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%Tapuscrit : Denis Vergès 
%Sujet aimablement fourni par Clotilde Rouchon
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
%\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STG CGRH}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{6 mars 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG CGRH Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\[4pt]6 mars 2014}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
{\footnotesize
\medskip
 
\textbf{QCM}

\medskip
 
\emph{Pour chacune des questions, une seule des réponses a, b ou c est exacte.\\ 
Indiquez sur votre copie les bonnes réponses par le numéro et la lettre correspondante.\\
Aucune justification n'est demandée.\\ 
NOTATION :\\ 
$\bullet~~$une réponse exacte rapporte $1$ point,\\ 
$\bullet~~$l'absence de réponse ou une réponse fausse n'enlève pas de point.}

\bigskip
 
\textbf{PARTIE A}

\medskip
 
On donne le tableau de variation d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 2~;~4]$. 

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.75cm}
\begin{pspicture}(10,4)
\psframe(10,4)\psline(0,3)(10,3)\psline(0,3.5)(10,3.5)\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3.4){\small Valeurs de $x$} \uput[u](2.15,3.4){$- 2$} \uput[u](4,3.4){$0$} \uput[u](6,3.4){$1$} \uput[u](8,3.4){$2$} \uput[u](9.85,3.4){$4$} 
\uput[u](1,2.8){\small Signe de $f'(x)$} \uput[u](3,2.9){$-$}\uput[u](4,2.9){$0$}
\uput[u](5,2.9){$+$}\uput[u](7,2.9){$+$}\uput[u](8,2.9){$0$}
\uput[u](9,2.9){$-$}
\uput[d](2.1,3){4}\uput[u](4,0){$- 1$}\rput(6,1.5){$- \frac{1}{2}$}\uput[d](8,3){0}\uput[u](9.7,0){$- 5$}
\rput(1,1.5){\small Variation de $f$}
\psline{->}(2.5,2.5)(3.5,0.5) 
\psline{->}(4.5,0.5)(5.5,1.2)
\psline{->}(6.5,1.8)(7.5,2.5)
\psline{->}(8.5,2.5)(9.5,0.5) 

\end{pspicture}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item On peut dire que : 
	\begin{enumerate}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f$ est négative ou nulle sur l'intervalle $[- 2~;~0]$}. 
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f$ est positive ou nulle sur l' intervalle [0~;~2]}. 
		\item \ovalbox{$f$ est négative ou nulle sur l'intervalle [2~;~4].}
	\end{enumerate} 
\item On cherche à comparer $f(- 2)$ et $f(- 0,5)$. 
	\begin{enumerate}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$f(- 2) < f(- 0,5)$ }
		\item \ovalbox{$f(-2) > f(-0,5)$} \emph{ car $f$ est décroissante sur $[-2~,~0]$ et $-2<-\np{0.5} $}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{On ne peut pas répondre}.
	\end{enumerate}  
\item Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est : 
	\begin{enumerate}
		\item \ovalbox{$\dfrac{3}{4}$ } \emph{\footnotesize la fonction étant croissante sur [0~;~2], la fonction dérivée est par conséquent positive}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- 2$ } 
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- \dfrac{1}{2}$}  
	\end{enumerate}
\item La courbe représentant la fonction $f$ est : 
	\begin{enumerate}
		\item \ovalbox{Courbe 1 }
\begin{center} \scalebox{0.7}{
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-5.2)(5.1,6.1)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(-3.1,-5.1)(5.1,6.1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5.2}{x 2 sub dup mul x 1 add neg mul 4 div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=0.25pt,linecolor=red]{-3}{5.2}{x 3 mul 5 sub 4 div}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}}
\end{center}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{Courbe 2 }
\begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-3.1,-5)(4.5,5)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(-3.1,-5)(4.55,5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{4.5}{x  2 x  sub  mul 0.4 mul}
\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture*}}
\end{center}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{Courbe 3}
\begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=1cm,yunit=0.6cm}
\begin{pspicture*}(-3.6,-4.2)(4,6.2)
\psaxes[linewidth=1pt,Dy=2](0,0)(-3.6,-4.2)(4,6.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{5}{x 1 sub dup mul x 2 add neg mul 8 div}
\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture*}}
\end{center}		 
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 
\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

Dans le sac de jouets de Camille, il n'y a que des voitures bleues ou rouges. Les voitures sont soit en plastique, soit en métal.

