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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat C. G. R. H.}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG - CGRH Polynésie~\decofourright\\
septembre 2007}
\end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 7 points}

\medskip

%Le tableau suivant donne la valeur en euros du SMIC (salaire minimum de croissance) horaire brut, des années 1999 à 2006.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année						&1999	&2000 	&2001	&2002	&2003 	&2004 	&2005	&2006\\ \hline
%Rang $x_{i}$				&1		&2		&3		&4		&5		&6 		&7		&8\\ \hline
%SMIC horaire brut $y_{i}$	&6,21	&6,41	&6,67	&6,83	&7,19 	&7,61	&8,03	&8,27\\ \hline
%\multicolumn{9}{r}{(\emph{Source INSEE})}
%\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer le taux d'évolution du SMIC horaire brut entre 2005 et 2006.
Le taux d'évolution du SMIC horaire brut entre 2005 et 2006 est : 

$\dfrac{8,27 - 8,03}{8,03}\times 100 = \dfrac{0,24}{8,27}\times 100 \approx \np{2,90206}$, soit environ \np{2,9021} à $10^{-4}$ près.		
%\emph{Donner une valeur décimale arrondie à} $10^{-4}$.
		\item 	%Quelle sera en 2007 la valeur du SMIC horaire brut arrondi au centime s'il subit une augmentation de 2,99\:\% par rapport à celui de 2006 ?
La valeur du SMIC horaire brut sera $8,27 \times 1,0299 \approx 8,517$ soit au centime près environ 8,52~\euro.
	 \end{enumerate}
\item  ~%Représenter dans un repère orthogonal, le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~ y_{i}\right)$ pour $1 \leqslant  i \leqslant 8$.

%Unités graphiques :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$]  axe des abscisses : 1 cm pour une unité ;
%\item[$\bullet~$]  axe des ordonnées : 1 cm pour 1 \euro.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(0,-1)(10,10)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(10,10)
\psdots(1,6.21)(2,6.41)(3,6.67)(4,6.83)(5,7.19)(6,7.61)(7,8.03)(8,8.27)
\psdots[linecolor=blue](4.5,7.15)\uput[ul](4.5,7.15){\blue G}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{9}{0.31 x mul 5.78 add}
\psset{arrowsize=3pt 4}
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](9,0)(9,8.57)(0,8.57)
\end{pspicture}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer les coordonnées du point moyen G de ce nuage. L'ordonnée de G sera arrondie au centième.
On a G(4,5~;~7,15)
		\item Placer le point G dans le même repère que précédemment.
	\end{enumerate}
\item  %On recherche un ajustement affine de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés.

%\emph{Effectuer les calculs à la calculatrice et arrondir les valeurs cherchées au centième; aucune justification n'est demandée.}
La calculatrice livre $y = 0,31x + 5,78$.
		\item %Tracer la droite dans le même repère que précédemment.
Voir ci-dessus.
		\item %Déterminer à l'aide de cet ajustement affine une estimation du SMIC horaire brut pour l'année 2007.
Graphiquement on trouve à peu près 8,50~\euro{} soit sensiblement la même valeur que celle qui a été trouvée à la question 1. b.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

%Une agence de voyage installe une plate-forme téléphonique afin de démarcher des clients et accroître ainsi son activité.
%
%Cette entreprise a dans ses fichiers 50\:\% de familles avec enfants, 35\:\% de familles sans enfant et le reste étant des personnes vivant seules. On convient qu'un client est soit une famille avec enfant, soit une famille sans enfant, soit une personne vivant seule. On estime que 10\:\% des familles avec enfants vont se décider pour un séjour avec l'agence de voyage et que 80\:\%  des familles sans enfant ne partiront pas avec l'agence de voyage.
%  
%Un employé de cette entreprise tire une fiche client au hasard. On considère les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] A : \og la fiche client représente une famille, avec enfants \fg{} ;
%\item[$\bullet~$] B : \og la fiche client représente une famille sans enfant \fg{} ;
%\item[$\bullet~$] C : \og la fiche client représente une personne vivant seule \fg{} ;
%\item[$\bullet~$] V : \og la fiche client représente un client qui part en vacances avec l'agence \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
\begin{enumerate}
\item  Reproduire et compléter autant que possible l'arbre ci-dessous :

\begin{center}
\psset{nodesep=2pt}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesep=2.5pt]{\TR{}}
{
	\pstree{\TR{A}\taput{0,5}}
	  { 
		  \TR{V}\taput{0,1}
		  \TR{$\overline{\mathrm{V}}$}\tbput{0,9}	   
	  }
	\pstree{\TR{B}\tbput{0,35}}
	  {
		  \TR{V}\taput{0,2}
		  \TR{$\overline{\mathrm{V}}$}\tbput{0,8} 
	  }
	\pstree{\TR{C}\tbput{0,15}}
	  {
		  \TR{V}\taput{0,4}
		   \TR{$\overline{\mathrm{V}}$}\tbput{0,6}
	  }	
}
\end{center}

\item %Traduire par une phrase les évènements $\overline{\text{V}},~ \text{A} \cap \text{V}~ \text{et}~ \text{A} \cup \text{V}$.
$\overline{\text{V}}$ : \og le client ne partira pas avec l'agence de voyage. \fg ;

$\text{A} \cap \text{V}$ : \og le client est une famille avec enfant qui partira avec l'agence. \fg ;

$\text{A} \cup \text{V}$ : \og le client est une famille avec enfant ou un client qui partira avec l'agence de voyages.\fg
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement A~$\cap$~V.
		$p(\text{A} \cap \text{V}) = p(\text{A}) \times p_{\text{A}}(\text{V}) = 0,5 \times 0,1 = 0,05$.
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement : \og la fiche client représente une famille sans enfant et qui part en vacances avec l'agence \fg.
		On a $p(\text{B} \cap \text{V}) = p(\text{B}) \times p_{\text{B}}s(\text{V}) = 0,35 \times 0,2 = 0,07$.
 	\end{enumerate}
\item %On sait aussi que la probabilité de l'évènement C~$\cap$~V est égale à 0,06. Calculer la probabilité de l'évènement : \og la fiche client représente un client qui part en vacances avec l'agence sachant que c'est un client vivant seul \fg.
On a $p(\text{C} \cap \text{V}) = 0,06 = p(\text{C}) \times p_{\text{C}}(\text{V}) = 0,15 \times p_{\text{C}}(\text{V})$.

