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%tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STD2A}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{11 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  Polynésie 11 juin 2015 \decofourright}\\ \textbf{Sciences et technologies du design et des arts appliqués}} 
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

%\textbf{Questionnaire à choix multiples :} \emph{pour chaque question une seule des propositions est exacte, aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte ou l'absence de réponse n'ajoute ni ne retire aucun point.}
%
%\medskip
%
%On inscrira sur la copie la référence de la question et la lettre de la réponse choisie.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = x^2 - x - 2$. On note $C$ sa courbe représentative dans un repère du plan. Un des points d'intersection de $C$ avec l'axe des abscisses a pour coordonnées :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~}$(-1~;~0)$& \textbf{B.~}$(-2~;~0)$& \textbf{C.~}$(0~;~-2)$& \textbf{D.~}(5~;~0)
%\end{tabularx}
%\medskip
On a $f(- 1) = (- 1)^2 - (- 1) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$ : réponse \textbf{A.~}
\item %On note log la fonction logarithme décimal.

%Le réel $\log \left(1,5 \times 10^{10}\right)$ est égal à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~} $10 + \log (1,5)$&\textbf{B.~} 10,176 &\textbf{C.~} $10 \times \log (1,5)$&\textbf{D.~} 11,5
%\end{tabularx}
%\medskip
$\log \left(1,5 \times 10^{10}\right) = \log 1,5 + \log \left(10^{10}\right) = \log 1,5 + 10\log 10 = \log 1,5 + 10$ : réponse \textbf{A.~}
\item %Soit un triangle ABC tel que AB = 4, AC = 7, BC = 9. Au dixième de degré près par défaut, la mesure de l'angle $\widehat{\text{A}}$ est égale à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~}106,6~\degres&\textbf{B.~} 73,3~\degres&\textbf{C.~} 73,4~\degres& \textbf{D.~} 73,5~\degres
%\end{tabularx}
%\medskip
D'après le théorème d'Al Kashi : $\text{BC}^2 = \text{AB}^2 + \text{AC}^2 - 2\times \text{AB}\times  \text{AC}$, soit :

$81 = 16 + 49 - 2\times 4 \times 7\times \cos \widehat{\text{BAC}}$ d'où 
$\cos \widehat{\text{BAC}} = \dfrac{65 - 81}{56} = \dfrac{- 16}{56} = \dfrac{- 2}{7}$.

La calculatrice donne $\widehat{\text{BAC}} \approx 106,6~\degres$ au dixième près. Réponse \textbf{A.~}
\item~ 
%\parbox{0.48\linewidth}{Sur la figure ci-contre sont
%représentés trois vecteurs : $\vect{u},\:\vect{v},\:\vect{w}$.
%
%L'unité de longueur est le carreau.
%
%On a alors :} \hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.75cm}
%\begin{pspicture}(-3,-3.5)(5,4)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt](-3,-3)(5,4)
%\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(4,0)
%\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,-3)
%\psline[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2,3)
%\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-3,-3)(-2,-3)
%\psline[linewidth=1.25pt]{->}(-3,-3)(-3,-2)
%\uput[dl](-3,-3){O}\uput[d](-2.5,-3){$\vect{\imath}$}
%\uput[l](-3,-2.5){$\vect{\jmath}$}
%\uput[d](2,0){$\vect{u}$}\uput[ul](0.5,-1.5){$\vect{w}$}\uput[dl](-1,1.5){$\vect{v}$}
%\end{pspicture}}
%
%\bigskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{A.~} \small$\vect{u} \cdot \vect{v} = 8$&\textbf{B.~}\small $\vect{v} \cdot \vect{w} > 0$&\textbf{C.~} \small $\cos \left(\vect{u},~\vect{w}\right) = \frac{1}{\sqrt{10}}$& \textbf{D.~} \small$\left\|  \vect{v}\right\| = \sqrt{5}$
%\end{tabularx}
%\medskip
Avec $\vect{u}(4~;~0),\:\vect{v}(- 2~;~3), \:\vect{w}(1~;~3)$, on calcule :

$\bullet~~$$\vect{u} \cdot \vect{w} =  4 - 0 = 4$ ;

$\bullet~~$$\vect{u} \cdot \vect{w} = \left\|\vect{u} \right\| \times \left\|\vect{w} \right\|\times \cos \left(\vect{u},~\vect{w} \right) = 4 \times \sqrt{10} \times \cos \left(\vect{u},~\vect{w} \right)$.

En égalant ces deux écritures on trouve que $\cos \left(\vect{u},~\vect{w} \right) = \dfrac{4}{4\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$. Réponse \textbf{C.~} 
\item %On considère l'ellipse $\mathcal{E}$ de sommets A(6~;~0),\: A$'(- 6~;~0)$,\: B(0~;~5),\: B$'(0~;~-5)$ dans un repère orthonormé.

