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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat Mercatique}  
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique~\decofourright\\Antilles--Guyane septembre 2007}} 
    
\vspace{0,4cm}

%Coefficient 3 et 4 pour gestion des systèmes d'information  \hfill Durée 3 heures
%
%\vspace{0,4cm}
%
%La calculatrice est autorisée.
%
%\vspace{0,35cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
%
%\emph{Pour chaque question, une seule réponse est juste. Recopier sur votre copie la réponse correcte. Chaque réponse rapporte $1$ point, chaque réponse fausse enlève $0,5$ point, une absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %La probabilité d'un évènement $A$ est de $\dfrac{1}{3}$. La probabilité de son évènement contraire est :

%\medskip 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~$On ne peut pas savoir &$\bullet~\dfrac{4}{3}$ &$\bullet~\dfrac{2}{3}$&$\bullet~0$\\
%\end{tabularx}
On a $p\left(\overline{A} \right) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
\item   %La probabilité d'un évènement $B$ est de $0,1$ et celle de l'évènement $C$ de $0,2$. La probabilité de l'évènement $B \cup C$ est :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~$On ne peut pas savoir&$\bullet~0,1$&$\bullet~0,2$&$\bullet~0,3$
%\end{tabularx}
On ne peut pas savoir.
%\item   La probabilité d'un évènement $A$ est de $0,5$, celle de $B$ est de $0,2$, la probabilité de l'évènement $A \cap B$ est de $0,15$. La probabilité de $A$ sachant $B$ est :
%
%\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%$\bullet~0,3$ &$\bullet~$On ne peut pas savoir&$\bullet~0,75$&$\bullet~0,4$
%\end{tabularx}
On a $p_B(A) = \dfrac{p(B \cap A)}{p(B)} = \dfrac{0,15}{0,2} = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4} = 0,75$.
\item %Dans un repère orthonormal, les points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ telles que $2x - y - 3 > 0$ se situent :

%$\bullet~$ Au dessus de la droite d'équation $y = 2x - 3$ ;
%
%$\bullet~$ En dessous de la droite d'équation $2x - y = 3$ ;
%
%$\bullet~$ Dans le demi-plan d'inéquation $y - 2x < 3$ ;
%
%$\bullet~$ Au dessus de la droite d'équation $y = -2x + 3$.
En dessous de la droite d'équation $2x - y = 3$.
\item %On considère le diagramme en boîte ci-dessous.

%\medskip
%
%\begin{pspicture}(10,2)
%\psframe(2,0)(9,2) \psline[linewidth=3pt](4,0)(4,2)
%\uput[d](0,1){$0$}  \uput[d](2,0){$2$}  \uput[d](4,0){$4$}  \uput[d](9,0){$9$}  \uput[d](10,1){$10$} 
%\psline(0,1)(10,1) \qdisk(0,1){1pt} \qdisk(10,1){1pt} 
%\end{pspicture}
%
%\medskip
%
%$\bullet~$ La médiane est $4$ ;
%
%$\bullet~$ Le troisième quartile est $10$ ;
%
%$\bullet~$ L'intervalle interquartile est [0 ; 10] ;
%
%$\bullet~$ Le premier quartile est $4$.
La médiane est $4$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

%Un restaurant d'une station balnéaire ouvre au début du printemps. Le gérant relève le nombre de repas servis chaque semaine. Les résultats des quatre premières semaines sont donnés dans le tableau suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Rang de la semaine : $x_{i}$& 1 &2 &3 &4\\ \hline
%Nombre de couverts : $y_{i}$& 78&	108& 159&224\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  ~%Représenter graphiquement, sur une feuille de papier millimétré, le nuage de points associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. 
\begin{center}
\psset{xunit=1.5cm,yunit=0.075cm}
\begin{pspicture*}(-0.75,-10)(5.1,185)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=50,Dy=20]{_>}(0,0)(5,180)
\psdots(1,28)(2,58)(3,109)(4,174)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{5}{48.9 x mul 30 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{1}{5}{1.43 x exp  54 mul 50 sub}
\uput[u](4.5,0){rang}
\uput[r](0,180){nombre de couverts}
\end{pspicture*}
\end{center}

