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%tapuscrit : Denis Vergès
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{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 septembre 2013}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  Métropole 12 septembre 2013 \decofourright}\\ \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%\textbf{Questionnaire à choix multiples :} \emph{pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}
%
%\medskip
% 
%On inscrira sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.
%
%\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item %Dans le plan rapporté à un repère orthonormal, on considère l'ellipse d'équation cartésienne : 

%\[\dfrac{(x - 2)^2}{9} +  \dfrac{(y + 1)^2}{16}  = 1.\]
% 
%Alors les coordonnées du centre de cette ellipse sont : 
%
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} (9~;~16)& 
%\textbf{b.~~} (3~;~4)& 
%\textbf{c.~~} (2~;~-1)& 
%\textbf{d.~~} (2~;~1).
%\end{tabularx}
Réponse \textbf{c.~~}
\medskip 
\item %Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal, on considère les deux vecteurs suivants, définis par leurs coordonnées $\vect{u}\left(\begin{array}{c}1\\- 1\\2\end{array}\right)$ et $\vect{v}\left(\begin{array}{c}2\\1\\- 3\end{array}\right)$.
 
%Alors le produit scalaire 
$\vect{u}~\cdot~\vect{v} = 2 - 1 - 6 = - 5$  

Réponse \textbf{b.~~}
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} le vecteur $\vect{w}\left(\begin{array}{c}2\\- 1\\- 6\end{array}\right)$&\textbf{b.~~}Le nombre $- 5$\\ 
%\textbf{c.~~} Le nombre $- 2$& 
%\textbf{d.~~} Le vecteur $\vect{w}\left(\begin{array}{c}- 2\\1\\6\end{array}\right)$
%\end{tabularx}
\medskip  
\item %L'équation $x^{0,2} = 4$ a pour solution dans l'ensemble $]0~;~+ \infty[$ 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} le nombre $4^{-0,2}$& 
%\textbf{b.~~} le nombre $4^2$& 
%\textbf{c.~~} le nombre $4^5$& 
%\textbf{d.~~} le nombre $4^{-5}$
%\end{tabularx}
Réponse \textbf{c.~~} :  $x^{0,2} = 4 \iff \text{e}^{0,2\ln x} = 4 \iff 0,2\ln x = \ln 4 \iff \ln x = \dfrac{\ln 4}{0,2} \iff$

$ x = \text{e}^{\frac{2\ln 2}{0,2}} \iff x =  \text{e}^{10\ln 2} \iff x = \text{e}^{\ln 2^{10}} = 2^{10} = 2^{2\times 5} = \left(2^2 \right)^5 = 4^5$.

Vérification : $\left(4^5\right)^{0,2} = 4^{\left(5 \times \frac{1}{5}\right)} = 4^1 = 4$.
\medskip 
 
\item %$x$ est un nombre réel strictement positif. Alors $\log (100x)$ est égal à : 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $100 \log x$& 
%\textbf{b.~~} $2 + \log x$& 
%\textbf{c.~~} $2 \log (x)$& 
%\textbf{d.~~} $x^{100}$
%\end{tabularx}
Réponse \textbf{b.~~}
\medskip 
 
\item %La figure suivante est composée d'un carré ABCD de centre I, du triangle AED où E est le milieu de [BC] et du triangle BFC où F est le milieu de [AD].
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-2,-2.25)(2,2.5) 
%\psframe[linewidth=1.25pt](-2,-2)(2,2) 
%\pspolygon[linewidth=1.25pt](-2,-2)(0,2)(2,-2)
%\pspolygon[linewidth=1.25pt](-2,2)(0,-2)(2,2)
%\uput[dl](-2,-2){A}\uput[ul](-2,2){B}\uput[ur](2,2){C}
%\uput[dr](2,-2){D}\uput[u](0,2){E}\uput[d](0,-2){F}
%\uput[ur](0,0){I}
%\psdots[dotstyle=+](0,0) 
% \end{pspicture}
%\end{center}  
% 
%La droite $(d)$ est la médiatrice de [AB]. Alors cette figure est invariante par :
%	\begin{enumerate}
%		\item la translation de vecteur $\vect{\text{BE}}$ et la symétrie axiale par rapport à (EF). 
%		\item la rotation de centre I et d'angle + 90~\degres et la symétrie axiale par rapport à $(d)$. 
%		\item les symétries axiales par rapport à $(d)$ puis par rapport à (EF).
%	\end{enumerate}
Réponse \textbf{c.~~}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 9 points}

