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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small C. G. R. H.}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 22 juin 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG CGRH  ~\decofourright\\Métropole--La Réunion
22 juin 2010}}

%\bigskip

%L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.
%
%Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.


\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)}

\medskip
 
%Pour chaque question, trois réponses sont proposées, \textbf{une seule réponse est correcte.}
% 
%Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
% 
%\emph{Chaque réponse correcte rapporte $1$ point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.}
%
%\medskip
% 
%Au rayon \og multimédia \fg{} d'un magasin, un écran plat et un lecteur DVD sont en promotion pendant une semaine. Un client étant choisi au hasard, on désigne par :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item A l'évènement \og le client achète l'écran plat en promotion \fg. 
%\item B l'évènement \og le client acquiert le lecteur DVD en promotion \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
% 
%On estime que $p(A) = \dfrac{1}{3},~p\left(\overline{\text{A}} \cap  \text{B}\right) = \dfrac{1}{9}$ et que la probabilité de l'évènement \og le client achète les deux objets en promotion \fg{} est $\dfrac{1}{18}$. 
% 
%Pour répondre aux questions suivantes on pourra s'aider d'un arbre de probabilités ou d'un tableau.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&\rule[-3mm]{0mm}{9mm}A&$\overline{\text{A}}$&Total\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}B & $\dfrac{1}{18}$&$\dfrac{1}{9}$&$\dfrac{1}{6}$\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$\overline{\text{B}}$&$\dfrac{5}{18}$&$\dfrac{5}{9}$&$\dfrac{5}{6}$
\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}Total&$\dfrac{1}{3}$&$\dfrac{2}{3}$&\diagbox{1}{1}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
\begin{enumerate}
\item %$p\left(\overline{\text{A}}\right)$ est égale à 
$p\left(\overline{\text{A}}\right) = \dfrac{2}{3}.$
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$\dfrac{17}{18}$&$\dfrac{1}{6}$ &$\dfrac{2}{3}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip

\item %$p$(B) est égale à 
$p(\text{B}) = \dfrac{1}{6}$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$\dfrac{1}{6}$&$\dfrac{5}{18}$ &$\dfrac{13}{18}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 

\item %$p_{\text{A}}(\text{B})$ est égale à
$p_{\text{A}}(\text{B}) = \dfrac{p(\text{A} \cap \text{B})}{p(\text{A})} = \dfrac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{3}} = \frac{1}{18} \times 3 = \dfrac{1}{6}.$
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{1}{18}$ &$\dfrac{1}{6}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 

\item %$p(\text{A} \cup \text{B})$ est égale à 
$p(\text{A} \cup \text{B}) = p(\text{A}) + p(\text{B}) - p(\text{A} \cap \text{B}) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{18} = \dfrac{6 + 3 - 1}{18} = \dfrac{8}{18} = \dfrac{4}{9}$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{@{$\bullet~~$}X}} 
%$\dfrac{1}{2}$&$\dfrac{4}{9}$ &$\dfrac{1}{18}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip 

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

%Un laboratoire pharmaceutique fabrique et commercialise un produit. Ce laboratoire peut produire de 5 à 30~kg du produit par semaine.
%
%\medskip
 
\textbf{A) Étude du prix de revient unitaire moyen :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Le prix de revient d'un produit dépend de la quantité produite. Pour $x$ kg de produit fabriqué, le prix de revient moyen d'un kg de ce produit, exprimé en euros, est modélisé par la fonction $U$ dont l'expression est 

%\[U(x) = \dfrac{1}{3}x^2 - 11x + 100 + \dfrac{72}{x},\]
%
%où $x$ appartient à l'intervalle $[5~;~30]$. 
%
%Quel est le prix de revient moyen d'un kg de produit lorsqu'on en fabrique 5~kg par semaine ?
$U(5) = \dfrac{1}{3}5^2 - 11 \times 5 + 100 + \dfrac{72}{5} = \dfrac{25}{3} - 55 + 100 + 14,4 \approx 67,70$~(\euro).  
%\emph{On arrondira le résultat à $10^{-1}$ près.}
 
\item %À l'aide de la calculatrice, compléter le tableau de valeurs donné en annexe 1, On arrondira les résultats à $10^{-1}$ près.
Voir à la fin.
\end{enumerate}
 
\textbf{B) Étude graphique du bénéfice :}

\medskip
 
%Le laboratoire s'intéresse maintenant au coût total de production, exprimé en euros et modélisé par la fonction $C$ dont l'expression est 
%
%\[C(x) = \dfrac{1}{3}x^3 - 11x^2 + 100x + 72,\]
%
% où $x$ appartient à l'intervalle $[5~;~30]$.
%  
%La courbe représentative de la fonction $C$ sur l'intervalle $[5~;~30]$ est donnée en \textbf{annexe 2}.
 
\begin{enumerate}
\item %Par lecture graphique, estimer la quantité dont le coût total de production est de 600~\euro.
On trace la droite d'équation $y = 600$ qui coupe la courbe représentative de la fonction $C$ en un point dont on trouve l'abscisse en le projetant sur l'axe des abscisses. On lit à peu pr\`es 23~(kg).
 
