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% Corrigé : Michel Fréchet
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STG CGRH}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG  Antilles-Guyane~\\ juin 2007~CGRH}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\subsection*{Partie I}

\begin{enumerate}
\item Placer les points $A$, $B$ et $T$ et tracer les tangentes à la courbe $\mathcal{C}$ en $A$ et $B$.
\item $f(1) = 5,5$, $f(2) = 2$ et $f'(1) = -3$.

La dernière valeur $f'(1)$ correspond au c\oe fficient directeur de la tangente au point d'abscisse $1$. On voit sur le graphique que si on recule de $1$, on monte de $3$, d'où le c\oe fficient directeur est $3$. 
\item Par lecture graphique, les valeurs approchées des solutions de l'équation 

$f(x) = 3$ sont:

\[x_1\simeq 0,2\qquad;\qquad x_2\simeq 1,6\qquad;\qquad x_3\simeq 2,34.\]

\item  $f'(2) = 0$, car la tangente au point d'abscisse $2$, (le point $B$), est horizontale.

Par lecture graphique, une valeur approchée de la deuxième solution de l'équation $f'(x) = 0$ est $0,75$.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie II}

La fonction $f$ dont on connaît la courbe $\mathcal{C}$ est définie sur l'intervalle $[0~;~\nombre{2,5}]$ par :
\[f(x) = 4x^3 - \nombre{16,5}x^2 + 18x.\]
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant à l'aide de la calculatrice.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline
$x$ & 0 & \nombre{0,5} & 1 & \nombre{1,5} & 2 & \nombre{2,5} \\ \hline
$f(x)$ & 0 & 5,375 & 5,5 & 3,375 & 2 & 4,375 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dérivée de $f$:
		\[
		f'(x)=4\times 3x^2-16,5\times 2x+18=12x^2-33x+18
		\]
		\item Factorisation de $f'(x)$:
		\[
		(12x-24)(x-0,75)=12x^2-24x-12\times 0,75x+24\times 0,75=12x^2-33x+18=f'(x)
		\]
		\item Étude du signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ sur l'intervalle $[0~;~\nombre{2,5}]$:
\begin{multicols}{2}		
		\begin{itemize}
		\item $12x-24\geqslant 0 \Longleftrightarrow x \geqslant 2$
		\item $x-0,75\geqslant 0 \Longleftrightarrow x \geqslant 0,75$
		\end{itemize}
		\end{multicols}

	\end{enumerate}
	\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTabInit{$x$ /1,$12x-24$ /1,$x-0.75$ /1,$f'(x)$ /1}{$0$,$0.75$,$2$,$2.5$}
%\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
%\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
%\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
%\end{tikzpicture}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4)\psline(2,0)(2,4)
\psline(0,1)(8,1)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,3)(8,3)
\rput(1,3.5){$x$}\rput(2.1,3.5){$0$}\rput(4,3.5){$0,75$}\rput(6,3.5){$2$}\rput(7.8,3.5){$2,5$}
\rput(1,2.5){$12x - 24$} \rput(3,2.5){$-$} \rput(5,2.5){$-$} \rput(6,2.5){$0$} \rput(7,2.5){$+$}
\rput(1,1.5){$x - 0,75$} \rput(3,1.5){$-$}\rput(4,1.5){$0$}\rput(1,1.5){$$}\rput(5,1.5){$+$}
\rput(7,1.5){$+$}
\rput(1,0.5){$f'(x)$} \rput(3,0.5){$+$}\rput(4,0.5){$0$}\rput(5,0.5){$-$}\rput(6,0.5){$0$}\rput(7,0.5){$+$}
\end{pspicture}
\end{center}
\item Tableau de variations de $f$:
\begin{center}
%\begin{tikzpicture}
%\tkzTabInit{$x$ /1,$f'(x)$ /1,$f(x)$ /1,5}{$0$,$0.75$,$2$,$2.5$}
%\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
%\tkzTabVar{-/ $0$, +/ $\simeq 5,91$,-/ $2$,+/ $4,375$}
%\end{tikzpicture}
\begin{pspicture}(8,2.5)
\psline(2,0)(2,2.5) \psline(0,2)(8,2)
\psframe(8,2.5)
\psline{->}(2.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(5.5,0.5)\psline{->}(6.5,0.5)(7.5,1.5)
\uput[u](2.1,0){$0$} \uput[d](4,2){$\approx 5,91$} \uput[u](6,0){2} \uput[d](7.6,2){$4,375$}
\rput(1,2.25){$x$}\rput(2.1,2.25){$0$}\rput(4,2.25){$0,75$}\rput(6,2.25){$2$}\rput(7.8,2.25){$2,5$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
Dates & Rang $x_{i}$ & \begin{tabular}{c} Nombre de demandeurs \\ d'emploi en milliers $y_{i}$\end{tabular} \\\hline
31 juillet 2005 & 1 & \np{2706}\\\hline
31 août 2005 & 2 & \np{2708}\\\hline
30 septembre 2005 & 3 & \np{2673}\\\hline
31 octobre 2005 & 4 & \np{2661}\\\hline
30 novembre 2005 & 5 & \np{2641}\\\hline
31 décembre 2005 & 6 & \np{2622} \\\hline
31 janvier 2006 & 7 & \np{2628}\\\hline
28 février 2006  & 8 & \np{2613}\\\hline
31 mars 2006 & 9 & \np{2583}\\\hline
30 avril   2006 &  10 & \np{2544}\\\hline
31 mai 2006 & 11& \np{2499}\\\hline
30 juin 2006 & 12 & \np{2465}\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\subsection*{Partie A}

