
%
%\[\text{A}(0~;~125), \text{B}(0~;~25), \text{C}(100~;~25), \text{D}(75~;~50) \:\text{et }\: \text{E}(75~;~25)\]
%
%\bigskip

\textbf{Partie A : l'arc de cercle }\boldmath $\mathcal{C}$\unboldmath

\medskip

%Une représentation paramétrique de l'arc $\mathcal{C}$ est : $\left\{\begin{array}{l c l}
%x&=&75 + 25\cos t\\
%y&=&25 + 25\sin t
%\end{array}\right. ; t \in \left[0~;~\frac{\pi}{2}\right]$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Préciser le centre et le rayon de l'arc de cercle $\mathcal{C}$.
Le centre du cercle a pour coordonnées (75~;~25), c'est le point E et son rayon est égal à 25.
\item %Vérifier que le point D appartient à l'arc de cercle $\mathcal{C}$.
Pour $t = \dfrac{\pi}{2}$, on a $x = 75 + 0 = 75$ et $y = 25  25 = 50$. Donc D(75~;~50) appartient bien à l'arc de cercle.
\item %Tracer \textbf{sur l'annexe 1 à rendre avec la copie}, l'arc de cercle $\mathcal{C}$.
Pour $t = 0$, on obtient le point de coordonnées $x = 75 + 25 = 100$ et $y = 25 + 0 = 25$ : c'est le point C. L'arc de cercle est donc limité par les points C et D.

Voir l'annexe 1.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer, \textbf{sur l'annexe 1 à rendre avec la copie}, la tangente $(T)$ à cet arc de cercle $\mathcal{C}$, au point D.
Voir l'annexe.
		\item %Quel est le coefficient directeur de la droite $(T)$ ? Expliquez votre réponse sur votre copie.
La tangente est horizontale, donc son coefficient directeur est égal à $0$.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : l'arc d'ellipse }\boldmath $\mathcal{E}$\unboldmath

\medskip

%On considère les points F(50~;~0) et F$'$(50~;~50). Et on note $\mathcal{E}$ l'ellipse dont les axes sont les segments [BC] et [FF$'$].

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer une équation cartésienne de l'ellipse $\mathcal{E}$.
Avec les données on sait qu'une équation cartésienne de l'ellipse est :

\[\dfrac{(x - 50)^2}{50^2} + \dfrac{(y - 25)^2}{25^2} = 1\:\quad \text{ou} \quad \dfrac{(x - 50)^2}{\np{2500}} + \dfrac{(y - 25)^2}{625} = 1.\]

\item %L'arc $\mathcal{E}$ est la demi-ellipse de $\mathcal{E}$ d'extrémités B et C et contenant le point F. Sur \textbf{l'annexe 1 à rendre avec la copie}, tracer une esquisse de l'arc $\mathcal{E}$.
Voir l'annexe.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : La courbe }$\mathcal{L}$

\medskip

%La courbe  $\mathcal{L}$ est la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~75] par:
%
%\[f(x) = \np{-0,0006}x^3 + ax^2 + bx + c , \:\text{où } a, b \:\text{et }\: c\:\: \text{sont des réels à déterminer}.\]
%
%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On souhaite que la courbe $\mathcal{L}$ passe par le point A. Montrer alors que $c = 125$.
A$(0~;~125) \in \mathcal{L} \iff 0 + 0 + 0 + 125 = c$, donc $c = 125$.
\item  %Déterminer l'expression de la fonction $f'$.
On a $f'(x) = 3\times (\np{-0,0006})x^2 + 2ax + b = \np{- 0,0018}x^2 + 2ax + b$.
\item  %Le point D est le point de raccordement de la courbe $\mathcal{L}$ avec l'arc de cercle $\mathcal{C}$. On souhaite que les contraintes suivantes soient vérifiées au point D :

%\setlength\parindent{15mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] la courbe $\mathcal{L}$ passe par D ;
%\item[$\bullet~~$] la droite $(T)$ de la partie A est tangente à la courbe $\mathcal{L}$ au point D.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les réels $a$ et $b$ vérifient le système de deux équations à deux inconnues suivant :

%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%75a + b	&=&2,375\\
%150a + b	&=&10,125
%\end{array}\right.\]
$\bullet~~$La courbe $\mathcal{L}$ passe par D si $50 = \np{-0,0006}\times 75^3 + a\times 75^2 + 75b + 125$, donc si $0 = \np{-0,0006}\times 75^3 + a\times 75^2 + 75b + 75$ ou en simplifiant par 75 

$0 = \np{-0,0006}\times 75^2 + a\times 75 + b + 1$ ou $0 = - 3,375 + 75a + b +1 $ et enfin $75a + b = 2,375$.

