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%Tapuscrit : Denis Vergès
% François Couloigner pour l'annexe : merci à lui
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\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
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\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STG},
pdftitle = {CGRH Polynésie juin 2007},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STG CGRH}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG CGRH  Polynésie \decofourright\\ juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}
%\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
%Le formulaire officiel est autorisé.
%\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, on donnera les valeurs exactes des probabilités.}

\medskip

%Lue achète un lot de 20 clés USB de deux marques, Cralinte et Kincoss, toutes les clés ayant la même forme extérieure.
%
%De la première marque il a pu acquérir cinq clés de capacité 512 Mo, deux de 1 Go et une de 2 Go.
% 
%De la seconde il ramène huit clés de capacité 512 Mo, deux de 1 Go et deux de 2 Go. (1 Go = \np{1000} Mo).
% 
%Il choisit au hasard l'une de ces clés.
%
%On note dans la suite les évènements suivants :
%
% 
%G : \og La clé choisie est de marque Gralinte \fg ;
% 
%K : \og La clé choisie est de marque Kincoss \fg ; 
% 
%A : \og La capacité de la clé choisie est de 512 Mo \fg ; 
% 
%B : \og La capacité de la clé choisie est de 1 Go \fg ; 
% 
%C : \og La capacité de la clé choisie est de 2 Go \fg.
\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la probabilité de l'évènement K,
On a $p(K) = 1 - p(G) = 1 - 0,4 = 0,6$.
		\item %Donner la probabilité de l'évènement A sachant K.
Il a 8 clés de 512 Mo de la marque Kincoss, donc $p_G(A) = \dfrac{8}{12} = \dfrac{2}{3}$.
		\item %Recopier et compléter l'arbre de probabilité suivant, en écrivant sur chaque branche la probabilité correspondante :

\medskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,levelsep=3.5cm,nodesep=5pt,treesep=1cm]{\Tdot}
{\pstree{\Tdot~[tnpos=a]{G}\taput{$0,4$}}{
\Tdot~[tnpos=r]{A}\taput{0,625}
\Tdot~[tnpos=r]{B}\taput{0,25}
\Tdot~[tnpos=r]{C}\tbput{0,125}
				}
\pstree{\Tdot~[tnpos=b]{K}}{
\Tdot~[tnpos=r]{A}\taput{$\frac{2}{3}$}
\Tdot~[tnpos=r]{B}\taput{$\frac{1}{6}$}
\Tdot~[tnpos=r]{C}\tbput{$\frac{1}{6}$}
				}
}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item  %Quelle est la probabilité que Luc ait choisi une clé de 512 Mo ?
On a $p(A) = p(G \cap A) + p(K \cap A) = p(G) \times p_G(A) + p(K)\times p_K(A) = 0,4 \times 0,625 + 0,6 \times \frac{2}{3} = 0,25 + 0,4 = 0,65$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  7 points}


\medskip

%On considère la série statistique chronologique ci-dessous :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Années $x_{i}$		&1997		&1998		&1999		&2000	&2001\\ \hline
%Emploi total en milliers
% $y_{i}$			&\np{22223}	&\np{22479}	&\np{22 672}&\np{23261} &\np{23759}\\ \hline
%\end{tabularx}
%{\small \emph{Source INSEE, enquêtes emplois et comptes nationaux. Données de mars de chaque année.}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Modélisation par un ajustement affine}

%La droite d'ajustement de $y$ en $z$ obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation

\[y = 	385,4 x - \np{747535,8}.\]

%On suppose que l'évolution se poursuive selon le modèle donné par l'ajustement affine.
%
%À l'aide de cet ajustement affine, déterminer par le calcul le nombre de personnes en emploi total (en milliers) prévisible pour l'année 2003.
On a pour $x = 2003, \:y = 385,4 \times 2003 - \np{747535,8} = \np{24420,4}$.

On peut prévoir\np{24420} milliers d'emploi en 2003.
\item  \textbf{Modélisation par une suite géométrique}
 
\begin{enumerate}
\item %Calculer le taux d'évolution global de l'année 1997 à l'année 2001, puis le taux d'évolution annuel moyen pour la même période (les réponses seront données

% sous la forme $x$\:\% où $x$ est arrondi à $10^{-3}$).
Le taux d'évolution global de l'année 1997 à l'année 2001 est : 

$\dfrac{\np{23759} - \np{22223}}{\np{22223}} \times 100 \approx 6,912\,\%$.