\medskip 
 
%Le but de cet exercice est de donner une construction à l'aide d'outils mathématiques de la frise suivante :
%
%\begin{center}
%\def\motif{\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(3,1)
%\psplot[plotpoints=5000]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub}
%\psplot[plotpoints=5000]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub neg}
%\psplot[plotpoints=5000]{2}{3}{2 x 3 exp mul x dup mul  14 mul sub 30 x mul add 20 sub}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1pt]{2}{3}{2 x 3 exp mul x dup mul  14 mul sub 30 x mul add 20 sub neg}\end{pspicture}}
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(-6,-2)(12,2)
%%\psaxes(0,0)(-6,-2)(12,2)
%
%\rput(-4.5,0.5){\motif}
%\rput(-1.5,-0.5){\scalebox{-1 }{\motif}}
%\rput(7.5,0.5){\motif}
%\rput(10.5,-0.5){\scalebox{-1 }{\motif}}
%\psset{linecolor=blue,linewidth=1.5pt}
%\rput(1.5,0.5){\motif}
%\rput(4.5,-0.5){\scalebox{-1 }{\motif}}
%\end{pspicture}
%\end{center} 
%
%Dans tout l'exercice, on appellera \og motif \fg{} la figure suivante: 
%
%\begin{center}
%\def\motif{\psset{unit=0.75cm}\begin{pspicture}(3,1)
%\psplot[plotpoints=5000]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub}
%\psplot[plotpoints=5000]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub neg}
%\psplot[plotpoints=5000]{2}{3}{2 x 3 exp mul x dup mul  14 mul sub 30 x mul add 20 sub}
%\psplot[plotpoints=5000,linewidth=1pt]{2}{3}{2 x 3 exp mul x dup mul  14 mul sub 30 x mul add 20 sub neg}\end{pspicture}}
%\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(-6,-2)(6,2)
%
%\psset{linecolor=blue,linewidth=1.5pt}
%\rput(0,0.5){\motif}
%\rput(3,-0.5){\scalebox{-1 }{\motif}}
%\end{pspicture}
%\end{center} 

\textbf{Partie A :}

\medskip
 
%La courbe $\mathcal{C}_{f}$ tracée sur le graphique 1 de l'annexe est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~2] par $f(x) = ax^2 + bx + c$ ; nous allons déterminer les trois nombres $a,\: b$ et $c$.
% 
%On précise que cette courbe passe par les points O(0~;~0), A(1~;~1) et B(2~;~0).
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %En utilisant la situation de la fonction $f$ relative au point O, montrer que $c = 0$.
On a $f(0) = 0$ c'est-à-dire $a \times 0 + b \times 0 + c = 0$, donc $c = 0$. 
		\item %Montrer ensuite que les deux nombres a et b sont solutions du système:
		
%		\[\left\{\begin{array}{c c l} 
%4a + 2b &=& 0\\
%a + b&=&1
%\end{array}\right.\]
On a de même  $\left\{\begin{array}{l c l}
f(1)&=&1\\
f(2)&=&0
\end{array}\right.$ c'est-à-dire :

$\left\{\begin{array}{l c l}
a + b&=&1\\
4a + 2b&=&0
\end{array}\right.$ 
	\end{enumerate}
\item %Calculer $a$ et $b$.
Le système précédent peut s'écrire : $\left\{\begin{array}{l c l}
4a + 4b&=&4\\
4a + 2b&=&0
\end{array}\right.$ et donc par différence membres à membres :

$2b = 4$ d'o\`u $b = 2$.

Or a = 1 - 2 = - 1$.

On a donc $f(x) = - x^2 + 2x$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :}

\medskip
 
%On considère par la suite la fonction $f$ définie sur [0~;~2] par $f(x) = - x^2 + 2x$.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer l'expression de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
$f'(x) = - 2x + 2 = 2(1 - x)$ 
\item %Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point B ; tracer cette tangente sur la courbe du graphique 1 donnée en annexe.
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point B est égal au nombre dérivé $f'(2)$ (2 abscisse de B), soit $f'(2) = 2(1 - 2) = 2 \times (- 1) = - 2$.

À partir de B on se déplace de 1 en abscisse et de $- 2$ en ordonnée (ou 2 et $- 4$, ou 3 et $- 6$).
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie C :}

\medskip

%Soit $g$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [2~;~3] par : 
%
%\[g(x) = 2x^3 - 14x^2 + 30x - 20\]
% 
%et $\mathcal{C}_{g}$ sa représentation graphique.
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer $g(2)$ ; en déduire que la courbe $\mathcal{C}_{g}$ passe par le point B.
$g(2) = 2 \times 2^3 - 14 \times 2^2 + 30 \times 2 - 20 = 16 - 56 + 60  - 20 = 76 - 76 = 0$.