\emph{Tous les taux d'évolution seront donnés en pourcentage avec trois décimales.}
\begin{enumerate}
\item Taux d'évolution $t_1$ du nombre de demandeurs d'emploi entre le 31 août 2005 et le 30 septembre 2005:
\[
t_1=\frac{2673-2708}{2708}=-0,013,\quad\text{soit une diminution de}\ 1,3\%
\]
\item Entre le 30 juin 2005 et le 31 juillet 2005 le nombre de demandeurs d'emploi a baissé de \nombre{0,952}~\%. Le nombre de demandeurs d'emploi le 30 juin 2005 (arrondi au millier) est 2732:

$x-\frac{0,952}{100}x=2706\Longleftrightarrow x\left(1-\frac{0,952}{100}\right)=2706 \Longleftrightarrow
x\times 0,99048=2706 \Longleftrightarrow $

$
x=\frac{2706}{0,99048}\simeq 2732
$
\item Taux d'évolution $T$ du nombre de demandeurs d'emploi entre le 31 juillet 2005 et le 30 juin 2006:
\[
T=\frac{2465-2706}{2706}=-0,089,\quad\text{soit une diminution de}\ 8,9\%
\]

Taux d'évolution mensuel moyen $t_m$ sur ces 11 mois:
\[
1+t_m={\left(1+T\right)}^{\frac{1}{11}}=\sqrt[11]{1-0,089}\simeq 0.992 \Longleftrightarrow t_m \simeq 0,992-1 \simeq -0,008,
\]
soit une diminution mensuel moyenne de 0,8\%.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

On considère la série statistique $(x_{i},y_{i})$ donnée par le tableau.
\begin{enumerate}
\item \`A l'aide de la calculatrice, l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés est: 
\[
y=-20,64x+2746,08
\]

\item En supposant que cette évolution se poursuive, voici une estimation du nombre de demandeurs d'emploi fin août 2006 (arrondi au millier) $2457$:
\[
-20,64\times 14+2746,08=2 457.12
\]

\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Exercice 3 \hfill 7 points}

\begin{enumerate}
	\item  $P(A)=\dfrac{900}{900+600}=\dfrac{3}{5}$, $P(B)=\dfrac{2}{5}$, $P_{A}(D)=\frac{2}{100}$, et $P_{B}(D)=\dfrac{1}{100}$.
	\item Arbre pondéré décrivant la situation:
	\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1]
%\tikzstyle{fleche}=[->,>=latex,thick]
%\tikzstyle{noeud}=[]
%\tikzstyle{feuille}=[]
%\tikzstyle{etiquetteb}=[midway,below]
%\tikzstyle{etiquetteh}=[midway,above]
%
%\def\DistanceInterNiveaux{3}
%\def\DistanceInterFeuilles{1}
%
%\def\NiveauA{(0)*\DistanceInterNiveaux}
%\def\NiveauB{(1.5)*\DistanceInterNiveaux}
%\def\NiveauC{(2.5)*\DistanceInterNiveaux}
%\def\InterFeuilles{(-1)*\DistanceInterFeuilles}
%
%\node[noeud] (R) at ({\NiveauA},{(1.5)*\InterFeuilles}) {$\bullet$};
%\node[noeud] (Ra) at ({\NiveauB},{(0.5)*\InterFeuilles}) {$A$};
%\node[feuille] (Raa) at ({\NiveauC},{(0)*\InterFeuilles}) {$D$};
%\node[feuille] (Rab) at ({\NiveauC},{(1)*\InterFeuilles}) {$\overline{D}$};
%\node[noeud] (Rb) at ({\NiveauB},{(2.5)*\InterFeuilles}) {$B$};
%\node[feuille] (Rba) at ({\NiveauC},{(2)*\InterFeuilles}) {$D$};
%\node[feuille] (Rbb) at ({\NiveauC},{(3)*\InterFeuilles}) {$\overline{D}$};
%
%\draw[fleche] (R)--(Ra) node[etiquetteh] {$\frac{3}{5}$};
%\draw[fleche] (Ra)--(Raa) node[etiquetteh] {$\frac{2}{100}$};
%\draw[fleche] (Ra)--(Rab) node[etiquetteb] {$\frac{98}{100}$};
%\draw[fleche] (R)--(Rb) node[etiquetteb] {$\frac{2}{5}$};
%\draw[fleche] (Rb)--(Rba) node[etiquetteh] {$\frac{1}{100}$};
%\draw[fleche] (Rb)--(Rbb) node[etiquetteb] {$\frac{99}{100}$};
%\end{tikzpicture}

