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% Tapuscrit Vincent Tolleron
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STG Mercatique}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG  Antilles-Guyane ~\decofourright\\
Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information juin 2007}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

%La tableau suivant indique l'évolution du chiffre d'affaires (en milliers d'euros) d'une entreprise entre 2001 et 2005.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
%\hline
%Année & 2001 & 2002 & 2003 & 2004 & 2005 \\
%\hline
%Rang ($x_{i}$) 				&1 		&2 		&3 		&4 		&5 \\\hline
%Chiffre d'affaires ($y_{i}$)&340 	&341 	&343 	&341 	&344\\\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\smallskip
%\emph{Chaque affirmation ci-après comporte trois réponses possibles; pour chaque question une seule réponse est exacte. Toute réponse exacte rapporte $1$~point; une réponse inexacte enlève $0,5$~point; l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'enlève aucun point. Si le total est négatif, la note de l'exercice est ramenée à $0$.}\\[3ex]
%\emph{Recopier clairement sur la copie la réponse exacte. 
%Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Les coordonnées du point moyen $G\left(\overline{x}~;~\overline{y}\right)$ sont :
G(3~;~341,8)
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet~~G(\np{2,5}~;~\np{341,8})$& 
%$\bullet~~G(3~;~\np{342,1})$& 
%$\bullet~~G(3~;~\np{341,8}).$\\
%\end{tabularx}

\medskip
\item %La droite D d'ajustement affine obtenue par la méthode des moindres carrés a pour équation :
$y = \np{0,8}x+\np{339,4}$
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet~~y=\np{0,8}x+\np{339,4}$&
%$\bullet~~y=\np{0,9}x+\np{339,1}$&
%$\bullet~~y=\np{0,8}x+\np{341,8}.$\\
%\end{tabularx}

\medskip
\item %Le chiffre d'affaires, en milliers d'euros, estimé pour 2006 à l'aide de l'ajustement précédent est de :\\
344,2.
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%$\bullet~~\np{344,5}$&
%$\bullet~~\np{346,6}$&
%$\bullet~~\np{344,2}.$
%\end{tabularx}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

%On s'intéresse à l'évolution de la population d'une ville V et on veut étudier plusieurs modèles d'évolution. En 2005, la population de la ville V est estimée à \np{10000}~habitants.
%
%\medskip

\textbf{Partie I : étude de deux modèles}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \textbf{Première hypothèse de croissance}

%En analysant l'évolution récente, on fait d'abord comme hypothèse que la population de la ville V va augmenter de \np{500} habitants par an.
%
%On note $u_{0}=\np{10000}$ la population en 2005,  et $u_{n}$ la population en $(2005+n)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la nature de la suite $(u_{n})$~?
		On a quel que soit le naturel $n$,\: $u_{n+1} = u_n + 500$ : la suite est donc arithmétique de raison 500 de premier terme \np{10000}.
		\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
		On sait que $u_n = \np{10000} + 500n$.
		\item %En quelle année la population atteindra-t-elle \np{20000} habitants~?
		On résout : $\np{10000} + 500n \geqslant \np{20000}$ soit $500n \geqslant \np{10000}$ ou $n \geqslant 20$.
		
La population atteindra \np{20000} habitants en 2030.
	\end{enumerate}
\item \textbf{Deuxième hypothèse de croissance}

%On travaille avec l'hypothèse d'une augmentation de \np{4,7}\% par an.

%On note $v_{n}$ la population en $(2005 + n)$. Nous avons alors $v_{0} = \np{10000}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle sera la population en 2006~? En 2007~?
En 2006 : $\np{10000} + \np{10000}\times 0,047 = \np{10470}$~habitants.

En 2007 : $\np{10470} + \np{10470}\times 0,047 \approx  \np{10962}$~habitants.
		\item %Quelle est la nature de la suite $(v_{n})$ ? Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
On a quel que soit le naturel $n$, \: $v_{n+1} = v_n \times 1,047$ : la suite est donc géométrique de raison 1,047 et de premier terme \np{10000}.