%\emph{On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Après une étude de marché, le prix de vente du produit a été estimé à 60~\euro{} le kg. 
%Donner, en fonction de $x$, l'expression $R(x)$ de la fonction $R$ modélisant la recette.
On a $R(x) = 60x$. 
		\item %Représenter graphiquement, sur la feuille annexe 2, la fonction $R$ sur l'intervalle $[5~;~30]$.
Voir à la fin. 
		\item %Le laboratoire souhaite connaitre l'intervalle dans lequel doit se trouver la quantité de produit à vendre pour réaliser un bénéfice. Quel est cet intervalle ?
		
%\emph{On laissera apparents les traits nécessaires à la lecture graphique.}
On projette sur l'axe des abscisses les deux points aux deux représentations graphiques ; on trouve à peu pr\`es 6 et 28,5.

On réalise un bénéfice si on vend une quantité $x$ telle que : $6 < x < 28,5$. Danx cet intervalle la courbe recette est au dessus de la courbe co\^uts.	
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C) Étude algébrique du bénéfice :}

\medskip
 
%Le bénéfice réalisé par l'entreprise, c'est-à-dire la différence entre la recette et le coût de production, est exprimé en euros et modélisé par la fonction $B$ dont l'expression est
 
%\[B(x) = - \dfrac{1}{3}x^3 + 11x^2 - 40x - 72,\]

%où $x$ appartient à l'intervalle $[5~;~30]$. 
 
\begin{enumerate}
\item %Conjecturer les variations de $B$ à l'aide de la calculatrice.
La calculatrice semble indiquer que la fonction $B$ est croissante sur [5~ ;~20] et décroissante sur [20~ ;~30]. 
\item %Montrer que $B'(x) = -(x - 2)(x - 20)$.
$B$ est dérivable sur [5~ ;~30] et :

$B'(x) = - \dfrac{1}{3} \times 3x^2 + 11 \times 2x - 40 = - x^2 + 22x - 40$.

Or $(x - 2)(-x + 20) = - x^2 + 20x + 2x - 40 = B'(x)$.

Donc $B'(x) = (x - 2)(-x + 20)$.
\item %En déduire les variations de $B$ sur l'intervalle $[5~;~30]$.
On peut dresser le tableau des signes de $B'(x)$ :

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(8,2)
\psframe(8,2) \psline(0,2)(8,2)\psline(0,1.5)(8,1.5)
\psline(0,1)(8,1)\psline(0,0.5)(8,0.5) \psline(2,0)(2,2)
\uput[u](1,1.5){$x$} \uput[u](2.1,1.5){$5$} \uput[u](5,1.5){$20$} \uput[u](7.8,1.5){$30$} 
\uput[u](1,1){$(x - 2)$} \uput[u](3.5,1){$+$} \uput[u](6.5,1){$+$} 
\uput[u](1,0.5){$(20 - x)$} \uput[u](3.5,0.5){$+$} \uput[u](5,0.5){$0$} \uput[u](6.5,0.5){$-$} 
\uput[u](1,0){$B'(x)$} \uput[u](3.5,0){$+$} \uput[u](5,0){$0$} \uput[u](6.5,0){$-$} 
\end{pspicture}
\end{center}

Donc $B$ est croissante sur [5~;~20] et décroissante sur [20~ ;~30]. 
\item %\textbf{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 
	\begin{enumerate}
		\item %On considère que la production est entièrement vendue. Déterminer la quantité à produire pour réaliser un bénéfice maximum.
On vient de voir que $x = 20$ correspond à un bénéfice maximal ; il vaut $B(20) \approx 861,33~$\euro.

Il faut donc produire 20~kg.
		\item %Le service de commercialisation du laboratoire a fixé un objectif de vente entre 15~kg et 24~ kg pour la semaine à venir. Quel est le \textbf{bénéfice minimum} envisageable ? 
On a $B(15) = 678$ et sur l'intervalle [15~;~20] la fonction est croissante ;

$B(24)  = 696$ et sur l'intervalle [20~ ;~24] la fonction est décroissante.

Conclusion : le plus petit bénéfice possible est $B(15) = 678$~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

%Dans cet exercice on s'intéresse à l'évolution du SMIC (Salaire Minimum Interprofessionnel de Croissance) sur 5~ans. On utilisera les informations fournies par : 
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item le tableau ci-dessous, extrait d'une feuille automatisée de calcul, dans lequel la base 100 des indices de salaires correspond à l'année 2005 (\emph{les indices sont arrondis à $10^{-1}$ près et les valeurs successives du SMIC horaire brut sont arrondies au centime d'euro près}), 
%\item le graphique ci-dessous composé d'un nuage de points et d'une droite qui en réalise un ajustement affine. 
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
%&A&B&C&D&E&F\\ \hline
%1&Année $\left(x_{i}\right)$&2005&2006&2007&2008&2009\\ \hline
%2&SMIC horaire brut en euros $\left(y_{i}\right)$&8,03& 8,27& 8,44& 8,71&8,82\\ \hline 
%3&Indice&100&103,0&105,1&108,5&109,8\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\begin{center} 
%\psset{xunit=2cm,yunit=3cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.5,7.7)(5.5,9.5)
%\psframe(-0.5,7.7)(5.5,9.5)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Oy=7.9,Dy=0.1](0,7.9)(5,8.9)
%\multido{\n=0+1,\na=2005+1}{6}{\uput[d](\n,7.9){\na}}
%\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45,dotscale=1.4](0,8.03)(1,8.27)(2,8.44)(3,8.71)(4,8.82)
%\multido{\n=7.9+0.1}{11}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](-0.1,\n)(5,\n)}
%\psline(0,8.05)(4,8.85)
%\rput(2.5,9.25){\textbf{SMIC horaire brut en euros}}
%\end{pspicture} 
%\end{center}
%
%\medskip
 