25\,\% des voitures sont en métal et 40\,\% des voitures en métal sont rouges. 

On sait de plus que 30\,\% des voitures en plastique sont rouges.
 
Camille prend au hasard une voiture dans son sac de jouets.
 
Pour vous aider, vous pourrez utiliser l'arbre ci-dessous :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,labelsep=0.1pt}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{
\pstree{\TR{$M$~}\taput{0,25}}
	{
	\TR{$R$}\taput{0,4}
	\TR{$B$}\tbput{\np{0.6}}
	}
\pstree{\TR{$P$~}\tbput{\np{0.75}}}
	{
	\TR{$R$}\taput{0,3}
	\TR{$B$}\tbput{\np{0.7}}
	}	
}
\end{center} 



\begin{enumerate}
\item La probabilité d'avoir une voiture rouge et en métal est: $p(M \cap R)=p(M)\times p_M(R)$
	\begin{enumerate}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,65 }
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,12 }
		\item \ovalbox{0,1}\hspace{1em}   $\np{0.25}\times\np{0.4}$
	\end{enumerate} 
\item La probabilité d'avoir une voiture rouge est: $p(R)=p(M \cap R)+p(P\cap R)$
	\begin{enumerate}
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,7} 
		\item \ovalbox{0,325 } \hspace{1em} $\np{0.1}+\np{0.75}\times \np{0.3}$
		\item \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,12}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

Dans cet exercice, on s'intéresse à l'évolution de la puissance éolienne en France.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item L'un des objectifs du Grenelle de l'Environnement est énoncé ainsi :
 
\og En 2020, la puissance éolienne devra être de 25 gigawatts dont 6 gigawatts en mer, soit environ \np{8000} éoliennes incluant les \np{2000} déjà installées. \fg
 
Déterminons, le pourcentage de puissance fournie par l'éolien marin par rapport au total de l'éolien : $\dfrac{6}{25}=\np{0.24}=24\,\%$.

 En 2020,la puissance fournie par l'éolien marin devrait être égale  à 24\,\% de celle fournie par l'éolien.
\end{enumerate}
\medskip
 
Pour toute la suite de l'exercice, on considèrera le tableau suivant où la puissance éolienne totale est exprimée en gigawatts (GW).

\begin{center} 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 						&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010\\ \hline 
Rang de l'année : $x_{i}$	& 0 	&1 		&2 		&3 		&4 		&5\\ \hline 
Puissance : $y_{i}$ 		&0,757 	&1,567 	&2,455 	&3,486 	&4,574 	&5,660\\ \hline 
\multicolumn{7}{r}{\footnotesize \emph{Source : http://www.enr.fr}}
\end{tabularx}
\end{center} 
 
\begin{enumerate}[resume]
\item Le nuage de points correspondant aux données de l'énoncé est représenté, sur la feuille Annexe ; 

{\footnotesize le rang $x_{i}$ de l'année étant placé en abscisse et la puissance $y_{i}$ correspondante apparaissant en ordonnée}. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $G$ le point moyen du nuage, calculons les coordonnées de $G$ arrondies au dixième près.
 Les coordonnées de G sont ($\overline{x}~;~\overline{y}$)
 
\[\overline{x_G} = \frac{0+1+2+3+4+5}{6}=\np{2.5} \quad \overline{y_G} = \frac{\np{0.757}+\np{1.567}+\np{2.455}+\np{3.486}+\np{4.574}+\np{5.660}}{6} \approx\np{3.1}\]

\item G $\left( \np{2.5}~;~\np{3.1} \right)$ est placé  sur le graphique précédent.

