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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat C. G. R. H.}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG CGRH ~\decofourright\\Métropole--La Réunion septembre 2007}} 

\vspace{0,5cm}

%La calculatrice est autorisée.
%
%\vspace{0,35cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}

\medskip

%David et Pascal sont embauchés dans une entreprise le premier janvier 2005 à des conditions différentes. David commence avec un salaire mensuel net de \np{1100} euros et Pascal avec un salaire mensuel net de \np{1200} euros. On souhaite étudier l'évolution de leurs salaires.
%
%\textbf{ On arrondira, si nécessaire, les résultats à \boldmath$0,01$\unboldmath près.}
%
%\medskip
%
%\emph{Le tableau de l'annexe est à remplir et à rendre avec la copie.}

%\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{A. Évolution du salaire mensuel de David.}

\medskip

%Au premier janvier de chaque année, le salaire mensuel de David augmente de 5\:\%.
% 
%On note $u_{n}$ le salaire mensuel de David au premier janvier de l'année $2005 + n,~ n$ étant un entier naturel (donc $u_{0} = \np{1100}$).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Calculer $u_{1}$ et $u_{2}$.
$u_{0} = \np{1100}$, donc $u_{1} = \np{1100} \times 1,05 = \np{1155}$ ; $u_{2} = \np{1155} \times 1,05 = \np{1212,75}$.
\item  %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$.
Augmenter de 5\,\% revient à multiplier par 1,05, donc $u_{n+1} = u_n \times 1,05$.

La suite $\left(u_{n}\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_{0} = \np{1100}$ et de raison 1,05.
\item  %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$. Calculer le salaire mensuel de David en 2012.
On sait qu'alors $u_n = u_0 \times 1,05^n = \np{1100}\times 1,05^n$.

2012 correspond au rang $n = 7$, d'où $u_7 = \np{11000}\times 1,05^7 \approx \np{1547,81}$~(\euro)
\item  %Quelle formule doit-on saisir dans la cellule C3 du tableau pour obtenir par recopie automatique vers le bas les salaires de David ?
Dans C3 : =C2*1,05
\item  %Compléter la colonne C du tableau de l'annexe.
Voir l'annexe
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{B. Évolution du salaire mensuel de Pascal.}

\medskip

%Au premier janvier de chaque année, le salaire mensuel de Pascal augmente de $50$ euros.
%
%On note $v_{n}$ le salaire mensuel de Pascal au premier janvier de l'année $2005 + n,~ n$ étant un entier naturel (donc $v_{0} =  \np{1200}$).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $v_{1}$ et $v_{2}$.
$v_{0} =  \np{1200}$, donc $v_{1} =  \np{1200} + 50 = \np{1250}$,\:$v_{0} =  \np{1250} + 50 = \np{1300}$ 

\item %Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$. Calculer le salaire mensuel de Pascal en  2012.
On a $v_{n+1} = v_n + 50$, la suite $\left(v_{n}\right)$ est donc une suite arithmétique de premier terme $v_{0} =  \np{1200}$, de raison 50.

On sait qu'alors $v_n = v_0 + n \times 50 = \np{1200} + 50n$.
\item %Quelle formule doit-on saisir dans la cellule D3 du tableau pour obtenir par recopie automatique vers le bas les salaires de Pascal ?
Dans D3 : =D2 + 50
\item %Compléter la colonne D du tableau de l'annexe.
Voir l'annexe
\item %Quelle formule doit-on saisir dans la cellule F3 du tableau pour obtenir par recopie automatique vers le bas le montant des salaires cumulés de Pascal depuis le premier janvier 2005 jusqu'au premier janvier de l'année considérée ?
Dans E3 : =D3*12

Dans F3 : = F2+E3
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{C. Comparaison des salaires}