%Une équation cartésienne de $\mathcal{E}$ est :
%
%\medskip
%\renewcommand\arraystretch{2}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{A.~}  $25x^2 + 36y^2 = 900$&\textbf{B.~}$\dfrac{x^2}{144} + \dfrac{y^2}{100} = 1$\\
%\textbf{C.~}$\dfrac{x^2}{36} - \dfrac{y^2}{25} = 1$&\textbf{D.~}$\dfrac{x^2}{12} + \dfrac{y^2}{10} = 1$
%\end{tabularx}
%\medskip
L'ellipse centrée à l'origine et dont les demi-axes mesurent respectivement 6 et 5 a pour équation :

$\dfrac{x^2}{6^2} + \dfrac{y^2}{5^2} = 1$ ou $\dfrac{x^2}{36} + \dfrac{y^2}{25} = 1$, et en multipliant les deux membres par $36 \times 25$ : 

$25x^2 + 36y^2 = 900$. Réponse \textbf{A.~}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 8 points}

\medskip

%\parbox{0.48\linewidth}{On veut réaliser une chauffeuse (fauteuil sans accoudoirs) dont le profil est représenté sommairement dans le repère $(\text{O}~;~x,~y)$ ci-contre.
%
%Le repère étant orthonormal (unité non spécifiée), on
%donne les indications suivantes :
%
%--  la ligne reliant les points A et B est un arc de cercle de
%rayon 2.
%
%-- [BC] est un segment de droite horizontal, [EF] un segment de droite vertical.
%
%-- la ligne reliant C à E en passant par le sommet D est la
%courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur
%[0~;~3] par 
%
%$f(x) = ax^3 + 3x^2 + b$, où $a$ et $b$ sont des
%nombres à déterminer.}\hfill
%\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(-4,-1)(3.6,7)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(-4,-1)(3.6,7)
%\psdots(-4,0)(-2,2)(0,2)(2,6)(3,2)(3,0)%ABCDF
%\psarc(-2,0){2}{90}{180}
%\psline(-2,2)(0,2)
%\psline(3,0)(3,2)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1pt]{0}{3}{x dup mul 3 mul 2 add x 3 exp sub}
%\uput[d](-4,0){A} \uput[u](-2,2){B} \uput[ul](0,2){C} 
%\uput[u](2,6){D} \uput[r](3,2){E} \uput[d](3,0){F}
%\uput[dl](0,0){O} \uput[d](3.5,0){$x$} \uput[l](0,6.8){$y$}
%\end{pspicture}}
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %En utilisant les coordonnées des points C(0~;~2) et D(2~;~6) et la fonction $f$, écrire un système de deux équations dont les inconnues sont $a$ et $b$.
%Résoudre ce système et donner les valeurs de $a$ et $b$.
C$(0~;~2)\in \mathcal{C}_f \iff 2 = a \times  0^3 + 3\times 0^2 + b \iff 2 = b$ ;

D$(2~;~6)\in \mathcal{C}_f \iff 6 = a\times 2^3 + 3\times 2^2 + b \iff 6 = 8a + 12 + b \iff - 6 = 8a + b$.

$a$ et$b$ sont donc les solutions du système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
b&=&2\\
8a + b &=&- 6
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b&=&2\\
8a + 2 &=&- 6
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b&=&2\\
8a  &=&- 8
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
b&=&2\\
a  &=&- 1
\end{array}\right.\]
La fonction $f$est donc définie par $f(x) = - x^3 + 3x^2 + 2$.
\item %On prend par la suite $f(x) = - x^3 + 3x^2 + 2$.

%On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Donner l'expression de $f'(x)$ pour tout $x$.
$f'(x) = - 3x^2 + 2\times 3x = - 3x^2 + 6x$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier à l'aide de la fonction $f'$ que le segment [BC] et la courbe $\mathcal{C}_f$ ont des tangentes communes au point C.
La tangente à [BC] au point C est la droite (BC) ;

$f'(0) = 0$, donc la tangente à la la courbe $\mathcal{C}_f$ au point C est la droite horizontale contenant le point C, donc la droite (BC).
		\item %On donne l'abscisse du point E : $x_{\text{E}} = 3$.
		
%Donner le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse E.
Le coefficient directeur de la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point E est le nombre dérivé $f'(3) = - 3\times 3^2 + 6 \times 3 = - 27 + 18 = - 9$. Ce coefficient directeur correspond (calculatrice) à un angle de $- 83,7~\degres$ environ : la tangente n'est donc pas verticale : ce n'est pas la droite (EF).
%Cette tangente est-elle la droite (EF) ?
 	\end{enumerate}
\item  %Déterminer le signe de $f'$ sur l'intervalle [0~;~3].
$f'(x) =  - 3x^2 + 6x = 3x(2 - x)$.