Or B(2~;~0), donc  B appartient à $\mathcal{C}_{g}$.
\item %On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$. Déterminer l'expression de $g'(x)$ pour tout nombre réel $x$.
$g'(x) = 3 \times 2x^2 - 2 \times 14x + 30 = 6x^2 - 28x + 30$. 
\item %Calculer $g'(2)$ ; en déduire que les courbes $\mathcal{C}_{f}$ et 
%$\mathcal{C}_{g}$ admettent la même tangente au point B.
$g'(2) = 6 \times 2^2 - 28 \times 2 + 30 = 24 - 56 + 30 = 54 - 56 = - 2 = f'(2)$.

Les deux fonctions $f$ et$g$ ont le même nombre dérivé en 2 et leurs représentations graphiques contiennent toutes deux le point B : elles ont donc la même tangente en B. 
\item %Calculer $g(3)$ et $g'(3)$ ; quelle est la particularité de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ en son point C d'abscisse 3 ?
$g(3) = 2 \times 3^3 - 14 \times 3^2 + 30\times 3 - 20 = 54 - 126 + 90 - 20 = 144 - 146 = - 2$. 

$g'(3) = 6 \times 3^2 - 28 \times 3  + 30 = 54 - 84 + 30 = 0$. Cela signifie que le nombre dérivé en 3 	abscisse du point C de $\mathcal{C}_{g}$ est nul : la tangente en C à $\mathcal{C}_{g}$ est donc horizontale.
%Placer le point C et cette tangente.

Voir la figure 
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie D :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer le signe de $g'$ sur l'intervalle [2~;~3]. En déduire le tableau de variations de $g$ sur ce même intervalle.
On a $g'(x) =  6x^2 - 28x + 30$.

Ce trinôme a le même signe que le trinôme $3x^2 - 14x + 15
$.

Calculons ses racines : $ \Delta = 14^2 - 4 \times 3 \times 15 = 196 - 180 = 16 = 4^2$.

Les racines sont donc $x_{1} = \dfrac{14 + 4}{2 \times 3} = \dfrac{18}{6} = 3$ et $x_{2} = \dfrac{14 - 4}{2 \times 3} = \dfrac{10}{6} =  \dfrac{5}{3}$.

Or $\dfrac{5}{3} < \dfrac{6}{3} = 2$.

On sait que le trinôme est du signe de $a = 3$, donc positif, sauf entre les racines $\dfrac{5}{3}$ et $3$.

Conclusion : sur  $\left]\frac{5}{3}~;~3\right], \: g'(x) < 0$.

La fonction $g$ est donc  décroissante sur $\left]\frac{5}{3}~;~3\right]$.

On a donc le tableau de variations suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3) \psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}  \uput[u](1.15,2.4){$2$}  \uput[u](6.85,2.4){$3$}
\rput(0.5,2.2){$g'(x)$}\uput[u](4,2){$-$}
\psline{->}(1.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](6.7,0){$- 2$}\uput[d](1.15,2){$0$}
\rput(0.5,1){$g(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item %Tracer une représentation graphique de la fonction $g$ sur l'intervalle [2~;~3] sur le graphique 1 de l'annexe 1.
Voir l'annexe. 
\item %Indiquer par quelles transformations du plan on peut maintenant obtenir le motif dessiné en préambule. Construire ce motif sur l'annexe 1.
Le motif du préambule est obtenu par symétrie des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$ autour de l'axe des abscisses, puis par symétrie de la figure obtenue, autour de la droite d'équation  $x = 3$.
\item %Par quelle(s) transformation(s) peut-on obtenir la frise à partir du motif tracé ?
La frise est obtenue par translation de vecteur $3\vect{\imath}$ de la figure obtenue à la question précédente. 
\item %En utilisant des points judicieusement choisis, tracer une allure de la frise ainsi obtenue sur le graphique 2 de l'annexe.
Voir le graphique 2 à la fin.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 6 points}