\medskip

%À partir de quelle année le salaire mensuel de David dépassera-t-il celui de Pascal ?
On voit sur le tableau qu'en 2013 le salaire mensuel de David dépassera celui de Pascal.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
%
%Dans cet exercice, pour chacune des questions, $4$ réponses sont proposées, une seule est correcte. Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et la réponse choisie.
%
%Aucune justification n'est demandée.
%
%\emph{ Chaque bonne réponse rapporte un point, chaque réponse incorrecte retire $0,25$ point, une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point. Si le total des points est négatif la note attribuée à l'exercice est $0$.}
%
%\medskip
%
%Dans un lycée, 40\:\% des élèves sont dans une série technologique, les autres étant dans une section générale. Le taux de réussite du lycée au bac est de 90\:\% dans la série technologique et de 80\:\% dans la série générale.
%
%On rencontre un élève de terminale au hasard le jour des résultats du bac. Chaque élève a la même probabilité d'être rencontré.
%
%On considère les évènements suivants :
%
%\begin{itemize}
%\item T : \og l'élève est dans une série technologique \fg,
%\item B : \og l'élève est reçu au bac \fg.
%\end{itemize}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %La probabilité de l'évènement $\overline{\text{T}}$ contraire de T est égale à :
$p\left( \overline{\text{T}}\right) = 1 - 0,4 = 0,6$
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.}$\quad	0,4$&\textbf{b.}$\quad	60$& 	\textbf{c.}$\quad 0,6$&\textbf{d.}$\quad - 0,4$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
\item 	%La probabilité $P_{\overline{\text{T}}}\left(\overline{\text{B}}\right)$ est égale à :
$P_{\overline{T}}\left(\overline{B}\right) =  0,2$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.}$\quad	0,12$&\textbf{b.}$\quad	0,6$& 	\textbf{c.}$\quad 20$&\textbf{d.}$\quad  0,2$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
\item 	%La probabilité de l'évènement T $\cap$ B est égale  à :
$P(T \cap B) = 0,4 \times 0,9 = 0,36$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.}$\quad	0,9$&\textbf{b.}$\quad	0,36$& 	\textbf{c.}$\quad 0,4$&\textbf{d.}$\quad 4$\\
%\end{tabularx}
%\medskip

\item %La probabilité de l'évènement B est égale à :
$p(B) = P(B \cap T) + P\left(B \cap \overline{T} \right) = 0,36 + 0,6\times 0,8 = 0,36 + 0,48 = 0,84$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.}$\quad	0,84$&\textbf{b.}$\quad	0,9$& 	\textbf{c.}$\quad 0,8$&\textbf{d.}$\quad 1,7$\\
%\end{tabularx}
%\medskip

\item 	%Sachant que l'élève rencontré au hasard est reçu au bac, la probabilité qu'il soit en série technologique est égale à :
$P_{B}(T) = \dfrac{P(B \cap T}{P(B)} = \dfrac{0,36}{0,84} = \dfrac{36}{84} = \dfrac{9}{21} = \dfrac{3}{7}$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.}~$P(\text{T} \cap \text{B})/P(\text{B})$&\textbf{b.}$\quad P(\text{T}) \cdot P(\text{B})$& 	\textbf{c.}$\quad P(\text{T} \cap \text{B}) $&\textbf{d.}$\quad P_{\text{T}}(\text{B})$\\
%\end{tabularx}
%\medskip
			
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\medskip

%Une entreprise produit des appareils électroménagers. Le coût horaire de production de $x$ appareils est donné en euros par : 

\[C(x) = x^2 + 50x + 100\quad \text{pour} \quad  5 \leqslant x \leqslant 40.\]

\begin{enumerate}
\item %L'entreprise vend chaque appareil $100$ euros.
	\begin{enumerate}
		\item  %Expliquer pourquoi le bénéfice horaire réalisé par la fabrication et la vente de $x$ objets est égal à : $B(x)= - x^2 + 50x - 100$ pour $x$ appartenant à [5~;~40].
Pour $x$ objets vendus la recette est $R(x) = 100x$.

Le bénéfice est donc $B(x) = R(x) - C(x) = 100x - \left(x^2 + 50x + 100 \right) = $

$100x - x^2 - 50x - 100 = - x^2 + 50x - 100$.
		\item  %$B'$ étant la fonction dérivée de $B$ sur [5~;~40], calculer $B'(x)$ et étudier son signe.
$B'(x) = - 2x + 50$.

$\bullet~~$$- 2x + 50 > 0$ si $50 > 2x$ ou $25 > x$ ;

$\bullet~~$$- 2x + 50 < 0$ si $50 < 2x$ ou $25 < x$ ;

$\bullet~~$$- 2x + 50 = 0$ si $50 = 2x$ ou $25 = x$.
		\item  %Dresser le tableau de variations de $B$.
Le résultat précédent montre que :

$B$ est croissante sur [0~;~25], décroissante sur [25~;~40] et qu'elle a un maximum 

$B(25) = - 25^2 + 50\times 25 - 100 = 525$.
		\item  %Quel est le nombre d'appareils à produire pour que le bénéfice horaire de l'entreprise soit maximal ?
On a vu que le bénéfice est maximal pour $x = 25$ et ce bénéfice est de 525~\euro.
	\end{enumerate}
\item 	%Le coût moyen de production d'un objet est égal à $f(x) = 	\dfrac{C(x)}{x}$ pour $x$ appartenant à [5 ; 40].
	\begin{enumerate}
	\item  %Montrer que $f(x) = x + 50 + \dfrac{100}{ x}$ pour $x$ appartenant à [5~;~40].
$f(x) = 	\dfrac{C(x)}{x} =  	\dfrac{x^2 + 50x + 100}{x} = x + 50 + \dfrac{100}{x}$.
	\item  %$f'$ étant la dérivée de la fonction $f$ sur [5 ; 40], montrer que : 
	
