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%Sujet aimablement fourni par Hamid Laaroussi
%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small STG C. G. R. H.}  
\lfoot{\small{Centres étrangers\hspace{1em} correction}}
\rfoot{\small{juin 2013}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat STG CGRH  Centres étrangers \decofourright\\ juin 2013\hspace{1.5em} Correction}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}
{\footnotesize
\emph{L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.}

\emph{L'annexe est à rendre avec la copie.}

\emph{Le candidat doit traiter les trois exercices.}

\emph{Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}
}
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip
{\footnotesize
On s'intéresse à la part des femmes dans les catégories socioprofessionnelles supérieures:

La feuille de calcul suivante donne, \textbf{en milliers}, le nombre de femmes appartenant aux catégories
socioprofessionnelles supérieures et le nombre total de personnes appartenant à ces mêmes
catégories de 2003 à 2010.

Les cellules des lignes 3 et 4 sont au format nombre, arrondi à l'unité pour la ligne 3 et au dixième
pour la ligne 4. Le contenu de la cellule F3 a volontairement été effacé.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A					&B		&C&D&E&F&G&H&I\\ \hline
1	& Année				& 2003	& 2004& 2005& 2006& 2007& 2008& 2009& 2010\\ \hline
2	& Nombre de femmes
 (en milliers)			&\np{1286}&\np{1354}&\np{1440}&\np{1479}&\np{1516}&\np{1625}&\np{1669} &\np{1694}\\ \hline
3	& Total (en milliers)&\np{3653} &\np{3749} &\np{3894} &\np{3967}& &\np{4183} &\np{4228} &\np{4258}
 \\ \hline
4	& Part des femmes (en \%)& 35,2 &36,1 &37,0 &37,3 &37,3 &38,8 &39,5 &39,8\\ \hline
\multicolumn{10}{r}{\emph{source : INSEE, enquêtes emploi 2011}}\\
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\end{center}
}
\textbf{Partie A :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une formule que l'on peut entrer dans la cellule B4 et recopier vers la droite sur la plage C4\,:\,I4 pour calculer la part des femmes, en pourcentage, dans les catégories socioprofessionnelles supérieures est =B2*100/B3
\item Calculons le nombre contenu dans la cellule F3. Nous savons que \np{1516} représente 37.3\,\% du nombre total.

 $\dfrac{\np{1516}}{\np{0.373}}\approx \np{4064.34}$ par conséquent, nous avons \np{4064} dans la cellule F3
\item Déterminons le taux global d'évolution du nombre de femmes dans les catégories socioprofessionnelles supérieures entre 2003 et 2010. On arrondira le résultat à 0,1\,\% près.

Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$. 

$\mathcal{T}=\dfrac{\np{1694}-\np{1286}}{1286}\approx \np{0.317}$.

Le taux global d'évolution du nombre de femmes dans les catégories socioprofessionnelles supérieures entre 2003 et 2010 est de $\np{31.7}\,\%$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip

On extrait du tableau précédent la série statistique $\left(x_i~;~y_i\right)$ ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2003 	&2004 	&2005 	&2006 	&2007 	&2008 	&2009 	&2010\\ \hline
Rang de l'année : $x_i$	&0 		&1 		&2 		&3 		&4 		&5 		&6 		&7\\ \hline
Part des femmes
 (en \%) : $y_i$		& 35,2 	&36,1 	&37,0 	&37,3 	&37,3 	&38,8 	&39,5 	&39,8\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Le nuage des points de coordonnées $\left(x_i~;~y_i\right)$ représentant cette série dans un repère orthogonal est donné en annexe à rendre avec la copie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un ajustement affine peut être raisonnablement envisagé puisque les points semblent alignés.
\item À l'aide de la calculatrice,  une équation de la droite qui réalise un ajustement affine du nuage de points $\left(x_i~;~y_i\right)$, par la méthode des moindres carrés est $y=\np{0.65}x+\np{35.35}$.
%On arrondira les coefficients à $0,01$ près.
\item On prend comme droite d'ajustement la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 0,65x + 35,35$.
	\begin{enumerate}
		\item La droite $\mathcal{D}$ est construite dans le repère fourni en annexe à rendre avec la copie.
		\item Déterminons la part des femmes que ce modèle d'ajustement permet de prévoir pour 2015.
		
		En 2015, le rang de l'année est 12. En remplaçant $x$ par cette valeur dans l'équation de $\mathcal{D}$, nous obtenons 
 $y=\np{0.65}\times 12+\np{35.35} =\np{43.15}$.
		
 En 2015, la part des femmes que ce modèle d'ajustement permet de prévoir serait de \np{43.15}\,\%.		
	\end{enumerate}.
\item {\footnotesize \textbf{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse sera prise en compte dans l'évaluation.}}
	\begin{enumerate}
		\item En supposant que le modèle d'ajustement affine de la question \textbf{3.} reste valable, en quelle année peut-on prévoir que le nombre de femmes dépassera celui des hommes dans les catégories socioprofessionnelles supérieures ?
		Pour ce faire, résolvons $y\geqslant 50$.

