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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STG CGRH}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small juin 2007}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé  STG  Centres étrangers  juin 2007~\decofourright\\
Communication et gestion des ressources humaines}}
 \end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

%Le jour  anniversaire de ses 16 ans, Nicolas décide d'arrêter de fumer.
%
%Il calcule  qu'il économisera ainsi $520$~euros par an.
%
%\medskip

\textbf{Partie  A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sachant qu'une année compte 52 semaines et que le prix d'un paquet  était de $5$~euros,  combien  de paquets Nicolas fumait-il par semaine ?
Il a fumé en un an $\dfrac{520}{5} = 104$ paquets de cigarettes, soit 2 par semaine en moyenne.
\item  %Il décide alors de placer la somme ainsi économisée, un an plus tard soit le jour de ses  17 ans, sur un livret Jeune.

%Le livret Jeune, accessible aux 12--25 ans, est rémunéré au taux annuel de 4,5\:\% à intérêts composés et est plafonné à \np{1600}~euros.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer les intérêts obtenus, et le capital obtenu (somme placée $+$ intérêt) le jour  de ses 18 ans.
		Au bout de 1 an son capital est égal à : $520 \times \left(1 + \frac{4,5}{100} \right) = 520 \times 1,045 = 543,40$~\euro 
		\item %Le jour de ses 18 ans, il place de même sur le livret Jeune ses économies : $520$~euros.
		
%Déterminer le capital total, obtenu sur le livret Jeune, le jour de ses $19$~ans.
$\bullet~~$Les 543,40~\euro{} déjà placés rapportent à nouveau 4,5\,\% ; au bout de 1 an ils donnent (capital + intérêts) : $543,4 \times 1,045 \approx 567,85$~\euro.

$\bullet~~$Les 520~\euros nouveaux déposés donnent en 1 an un capital de : 

$520 \times 1,045 = 543,40$~\euro.

Au total le jour de ses 19 ans il a donc : $567,85 + 543,40 = \np{1111,25}$~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie  B}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A &	B				&C			&D	&E	&	F\\ \hline
1&	Âge				&Somme placée& Taux d'intérêt&Intérêt obtenu&Capital obtenu&Économie 	annuelle\\ \hline
2&	19&\np{1631,29}&2,75\:\%	&	&	&520\\ \hline
3&	20&\np{2196,11}&2,75\:\%	&	&	&520\\ \hline
4&	21&\np{2776,54}	&	2,75\:\%&	&	&520\\ \hline
5&	22&\np{3372,90}	&	2,75\:\%&	&	&520\\ \hline
6&	23&\np{3985,65}	&	2,75\:\%&	&	&520\\ \hline
7&	24&\np{4615,26}	&	2,75\:\%&	&	&520\\ \hline
8&	25&\np{5262,18}	&	2,75\:\%&	&	&520\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Le jour  de ses 19 ans, il se rend à la banque pour placer ses $520$~\euro{} économisés. Le responsable commercial de la banque lui signale qu'il ne peut pas verser ses économies sur son livret Jeune. Expliquer pourquoi.
En plaçant à nouveau 520~\euro{} Nicolas dépasse le plafond de \np{1600}~\euro. Il ne peut donc plus utiliser le livret Jeune.
\item %Le responsable commercial lui propose alors de transférer ses économies placées sur le livret Jeune ainsi que la somme qu'il vient apporter aujourd'hui, soir en tout \np{1631,25}~euros, sur un livret A.

%Le Livret A, rémunéré au taux annuel de 2,75\:\% à intérêts composés, est plafonné à \np{15300}~euros.
	\begin{enumerate}
		\item  %Quelle formule devra-t-il placer dans la cellule D2, à recopier vers le bas dans D3:D8 ?
=B2*0,0275
		\item  %Quelle formule devra-t-il placer dans la cellule E2, à recopier vers le bas dans E3:E8 ?
=B2 + D2 
		\item  %Quelle formule devra-t-il placer dans la cellule B3, à recopier vers le bas dans B4:B8 ? 
=B2 + D2 ou = E2.
		\item  %À quel âge ses économies dépasseront-elles \np{5000}~euros ? 
On remplit le tableau : on constate qu'il aura plus de \np{5000}~euros à la fin de la 7\up{e} année, donc quand il aura 25 ans.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).}
%
%\emph{Dans cet exercice, pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule est correcte.}
%
%\emph{Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.}
%
%\emph{Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
%
%\emph{Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse incorrecte retire $0,25$~point, une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.\\ 
%Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est $0$.}
%
%\medskip
%
%Les \np{1200}~élèves du lycée de Nicolas se répartissent de la façon suivante :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%			&Fumeurs	&Non fumeurs	&	Total\\ \hline
%Secondes	&	231		&189			&	420\\ \hline
%Premières	&	237		&158			&	395\\ \hline
%Terminales	&	192		&193			&	385\\ \hline
%Total		&	660		&540			&	\np{1200}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%De plus, 60\:\% des élèves de Seconde sont des filles et parmi elles 50\:\% fument.
%
%On choisit un élève au hasard parmi les \np{1200}~élèves du lycée. Chaque élève a la même probabilité d'être choisi. On note :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] S l'évènement : \og l'élève est en Seconde \fg ;
%\item[$\bullet~$] F l'évènement : \og l'élève est fumeur \fg ;
%\item[$\bullet~$] T l'évènement  : \og l'élève est en Terminale\fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
 