%$f'(x) = \dfrac{(x - 10)(x + 10)}{x^2}$ pour $x$ appartenant à [5~;~40].
On a $f'(x) = 1 - \dfrac{100}{x^2} = \dfrac{x^2 - 100}{x^2} = \dfrac{(x + 10)(x - 10)}{x^2}$.
	\item   %Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$
Comme $x^2 \geqslant 0$, quel que soit le réel $x$, le signe de $f'(x)$ est celui du numérateur $(x + 10)(x - 10)$. D'où le tableau de signes et le tableau de variations de la fonction $f$ :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,4)
\psframe(8,4) \psline(0,2)(8,2) \psline(0,2.5)(8,2.5) \psline(0,3)(8,3) \psline(0,3.5)(8,3.5)
\psline(2,0)(2,4)
\uput[u](1,3.4){$x$} \uput[u](2.1,3.4){$5$} \uput[u](5,3.4){$10$} \uput[u](6.5,3.4){$25$} \uput[u](7.8,3.4){$40$} 
\rput(1,3.25){$x + 10$}\rput(3.5,3.25){$+$}\rput(6.5,3.25){$+$}
\rput(1,2.75){$x - 10$}\rput(3.5,2.75){$-$}\rput(6.5,2.75){$+$}\rput(5,2.75){$0$}
\rput(1,2.25){\small $(x + 10)(x - 10)$}\rput(3.5,2.25){$-$}\rput(5,2.25){$0$} \rput(6.5,2.25){$+$}
\rput(1,1){$f(x)$}
\uput[u](5,0){$70$}\uput[d](2.2,2){75} \uput[d](7.7,2){$92,5$}
\psline{->}(2.5,1.5)(4.5,0.5)\psline{->}(5.5,0.5)(7.5,1.5)
\end{pspicture}
\end{center}
	\item   %Pour quelle valeur de $x$ le coût moyen est-il minimal ? Préciser alors sa valeur.
D'après le tableau le coût moyen minimal est $f(10) = 10 + 50 + \dfrac{100}{10} = 60 + 10 = 70$.
	\item   %Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (on arrondira au centime d'euro) :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&5	&10	&20	&30		&40			\\ \hline
$f(x)$	&75	&70	&75	&83,33	&92,5	\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

	\item  ~%Tracer la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal.

%Unités graphiques :	1~cm pour cinq appareils en abscisse, 1~cm pour $10$ euros en ordonnée.
\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.125cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(41,95)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20,Dx=5]{->}(0,0)(41,95)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=20,Dx=5](0,0)(41,95)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{5}{40}{x 50 add 100 x div add}
\psdots[linecolor=blue](5,75)(10,70)(20,75)(30,83.33)(40,92.5)
\end{pspicture}
\end{center}

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\newpage
\begin{center}
\textbf{Annexe à rendre avec la copie}

\vspace{1cm}
\textbf{Feuille-réponse}
\end{center}

\vspace{1cm}
\textbf{Exercice 1}

\vspace{1cm}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
	&		A&	B&	C&	D&	E&	F\\ \hline
1&	Année&	$n$&	Salaire mensuel de David $u_{n}$&	Salaire mensuel	de Pascal  $v_{n}$&Salaire annuel	de Pascal&Salaires cumulés de Pascal\\ \hline
2&	2005	&0 &\np{1100}	&\np{1200}&\np{14400}&	\np{14400}\\ \hline
3&	2006	&1 &\np{1155}	&\np{1250}	&	& \\ \hline
4&	2007	&2 &\np{1212,75}	&\np{1300}	&	& \\ \hline
5&	2008	&3 &\np{1273,39}	&\np{1350}	&	& \\ \hline
6&	2009	&4 &\np{1337,06}	&\np{1400}	&	& \\ \hline
7&	2010	&5 &\np{1403,91}	&\np{1450}	&	& \\ \hline
8&	2011	&6 &\np{1474,11}	&\np{1500}	&	& \\ \hline
9&	2012	&7 &\np{1547,81}	&\np{1550}	&	& \\ \hline
10&	2013	&8 &\np{1625,20}	&\np{1600}	&	& \\ \hline
11&	2014	&9 &\np{1706,46}	&\np{1650}	&	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{document} 