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%Tapuscrit : Denis Vergès

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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Baccalaurat  STG Mercatique, comptabilité et gestion d'entreprise,\\ gestion des systèmes d'information}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{15 septembre 2011}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\gray \decofourleft~Baccalauréat STG Mercatique Métropole~\decofourright\\ 15 septembre 2011}} 

\vspace{1cm}

La calculatrice est autorisée.

\vspace{0,5cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1 } \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). \\
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\
Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\
 Une réponse juste rapporte $1$ point ;  une réponse fausse enlève $0,25$ point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}

\medskip
 
Le tableau ci-dessous retrace, sur une douzaine d'années, l'évolution de la consommation moyenne de pain, en kilogramme par personne et par an, en France.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3,75cm}|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Rang $i$& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline 
Année $x_{i}$& 1996 &1998 &2000 &2002 &2004 &2006 &2008\\ \hline  
Consommation de pain en kg par personne $y_{i}$ &58,7 &58,2 &57,6 &53,6 &53,6 &53,7 &51,7 \\ \hline 
\multicolumn{8}{r}{\emph{Source : INSEE}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
Le nuage de points est l'ensemble des points $M_{i}$ de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ pour $i$ variant de 1 à 7.

 \begin{enumerate}
\item Le point moyen G a pour coordonnées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} (2002~;~53,6) &\textbf{b.~~} (2002~;~56) &\textbf{c.~~} (2002~;~55,3)
\end{tabularx}
\medskip
 
\item La droite $\left(M_{3}M_{5}\right)$ a pour équation : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}  $y =x + \np{2057,6}$ &\textbf{b.~~} $y=-x + \np{2057,6}$ &\textbf{c.~~} $y=- x + \np{2055}$
\end{tabularx}
\medskip 
\item La droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés, avec les coefficients arrondis au dixième, est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
\textbf{a.~~}  $y = -0,6x + \np{1272}$ &\textbf{b.~~} $y = 0,6x+ \np{1270,8}$&\textbf{c.~~} $y= -0,6x + \np{1270,8}$\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\item En 1970, la consommation moyenne de pain était de 80,6 kg par personne par an.
 
Entre 1970 et 2008, la consommation (à 1 pour cent près) :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}  
\textbf{a.~~}  a diminué de 36\,\% &\textbf{b.~~}  a diminué de 56\,\% &\textbf{c.~~}  a diminué de 29\,\%\\
\end{tabularx}
\medskip 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip 

Le tableau ci-dessous retrace, sur une dizaine d'années, l'évolution de la consommation moyenne de yaourts, en kg par personne et par an, en France. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année &1998 &2000 &2002 &2004 &2006 &2008\\ \hline 
Consommation de yaourts en kg par personne&19,4 &19,9& &21 &21,6 &21,8\\ \hline 
\multicolumn{7}{r}{\emph{Source : INSEE}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Partie A :} Traitement des données

\medskip
 
\emph{Tous les résultats demandés seront arrondis au dixième}

\medskip

 \begin{enumerate}
\item Retrouver la consommation de yaourts, en kg par personne, en 2002, sachant qu'elle a augmenté de 2,5\,\% entre 2000 et 2002. 
\item Calculer le taux d'évolution entre 1998 et 2008. 
\item En déduire le taux d'évolution annuel moyen entre 1998 et 2008.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :} Étude d'un modèle 

\medskip

On décide de modéliser la consommation annuelle de yaourts, à partir de 1998, à l'aide d'une suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ de raison $1,012$.
 
Pour tout entier naturel $n,\: u_{n}$ désigne la consommation théorique de yaourts l'année $1998 + n$. Ainsi $u_{0}$ vaut $19,4$. 
\begin{enumerate}
\item Que vaut $u_{1}$ ? 
\item En annexe 1, le tableau est un extrait d'une feuille de calcul obtenue à l'aide d'un tableur.
 
Le format d'affichage est un format numérique à une décimale. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une formule qui, entrée dans la cellule D3, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir le contenu des cellules de la plage D3~:~D13, sans utiliser la colonne C. 
		\item Compléter la colonne D.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire une nouvelle formule à entrer dans E2 pour avoir, après recopie vers le bas, les termes de la suite $\left(u_{n}\right)$ dans la plage E2~:~E13.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
D'après ce modèle, à partir de quelle année la consommation de yaourts dépassera-t-elle 25~kg par personne? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip 
 
Dans une ville sont joués deux concerts, un du groupe de hip hop noté H et l'autre du groupe de reggae noté R.
 
Les billets pour ces concerts sont vendus en totalité par une agence, dans trois billetteries A, B et C.
 
La billetterie A vend 40\,\% des billets.
 
La billetterie B vend 25\,\% des billets.
 
Les autres billets viennent de la billetterie C.
 
Les trois quarts des billets vendus par la billetterie A sont pour le concert du groupe H. 

La billetterie B a vendu autant de billets pour le concert de H que pour le concert de R.

 60\,\% des billets vendus à la billetterie C sont pour le concert du groupe H.
 