%\emph{On prendra $2$~cm pour représenter $1$~semaine sur l'axe des abscisses et $1$~cm pour représenter $20$~couverts sur l'axe des ordonnées.}

\item  %Soit $D$ la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. 
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite $D$, de la forme $y = ax + b$.
On trouve $y = 48,9x + 20$
		\item  %Tracer $D$ sur le graphique de la question 1.
Voir ci-dessus.
		\item  %Si l'on retient cet ajustement affine, calculer le nombre de couverts, arrondi à l'entier, prévisible pour la cinquième semaine.
Avec $x = 5$, on obtient $y = 48,9 \times 5 + 20 = 264,5$.
	\end{enumerate}
\item  %L'allure du nuage de points précédent permet d'envisager un ajustement exponentiel.

%On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+ \infty[$ par : 
%
%\[f(x) = 54\times (1,43)^x.\]

	\begin{enumerate}
		\item  %Recopier et compléter le tableau suivant avec les valeurs $f\left(x_{i}\right)$ arrondies à l'unité.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang de la semaine : $x_{i}$	&1	&2		&3		&4		&5\\ \hline
$f\left(x_{i}\right)$			&77	&110	&158	&226	&323  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

		\item  %Sur le graphique de la question 1, tracer la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~5].
Voir ci-dessus.
		\item   %Si l'on retient cet ajustement exponentiel, quel nombre de couverts peut-on prévoir la cinquième semaine ?
On a $y = 54 \times 1,43^{5} \approx 323$.
	\end{enumerate}
\item   %Le restaurant a une capacité maximum de 810~couverts par semaine.
	\begin{enumerate}
		\item  %Résoudre, par le calcul, l'inéquation : $54 \times  (1,43)^x \geqslant  810$.
$54 \times  (1,43)^x \geqslant  810$ ou $(1,43)^x \geqslant  \dfrac{810}{54}$, d'où $x \ln 1,43 \geqslant \ln \left(\dfrac{810}{54} \right)$ 

d'où $x \geqslant \dfrac{\ln \left(\frac{810}{54} \right)}{\ln 1,43}$ ; la calculatrice donne $\dfrac{\ln \left(\frac{810}{54} \right)}{\ln 1,43} \approx 7,57$.

Comme $x$ est entier il faut prendre au moins $x = 8$.
		\item  %Si la fréquentation du restaurant évolue suivant ce modèle exponentiel, quel est le rang de la semaine où le gérant commencera à refuser des clients ?
La question précédente montre que le gérant commencera à refuser des clients à partir de la 8\up{e} année.
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
%Une société possède un gisement pétrolifère dont la réserve totale exploitable est estimée en décembre 2005 à $850$ millions de barils de pétrole (l'unité choisie pour l'exercice est le million de barils). On note $u_{n}$ la réserve exploitable restante en décembre de l'année $(2005 + n)$. On a : $u_{0} = 850$. Chaque année le pétrole extrait représente 20\:\% du total de la réserve exploitable restante.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $u_{1} = 680$. Puis calculer les quantités restantes $u_{2}$ et $u_{3}$ respectivement en décembre 2007 et 2008.
20\,\% de 850 millions représentent : $0,20 \times 850 = 170$~millions ; donc 

$u_1 = 850 - 170 = 680$~millions.

De même 20\,\% de 680 millions représentent : $0,20 \times 680 = 136$~millions ; donc $u_2 = 680 - 136 = 544$~millions.

20\,\% de 544 millions représentent : $0,20 \times 544 = 108,8$~millions ; donc 

$u_3 = 544 - 108,8 = 435,2$~millions.
\item %Exprimer alors $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ (on justifiera clairement chaque réponse).
Retrancher 20\,\% revient à multiplier par $0,80$, donc $u_{n+1} = 0,u_n$.

La suite $\left(u_n\right)$ est donc géométrique de raison 0,8 de premier terme 850.