$\bullet~~$On a vu que la tangente au point D est la droite $(T)$ qui horizontale donc de coefficient directeur nul. On a doit donc avoir $f'(75) = 0$ soit 

$\np{- 0,0018} \times 75^2 + 2a\times 75 + b = 0 $ et enfin $150a + b = 10,125$.
		\item %Calculer $a$ et $b$.
		
$\left\{\begin{array}{l c l}
75a + b	&=&2,375\\
150a + b&=&10,125
\end{array}\right.$ entraîne $\left\{\begin{array}{l c l}
b		&=&2,375 - 75a\\
150a + b&=&10,125
\end{array}\right.$ 

et en remplaçant dans la seconde équation

$150a + 2,375 - 75a = 10,125 $, d'où $75a = 7,75$ et 

$a = \dfrac{7,75}{75} = \dfrac{775}{\np{7500}} = \dfrac{25 \times 31}{25 \times 300} = \dfrac{31}{300}$.

On en déduit $b = 2,375 - 75a = 2,375 - 75 \times \dfrac{31}{300} = 2,375 - \dfrac{75 \times 31}{75 \times 4} = $

$2,375 - \dfrac{31}{4} = 2,375 - 7,75 = - 5,375$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	

On admet dans la suite de l'exercice que :

\[f(x) = \np{- 0,0006}x^3 + 300 x^2 - 5,375x + 125\:\text{ sur l'intervalle }\:[0~;~75].\]


\begin{enumerate}[resume]
		\item Sur l'annexe 1 à rendre avec la copie, compléter le tableau de valeurs de la fonction $f$ (on arrondira les valeurs à l'unité). Puis tracer une esquisse de la courbe $\mathcal{L}$.
		\item Le rocking chair est posé au sol et adossé à un mur. La courbe $\mathcal{L}$ modélise le profil de l'assise du rocking chair et le point F modélise le point de contact avec le sol. Le point le plus bas du profil de l'assise du rocking chair est-il plus proche du mur que le point de contact avec le sol ?

(\emph{Dans cette question, on veillera à faire figurer sur la copie toute trace de recherche même incomplète.})
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.}

%Pour chacune des questions, \textbf{une seule des quatre réponses proposées est correcte}.
%
%\emph{Pour chaque question, indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère un triangle ABC tel que AB $= 6$ cm, BC $= 7$ cm et $\widehat{\text{ABC}} = 50\degres$.

%Une valeur approchée de la longueur AC est :
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 7,2 cm &\textbf{b.~~} 7,6 cm &\textbf{c.~~} 5,6 cm &\textbf{d.~~} 11,8 cm\\
%\end{tabularx}
On a :

$\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 - 2\text{AB}\text{BC}\cos \widehat{\text{ABC}}$

$\text{AC}^2 = 6^2 + 7^2 - 2\times 6 \times 7 \cos 50 = 36 + 49 - 84 \cos 50 \approx 31,01$, d'où  $\text{AC} \approx \sqrt{31,01} \approx 5,57 \approx 5,6$.
\medskip

\item  La valeur exacte de la solution de l'équation $3\log x + 2 = 0$ est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $0,22$ &\textbf{b.~~} $10^{\frac{2}{3}}$ &\textbf{c.~~} 4,64&
%\textbf{d.~~} $10^{-\frac{2}{3}}$\\
%\end{tabularx}
On a $3\log x + 2 = 0 \iff 3\log x = - 2 \iff \log x = - \dfrac{2}{3}$.