Comme $x \geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2 - x$.

$\bullet~~$ si $0< x < 2$, \:$f'(x) > 0$ ;

$\bullet~~$ si $2< x < 3$, \:$f'(x) < 0$ ; 
\item  %En déduire le tableau de variation de la fonction $f$ sur [0~;~3].
De la question précédente on déduit que :

$\bullet~~$ $f$ est croissante sur [0~;~2] de $f(0) = 2$ à $f(2) = - 8 + 12 + 2 = 6$ ;

$\bullet~~$ $f$ est décroissante sur [2~;~3] de $f(2) = 6$ à $f(3) = - 27 + 27 + 2 = 2$.
\item  %À l'aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs de l'annexe 1.
	
Sachant de plus que l'abscisse du point A vaut $- 4$, réaliser dans le repère donné en annexe 1, un profil précis de la chauffeuse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 7 points}

\medskip

%\parbox{0.3\linewidth}{La figure ci-contre représente, en perspective parallèle, une esplanade, pavée avec des plaques carrées toutes identiques, entourée d'une balustrade composée de rectangles tous identiques sur deux de ses côtés.}
%\hfill
%\parbox{0.68\linewidth}{\psset{unit=0.65cm}
%\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(15.5,10)
%%\psgrid
%\def\balushaut{\psframe(3,2.15)\psline(0,0)(3,2.15)\psline(0,2.15)(3,0)}
%\def\baluscote{\pspolygon(0,0)(0,2.15)(2.15,0)(2.15,-2.15)\psline(0,0)(2.15,0)(2.15,-2.15)(0,2.15)}
%\def\carreau{\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](0,0)(3,0)(5.15,-2.15)(2.15,-2.15)}
%\pspolygon(0,6.45)(9,6.45)(15.45,0)(6.45,0)
%\rput(0,6.45){\balushaut}\rput(3,6.45){\balushaut}\rput(6,6.45){\balushaut}
%\rput(9,6.45){\baluscote}\rput(11.15,4.3){\baluscote}\rput(13.3,2.15){\baluscote}
%\rput(0,6.45){\carreau}\rput(6,6.45){\carreau}\rput(5.1,4.3){\carreau}
%\rput(4.3,2.15){\carreau}\rput(10.3,2.15){\carreau}
%\uput[dl](0,6.45){A}\uput[ur](9,6.45){D} \uput[ur](9,8.6){D$'$}
%\uput[d](11.2,4.2){F} \uput[ur](11.2,6.4){F$'$} \uput[dl](13.3,2.15){E}
%\uput[ur](13.3,4.3){E$'$} \uput[d](15.4,0){C} \uput[ur](15.4,2.15){C$'$}
%\uput[d](6.4,0){B} \uput[d](9.4,0){G} \uput[d](12.4,0){H} 
%\end{pspicture}}
%\bigskip
%
%Dans cet exercice, on convient de noter un point de l'espace avec une lettre majuscule et de noter
%son image dans une perspective centrale avec une lettre minuscule (ainsi $a$ est l'image de A, $b$ l'image de B, \ldots).
%
%\smallskip
%
%\textbf{La représentation donnée en annexe 2 est à compléter et à rendre avec la copie.\\
%Aucune justification des constructions n'est attendue mais on laissera visibles les traits de
%construction au crayon.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Une représentation en perspective centrale de cette esplanade est commencée sur le
%document annexe. Sont tracés la ligne d'horizon, les segments [$cc'$] et [$bc$] ainsi que
%le point $f$ ; on sait que l'esplanade est horizontale et que le plan (BCC$'$) est frontal.
	\begin{enumerate}
		\item %Placer le point de fuite principal $\omega$.
Le point de fuite principal $\omega$ est le point d'intersection de la ligne d'horizon et de la droite ($cf$). 
		\item %Placer $f'$ puis le segment [$ee'$].
$f'$ est le point d'intersection de la droite $(c'\omega)$ et de la verticale contenant $f$.