\medskip

%\parbox{0.3\linewidth}{Un designer a conçu pour un stand d'exposition une structure représentée sur le dessin ci-contre (le repère est orthonormal, l'unité est le décimètre).} \hfill
%\parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(7,8.5)
%%\psgrid
%\scalebox{.99}[0.423]{\psarc[linewidth=1.5pt](3.3,4.8){2.65}{180}{0}}%
%\scalebox{.99}[0.423]{\psarc[linestyle=dashed,linewidth=1.5pt](3.3,4.8){2.65}{0}{180}}%
%\pspolygon(0.7,1.9)(2.5,5.7)(4.4,1.05)
%\psline(0.65,2.2)(2.77,6.65)(4.98,1.22)(4.23,1.4)
%\psline(3.02,7.15)(5.36,1.37)(4.88,1.47)
%\psline(3.3,7.4)(5.7,1.65)(5.17,1.75)
%\psline(3.55,7.47)(5.87,1.77)
%\psline(4,7)(5.76,2.4)
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0.85,1.6)(2.3,4.4)(3.6,1)
%\pscurve[linewidth=1.5pt](2,1.1)(2.05,2.4)(2.2,4)(2.4,5)(2.58,6)(3,7.15)(3.4,7.5)(4,7)
%\psline[arrowsize=3pt 5]{->}(5.7,4.1)(1.1,0.25)
%\psline[arrowsize=3pt 5]{->}(0,2.8)(6.85,1.3)
%\psline[arrowsize=3pt 5]{->}(3.3,0.3)(3.3,8.3)
%\rput(1,0.2){$x$}\rput(7.1,1.2){$y$}\rput(3.7,8.5){$z$}
%\uput[l](3.3,7.4){10}\uput[d](2.1,1.05){5}\uput[d](5.6,1.6){5}
%\end{pspicture}
%\end{center}} 

\begin{enumerate}
\item %La base de cette structure est le cercle C de centre O et de rayon 5 contenu dans le plan ($x$O$y$). 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation cartésienne de C.
$x^2 + y^2 = 25$. 
		\item %Donner une représentation paramétrique de C.
		$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&5\cos t\\
y&=&5\sin t
\end{array}\right.$ avec $t$ réel.
	\end{enumerate} 
\item %L'arête supérieure est la moitié d'une ellipse E contenue dans le plan ($x$O$z$). 
	\begin{enumerate}
		\item %Donner une équation cartésienne de E.
$\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{z^2}{100} = 1$ avec $z > 0$. 
		\item %Donner une représentation paramétrique de E.
		$\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&5\cos t\\
z&=&10\sin t
\end{array}\right.$ avec $t$ réel.		
	\end{enumerate}		 
\item %Cette structure sera rigidifiée par des triangles parallèles au plan ($y$O$z$), situés tous les 10~cm. 

%Calculer la base et la hauteur du triangle situé dans le plan d'équation $x = 2$.
Les points du cercle d'abscisses 2 sont tels que : $2^2  + y^2 = 25$ soit $y^2 = 21$ d'o\`u $y = \sqrt{21}$ ou $y = - \sqrt{21}$.

La base contenue dans le plan $x\text{O}y$ a donc pour longueur $2\sqrt{21}$.

Le point commun au triangle et à la demi-ellipse a une abscisse de 2, son ordonnée $z$ positive est telle que :

$\dfrac{2^2}{25} + \dfrac{z^2}{100} = 1$ soit $\dfrac{z^2}{100} = \dfrac{21}{25}$ ou encore$z^2 = 4 \times 21$. Donc $z = 2\sqrt{21}$.

La base et la hauteur du triangle ont la même longueur.

On peut noter que l'aire de ce triangle est $\dfrac{1}{2}\times 2\sqrt{21} \times 2\sqrt{21} = 2 \times 21 = 42$, soit un entier.
\end{enumerate}
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 : (à remettre avec votre copie)}

\vspace{2cm}
 
\textbf{Graphique 1}

\vspace{2cm}

\psset{unit=1.9cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-2.1)(6.1,2.1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](0,-2)(6,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(0,-2)(6,2)
\uput[u](1,1){A}\psdots(1,1)
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{3}{x 3 exp 2 mul x dup mul 14 mul sub 30 x mul add 20 sub}
\end{pspicture}
\vspace{2cm}
 
\textbf{Graphique 2}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.7cm}
\def\motifa{\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{2 x mul x dup mul sub}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2}{3}{x 3 exp 2 mul x dup mul 14 mul sub 30 x mul add 20 sub}}
\begin{pspicture}(-6,-2)(12,2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridcolor=orange,subgridcolor=orange](-6,-2)(12,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(-6,-2)(12,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\rput(0,0){\motifa}
\rput(0,0){\psscalebox{1 -1}{\motifa}}
\def\motifb{\rput(0,0){\motifa}\rput(0,0){\psscalebox{1 -1}{\motifa}}}
\rput(6,0){\psscalebox{-1 1}{\motifb}}
\def\fri{\rput(0,0){\motifa}\psscalebox{1 -1}{\motifa}\rput(6,0){\psscalebox{-1 1}{\motifb}}}
\rput(6,0){\fri}
\rput(-6,0){\fri}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}