Soit $t$ le taux d'évolution annuel moyen pour la même période. On a 

$\np{22223} \times (1 + t)^4 \np{23759}$, soit $(1 + t)^4 = \dfrac{\np{23759}}{\np{22223}} \approx \np{1,06912}$ d'où $1 + t \approx \np{1,06912}^{\frac{1}{4}}$ ou $1 + t \approx \np{1,01685}$ et enfin $t \approx \np{0,01685}$.

Le taux d'évolution annuel moyen est 1,685\,\% au millième près.
\item %Le taux annuel moyen est proche de 1,68\:\%.
%On suppose que l'évolution suit le modèle donné par la suite géométrique $\left(u_{n}\right)$ dont le premier terme est 
 
%$u_{0} = \np{22223}$ et dont la raison est \np{1,0168}.

%Recopier et compléter le tableau suivant
  
 \medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années	&1997		&1998	&1999	&2000	&2001	&2002	&2003\\ \hline
Rang $n$&0			&1		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
$u_{n}$	&\np{22223}	&\np{22596}		&\np{22976}		&\np{23362}		&\np{23754}		&\np{24154}		&\np{24559}\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\end{enumerate}
\item 	\textbf{Comparaison des deux modélisations à la réalité}

%En fin de compte, le tableau statistique complet relatant le marché du travail s'avère être le suivant :
%
%\medskip
% 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Années& 1997& 1998& 1999& 2000& 2001& 2002&	2003\\ \hline
%Emploi total en milliers&	\np{22223}& \np{22479}& \np{22672}& \np{23261}&\np{23759}&	\np{23942}&	\np{24347}\\ \hline
% \end{tabularx}
  
	\begin{enumerate}
		\item %Comparer la valeur trouvée pour l'année 2003 à l'aide de l'ajustement affine, avec la donnée réelle observée. Quel est le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle ?
La valeur trouvée avec l'ajustement affine est correct.

L'erreur est de $\dfrac{\np{24420} - \np{24347}}{\np{24347}} \times 100 \approx \np{0,2998}$ soit environ 0,3\,\%.
		\item %Comparer $u_{6}$ avec la donnée réelle de 2003. Quel est le pourcentage d'erreur commise par rapport à la valeur réelle ?
L'erreur de $u_6$ par rapport à la valeur réelle est $\dfrac{\np{24559} - \np{24347}}{\np{24347}} \times 100 \approx \np{0,8707}$ soit environ 0,87\,\% : c'est encore faible.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  8 points}

\medskip
	
%Le site (imaginaire) \og www.musordi.net \fg{} propose aux internautes de télécharger des titres de musique sur leur ordinateur. Son offre commerciale pour un trimestre est la suivante :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] l'option simple : 0,90 \euro{} par titre téléchargé ;
%\item[$\bullet~$] l'option abonnement : un abonnement de 12 \euro, chaque titre téléchargé facturé à 0,675 \euro ; 
%\item[$\bullet~$] l'option forfaitaire : un forfait de 40 \euro{} pour 50 titres téléchargés, chaque titre supplémentaire étant facturé 1 \euro.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\textbf{Partie I Utilisation d'un tableur}

\medskip

%Pour choisir au mieux son option trimestrielle, Cécile crée une feuille de calcul à l'aide d'un tableur. Son étude porte sur un nombre de titres téléchargés, compris entre 0 et 150. Ci-dessous est reproduit le début de son tableau ; le graphique est obtenu à partir du tableau complet, non présenté.
%
% \medskip
% \begin{center}
% \begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&A	&B	& 	C& D\\ \hline
%1	&\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Comparaison des offres commerciales}}\\ \hline
%2	& Nombre de titres &	Option&	Option& 	Option\\
%	&téléchargés&	simple&	abonnement &	forfaitaire\\ \hline
%3	&	0&	0	&	12		&	40\\ \hline
%4	&	1&	0,9	&	12,675	&	40\\ \hline
%5	&	2&	1,8	&	13,35	& 	40\\ \hline
%6	&	3&	2,7	&	14,025	&	40\\ \hline
% \end{tabularx}
% \end{center}
% \medskip
 
\begin{enumerate}
\item  %Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, Cécile doit-elle écrire dans la cellule B3 ?
=A2*0,9
\item  %Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, Cécile doit-elle écrire dans la cellule C3 ?
=A2*0,675+12
\item  %Compléter les cellules B54, C54, D54 dans le tableau de la feuille annexe.
Voir à la fin.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : Étude graphique (Figure sur la feuille annexe à rendre avec la copie)}