	\end{enumerate} 
\item À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés ( les coefficients étant  arrondis au millième) est $y=\np{0.988}x + \np{0.614}$.
\end{enumerate}
\medskip
 
Pour toute la suite de l'exercice, on utilisera la droite D d'équation $y = x + 0,6$ comme droite d'ajustement.

\medskip
 \begin{enumerate}[resume]
\item  La droite D  est tracée sur le graphique de la question 2. 
\item Si l'évolution continue selon le même ajustement, l'objectif du Grenelle de l'Environnement tel qu'énoncé à la question 1. sera-t-il atteint ?

Non, car en 2020, $x$ égale $15$ et la puissance éolienne totale vaudra \np[GW]{15.6} ($15+\np{0.6}$) loin de l'objectif des \np[GW]{25}.  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip
{\footnotesize
Deux amis, Ludovic et Jacques, ont été recrutés au 1\up{er} janvier 2013 dans la même entreprise. 

Lors de l'entretien qui a précédé l'embauche de ces deux salariés, Ludovic a négocié un salaire mensuel net 
de \np{1600}~\euro{} 

avec une augmentation de 2,5\,\% au 1\up{er} janvier de chaque année à partir de 2014. 

Jacques, quant à lui, a négocié un salaire mensuel net de \np{1600}~euros augmenté de 43 euros, également au 1\up{er} janvier de chaque année.

\medskip
 
Dans cet exercice, on pourra utiliser le tableau suivant, dont certaines cases ont été effacées :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\footnotesize}c|>{\footnotesize}c|*{6}{>{\footnotesize\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Année 
&Rang $n$ &Salaire mensuel de Ludovic&Salaire annuel de Ludovic &\scriptsize Total des salaires perçus par Ludovic depuis le 01/01/2013&
Salaire mensuel de Jacques&Salaire annuel de Jacques&\scriptsize
Total des salaires perçus par Jacques depuis le 01/01/2013\\ \hline 
2013 &0 &\np{1600} &\np{19200,00} &\np{19200} &\np{1600} &\np{19200} &\np{19200}\\ \hline 
2014 &1 &\np{1640,00} &\np{19680,00} &\np{38880} &\np{1643} &\np{19716} &\np{38916}\\ \hline 
2015 &2 &\np{1681,00} &\np{20172,00} &\np{59052} &&\np{20232} &\np{59148}\\ \hline 
2016 &3 &\np{1723,03} &\np{20676,30} &\np{79728} &&\np{20748} &\np{79896}\\ \hline 
2017 &4 &\np{1766,10} &\np{21193,21} &\np{100922} &&\np{21264} &\np{101160}\\ \hline 
2018 &5 &&&\np{122645} &&&\np{122940}\\ \hline 
2019 &6 &\np{1855,51} &\np{22266,11} &\np{144911} &\np{1858} &\np{22296} &\np{145236}\\ \hline 
2020 &7 &\np{1901,90} &\np{22822,77} &\np{167733} &\np{1901} &\np{22812} &\np{168048}\\ \hline 
2021 &8 &\np{1949,44} &\np{23393,34} &\np{191127} &\np{1944} &\np{23328} &\np{191376}\\ \hline 
2022 &9 &\np{1998,18} &\np{23978,17} &\np{215105} &\np{1987} &&\\ \hline
2023 &10 &&&\np{239683} &\np{2030} &&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\textbf{Partie A :} Contrat salarial de Ludovic

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $L_{n}$ le salaire mensuel de Ludovic au 1\up{er} janvier de l'année $2013+n$ avec $n$ entier. Par exemple, $L_{2}$ correspond au salaire que Ludovic percevra chaque mois de l'année 2015. 
	\begin{enumerate}
		\item À un taux d'évolution de \np{2.5}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1,025}. Chaque année, le salaire mensuel de Ludovic est donc multiplié par \np{1,025}. Par conséquent, la suite $\left(L_{n}\right)$ est une suite géométrique. 
		\item  le premier terme $L_{0}=\np{1600}$ et la raison de la suite est \np{1.025}.
	\end{enumerate} 
\item  Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est  $u_n=u_0q^n$. L'expression de $L_{n}$ en fonction de $n$ est alors   $L_n=\np{1600} \times(\np{1,025})^n$.
\item Calculons le salaire mensuel perçu par Ludovic en 2018. 

