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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STG},
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%Tapuscrit Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé C. G. R. H.}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\textbf{Durée : 2 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG novembre
 2007~\decofourright\\CGRH Nouvelle-Calédonie}}
 
\vspace{0,5cm}
%\textbf{Ce sujet nécessite une feuille de papier millimétré.}
\end{center}

%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Pour  chacune des quatre questions de ce QCM une seule des quatre propositions est exacte.}
%
%\emph{Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\emph{Une réponse exacte vaut $1$ point. Une réponse inexacte enlève $0,25$ point. L'absence de  réponse n'apporte ni n'enlève aucun point. Si le total	des points est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\medskip
%
%Aline, Jean et François désirent chacun acheter une automobile qui, neuve vaut  \np{13500}~\euro.
\begin{enumerate}
\item  %Sur  son livret d'épargne Aline dispose de \np{18000}~\euro. Quelle part de son épargne serait consacrée à l'achat de cette automobile ?
Aline consacre $\dfrac{\np{13500}}{\np{18000}} \times 100 = 75\,\%$ de son épargne.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~45\:\%&\textbf{b.}~~75\:\%&  \textbf{c.}~~133\:\%& 	\textbf{d.}~~60\:\%\\
%\end{tabularx}
%\medskip
\item  %Jean dit que l'achat de l'automobile représente 60\:\% de son budget. Quel est le budget dont dispose Jean ?
On a $x\times 0,6 = \np{13500}$, donc $x = \dfrac{\np{13500}}{0,6} = \np{22500}$~\euro.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~\np{20000}~\euro&\textbf{b.}~~\np{8100}~\euro&	\textbf{c.}~~\np{22500}~\euro&\textbf{d.}~~\np{44444}~\euro\\
%\end{tabularx}
%\medskip
\item  %François n'a pas assez d'argent pour acheter l'automobile neuve, mais celle-ci perd 15\:\% de sa valeur lors de la première année. De quelle somme devrait-il disposer pour acheter l'automobile âgée d'un an ?
Au bout de un an la voiture ne vaut plus que $\np{13500} \times 0,85 = \np{11475}$~\euro.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~\np{2025}~\euro& \textbf{b.}~~\np{6750}~\euro&\textbf{c.}~~\np{11475}~\euro&\textbf{d.}~~\np{12000}~\euro.\\
%\end{tabularx}
%\medskip
\item  %La perte de valeur est de 15\:\% par an. Quelle est la perte après deux ans ?
Chaque année le prix est multiplié par 0,85, donc en deux ans la voiture ne vaut plus que : $\np{13500} \times 0,85^2 = \np{9753,75}$~\euro.

La perte est donc de $\np{13500} - \np{9753,75} = \np{3746,25}$~\euro.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.}~~\np{4050}~\euro&\textbf{b.}~~\np{3746,25}~\euro&\textbf{c.}~~\np{303,75}~\euro&\textbf{d.}~~\np{1721,25}~\euro.\\
%\end{tabularx}
%\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 8 points}

\medskip

%Sophie a mis des dragées dans une boîte, les unes contiennent une amande, les autres n'en contiennent pas.
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item 30\:\% des dragées contiennent une amande ;
%\item 40\:\% des dragées avec amande sont bleues, les autres sont roses ;
%\item 75\:\% des dragées sans amande sont bleues, les autres sont roses.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Sophie choisit au hasard une dragée dans la boîte. On admet que toutes les dragées ont la même probabilité d'être choisies.
%
%On note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] A l'évènement \og La dragée choisie contient une amande \fg ;
%\item[$\bullet~$]	$\overline{\text{A}}$ désigne l'évènement contraire de l'évènement A ;
%\item[$\bullet~$] B est l'évènement \og La dragée choisie est bleue \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Déterminer la probabilité de l'évènement A.
D'après l'énoncé $p(\text{A}) = 0,30$.
\item  %Compléter l'arbre de probabilités de l'annexe  1 ci-jointe, à rendre avec la copie.
Voir à la fin.
\item  %Décrire l'évènement A $\cap$ B par une phrase. Montrer que sa probabilité est égale à $0,12$.
A $\cap$ B désigne l'évènement : \og la dragée choisie a une amande et est bleue. \fg