\textbf{A) Taux d'évolution et indices :}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Quelle formule a-t-on introduite en C3, puis recopiée vers la droite, pour obtenir les indices de salaire de 2006 à 2009 ? 
Formule \fbox{~=C2/B2*B3~}
\item %Déterminer le taux d'évolution global du SMIC, arrondi à $10^{-1}$ près, entre 2005 et 2009.
L'indice est passé de 100 en 2005 à 109,8 en 2009 soit une augmentation de 9,8 pour 100, soit 9,8\,\%. 
\item %Calculer le taux d'évolution moyen, arrondi à $10^{-1}$ près, entre 2005 et 2009.
Si $t$ est le taux d'évolution moyen entyre 2005 et 2009, on doit avoir :

$(1 + t)^4 = 1 + \dfrac{9,8}{100}$ soit $(1 + t)^4 = 1,098$ ou

$1 + t = 1,098^{1/4}$ et enfin $t = 1,098^{1/4} - 1$.

On trouve $t \approx 0,024$ soit 2,4\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B) 1\up{er} modèle d'évolution : la droite de régression par la méthode des moindres carrés}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Ci-dessus, on a représenté le nuage de points correspondant à l'évolution des salaires et sa droite de régression de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. À l' aide de la calculatrice, déterminer une équation de cette droite. On arrondira les coefficients à $10^{-2}$ près.
La calculatrice donne comme équation : $y = 0,202x - 396,96$ soit en arrondissant les coefficients au centi\`eme : $y = 0,20x - 396,96$. 
\item %\emph{Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%On admet que l'ajustement affine réalisé par la droite représentée dans le graphique ci-dessus reste valable jusqu'en 2010. Proposer alors une estimation du SMIC en 2010.
Avec $x = 2010$ l'équation précédente donne : $y = 0,20 \times 2010 - 396,96 = 5,04$. Cette estimation est manifestement fausse !

Si l'on reprend l'équation donnée par la caculatrice : $y = 0,202x - 396,96$, avec $x = 2010$ on trouve $y = 0,202 \times 2010 - 396,96 = 9,06$ qui est une estimation beaucoup plus vraisemblable du SMIC en 2010.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{C) 2\up{e} modèle d'évolution : utilisation d'une suite}

\medskip
 
%Soit $\left(u_{n}\right)$ la suite géométrique définie par son premier terme $u_{0} = 8,03$ et sa raison $1,024$.
 
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$.
On a par définition d'une suite géométrique : $u_{n+1} = 1,024u_{n}$. 
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
$u_{n} = u_{0} \times 1,024^n = 8,03 \times 1,024^n$. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $u_{5}$. \emph{On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.}
Ainsi $u_{5} = 8,03 \times 1,024^5 \approx 9,041$ soit 9,04 à $10^{-2}$ pr\`es.
		\item %Comment peut-on interpréter $u_{5}$ ?
On a vu que le taux d'évolution moyen du SMIC de 2005 à 2009 est au dixi\`eme de 2,4\,\%, c'est-à-dire que chaque année ce SMIC est multiplié par 1,024 ; si $u_{n}$ est le montant de ce SMIC l'année $2005 + n$, alors 

$u_{n+1} = 1,024u_{n}$ et finalement $u_{5}$ représente le montant du SMIC l'année 2010.
 	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1 à rendre avec la copie}

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&5		&10		&15		&16,5	&17		&18,5	&20		&25		&30\\ \hline
$U(x)$	&67,70	&30,50	&14,80	&13,60	&13,60	&14,50	&16,90	&36,20	&72,40\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Annexe 2 à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}

\psset{xunit=0.34cm,yunit=0.008cm}
\begin{pspicture}(-2,-50)(32,2200)
\multido{\n=0+5}{7}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1.5pt](\n,-50)(\n,2200)}
\multido{\n=0+200}{12}{\psline[linestyle=dotted,linecolor=orange,linewidth=1.5pt](-2,\n)(32,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=200]{->}(0,0)(-2,-50)(32,2200)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=1,Dy=200,labels=none]{->}(0,0)(-2,-50)(32,2200)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{5}{30}{x 3 exp 3 div x dup mul 11 mul sub 100 x mul add 72 add}
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(0,600)(22.93,600)(22.93,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(5.8,350)(5.8,0)
\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,arrowsize=2pt 3]{->}(28.5,1720)(28.5,0)
\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=8000]{5}{30}{60 x mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}