On a donc : $p_{\text{C}}(\text{V}) = \dfrac{0,06}{0,15} = \dfrac{6}{15} = \dfrac{2}{5} = 0,4$.

On peut donc compléter l'arbre.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie I}

\medskip

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~10] par

\[f(x) = - 0,4x^2 + 4x - 8.\]

\begin{enumerate}
\item   
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ où $f'$ désigne la dérivée de la fonction $f$.
$f'(x) = - 2 \times 0,4x + 4 = 4 - 0,8x$.
		\item %Étudier le signe de $f'(x)$ pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~10].
$\bullet~~$$4 - 0,8x > 0$ si $4 > 0,8x$, soit $\dfrac{4}{0,8} > x$ soit $x < 5$ ; la dérivée est donc positive sur, [0~;~5] ;

$\bullet~~$$4 - 0,8x < 0$ si $4 < 0,8x$, soit $\dfrac{4}{0,8} < x$ soit $x > 5$ ; la dérivée est donc négative sur, [5~;~10] ; 

$\bullet~~$$4 - 0,8x = 0$ si $x = 5$. Donc $f'(5) = 0$.
		\item %En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].
$f$ est donc croissante sur [0~;~5]  de $f(0) = - 8$ à $f(5) = - 0,4 \times 5^2 + 4\times 5 - 8 = - 10 + 20 - 8 = 2$, puis décroissante de 2 à $f(10) = - 0,4 \times 10^2 + 4\times 10 - 8 = - 40 + 40 - 8 = - 8$.
		\item %Quel est le maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10] ?
Le maximum de la fonction est donc $f(5) = 2$.
 \end{enumerate}
\item 	%La feuille de calcul ci-dessous, extraite d'un tableur, donne les images par la fonction $f$ de quelques valeurs de l'intervalle [0~;~10].
 
%\begin{center}\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\hline
%  	&	A	& 	B\\ \hline
%1	&$x$	&	$f(x) = - 0,4x^2 + 4x - 8$\\ \hline
%2	&	0	&	$-8$\\ \hline
%3	&	1	&	$-4,4$\\ \hline
%4	&	2	&	$-1,6$\\ \hline
%5	&	3	&	$0,4$\\ \hline
%6	&	4	&	$1,6$\\ \hline
%7	&	5	&	$2$\\ \hline
%8	&	6	&	$1,6$\\ \hline
%9	&	7	&	$0,4$\\ \hline
%10	&	8	&	$-1,6$\\ \hline
%11	&	9	&	$-4,4$\\ \hline
%12	&	10	&	$-8$\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%Quelle formule, destinée à être recopiée vers le bas, faut-il écrire en B2 pour compléter la colonne B ?
En B2 : = 4*A2 - 0,4*A2$\hat{}$2-8
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie II}

\medskip

%Une petite entreprise fabrique des piscines hors sol. Pour des raisons de stockage la production mensuelle $q$ est comprise entre $0$ et $10$ unités. Le coût total de fabrication mensuel, exprimé eu milliers d'euros, est donné par la fonction $C$ définie sur [0~;~10] par :

\[C(q) =  0,4q^2 + 1,5q + 8.\]

%Chaque piscine est vendue 5,5~milliers d'euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer la recette puis le bénéfice correspondant à 3~piscines.
Si $R$ est la recette, on a $R(3) = 3 \times 5,5 = 16,5$.

Le bénéfice (ou la perte) sera de :

$R(3) - C(3) = 16,5 - \left(0,4 \times 3^2 + 1,5\times 3 + 8 \right) = 16,5 - (3,6 + 4,5 + 8) = 16,5 - 16,1 = 0,4$.
\item  %Montrer que le bénéfice mensuel $B(q)$, exprimé en milliers d'euros, est définie sur [0~;~10] par
La recette pour $q$ piscines vendues est $R(q) = 5,5q$, donc le bénéfice sera :

$B(q) = R(q) - C(q)  = 5,5q - \left( 0,4q^2 + 1,5q + 8\right) = 5,5q - 0,4q^2 - 1,5q - 8 = - 0,4q^2 + 4q - 8 = f(q)$, \: $f$ étant la fonction de la partie I.
\[B(q) = -0,4q^2 + 4q - 8.\]

\item  En utilisant \textbf{la partie I}
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer pour quelles productions le bénéfice est positif.
Le tableur montre que $f$ est positive pour $q \in[2~;~7]$. Donc le bénéfice est positif si l'on vend de 2 à 7 piscines.
		\item %Déterminer le nombre de piscines à fabriquer et à vendre mensuellement pour que le bénéfice soit maximal.
On a vu le maximum de la fonction $f$ est obtenu lorsque l'on vend 5 piscines.
		\item %Quel est alors ce bénéfice maximal ?
On a vu que $f(5) = 2$, donc le bénéfice maximal est de 2 milliers d'euros soit \np{2000}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}