On a $p(\text{A} \cap \text{B}) = p(\text{A}) \times p_{\text{A}}(\text{B}) = 0,3 \times 0,4 = 0,12$.
\item  %Compléter le tableau de probabilités de l'annexe 2 à rendre avec la copie.
Voir à la fin.
\item  %Sachant que Sophie choisit  une dragée bleue,  quelle est la probabilité, que cette dragée contienne une amande ? Arrondir la réponse à $0,01$.
Il faut trouver $p_{\text{B}}(\text{A} = \dfrac{p(\text{B} \cap \text{A})}{p(\text{B})} = \dfrac{0,12}{0,645} \approx \np{0,1860}$ soit environ 0,19 au centième près.
\item  %Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
On a $p(\text{A} \cap \text{B}) = 0,12$ et $p(\text{A}) \times p(\text{B}) = 0,3 \times 0,645 = 0,1935 \ne 0,18$ donc les évènements ne sont pas indépendants.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 8 points}

\medskip

%Une coopérative désire optimiser la production de son unité de tri de pommes.
%
%Ce tri consiste à écarter les pommes avariées de l'ensemble  des pommes.
% 
%On désigne par $x$ le nombre de centaines de pommes triées par heure. On suppose que le nombre de pommes avariées non écartées à l'issue du tri est une fonction de $x$, notée $f$, telle que 
%
%\[f(x) = x^2 - 84x + \np{1872},\]
%
%lorsque $x$ appartient à l'intervalle [42~;~50].

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %On désigne  par $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Déterminer $f'(x)$.
$f'(x) = 2x - 84$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ et en déduire les variations de $f$ sur l'intervalle [42 ~;~50].
$\bullet~~$$2x - 84 > 0$ si $2x > 84$ ou $x > 42$, donc la dérivée est positive sur [42~;~50] ; la fonction $f$ est donc croissante sur l'intervalle [42~;~50] de 

$f(42) = 42^2 - 84 \times 42 + \np{1872} = 108$ à $f(50) = 50^2 - 84 \times 50 + \np{1872} = 172$.
	\end{enumerate}
\item %Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant :

\medskip

\begin{center} 
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&42	&43	&44	&45	&47	&50\\ \hline
$f(x)$	&108&109&112&117&133&172\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item   ~%Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques :  1~cm pour $100$ pommes en abscisse à partir de 42 ; 1~cm pour 10~pommes en ordonnée  à partir de $100$).
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(41,95)(51,180)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=42,Oy=100,Dy=10](42,100)(42,100)(51,180)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{42}{50}{x   dup mul 84 x   mul sub 1872 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{42}{50}{x   3 mul}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](48,100)(48,144)(42,144)
\end{pspicture}
\end{center}
\item   %La coopérative estime que le tri est satisfaisant si la part des pommes avariées parmi celles  acceptées lors du tri n'excède pas 3\:\%.
	\begin{enumerate}
		\item  %Justifier que le nombre $f(x)$ doit être inférieur ou égal à $3x$.
Sur $x$ centaines de pommes, le nombre de pommes avariées non écartées lors du tri ne doit pas dépasser $3x$, donc $f(x) \leqslant 3x$. 
		\item  %Sur le repère précédent tracer la droite d'équation $y = 3x$.
Voir le graphique  
		\item  %En utilisant le graphique, déterminer le nombre  maximal de pommes à trier par heure pour lequel le tri reste satisfaisant.
Sur le graphique on constate que la courbe représentative de $f$ reste sous la droite d'équation $y = 3x$ jusqu'au point d'abscisse 48. On peut donc trier jusqu'à \np{4800} pommes par heure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

{\bf FEUILLE ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\vspace{1cm}

{\Large Annexe 1}

\vspace{1cm}

\pstree[treemode=R,nodesep=3.5pt]{\Tdot}
{
	\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{ A}\taput{$0,3$}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{B}\taput{0,4}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{B}}$}\tbput{0,6}
 		}
	\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{$\overline{\text{A}}$}\tbput{0,7}}
		{
\Tdot~[tnpos=r]{ B}\taput{0,75}
 \Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{B}}$}\tbput{0,25}
 		}
}

\vspace{2cm}

{\Large Annexe 2}

\bigskip

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Bleu 	&Rose 	&Total\\ \hline
Avec amande 			&$0,12$	&$0,18$	&$0,3$\\ \hline
Sans amande				&$0,525$&$0,175$&$0,7$\\ \hline
Total					&$0,645$&$0,355$&$1$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document} 