On sait que $v_n = 	\np{10000}\times 1,047^n$.
		\item %Calculer la population de la ville en 2020.
Pour $n = 15$, \: $v_{15} = \np{10000}\times 1,047^{15} \approx \np{19916}.$
	
%En examinant l'évolution de villes comparables, des experts ont estimé que la population de la ville V considérée allait doubler en $15$~ans.
		\item %Le résultat trouvé en 2. c. vous paraît-il correspondre à ce que pensaient les experts~?
Le résultat trouvé en 2. c.  correspond à ce que pensaient les experts.		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie II : analyse des résultats sur tableur}

\smallskip

%On veut utiliser un tableur pour comparer l'évolution de la population suivant les deux modèles :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%  & A 		& B 	& C 		& D\\\hline
%1 &Année 	&$u_{n}$&$v_{n}$	& \\\hline
%2 &2005 	& 		& 			& \\\hline
%3 &2006 	& 		& 			& \\\hline
%4 &2007 	& 		& 			& \\\hline
%5 &2008 	& 		& 			& \\\hline
%6 &2009 	& 		& 			& \\\hline
%7 &2010 	& 		& 			& \\\hline
%8 &2011 	& 		& 			& \\\hline
%9 &2012 	& 		& 			& \\\hline
%10 &2013 	& 		& 			& \\\hline
%11 &2014 	& 		& 			& \\\hline
%12 &2015 	& 		& 			& \\\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Quelle formule faut-il entrer en B3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite $\left(u_{n}\right)$~?
En B3 : =B2+500
\item %Quelle formule faut-il entrer en C3, pour obtenir, par recopie vers le bas, les valeurs de la suite $\left(v_{n}\right)$~?
En C3 : =C2*1,047
\item %En cellule B8, quel sera alors le résultat affiché~?
En B8 il y aura $\np{10000} + 6\times 500 = \np{13000}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

%Un établissement scolaire compte $130$~élèves en terminale STG. Ces élèves sont répartis en trois spécialités : CGRH, mercatique et CFE.
%
%50\:\% des élèves sont en mercatique et $45$ d'entre eux sont des garçons.
%
%$30$ élèves sont en CFE et dans cette spécialité, il y a autant de filles que de garçons.
%
%En CGRH, il y a 6 fois plus de filles que de garçons.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Reproduire et compléter le tableau suivant:
Il y a en mercatique 65 élèves ; parmi eux 45 garçons donc 20 filles.

En CFE il y a 15 filles et 15 garçons.

Il reste en CGRH : $130 - 65 - 30 = 35$.

Dans ces 35 élèves s'il y a $g$ garçons on a $g + 6g = 35$ soit $7g = 35$ d'où $g = 5$. Il y a 5 garçons donc 30 filles. D'où le tableau : 
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
		& CGRH 		&Mercatique & CFE 	&Total\\\hline
Filles 	&30 		&20 		&15 	&65 \\\hline
Garçons	&5 			&45 		&15 	&65\\\hline
Total 	&35 		&65 		&30 	&130\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Faire figurer sur la copie le détail des calculs.
\item %Dans cette question, les réponses seront données sous la forme d'une fraction irréductible.

%Un élève est choisi au hasard parmi les 130~élèves  de terminale STG.
%
%On considère les évènements suivants :
%
%\begin{description}
%\item[$M$:] \og l'élève choisi est en mercatique\fg{} ;
%\item[$F$:] \og l'élève choisi est une fille\fg {};
%\item[$H$:] \og l'élève choisi est en CGRH\fg.
%\end{description}
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $p(M)$ et $p(H)$.
$p(M) = \dfrac{65}{130} = \dfrac{1}{2} = 50\,\%$ (donné dans l'énoncé).

$p(H) = \dfrac{35}{130} = \dfrac{7}{26}$.
		\item %Définir par une phrase l'évènement $M\cap F$ puis calculer $p(M\cap F)$.
$M\cap F$ désigne l'évènement : \og l'élève choisi est une fille ayant choisi l'option Mercatique \fg.

$p(M\cap F) = \dfrac{20}{130} = \dfrac{2}{13}$.
		\item %Calculer la probabilité conditionnelle sachant $M$ de $F$ notée $p_{M}(F)$. Traduire par une phrase le résultat obtenu.
$p_{M}(F) = \dfrac{p(M \cap F)}{p(M)} = \dfrac{\frac{20}{130}}{\frac{65}{130}} = \dfrac{20}{65} = \dfrac{4}{13}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip

On donne ci-dessous
% à la figure \ref{fig1} 
la courbe représentative $(C)$ d'une fonction $f$ définie sur $[- 2~;~5]$.

