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%Tapuscrit : J.-C. Souque
%Corrigé : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STG}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG CGRH  La Réunion \decofourright\\ juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.

\end{center}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

%\emph{Pour chacune des trois questions de ce  questionnaire à choix multiples (QCM), une seule des trois propositions est exacte.\\Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. \\
%Pour chaque question, il est compté un point si la réponse est exacte, zéro sinon.\\
%Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Un prix T.T.C. est de 129,90\:\euro{} avec une T.V.A. à 19,6\:\%. Le prix H.T.arrondi au centime est de :
Le prix H. T. est $\dfrac{129,9}{1,196} \approx 108,61$~\euro.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} 155,36\:\euro{} ;&\textbf{b.~~}110,30\:\euro{} 	;&\textbf{c.~~}108,61\:\euro{}\\
%\end{tabularx}
%\medskip
\item  %Le prix d'un produit augmente de 8\:\% puis diminue de 7\:\%. Finalement la variation est :
Le prix est d'abord multiplié par 1,08 puis par 0,93 soit finalement par $1,08 \times 0,93 = 1,044$ soit une augmentation de 0,44\,\%.
%\begin{description}
%\item [a.~]	une augmentation de 0,44\:\% ;
%\item [b.~]	une diminution de 1\:\% ;
%\item [c.~]	une augmentation de 1\:\%.
%\end{description}
\item 	%Si \np{3400} a pour indice 100, quel est l'indice de \np{4318} ?
On a $\dfrac{\np{4318}}{\np{3400}} \times 100  = 127$.
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} 79; &\textbf{b.~~} 127	 ;&\textbf{c.~~} 27\:\%.\\
%\end{tabularx}
\item %Le volume d'un ballon publicitaire a augmenté de 60\:\% sous l'effet de la chaleur.

%Pour retrouver son volume initial il doit maintenant diminuer de :
On a $\dfrac{1}{1,6} \approx 0,625  = 1 - 0,375$. Il faut donc le diminuer de 37,5\,\%.
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} 40\:\%; &\textbf{b.~~} 37,5\:\%	 ;&\textbf{c.~~} 60\:\%.\\
%\end{tabularx}
\item 	%Pour un petit taux d'évolution $t$, le taux global correspondant à deux évolutions successives de $t$ peut être approché par :\\
Le taux global  est  $(1 + t)(1 + t) = 1 + 2 t + t^2 \approx 1 + 2t$ pour $t$ petit, donc  réponse $2t$.
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} $t^2$; &\textbf{b.~~} $\sqrt{t}$	 ;&\textbf{c.~~} $2t$.\\
%\end{tabularx}
\item %Entre le 01/01/2000 et le 01/01/2005 le coût de la vie a augmenté de 17\:\%. Cela correspond à une hausse annuelle moyenne, arrondie au centième de :
Il faut trouver $a$ tel que $a^{5} = 1,17$ soit $a = 1,17^{\frac{1}{5}} \approx 1,0319$ qui correspond à  une hausse annuelle moyenne, arrondie au centième de 3,19\,\%.
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}} 
%\textbf{a.~~} 3,4\:\%; &\textbf{b.~~}  3\:\%	 ;&\textbf{c.~~}  3,19\:\%.\\
%\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

%À la naissance de leur fils en 2007, des parents bloquent une somme d'argent afin de pouvoir financer d'éventuelles études à sa majorité.
%
%La banque B leur propose un placement à intérêts simples à 5\:\% par an.
%
%La banque C leur propose un placement à intérêts composées à 4,5\:\% par an.
%
%Ils décident de simuler un placement de \np {5000}\:\euro{} dans chacune des deux banques.
%
%On note B$_n$ la somme disponible l'année ($2007+n$) suite au placement dans la banque B et C$_n$ la somme disponible l'année ($2007+n$) suite au placement dans la banque C.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Dans le tableau de l'annexe 1, on donne la copie de la simulation réalisée sur un tableur. Quatre nombres ont été effacés, les retrouver et compléter le tableau.
Avec la banque intérêt de 5 pour 100~\euro{} placés donc 50 pour \np{1000} et 250 pour \np{5000}~\euro.
Chaque année 250~\euro viennent s'ajouter au capital.

Avec la banque chaque année le capital est multiplié par 1,045.

Donc en 2008 le capital sera de $\np{5000} \times 1,045 = \np{5225}$~\euro.

En 2009 le capital sera de $\np{5225} \times 1,045 \approx \np{5460,13}$~\euro.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Exprimer B$_{n+1}$ en fonction de B$_n$. Quelle est la nature de la suite (B$_n$) ? Préciser sa raison.
On a vu que B$_{n+1} = \text{B}_n +  250$ : c'est une suite arithmétique de premier terme \np{5000} et de raison 250.
		\item %Exprimer C$_{n+1}$ en fonction de C$_n$. Quelle est la nature de la suite (C$_n$) ? Préciser sa raison.
On a vu que C$_{n+1} \text{C}_n \times 1,045$ : c'est une suite géométrique de premier terme \np{5000} et de raison 1,045.
	\end{enumerate}
\item %Dans le tableau, quelles formules a-t-on entrées dans les cellules B3 et C3 et recopiées vers le bas ?
En B3 : =B2 + 250 ; en C3 : = C2 *1,045.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer pour chaque placement le taux d'évolution exprimé en pourcentage, arrondi au centième, du capital à la fin des dix-huit années.
Avec la banque B : $\dfrac{\np{9500} - \np{5000}}{\np{5000}}\times 100 = \dfrac{\np{4500}}{\np{5000}}\times 100 = 90$~\,\%.