Or par définition : $\log x = - \dfrac{2}{3} \iff x =  10^{- \frac{2}{3}}$.
\medskip

\item  On souhaite réaliser un pavage à l'aide de tomettes, composées de six triangles équilatéraux de côté 5 cm. La valeur exacte de l'aire en cm$^2$ d'une tomette est :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~}$\dfrac{75}{2}\sqrt{3}$&\textbf{b.~~} 64 &\textbf{c.~~}$\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$
%&\textbf{d.~~}150\\
%\end{tabularx}
L'aire d'un triangle est $ \dfrac{5 \times 5\frac{\sqrt{3}}{2}}{2}$, donc l'aire de la tomette est égale à :

$6 \times \dfrac{5 \times 5\frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = 75\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Réponse a.
\medskip

\item 

%\parbox{0.68\linewidth}{ Parmi les 4 pavages ci-dessous, le pavage obtenu par une symétrie centrale suivie de translations à partir du motif ci-contre est :}\hfill 
%\parbox{0.20\linewidth}{
%\psset{unit=1cm}\begin{pspicture}(1,1)
%\psframe(1,1)\rput(0,1){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{0.5}{-90}{0}}
%\rput(0.5,0){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0.5)}
%\end{pspicture}
%}
%
%\medskip
%\psset{unit=1.5cm}
%\def\quarta{\psframe(1,1)\rput(0,1){\pswedge[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{0.5}{-90}{0}}
%\rput(0.5,0){\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.5,0.5)}}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~}\psset{unit=1.cm}\begin{pspicture}(4,2)
%\psframe(4,2)
%\rput(0,1){\quarta}\rput(2,1){\quarta}
%\rput{-90}(3,2){\quarta}\rput{-90}(1,2){\quarta}
%\rput{90}(1,0){\quarta}\rput{90}(3,0){\quarta}
%\rput{180}(2,1){\quarta}\rput{180}(4,1){\quarta}
%\end{pspicture}&\textbf{b.~~}\psset{unit=1.cm}\begin{pspicture}(4,2)
%\psframe(4,2)
%\rput(0,1){\quarta}\rput(1,1){\quarta}
%\rput(2,1){\quarta}\rput(3,1){\quarta}
%\rput(0,0){\quarta}\rput(1,0){\quarta}
%\rput(2,0){\quarta}\rput(3,0){\quarta}
%\end{pspicture}\\
%\textbf{c.~~} \psset{unit=1.cm}\begin{pspicture}(4,2)
%\psframe(4,2)
%\rput(0,1){\quarta}\rput(2,1){\quarta}
%\rput{-90}(3,2){\quarta}\rput{-90}(1,2){\quarta}
%\rput(0,0){\quarta}\rput(2,0){\quarta}
%\rput{-90}(3,1){\quarta}\rput{-90}(1,1){\quarta}
%\end{pspicture}&\textbf{d.~~}\psset{unit=1.cm}\begin{pspicture}(4,2)
%\psframe(4,2)
%\rput(0,1){\quarta}\rput(1,1){\quarta}
%\rput(2,1){\quarta}\rput(3,1){\quarta}
%\rput{180}(1,1){\quarta}\rput{180}(2,1){\quarta}
%\rput{180}(3,1){\quarta}\rput{180}(4,1){\quarta}
%\end{pspicture}\\
%\end{tabularx}
Réponse : d.
\medskip

\item %Dans un repère orthonormé du plan, les coordonnées des points d'intersection de l'axe des ordonnées et de l'ellipse d'équation $\dfrac{(x-1)^2}{9} + \dfrac{(y + 2)^2}{8} = 1$, sont :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $\left(0~;~1 - \dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)$ et $\left(0~;~1 + \dfrac{3}{\sqrt{2}}\right)$
%&\textbf{b.~~} $\left(0~;~- \dfrac{14}{3}\right)$ et $\left(0~;~\dfrac{2}{3}\right)$\\
%\textbf{c.~~} $\left(1 - \dfrac{3}{\sqrt{2}}~;~0\right)$ et $\left(1 + \dfrac{3}{\sqrt{2}}~;~ 0\right)$&
%\textbf{d.~~} $\left(- \dfrac{14}{3}~;~0\right)$ et $\left(\dfrac{2}{3}~;~0\right)$\\
%\end{tabularx}
Avec $x= 0$, l'équation donne :

$\dfrac{1}{9} + \dfrac{(y + 2)^2}{8} = 1$, soit $\dfrac{(y + 2)^2}{8} = \dfrac{8}{9}$ ou