\begin{enumerate}
\item %La probabilité $p(S)$ que l'élève du lycée choisi soit en Seconde est égale à :
$p(S) \dfrac{420}{\np{1200}} = 0,35$.
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}\quad  0,66 ;&	\textbf{b.~~} \quad  0,55 ; &	\textbf{c.~~} \quad   0,35.\\
%\end{tabularx}

\medskip
\item %La probabilité $p_{\text{S}}(\text{F})$ que l'élève choisi soit fumeur, sachant qu'il est en Seconde, est égale à :
$p_S(F) = \dfrac{p(S \cap F}{p(S)} = \dfrac{\frac{231}{\np{1200}}}{0,35} = 0,55$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}\quad 0,35;&	\textbf{b.~~} \quad   0,55 ;& 	\textbf{c.~~} \quad 0,1925.
%\end{tabularx}

\medskip
\item  %Les évènements S et F sont-ils indépendants ?
$p(S \cap F) = \dfrac{231}{\np{1200}} = \np{0,1925}$ et $p(S) \times p(F) = 0,35 \times \dfrac{660}{1200} = \np{0,1925}$. Les évènements $S$ et $F$ sont indépendants.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}\quad non ;	&\textbf{b.~~} \quad   oui 	&\textbf{c.~~} \quad On ne peut pas répondre.
%\end{tabularx}

\medskip
\item  Les évènements $S$ et $T$ sont incompatibles.

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~}\quad incompatibles ;&	\textbf{b.~~} \quad   contraires& 	\textbf{c.~~} \quad indépendants.
%\end{tabularx}

\medskip
\item  %Quel est le pourcentage d'élèves de seconde qui sont des filles et qui fument ?
60\,\% des élèves de Seconde sont des filles et parmi elles 50\,\% fument ; elles représentent donc $0,6 \times 0,5 = 0,3$ soit 30\,\% des élèves de Seconde
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} 10\:\%;	&	\textbf{b.~~} \quad  45\:\%;&	\textbf{c.~~} \quad 30\:\%.
%\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

%Une commune, proche d'une grande agglomération, a vu sa population augmenter fortement en quelques années.
%
%Le tableau suivant donne l'évolution du nombre d'habitants sur la période considérée.
% 
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année						&1995	&1996	&1997	&1998	&1999	&2000\\ \hline
%Rang de l'année : $x_{i}$	&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
%Nombre d'habitants : $y_{i}$& 450	&495	&545	&	600	&660	&725\\ \hline 
%\end{tabularx}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}  \cline{1-6}
%  Année						&2001	&2002	&2003	&2004	&2005	&\multicolumn{1}{X}{~}\\ \cline{1-6}
% Rang de l'année : $x_{i}$	&7		&8		&9		&10		&11		&\multicolumn{1}{X}{~}\\ \cline{1-6}
%Nombre d'habitants : $y_{i}$&	800	&	880	&	960	&\np{1060}&\np{1170}&\multicolumn{1}{X}{~}\\ \cline{1-6}
%\end{tabularx}
% 
%\medskip
% 
%Les parties A et B sont indépendantes.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Quel est le taux d'évolution du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005 ?
Taux d'évolution du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005  : $\dfrac{\np{1170} - 450}{450} \times 100 = 160$~\,\%.
\item  %Montrer que le taux d'évolution annuel moyen du nombre d'habitants de l'année 1995 à l'année 2005, arrondi à 0,1\:\%, est de 10\:\%.
Si $t$ est le taux d'évolution annuel moyen sur les dix ans, on a $450 \times (1 + t)^{10} = \np{1170}$.