 $\np{0.65}x+\np{35.35}\geqslant 50 \iff  \np{  0.65}x\geqslant 50-\np{35.35} \iff x\geqslant \dfrac{50-\np{35.35}}{\np{0.65}}$.
 
$ \dfrac{50-\np{35.35}}{\np{0.65}}\approx \np{22.538}$. Selon ce modèle en 2033, (2010+23) nous pourrions prévoir que le nombre de femmes dépassera celui des hommes dans les catégories socioprofessionnelles supérieures.
		\item Un tel modèle d'ajustement ne nous semble pas justifié à long terme. Trop de paramètres entrent en jeu.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\begin{center}
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}
\end{center}

\textbf{Partie A : Coût d'une campagne publicitaire}

\medskip
{\footnotesize 
Un magasin de gros équipements ménagers décide d'inviter sa clientèle à sa grande journée de
promotion à l'aide d'une campagne téléphonique et de courriers personnalisés.

Le coût par client de cette campagne pour $x$ centaines de clients est donné, en euros, par la
fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~20] par : 

\[f(x) = 0,03x^2 - 0,72x + 5,6.\]
}
\begin{enumerate}
\item Voici trois courbes obtenues à l'aide d'une calculatrice graphique :
{\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
Écran 1 &Écran 2 &Écran 3 \\
\psset{xunit=0.22cm,yunit=0.44cm}\begin{pspicture*}(1,0)(20,5)
\psframe[linewidth=2pt](1,0)(20,5)
\psplot{1}{20}{ x 10 sub dup  mul 0.3 mul 1 add}
\end{pspicture*}&\psset{xunit=0.22cm,yunit=0.44cm} \begin{pspicture*}(1,0)(20,5)
\psframe[linewidth=2pt](1,0)(20,5)
\psplot{1}{20}{0.03 x mul x mul 0.72 x mul sub 5.6 add}
\end{pspicture*}&\psset{xunit=0.22cm,yunit=0.44cm}\begin{pspicture*}(1,0)(20,5)
\psframe[linewidth=2pt](1,0)(20,5)
\psplot{1}{20}{15 x div}
\end{pspicture*}
\end{tabularx}
\end{center}
}
L'écran \no 2  est l'écran qui correspond à la courbe représentative de la fonction $f$
obtenue en utilisant la fenêtre graphique : {\footnotesize\begin{tabular}{|l c r|}\hline
$X_{\text{min}}$ &=&1\\
$X_{\text{max}}$ &=&20\\
$Y_{\text{min}}$ &=&0\\
$X_{\text{max}}$ &=&5\\ \hline
\end{tabular}}

La valeur affichée pour $x=1$ sur l'écran 1 et  l'écran 3 est bien trop grande. $f(1)=\np{4.91}$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~20].  $f'(x)=\np{0.03}(2x)-\np{0.72}=\np{0.06}x-\np{0.72}$.
		
		\item Étudions le signe de $f'(x)$.

Sur $\R,\quad \np{0.06}x-\np{0.72}>0 \iff \np{0.06}x)>\np{0.72} \iff x>12$. Par conséquent si $x$ appartient à $[1~;~12[$ alors $f'(x) <0$ et si x appartient à $]12~;~20]$ alors $f'(x)>0$.

Si pour tout $x\in I, \,f'(x)<0 $ alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$. 

Pour $x\in [1~;~12[, \  f'(x)<0$, par conséquent $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.
 
Si pour tout $x\in I, \: f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$. 

Pour $x \in]12~;~20],\ f'(x)>0$ par conséquent $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.
 
Dressons le tableau de variation de $f$ sur [1~;~20].
 \begin{center}\scalebox{0.7}{
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,3)
\psframe(8,3)
\psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(1,0)(1,3) \psline(0,2)(8,2) 
\uput[u](0.5,2.45){$x$}  \uput[u](1.35,2.45){$1$} \uput[u](4.5,2.45) {$12$}    \uput[u](7.73,2.45){$20$}
\uput[u](0.5,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](2.76,2){$-$}\uput[u](4.5,2){$0$}\uput[u](6.16,2){$+$}
\rput(0.5,1.5){\scriptsize Variations}\rput(0.4,1){\scriptsize de $f$}
 \uput[u](1.37,1.45){$\np{4.91}$}\uput[ur](7.32,1.45){$\np{3.2}$}
\psline{->}(1.75,1.5)(4,0.55)\psline{->}(5,0.55)(7.3,1.5)
\uput[d](4.5,0.5){$\np{1.28}$}
\end{pspicture}
}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item En utilisant le tableau de variations le nombre de clients à contacter pour que le coût par client de cette campagne soit minimal est de \np{1200} personnes. Le coût est alors de \np{1.28}~euros.
\end{enumerate}

\bigskip
	
\textbf{Partie B : Probabilité d'achat}
	
	\medskip
	{\footnotesize
Le jour de la grande journée de promotion, 20\,\% des clients qui entrent dans le magasin ont été contactés lors de la campagne publicitaire. Une étude statistique montre que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La probabilité qu'un client effectue un achat sachant qu'il a été contacté au cours de la campagne publicitaire est de $0,12$.
\item[$\bullet~~$] La probabilité qu'un client effectue un achat sachant qu'il n'a pas été contacté au cours de la campagne publicitaire est de $0,03$.
	\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}	
	