La tangente à $(C)$ au point d'abscisse $-\ln 2$ est parallèle à l'axe des abscisses et $(D)$ est la droite d'équation $y=2x-3$.
%\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\scriptsize{
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-5,-6.6)(12.04,15.68)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=orange,gridwidth=0.25pt](0,0)(-5,-6.6)(12.04,15.68)
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt}
\psaxes[Dx=1,Dy=3,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-3.3)(6.02,7.84)
\psaxes[Dx=1,Dy=3,linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,0)(6.02,7.84)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=2000]{-2.0}{5.0}{2 x mul 3 sub 2.71828 x neg exp add}
\psline(-2.5,-2.386)(6.02,-2.386)
\uput[dl](0,0){O}
%\psplot{-2.5}{6.02}{(-2.39-0*x)/1}
\psplot{-2.5}{6.02}{2 x mul 3 sub}
\rput[tl](-2.24,0.8){\blue $(C)$}
\rput[tl](1.2,-1){$(D)$}
\rput[tl](4.34,-2.5){$y=-1-2\ln 2$}
\psline[linestyle=dotted,ArrowInside=->](0.75,0)(0.75,-1.5)(0,-1.5)
\psline[linestyle=dotted,ArrowInside=->,linecolor=blue](0.75,0)(0.75,-1.028)(0,-1.028)
\uput[u](0.75,0){$x$}
\uput[l](0,-1.5){$2x - 3$}
\uput[l](0,-1.028){\blue $2x - 3 + \text{e}^{-x}$}
\end{pspicture*}
}
\end{center}

\smallskip
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Par lecture graphique, déterminer $f(0)$, $f'(-\ln 2)$.
On lit $f(0) - 2$ et $f'(-\ln 2) = 0$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer graphiquement le nombre de solutions, sur l'intervalle $[-2~;~5]$, de l'équation $f(x) = 0$.
Il y a deux solutions à l'équation $f(x) = 0$ dans l'intervalle $[-2~;~5]$.
		\item %Résoudre graphiquement l'inéquation $f'(x)<0$.
Le nombre dérivé est négatif si la fonction est décroissante ; on voit qu'elle l'est sur l'intervalle $[- 2~;~- \ln 2]$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\smallskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction de la partie A est définie sur $[- 2~;~5]$ par: 

\[f(x) = 2x - 3 + \text{e}^{-x}.\]

\begin{enumerate}
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

%Montrer que, pour tout $x$ de $[-2~;~5]$, $f'(x) = 2 - \text{e}^{- x}$.
Pour tout $x$ de $[-2~;~5]$, $f'(x) = 2 + (- 1)\text{e}^{-x} = 2 - \text{e}^{-x}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre algébriquement l'équation $f'(x)=0$.
$f'(x) = 0$ ou $2 - \text{e}^{-x} = 0$ ou $2 = \text{e}^{-x}$ et en prenant le logarithme népérien : $\ln 2 = - x$ et enfin $x = - \ln 2$.
		\item %Donner le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$ dans l'intervalle $[-2~;~5]$.
On a de même : $f'(x) > 0$ ou $2 - \text{e}^{-x} > 0$ ou $2 > \text{e}^{-x}$ et en prenant le logarithme népérien : $\ln 2 > - x$ et enfin $x > - \ln 2$.

Et aussi :  $f'(x) < 0$ ou $2 - \text{e}^{-x} < 0$ ou $2 < \text{e}^{-x}$ et en prenant le logarithme népérien : $\ln 2 < - x$ et enfin $x < - \ln 2$.

		\item %En déduire le tableau de variations de $f$.
		La fonction $f$ est donc décroissante sur $[- 2~;~- \ln 2]$ et croissante sur $[- \ln 2~;~5]$.
	\end{enumerate}
\item %On rappelle que $(D)$ est la droite d'équation $y = 2x-3$.
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre l'inéquation $f(x) > 2x - 3$.
$f(x) > 2x-3$ ou $2x - 3 + \text{e}^{-x} > 2x - 3$ soit $\text{e}^{-x} > 0$. On sait que ceci est vrai quel que soit le réel $x$ donc en particulier si $-2 \leqslant x \leqslant 5$.		
		\item %Interpréter graphiquement, à l'aide de $(C)$ et $(D)$, le résultat précédent.
Graphiquement le résultat précédent montre que la représentation graphique $(C)$ de $f$ est au dessus de la droite (D) d'équation $y = 2x - 3$.

Sur la figure on voit que pour une abscisse quelconque $x$, le point de $(D)$ de coordonnées $(x~;~2x - 3)$ est en dessous du point de $(C)$ de coordonnées {\blue $\left(x~;~2x - 3 + \text{e}^{-x}\right)$} car $\text{e}^{-x} > 0$, quel que soit le nombre $x$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}