$(y + 2)^2 = \dfrac{64}{9}$, puis $(y + 2)^2 = \left\dfrac{8}{3}\right)^2$ et 

$(y + 2)^2 - \left\dfrac{8}{3}\right)^2 = 0 $ soit $\left(y + 2 + \dfrac{8}{3} \right)\left(y + 2 - \dfrac{8}{3} \right) = 0$ et enfin $\left(y 
+ \dfrac{14}{3} \right)\left(y  - \dfrac{2}{3} \right) = 0$

Cette équation a deux solutions : $-  \dfrac{14}{3}$ et $\dfrac{2}{3}$ : réponse b.
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\medskip

%\parbox{0.7\linewidth}{Un parfumeur souhaite un flacon original pour son nouveau parfum.
%
%Un verrier lui propose un flacon modélisé par une pyramide représentée ci-contre.}\hfill
%\parbox{0.28\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,0)(3.5,4)
%\psline(0,0.5)(0.6,0)(1.7,0)(3,0.4)(1.5,3.4)(1.7,0)
%\psline(0.6,0)(1.5,3.4)(0,0.5)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0,0.5)(1.2,1)(2.4,1)(3,0.4)
%\psline[linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2.4,1)(1.5,3.4)(1.2,1)
%\end{pspicture}
%}
%
%\medskip
%
%On donne ci-après une représentation en perspective parallèle de cette pyramide notée SA$'$B$'$C$'$D$'$E$'$F$'$.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,linewidth=0.5pt}
%\begin{pspicture}(5.5,5.5)
%%\psgrid
%\psline[linestyle=dotted](0.2,0.2)(1.5,1.5)(1.5,5.2)
%\psline[linestyle=dotted](1.5,1.5)(5.2,1.5)
%\psframe(0.2,0.2)(3.9,3.9)%ABFE
%\psline(3.9,0.2)(5.2,1.5)(5.2,5.2)(3.9,3.9)%BCGF
%\psline(5.2,5.2)(1.5,5.2)(0.2,3.9)%GHE
%\uput[d](0.2,0.2){A} \uput[d](3.9,0.2){B} \uput[ur](5.2,1.5){C} 
%\uput[ul](1.5,1.5){D} \uput[l](0.2,3.9){E} \uput[r](3.9,3.9){F} 
%\uput[r](5.2,5.2){G} \uput[ul](1.5,5.2){H} 
%\uput[d](1.5875,0.2){A$'$} 
%\uput[d](2.975,0.2){B$'$} 
%\uput[r](4.55,0.85){C$'$} \uput[ul](4.075,1.5){D$'$} 
%\uput[ur](2.6875,1.5){E$'$} \uput[l](0.85,0.85){F$'$}
%\uput[u](2.7,4.55){S} 
%\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](2.7,4.55)(0.85,0.85)(1.5875,0.2)(2.7,4.55)(2.975,0.2)(4.55,0.85)(2.7,4.55) 
%\psline[linecolor=blue,linewidth=1.5pt](1.5875,0.2)(2.975,0.2)
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](0.85,0.85)(2.6875,1.5)(4.075,1.5)(4.55,0.85)%F'E'D'C'
%\psline[linecolor=blue,linestyle=dotted,linewidth=1.5pt](2.8875,1.5)(2.7,4.55)(4.075,1.5)%E'SD'
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item La pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$E$'$F$'$ est inscrite dans un cube ABCDEFGH d'arête 8 cm.
%\item Le sommet S de la pyramide est le centre de la face EFGH du cube.
%\item La base A$'$B$'$C$'$D$'$E$'$F$'$ de cette pyramide est contenue dans la face ABCD du cube.
%\item Les points C$'$ et F$'$ sont les milieux respectifs des segments [BC] et [AD].
%\item Les points A$'$ et B$'$ appartiennent au segment [AB].
%\item Les points D$'$et E$'$ appartiennent au segment [CD].
%\item Et AA$'$ = A$'$ B$'$ = CD$'$ = E$'$D$'$ = 3 cm.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}

\bigskip

\textbf{Partie A : Étude de la pyramide}

\medskip

%On munit l'espace du repère orthonormé $\left(\text{A}~;~\vect{\imath}, \vect{\jmath}, \vect{k}\right)$ d'origine A et d'unité 1 cm, tel que :
%
%\[\vect{\imath}= \dfrac{1}{8}\vect{\text{AB}}\:;\quad \vect{\jmath}= \dfrac{1}{8}\vect{\text{AD}}\:;\quad \text{et}\:\:\vect{k}= \dfrac{1}{8}\vect{\text{AE}}.\]
%
%Ainsi, dans ce repère le point G a pour coordonnées (8~;~8~;~8) et le point C a pour coordonnées (8~;~8~;~0).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner les coordonnées de chacun des points S, A$'$, B$'$ et C$'$ dans ce repère.
On a E(0~;~0~;~8), G(8~;~8~;~8). S est le milieu de [EG], donc S(4~;~4~;~8).