On choisit au hasard un client du magasin lors de cette grande journée de promotion. On admet que chaque client a la même probabilité d'être choisi. On définit les événements suivants :
	
\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og le client choisi a été contacté lors de la campagne publicitaire. \fg
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og le client choisi a effectué un achat. \fg
	\end{itemize}
	}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donnons, à partir des informations de l'énoncé, les probabilités 
\begin{itemize}
\item $p(C)=\np{0.20}$ car  20\,\% des clients qui entrent dans le magasin ont été contactés lors de la campagne publicitaire
 \item $p_C(A)=\np{0.12}$ car la probabilité qu'un client effectue un achat sachant qu'il a été contacté au cours de la campagne publicitaire est de $0,12$.
\end{itemize}
\item  Complétons l'arbre de probabilités ci-dessous.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2pt,labelsep=0.1pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$C$}\taput{\np{0.2}}}
	{\TR{$A$}\taput{\np{0.12}}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.88}}
	}
\pstree{\TR{$\overline{C}$}\taput{\np{0.8}}}
	{\TR{$A$}\taput{0,03}
	\TR{$\overline{A}$}\tbput{\np{0.97}}
	}
}
\end{center}


\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $C \cap A$ est l'événement : \og le client a été contacté lors de la campagne publicitaire et a effectué un achat\fg.
		\item Calculons $p(C \cap A)$. $p(C \cap A)=p(C)\times p_{C}(A)=\np{0.2}\times \np{0.12}=\np{0.024}$
	\end{enumerate} 
\item  Calculons la probabilité de l'événement $A$.

$p(A)= p(C \cap A)+p(\overline{C}\cap A)=p(C)\times p_{C}(A)+p(\overline{C})\times p_{\overline{C}}(A)=\np{0.024}+\np{0.8}\times \np{0.03}=\np{0.048}$
\end{enumerate}
	

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip
{\footnotesize
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule réponse est correcte.\\
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse
choisie.\\
Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse
incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}

\medskip

Dans le cadre d'un plan de développement des énergies renouvelables, un état décide d'augmenter
la capacité de son parc éolien. Le nombre d'éoliennes était de \np{2500} au 1\up{er} janvier 2010.

Le plan prévoit d'augmenter ce nombre de 26\,\% par an pendant 8 ans.

On note $u_n$ le résultat de cette augmentation au 1\up{er} janvier de l'année $(2010 + n)$.

Le nombre d'éoliennes au 1\up{er} janvier de l'année $(2010 + n)$ est l'arrondi à l'unité de ce résultat.

Le tableau suivant est un extrait de la feuille de calcul qui donne l'évolution du nombre d'éoliennes de 2010 à 2018 ainsi que le nombre d'éoliennes à construire chaque année. Le format des cellules a été choisi pour que tous les nombres soient arrondis à l'unité.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{4cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A&B&C&D&E&F& G&H&I&J\\ \hline
1&Année &2010 &2011 &2012 &2013 &2014 &2015 &2016 &2017 &2018\\ \hline
2&Nombre $u_n$ d'éoliennes au 1\up{er} janvier&\np{2500} &\np{3150}&&&&&&&\\ \hline
3&Nombre d'éoliennes à construire pendant l'année&650&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
}
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{{$\bullet~~$}}X}}
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{0,26} &\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{650} & \psframebox{1,26}
\end{tabularx}
\medskip

\item Une formule qui, écrite dans la cellule B3, permet d'obtenir, par recopie vers la droite, la plage de cellules C3\,:\,I3 est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{{$\bullet~~$}}X}}
\psframebox{=C2$-$B2}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=\$C2-\$B2}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{=C2-\$B\$2}
\end{tabularx}
\medskip
\item Au 1\up{er} janvier 2015, le nombre d'éoliennes dans ce pays sera :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{{$\bullet~~$}}X}}
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{5750}} & \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{\np{6301} }&\psframebox{ \np{7939}}
\end{tabularx}
\medskip

\item L'objectif du gouvernement est de multiplier par 5 le nombre d'éoliennes au bout des 8~ans
prévus par le plan. On peut dire que cet objectif :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{{$\bullet~~$}}X}}
\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{sera atteint en 2018}&\psframebox{sera atteint avant 2018}&\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ne sera pas atteint en 2018}
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\textbf{EXERCICE 1}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.7cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-1)(12.5,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,griddots=6,subgriddots=6](0,0)(13,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=30]{->}(0,0)(0,0)(12.5,15)
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.4](0,5.2)(1,6.1)(2,7)(3,7.3)(4,7.3)(5,8.8)(6,9.5)(7,9.8)
\uput[d](11.25,1){\footnotesize Rang de l'année}
\uput[r](0,14.8){\footnotesize Part des femmes en \%}
\psplot[plotpoints=5000,linewidth=0.75pt,linecolor=violet]{0}{12}{x 0.65 mul 5.35 add}
\uput[ur](11,12){$\mathcal{D}$}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}