\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$A$}\taput{$\frac{3}{5}$}}
	{
	\TR{$D$}\taput{$\frac{2}{100}$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\frac{98}{100}$}
	}
\pstree{\TR{$B$}\tbput{$\frac{2}{5}$}}
	{
	\TR{$D$}\taput{$\frac{1}{100}$}
	\TR{$\overline{D}$}\tbput{$\frac{99}{100}$}
	}
}
\end{center}
	\item Définition des événements:
	
	 $A\cap D$ signifie \og la carte graphique venant de l'atelier \textbf{A} est défectueuse 
	 \fg
	 
	 $B\cap D$ signifie \og la carte graphique venant de l'atelier \textbf{B} est défectueuse \fg
	 
$
	 p(A\cap D)=p_A(D)\times p(A)=\frac{3}{5}\times\frac{2}{100}=\frac{6}{500}=\frac{3}{250}\quad;$
	 
$	 p(B\cap D)=p_B(D)\times p(B)=\frac{2}{5}\times\frac{1}{100}=\frac{2}{500}=\frac{1}{250}
$
	\item Ainsi $P(D)=p(A\cap D)+p(B\cap D)=\dfrac{3}{250}+\dfrac{1}{250}=\dfrac{4}{250}\simeq \nombre{0,016}$.
	\item $P_{D}(A)=\dfrac{p(A\cap D)}{p(D)}=\cfrac{\cfrac{3}{250}}{\cfrac{4}{250}}=\dfrac{3}{4}=0,75$.
	\item Les événements $A$ et $D$ ne sont pas indépendants, car: 
	\[
	p(A)\times p(D)=\frac{3}{5}\times \frac{4}{250}=\frac{12}{1250}= \np{0,0096} \not=  p(A\cap D)=0,012
	\]
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage

\textbf{Annexe à joindre à la copie}
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[xscale=2,scale=2]
%\tkzInit[xmin=-.1,xmax=2.5,ymin=-.1,ymax=9]
%\tkzGrid[sub,subxstep=.05]
%\tkzAxeX[tickup=0,tickdn=.1,right space=0.1] \tkzAxeY[tickrt=0,ticklt=.02]
%\tkzFct[domain=0:2.5]{(4*\x*\x*\x)-(16.5*\x*\x)+(18*\x)}
%\tkzFct[domain=0:2.5]{\x*(\x*(4*\x-16.5)+18)}
%\tkzDefPoints{1/5.5/A,2/2/B,0/8.5/T,0.20236/3/M1,1.5864/3/M2,2.3362/3/M3,.75/5.90625/C}
%\tkzDrawTangentLine[kr=.4,kl=.4,thick](2)
%\tkzDrawTangentLine[kr=.4,kl=1,thick](1)
%\tkzDrawTangentLine[kr=.4,kl=.4,thick](.75)
%\tkzPointShowCoord[ylabel=${5,5}$](A) \tkzPointShowCoord(B)
%\tkzDrawPoints(A,B,T,M1,M2,M3,C)
%\tkzLabelPoint[above right](A){$A$} \tkzLabelPoint[above](B){$B$} \tkzLabelPoint[left](T){$T$}
%\tkzHLine[style=solid,line width=1.2pt]{3}
%\tkzPointShowCoord[noydraw,xlabel=${\simeq 0,2}$](M1)
%\tkzPointShowCoord[noydraw,xlabel=${\simeq 1,6}$](M2)
%\tkzPointShowCoord[noydraw,xlabel=${\simeq 2,34}$](M3)
%\tkzPointShowCoord[noydraw,xlabel=${0,75}$](C)
%\end{tikzpicture}
%\end{center}

\bigskip

\psset{xunit=3.5cm,yunit=1.44cm}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.25)(3,9.25)
\multido{\n=0.0+0.1}{31}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan](\n,0)(\n,9.25)}
\multido{\n=0.0+0.25}{38}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=cyan](0,\n)(3,\n)}
%\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=orange](0,0)(-0.2,-0.25)(3,9.25)
\psset{algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\psaxes[ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.2,-0.25)(3,9.25)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=2000]{0.0}{2.5}{4*x^3-16.5*x^2+18*x}
\uput[d](2.9,0){$x$}
\uput[l](0,9.15){$y$}
\uput[u](2,2){$B$} \uput[ur](1,5.5){$A$}
\psdots(2,2)(1,5.5)(0.75,5.9)(1.6,2)(2.34,2)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(1.6,2)(2.34,2)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(1.4,4.3)(0.6,6.7)
\psline[linewidth=1pt]{<->}(0.35,5.9)(1.15,5.9)
\end{pspicture}
 
\end{document}