Donc $(1 + t)^{10} = \dfrac{\np{1170}}{450}$, d'où $10 \ln (1 + t) = \ln \left(\dfrac{\np{1170}}{450} \right)$ et $\ln (1 + t) = \dfrac{1}{10}\ln \left(\dfrac{\np{1170}}{450} \right) \approx \np{0,095551}$.

Donc $1 + t \approx \text{e}^{\np{0,095551}}$ soit $1 + t \approx 1,1003$ soit $t \approx 10\,\%$.
\item  %Représenter sur le graphique suivant le nuage de points $M(x~;~y)$ de la série statistique.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.004cm}
\begin{pspicture}(20,3000)
\psaxes[linewidth=1.75pt,Dx=5,Dy=500]{->}(0,0)(21,3000)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,3000)}
\multido{\n=0+100}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(20,\n)}
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{1}{19}{x 3 exp 0.14 mul x 2 exp 0.84 mul add 42 x mul add 405.42 add}
\psdots(1,450)(2,495)(3,545)(4,600)(5,660)(6,725)(7,800)(8,880)(9,960)(10,1060)(11,1170)
\psplot[linecolor=cyan,linewidth=1.25pt,plotpoints=5000]{1}{19}{71 x mul 339.2 add}
\uput[u](19,1700){\cyan (D)}
\psset{arrowsize=3pt 5}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->]{->}(17,0)(17,2050)(0,2050)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\item  %À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite (D) d'ajustement affine de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés (donner les valeurs des coefficients arrondies à $0,1$~près). Tracer (D) dans le repère précédent.
La	 calculatrice donne $y = 71x + 332,9$.
 
\item  %En utilisant l'ajustement précédent, déterminer une estimation du nombre d'habitants en 2011 ; on arrondira le résultat à la dizaine près.
En utilisant l'ajustement affine on obtient pour 2011 soit pour $x = 17$  : 

$y = 71 \times 17  + 332,9 \approx \np{1546}$ habitants.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

On pense pouvoir estimer le nombre d'habitants de la commune l'année de rang $x$ à l'aide de la fonction $f$ définie par 

\[f(x) = 0,14x^3 + 0,84x^2 + 42x + 405,42,\]
 
où $x$ appartient à l'intervalle [1~;~19].
\begin{enumerate}
\item  %Calculer $f'(x)$ pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~19], $f'$ étant la fonction dérivée de $f$ sur [1~;~19].
On a $f'(x) = 3\times 0,14x^2 + 2\times 0,84x + 42 = 0,42x^2 + 1,68x + 42$.		
\item  %Vérifier que pour tout $x$ de [1~;~19], $f'(x) = 0,42(x + 2)^2 + 40,32$.
Développons $0,42(x + 2)^2 + 40,32 = 0,42\left(x^2 +  4x + 4 \right) + 40,32 =$

$ 0,42x^2  + 1,68x +  1,68 + 40,32 = 0,42x^2  + 1,68x + 42 = f'(x)$.

%En déduire que $f'(x)> 0$.
Comme $x > 0$, alors $0,42x^2 > $ et $1,68x > 0$,  $f'(x) > 42 > 0$ : la dérivée est donc positive sur [1~;~19]. La fonction est donc strictement croissante sur [1~;~19].	
\item  %La courbe de $f$ est donnée sur le graphique précédent. Déterminer graphiquement, en faisant figurer tous les tracés utiles, une estimation du nombre d'habitants en 2011.
On trace la verticale contenant les points d'abscisse 17 ; elle coupe la courbe en un point d'ordonnée \np{2050} environ. Voir le graphique
\item  %Retrouver par le calcul l'estimation du nombre d'habitants en 2011.
Par le calcul :

$f(17) = 0,14 \times 17^3 + 0,84\times 17^2 + 42 \times 17 + 405,42 \approx \np{2050}$.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip

%On admet que le taux d'évolution moyen du nombre d'habitants de 2005
%à 2011 sera le même que celui de 1995 à 2005. Quelle est, des deux estimations précédentes, (question 5. de la partie A et question 4. de la partie B), celle qui donne le résultat le plus proche ?
On a vu que le taux moyen d'augmentation de 1995 à 2015 était de 10\,\%.

En conservant ce taux sur la période 2005 à 2011 soit sur 6 ans l'estimation de la population est :

$\np{1070} \times 1,10^{6} \approx 1896}$ habitants.

L'estimation avec la courbe est meilleure qu'avec la droite (D).
\end{document}