\medskip

%\emph{Veiller à laisser sur le graphique les traces écrites des factures effectuées qui sont la justification des réponses.}
%
%Sur le graphique de la feuille annexe, la droite $\mathcal{D}_{f}$ représente la fonction $f$, définie pour $x$ réel dans l'intervalle [0~;~150] par $f(x) = 0,9 x$ et la droite $\mathcal{D}_{g}$ représente $g$, définie sur l'intervalle [0~;~150] par $g(x) = 0,675 x + 12$.
%
%Pour les valeurs entières de $x,~f(x)$ est le coût en euros du téléchargement de $x$ titres avec l'option simple.
%
%Pour les valeurs entières de $x,~g(x)$ est le coût en euros du téléchargement de $x$ titres avec l'option abonnement.
%
%Pour les valeurs entières de $x$, le coût en euros du téléchargement de $x$ titres avec l'option forfaitaire est $h(x)$, où $h$ est une fonction définie sur l'intervalle [0~;~150].

\begin{enumerate}
\item %Justifier que si $0 \leqslant   50$ on a $h(x) = 40$ et si $50 \leqslant x  \leqslant  150$ on a $h(x) =  x - 10$.
Avec l'option forfaitaire jusqu'à 50 titres on paie 40~\euro, donc si $0 \leqslant   50$ on a $h(x) = 40$.

Si on télécharge plus de 50 morceaux, on paie $h(x) = 40 + (x - 50)\times 1 = 40 + x - 50 = x - 10$, pour  $50 \leqslant x  \leqslant  150$.
\item %Déterminer par le calcul les coordonnées du point d'intersection des droites $\mathcal{D}_{f}$ et $\mathcal{D}_{g}$ (à $10^{-2}$).
On a $f(x) = g(x)$ si $0,9x = 0,675x + 12$, soit $0,225x = 12$ et $x = \dfrac{12}{0,225} = \dfrac{4}{0,075} = \dfrac{160}{3} \approx 53,333$.

$f\left(\dfrac{160}{3}\right) = g\left(\dfrac{160}{3}\right) = 0,9 \times \dfrac{160}{3} = 48$~\euro.

Le point commun a pour coordonnées $\left(\dfrac{160}{3}~;~48\right)$
\item %Par lecture graphique, déterminer les nombres de titres téléchargés pour lesquels l'option simple est la plus avantageuse.
La formule simple semble être la plus avantageuse pour un un nombre de titres compris entre 0 et 45.

On peut vérifier qu'effectivement pour 44 titres la formule simple coûte : $44 \times 0,90 = 39,60$~\euro{} soit moins que le forfait de 40~\euro. 
\item %Le budget trimestriel de Cécile est limité à 30~\euro. Déterminer graphiquement combien de titres Cécile peut télécharger au maximum.
On constate qu'avec la formule simple, elle pourra télécharger un maximum de 33 morceaux.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{ANNEXE à rendre avec la copie}

\medskip

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	&B	& 	C& D\\ \hline
1	&\multicolumn{4}{|c|}{\textbf{Comparaison des offres commerciales}}\\ \hline
2	& Nombre de titres 	&Option		&Option		& 	Option\\
	&téléchargés		&	simple	&abonnement &forfaitaire\\ \hline
52	&49					&44,10		&45,075		&40\\ \hline
53	&50					&45			&45,75		&40\\ \hline
54	&51					&45,90		&46,43		&40\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

\vfill

\begin{center}
\psset{xunit=0.075cm,yunit=0.1cm} 
\def\xmin{-0.5} \def\xmax{150}
\def\ymin{-0.5} \def\ymax{140}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psset{gridwidth=0.2pt,gridlabels=0pt}
\multido{\n=0+10}{16}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,140)}
\multido{\n=0+5}{31}{\psline[linewidth=0.05pt](\n,0)(\n,140)}
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\psaxes[Dx=10,Dy=10,ticks=none,arrowscale=1.5,linewidth=1pt]{->}(0,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[Dx=10,Dy=10,ticks=none,arrowscale=1.5,linewidth=1pt](0,0)(\xmax,\ymax)
\uput[dr](0,\ymax){\euro}
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\psline[linecolor=blue](150,135) 
\uput[r](140,126){\blue $\mathcal C_f$}
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\psline[linecolor=green](0,40)(50,40)
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=green]{50}{150}{x 10 sub}  
\uput[l](140,130){\green $\mathcal D_h$}
\psset{arrowsize=3pt 4}
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\end{pspicture}
\end{center}
\vfill
\end{document}