Avec la banque C : $\dfrac{\np{11042,39} - \np{5000}}{\np{5000}}\times 100 = \dfrac{\np{6042,39}}{\np{5000}}\times 100 \approx 120,85\,\%$.
		\item %Quel est le placement le plus avantageux ?
Au début c'est la banque B (jusqu'en 2011) et ensuite c'est la banque C.
		\item %Suite à ce constat, les parents déposent \np{10000}\:\euro{} sur le placement le plus avantageux, au lieu de \np{5000}\:\euro{}.
		
%Quelle sera la somme disponible à la majorité de leur fils (c'est-à-dire pour ses 18 ans) ?
Avec une somme double au départ la somme à l'arrivée sera double soit $2 \times\np{11042,39} = \np{22084,78}$~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

%Une entreprise fabrique des machines-outils. Sa capacité maximale de production est de 100 machines par an.
%
%Le coût total de production de $x$ machines est donné en milliers d'euros par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par \mbox{$f(x) = 0,2x^2 + 8x + 60. $}
%
%On a tracé (voir annexe 2) la représentation graphique de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 100] . 
%Chaque machine-outil étant vendue au prix de \np{20000} euros, le chiffre d'affaires en milliers d'euros réalisé par l'entreprise pour la vente de $x$ machines-outils est donné par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par $g(x) = 20x.$ 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer la courbe représentative de la fonction $g$ sur le graphique.
Voir à la fin.  
		\item %Déterminer graphiquement, avec la précision permise par le dessin, le nombre minimal et le nombre maximal de machines-outils que l'entreprise doit produire pour réaliser un profit. Expliquer la démarche.
Il faut que le chiffre de vente soit supérieur au coût de production pour qu'il y ait un profit. Graphiquement les deux courbes semblent être sécantes pour $x \approx 5$ et $x \approx 55$.

Il faut donc que l'entreprise vende de 6 à 54 machines-outils. 
	\end{enumerate} 
\item 
%Le bénéfice (ou résultat d'exploitation) en milliers d'euros réalisé par la production et la vente de $x$ machines-outils est donné par la fonction $h$ définie sur l'intervalle [0 ; 100] par : 

\[h(x) = g(x) - f(x). \]

	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~100],
On a $h(x) = g(x) - f(x) = 20x - \left(0,2x^2 + 8x + 60 \right) = - 0,2x^2 + 12x - 60$.
%$h(x) = - 0,2x^2 + 12x - 60. $
		\item %Calculer $h'(x)$, puis étudier son signe sur l'intervalle [0~;~100].
Sur [0~;~100], $h'(x) = 2\times  (- 0,2) x  + 12 = 12 - 0,4x$.

$\bullet~~$$12 - 0,4x = 0$ si $12 = 0,4x$ ou $120 = 4x$ ou $30 = x$  ;

$\bullet~~$$12 - 0,4x > 0$ si $12 > 0,4x$ ou $120 > 4x$ ou $30 > x$  ;

$\bullet~~$$12 - 0,4x < 0$ si $12 < 0,4x$ ou $120 < 4x$ ou $30 < x$  .

De 0 à 29 la dérivée est positive, la fonction est croissante, pour $x = 30$ la dérivée est nulle, et pour $x$ allant de 31 à 100, la fonction est décroissante. 
		\item %En déduire le tableau de variation de la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~100].
Donc la fonction $h$ croît de $h(0) = - 60$ à $h(30) = 120$ puis décroit de 120 à $f(100) = - 860$.
		\item %À l'aide du tableau de variation, déterminer le profit maximal ainsi que la production pour laquelle il est réalisé.
On a donc un maximum de profit (120~K\euro) lorsque l'on vend 30~machines.  
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
Annexe 1
\end{center}
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{3}{>{\centering\arraybackslash}m{2cm}|}}
\hline
&A&B&C\\
\hline
1&année& banque B& banque C\\ \hline
2& 2007&\np{5000}&\np{5000}\\
\hline
3& 2008&\blue\np{5250}&\blue\np{5225}\\
\hline
4&2009&\blue\np{5500}&\blue\np{5460,13}\\
\hline
5&2010&\np{5750,00}&\np{5705,83}\\
\hline
6&2011&\np{6000,00}&\np{5962,59}\\
\hline
7&2012&\np{6250,00}&\np{6230,91}\\
\hline
8&2013&\np{6500,00}&\np{6511,30}\\
\hline
9&2014&\np{6750,00}&\np{6804,31}\\
\hline
10&2015&\np{7000,00}&\np{7110,50}\\
\hline
11&2016&\np{7250,00}&\np{7430,48}\\
\hline
12&2017&\np{7500,00}&\np{7764,85}\\
\hline
13&2018&\np{7750,00}&\np{8114,27}\\
\hline
14&2019&\np{8000,00}&\np{8479,41}\\
\hline
15&2020&\np{8250,00}&\np{8860,98}\\
\hline
16&2021&\np{8500,00}&\np{9259,72}\\
\hline
17&2022&\np{8750,00}&\np{9676,41}\\
\hline
18&2023&\np{9000,00}&\np{10111,85}\\
\hline
19&2024&\np{9250,00}&\np{10566,88}\\
\hline
20&2025&\np{9500,00}&\np{11042,39}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\newpage

\begin{landscape}
\begin{center}
\textbf{Annexe 2 (à rendre avec la copie)}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.15cm,yunit=0.003cm}
\begin{pspicture}(100,3000)
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\end{pspicture}
\end{center}
\end{landscape}
\end{document}