En 2018,  $n = 5, \ L_5=\np{1600}\times \np{1,025}^5\approx \np{1810,25}$. 
\item  Calculons le total des salaires perçus par Ludovic entre le 01/01/2013 et le 31/12/2023. 

La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est :
$u_0\times \dfrac{q^{n+1}-1}{q-1}$.

Nous prenons comme premier terme le salaire annuel de Ludovic et comme raison \np{1.025}. 
\[12 \times \np{1600} \times \dfrac{\np{1,025}^{11}-1}{\np{1,025}-1}\approx \np{239682,55}\]

Le montant total des salaires perçus par Ludovic pendant cette période est bien d'environ \np{239683}~\euro. Ce que confirme la lecture du tableau.

\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B :} Contrat salarial de Jacques

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On note $J_{n}$ le salaire mensuel de Jacques au 1\up{er} janvier de l'année  $2013 + n$ avec $n$ entier. Par exemple, $J_{4}$ correspond au salaire que Jacques percevra chaque mois de l'année 2017. 
	\begin{enumerate}
		\item La suite $\left(J_{n}\right)$ est arithmétique car la différence entre deux termes consécutifs est constante et vaut 43. 
		\item Le premier terme $J_{0}$ vaut \np{1600} et la raison de la suite $43$.
	\end{enumerate} 
\item Le terme général d'une suite  arithmétique  de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est 

$u_n=u_0+(n)r$.

L'expression de $J_{n}$ en fonction de $n$ est alors $J_n=\np{1600}+43n$. 
\item Calculons $J_5$ le salaire mensuel perçu par Jacques en 2018.  $J_5=\np{1600}+ 43\times 5= \np{1815}$.
\item Déterminons le total des salaires perçus par Jacques entre le 01/01/2013 et le 31/12/2023.

La somme des $n+1$ premiers termes d'une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ est :
$\dfrac{(n+1)(u_0 + u_n)}{2}$.
 
 $u_0=12\times \np{1600}=\np{19200}, \quad u_{10}=12 \times \left(\np{1600}+10\times 43 \right)=\np{24360}$
 
 \[\text{Donc }\: \dfrac{11\times(\np{19200}+\np{24360})}{2}=\np{239580}\]
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C :} Comparaison salariale entre les deux contrats

\medskip
 
Lequel des deux contrats vous paraît le plus intéressant ? 

Le contrat de Ludovic commence à être le plus intéressant en 2023 car c'est la première année où son salaire annuel dépasse  de très peu celui de Jacques.

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE} 

\vspace{1cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft} 
\textbf{EXERCICE 2} 
\end{flushleft}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(16.5,16.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=10](0,0)(16,16)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(0,0)(16.5,16.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[d](16.5,0){$x$}\uput[l](0,16.5){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\psdots[dotstyle=SolidSquare,dotscale=1.2,dotangle=45](0,0.757)(1,1.567)(2,2.455)(3,3.486)(4,4.574)(5,5.660)
\psdot[dotstyle=square,fillcolor=red,dotscale =1.94,dotangle=45](2.5,3.1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.7pt,plotpoints=800]{0}{15}{x  0.6 add}
\uput[u] (2.5,3.1){G}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}
\psset{xunit=2cm,yunit=0.02cm}
\begin{pspicture}(7,750)
\psaxes[Ox=0,Oy=0,Dx=1,Dy=50]{->}(0,0)(-0.25,-30)(8,725)
\multido{\n=0+25}{29}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+1}{9}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,700)}
\rput(8,13){\footnotesize rang de l'année}\rput(0,735){\footnotesize Nombre de clients}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\label{reglin}