A$'(3~;~0~;~0)$, B$'(6~;~0~;~0)$.

B(8~;~0~;~0) et C(8~;~8~;~0) et C' est le milieu de [BC], donc C$'(8~;~4~;~0)$

\item %Calculer B$'$C$'$. La base de la pyramide est-elle un polygone régulier ? (Justifier)
On a B$'\text{B} = 8 - 3 - 3 = 2$ et BC$' = 4$.
Le triangle B$'$BC$'$ est rectangle en B, donc d'après Pythagore :

B$'$C$'^2 = \text{B}'\text{B}^2 + \text{BC}'^2 = 2^2 + 3^2 = 13$, d'où B$'$C$' = \sqrt{13}$.

Comme A$'$B$' = 3$ et B$'$C$' = \sqrt{13}$ et que $3 \ne \sqrt{13}$ (les carrés sont 9 et 13) la base de la pyramide n'est pas un polygone régulier.
\item %Déterminer une valeur de la mesure en degré de l'angle $\widehat{\text{A}'\text{SB}'}$ (on arrondira à l'unité).
Avec S(4~;~4~;~8) et A$'(3~;~0~;~0)$, on en déduit que SA$'^2 = (3 - 4 )^2 + (0- 4 )^2 + (0- 8)^2 = 1 + 16 + 64 = 81 = 9^2$, d'où SA$' = 9$.

Avec S(4~;~4~;~8) et B$'(6~;~0~;~0)$, on en déduit que SA$'^2 = (6 - 4 )^2 + (0 - 4 )^2 + (0 - 8)^2 = 4 + 16 + 64 = 84 $, d'où SA$' = \sqrt{84}$.

Dans le triangle SA$'$B$'$ on a la relation :

A$'$B$'^2 = \text{A}'\text{S}^2 + \text{B}'\text{S}^2 - 2\text{A}'\text{S} \times \text{B}'\text{S} \cos \widehat{\text{A}'\text{SB}'}$, soit

$3^2 = 81 + 84 - 2\times 9 \times \sqrt{84}\cos \widehat{\text{A}'\text{SB}'}$ ou

$18 \times \sqrt{84}\cos \widehat{\text{A}'\text{SB}'} = 81 + 84 - 9 = 156$, d'où 

$\cos \widehat{\text{A}'\text{SB}'} = \dfrac{156}{18 \times \sqrt{84}} \approx \np{0,9456}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{A}'\text{SB}'} \approx 18,98$, soit 19\degres à l'unité près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Représentation en perspective centrale}

\medskip

%Le début d'une représentation en perspective centrale du cube ABCDEFGH est donné en \textbf{annexe 2 à rendre avec la copie}. Dans cette représentation en perspective centrale:
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item Le plan (ABF) est frontal et i1 est la ligne d'horizon.
%\item Chaque point désigné par une lettre minuscule, dans la perspective centrale, représentera le point
%désigné par la même lettre majuscule dans la perspective parallèle. Par exemple les points
%a, b, e représenteront, dans la perspective centrale, respectivement les points A, B, C.
%\item \textbf{On laissera les traits de construction apparents}.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sur \textbf{l'annexe 2 à rendre avec la copie}, compléter la représentation en perspective centrale $abcdefgh$ du cube ABCDEFGH et placer les points $a'$ et $b'$.
Voir à la fin.
\item %Le point $c'$ est-il le milieu du segment $[bc]$ ? Justifier.
Non dans une perspective centrale en dehors des plans frontaux le milieu n'est pas conservé.
\item %Tracer les diagonales du quadrilatère $abcd$. Puis construire les points $c'$ et $f'$.
Voir l'annexe à la fin.
\item Terminer la représentation en perspective centrale $sa'b'c'd'e'f'$ de la pyramide SA$'$B$'$C$'$D$'$E$'$F$'$.