CC$'$F$'$F étant un parallélogramme, ses diagonales se coupent en leur milieu ; on trace les droites $(cf')$ et $(c'f)$ qui se coupent en un point $i$. Par ce point on trace la parallèle à $(cc')$ qui coupe $(c \omega)$ en $e$ et $(c' \omega)$ en $e'$.
		\item %En remarquant que le quadrilatère EE$'$D$'$D est un parallélogramme, placer les points $d$ et $d'$.
Le quadrilatère EE$'$D$'$D est un parallélogramme donc les diagonales sont sécantes en leur milieu. On construit le milieu $i$ de $(ff')$. La droite $(e'i)$ coupe la droite $(c \omega)$ en $d$. On construit ensuite $d'$ à la verticale de $d$. La parallèle à $(bc)$ contenant $d$ coupe la droite $(b \omega)$ en $a$.
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle propriété d'un plan frontal permet de placer les points $g$ et $h$ ?
Dans un plan frontal les proportions sont respectées ; pour placer $g$ et $h$ on partage donc le segment en trois segments de même longueur.
		\item %Terminer la figure.
%On repassera en couleur le dessin fini pour en améliorer la lisibilité.
Voir à la fin.
	\end{enumerate}
\item  %Citer deux propriétés de la perspective parallèle qui ne sont pas vérifiées par une perspective centrale. Les illustrer en faisant référence à la représentation donnée en début d'exercice et à celle complétées dans l'annexe 2.
$\bullet~~$ CFF$'$C$'$ est un parallélogramme  : en perspective centrale les diagonales $(cf')$ et $(c'f)$ n'ont pas le même milieu contrairement à la perspective parallèle ;

$\bullet~~$ en perspective centrale deux parallèles comme (AB) et (CD) sont représentées par des droites sécantes au point de fuite contrairement à la perspective parallèle où les parallèles sont représentées par des droites parallèles.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe 1 (à remettre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ 	&0	& 0,5	& 1	&1,5	& 2	&2,5	&3\\ \hline
$f(x)$	&2	&2,625	&4	&5,375	&6	&5,125	&2\\ \hline
\end{tabularx}

\vspace{1cm}

\psset{unit=1.7cm}
\begin{pspicture}(-5,-1)(4,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4]
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-5,-1)(4,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=10]{->}(0,0)(1,1)
\uput[dl](0,0){O}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[d](3.9,0){$x$} \uput[l](0,6.8){$y$}
\psset{linewidth=1.5pt,linecolor=blue}
\psarc(-2,0){2}{90}{180}
\psline(-2,2)(0,2)
\psplot[plotpoints=3000]{0}{3}{x dup mul 3 mul 2 add x 3 exp sub}
\psline(3,2)(3,0)
\end{pspicture}

\begin{landscape}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(28,19)
%\psgrid
\psline(1,13)(26,13)\uput[u](22,13){ligne d'horizon}
\psline[linewidth=1pt](11.5,5)(23.7,5)(23.7,6.1)%bcc'
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45](11.5,5)(23.7,5)(23.7,6.1)(15.5,8.2)%bcc'f
\rput{90}(0.5,9){\textbf{\large Annexe 2 (À remettre avec la copie)}}
\uput[l](7.35,9){$a$}\uput[d](11.5,5){$b$} \uput[d](23.7,5){$c$}\uput[u](23.7,6.1){$c'$}
\uput[d](13.4,9){$d$}\uput[u](13.4,9.58){$d'$}\uput[d](18.5,7){$e$}
\uput[u](18.5,7.88){$e'$}\uput[d](15.5,8.2){$f$}
\uput[u](15.5,8.85){$f'$}\uput[d](15.57,5){$g$}
\uput[d](19.63,5){$h$}\uput[u](3.2,13){$\omega$}
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue]{1}{23.7}{568.2 41 div x 1 sub 16 mul 41 div sub}
\psline(23.7,6.1)(15.5,8.2)
\psline(23.7,5)(15.5,8.85)
\psline[linecolor=blue](11.5,5)(3.2,13)%b omega
\psline[linecolor=blue](15.57,5)(3.2,13)% g omega
\psline[linecolor=blue](19.63,5)(3.2,13)% h omega
\psline[linecolor=blue](9.4,7)(18.6,7)%--e
\psline[linecolor=blue](8.2,8.2)(15.5,8.2)% -- f
%\psline[linecolor=blue](6.5,9.8)(11.4,9.8)% -- d
\psline[linecolor=blue](23.7,6.1)(3.2,13)%c' omega
\psline[linecolor=blue](15.5,8.2)(15.5,8.85)%f f'
\psline[linecolor=blue](13.4,9)(13.4,9.58)%dd'
\psline[linecolor=blue](18.6,7)(18.6,7.8)%ee'
\psline(18.6,7.8)(15.5,8.525)(12.4,9.25)%e'i
\psline[linecolor=blue](7.35,9)(13.4,9)%ad
\psline[linecolor=blue](7.35,9)(7.35,9.58)(13.4,9.58)
\psline[linecolor=blue](9.4,9)(9.4,9.58)%verticale au fond
\psline[linecolor=blue](11.4,9)(11.4,9.58)%verticale au fond
\psline[linecolor=red](7.35,9)(9.4,9.58)(11.4,9)(13.4,9.58)(15.5,8.2)(18.5,7.88)(23.7,5)
\psline[linecolor=red](7.35,9.58)(9.4,9)(11.4,9.58)(13.4,9)(15.5,8.85)(18.5,7)(23.7,6.1)
\end{pspicture}
\end{landscape}
\end{document}