On a donc $u_n = 850\times 0,8^n$
\item  %Le tableau ci-dessous est une copie d'une partie de la feuille de calcul d'un tableur.\\

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|>{\columncolor{gray}}c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
% &A		&B\\ \hline
%1&$n$	&$u_{n}$\\ \hline
%2&0		&850\\ \hline
%3&1		&680\\ \hline
%4&2		&\\ \hline
%5&3		&\\ \hline
%6&4		&\\ \hline
%7&5		&\\ \hline
%8&6		&\\ \hline
%9&7		&\\ \hline
%10&8	&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Quelle formule à recopier vers le bas faut-il inscrire dans la cellule B3 ? Que devient cette formule en B7  ?
Dans B3 : =B2*0,8
\item  %Le gisement sera considéré comme épuisé lorsque la réserve exploitable sera inférieure à un million de barils. Déterminer à partir de quelle année le gisement sera épuisé :  on donnera une démonstration algébrique utilisant le calcul sur les logarithmes.
Il faut résoudre l'inéquation : $u_n < 1$, soit $850\times 0,8^n < 1$ ou $0,8^n < \dfrac{1}{850}$  et en prenant le logarithme $n \ln 0,8 < \ln \left( \frac{1}{850}\right)$ et enfin (car $\ln 0,8 < 0$), \: $n > \dfrac{\ln \left( \frac{1}{850}\right)}{\ln 0,8}$.

Or $\dfrac{\ln \left( \frac{1}{850}\right)}{\ln 0,8} \approx 30,2$.

Le gisement sera considéré comme épuisé la 31\up{e} année.
\item  %Déterminer la production totale de pétrole extrait entre 2006 et 2017 inclus. Le résultat sera arrondi au millième.
Il faut trouver $u_0 + u_1 + \cdots + u_{12} = 850\times \dfrac{1 - 0,8^{13}}{1 - 0,8} = \dfrac{850}{0,2}\times \left(1 - 0,8^{13} \right) = \np{4016,354}$~millions de barils au millième près.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}

\medskip
 
%On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-5~;~5]$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal d'unité $1$~cm. Le tableau de variations de $f$ est le suivant :
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\begin{pspicture}(10,3.5)
%\psframe(10,3.5) \psline(2,0)(2,3.5) \psline(0,3)(10,3)
%\psline{->}(2.6,0.3)(5.7,2.7) \psline{->}(6.4,2.7)(9.5,0.3) 
%\rput(1,2){Variation} \rput(1,1){de $f$}
%\uput[u](1,3){$x$} \uput[u](2.3,3){$-5$} \uput[u](6,3){$-2,5$} \uput[u](9.7,3){$5$} \uput[u](2.3,0){$3$} \uput[u](9.7,0){$-2$}
%\uput[u](6,2.5){$4$}
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%\medskip
%On précise les valeurs suivantes concernant $f$ et sa fonction dérivée $f'$ :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{}X}}
%$f(0) = 2,5$&	$f(2) = 0$& 	$f'(-5) = 1$&$f'(5) = 0$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Quel est le maximum de $f$ sur l'intervalle $[- 5~;~5]$ ?
D'après le tableau le maximum est$f(- 2,5) = 4$.
\item  %Quelle est la solution de l'équation $f(x) = 0$ ?
Sur l'intervalle $[- 2,5~;~5]$ la fonction est strictement décroissante de $4 > 0$ à $- 2,5 < 0$ : elle s'annule donc en un point unique de $[- 2,5~;~5]$ et comme on sait que $f(2) = 0$, le nombre 2 est la seule solution de l'équation.
\item  %Quel est le signe du nombre $f'(0)$  ?
Sur l'intervalle $[- 2,5~;~5]$ la fonction est strictement décroissante, donc sur cet intervalle $f'(x) < 0$, donc en particulier $f'0) < 0$.
\item  %Établir une équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $- 5$.
Une équation de la tangente est :

$y = f(- 5) + (x - (- 5))f'(- 5)$, soit $y = 3 + 1(x + 5)$ ou $y = x + 8$.
\item Voici un tracé possible :
%Tracer sur une feuille de papier millimétré une courbe représentative possible de la fonction $f$ respectant l'ensemble des informations fournies dans l'énoncé.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-5,-3)(5,5)
\psgrid[gridlabels=0pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5,-3)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-5,-3)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(5,5)
\psline{->}(-5,3)(-4,4) \psline{<->}(-3.5,4)(-1.5,4)\psline{<->}(4,-2)(6,-2)
\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-5,3)(-4,3.7)(-3,3.97)(-2.5,4)(-1,3.4)(0,2.5)(2,0)(3,-1)(4,-1.7)(5,-2)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\end{document} 