On tire un numéro de billet au hasard dans le fichier de l'agence et on considère les évènements suivants : 

A : \og le billet a été acheté à la billetterie A \fg{} ; 

B : \og le billet a été acheté à la billetterie B \fg ; 

C : \og le billet a été acheté à la billetterie C \fg{} ;
 
H : \og le billet est pour le concert du groupe H \fg{} ; 

R : \og le billet est pour le concert du groupe R \fg.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $P_{\text{C}}$(R) de R sachant C. 
\item Reproduire et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous :

\medskip
 
\begin{center}\pstree[linecolor=blue,treemode=R]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{\ldots}}
	  { 
		  \TR{H}\taput{\ldots}
		  \TR{R}\tbput{\ldots}	   
	  }
	\pstree{\TR{B}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{H}\taput{\ldots}
		  \TR{R}\tbput{\ldots}
	  }
	\pstree{\TR{C}\tbput{\ldots}}
	  {
		  \TR{H}\taput{\ldots}
		  \TR{R}\tbput{\ldots}
	  }	
}
\end{center} 

\item Montrer que la probabilité que le billet soit pour le concert du groupe R et qu'il ait été acheté à la billetterie C est égale à $0,14$. 
\item Calculer la probabilité P(R) de l'évènement R. 
\item On a choisi un billet du concert du groupe R. Quelle est la probabilité qu'il vienne de la billetterie C ?
 
Arrondir le résultat au centième. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip
 
Formulaire

\emph{Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle I, de fonction dérivée $u^{\prime}$, alors la fonction} $\text{e}^{u}$ \emph{est dérivable sur l'intervalle I et }$\left(\text{e}^{u}\right)^{\prime}  = u^{\prime}\text{e}^{u}$.

\medskip
 
Une étude de marché a été réalisée, auprès de vendeurs et d'acheteurs, pour connaître l'offre et la demande d'un produit en fonction de son prix unitaire, en euros, noté $x$. On suppose que $x$ est compris entre 1 et 7.
 
L'offre est la quantité du produit, en milliers d'unités, que les vendeurs acceptent de vendre au prix de $x$ euros. On la note $f(x)$.
 
La demande est la quantité du produit, en milliers d'unités, que les acheteurs sont prêts à acheter au prix $x$. On la note $g(x)$.
 
On modélise l'offre par la formule $f(x) = 10\text{e}^{0,65x}$ (en milliers d'unités), et la demande par $g(x) = 600\text{e}^{-0,35x}$ (en milliers d'unités).
 
On définit ainsi deux fonctions $f$ et $g$ sur l'intervalle [1~;~7].
 
La courbe représentative de la fonction $f$ est fournie en annexe 2.

\medskip
 
\textbf{Partie A} Étude de la fonction $f$

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement l'offre lorsque le prix unitaire est 2,50~euros. 
\item Calculer le prix unitaire, arrondi au centième d'euros, qui génère une offre de \np{200000} unités. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B} Étude de la fonction $g$ 

\medskip

On note $g^{\prime}$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle [1~;~7]. 
\begin{enumerate}
\item Calculer $g^{\prime}(x)$ pour $x$ appartenant à l'intervalle [1~;~7]. 
\item Étudier le signe de $g^{\prime}$ sur l'intervalle [1~;~7] et dresser le tableau de variation de $g$ sur cet intervalle. 
\item Compléter le tableau de valeurs, donné en annexe 3, à rendre avec la copie (arrondir à l'unité). 
\item Construire la représentation graphique de $g$ sur l'annexe 2, à rendre avec la copie.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C} Étude des deux courbes

\medskip
 
On appelle prix d'équilibre d'un produit, le prix pour lequel l'offre est égale à la demande.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer graphiquement le prix d'équilibre du produit. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Si le prix unitaire du produit est 2~euros, comment lit-on graphiquement la quantité de demande non satisfaite ? 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

{\large\textbf{Annexe 1, à rendre avec la copie }}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|m{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&\multicolumn{1}{c}{B}&C&D&E\\ \hline
1&Ann\'ee&Consommation moyenne en kg par personne&$n$&$u_{n}$&\\ \hline
2&1998&19,4&0&19,4&\\ \hline
3&1999&&1&&\\ \hline
4&2000&19,9&2&19,9&\\ \hline
5&2001&&3&20,1&\\ \hline
6&2002&&4&20,3&\\ \hline
7&2003&&5&20,6&\\ \hline
8&2004&21&6&20,8&\\ \hline
9&2005&&7&21,1&\\ \hline
10&2006&21,6&8&21,3&\\ \hline
11&2007&&9&21,6&\\ \hline
12&2008&21,8&10&21,9&\\ \hline
13&2009&&11&22,1&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\vspace{1cm}

{\large\textbf{Annexe 2, à rendre avec la copie }}

\medskip

\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-50)(8,1000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=100]{->}(0,0)(8,1000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=100](0,0)(8,1000)
\multido{\n=0.0+0.5}{17}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,1000)}
\multido{\n=0+50}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\uput[d](4,-50){Prix unitaire en euros}
\rput{90}(-0.75,500){Offre en milliers d'unit\'es}
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{1}{7}{10 2.71828 0.65 x mul exp mul}
\end{pspicture}

\vspace{1cm}

{\large\textbf{Annexe 3, à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x$ &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7\\ \hline
$g(x)$&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx} 
\end{center}
\end{document}