On soignera le tracé et on repassera la pyramide en couleur.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%  ANNEXE
\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 1 : (à rendre avec la copie)}

\bigskip

\textbf{Exercice 1  : Parties A, B et C}

\medskip

\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.12cm}
\begin{pspicture}(-10,-10)(115,135)
\multido{\n=0+5}{23}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,135)}
\multido{\n=0+5}{27}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(115,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(0,0)(115,135)
\pscircle(75,25){25}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](0,125)(0,25)(100,25)(75,50)(75,25)%ABCDE
\uput[ur](0,125){A} \uput[ur](0,25){B} \uput[ur](100,25){C}
\uput[ur](75,50){D} \uput[ur](75,25){E} 
\psarc(75,25){25}{90}{0}
\parametricplot{0}{90}{50 t cos 50 mul add 25 t sin 25 mul 25 add}
\pscurve[linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,125)(10,81)(20,54)(25,46)(30,41)(35,38)(40,37)(45,38)(50,40)(60,45)(70,49)(75,50)
\end{pspicture}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Exercice 1 Partie C question 4}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{13}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&0	&10		&20	&25	&30	&35	&40	&45	&50	&60	&70	&75\\ \hline
$f(x)$	&125&81		&54	&46	&41	&38	&37	&38	&40	&45	&49	&50\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large Annexe 2 : (à rendre avec la copie)}

\bigskip

\textbf{Exercice 3  : Partie B }

\medskip

\psset{unit=0.8cm}

\begin{pspicture}(14,23)
%\psgrid
\pstGeonode[PtNameMath=false,PosAngle=0](10.7,0.4){a}(10.7,8.4){b}(7.6,11.7){c}(10.7,3.4){a$'$}(10.7,6.4){b$'$}(2,6.15){h}(7.6,6){d}(8.9,10.3){c$'$}(0.5,19){F}
\pstGeonode[PtNameMath=false,PosAngle=-45](2.7,0.4){e}(2.7,8.4){f}(2,11.7){g}
\pstGeonode[PtNameMath=false,PointName=none,PointSymbol=none](0.5,1){x}(0.5,20){y}
\psline(0.5,0)(0.5,23)
%\psline(10.7,0.4)(10.7,8.4)(7.6,11.7)%abc
%\psdots(10.7,0.4)(10.7,8.4)(7.6,11.7)
%\rput{90}(11,0.4){A}\rput{90}(11,8.5){B}\rput{90}(7.75,11.85){C}
\pstLineAB{a}{b}
\pstLineAB{b}{c}\pstLineAB{g}{c}\pstLineAB{g}{h}
\pstLineAB{f}{b}\pstLineAB{d}{c}
\pstLineAB{a}{e}\pstLineAB{e}{h}
\pstLineAB{e}{f}\pstLineAB{f}{g}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{F}{c}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{F}{a}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{F}{f}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{F}{e}

%\pstInterLL[PtNameMath=false]{b}{c}{x}{y}{F}
\pstInterLL[PtNameMath=false,PointName=none]{a}{c}{b}{d}{G}
\pstInterLL[PtNameMath=false,PosAngle=90]{f}{h}{e}{g}{s}
\pstInterLL[PtNameMath=false]{b$'$}{F}{c}{d}{d$'$}
\pstInterLL[PtNameMath=false]{a$'$}{F}{c}{d}{e$'$}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linecolor=red]{d$'$}{e$'$}
\pstInterLL[PtNameMath=false,PosAngle=180]{c$'$}{G}{a}{d}{f$'$}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{a}{c}
\pstLineAB[linestyle=dashed]{b}{d}
\rput{90}(0.2,11){$\Delta$}
\pspolygon[linecolor=red](s)(f$'$)(a$'$)(b$'$)(c$'$)(d$'$)(s)
\pspolygon[linecolor=red](s)(a$'$)(s)(b$'$)
\pspolygon[linecolor=red](s)(b$'$)(s)(c$'$)
\pstLineAB[linestyle=dashed,linecolor=red]{s}{e$'$}
\pstLineAB[linestyle=dashed,linecolor=red]{f$'$}{e$'$}
\pspolygon[linestyle=dashed,linecolor=red](c$'$)(d$'$)(b$'$)(s)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}