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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STG Mercatique},
pdftitle = {Mercatique Nouvelle-Calédonie novembre 2007},
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat Mercatique}  
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique ~\decofourright
\\Nouvelle-Calédonie novembre 2007}} 

\vspace{0,35cm}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\medskip

%On a relevé l'évolution annuelle du cours du baril de pétrole entre 2001 et 2006.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année			&2001		& 2002			&2003			&2004		&2005		&2006\\ \hline
%Taux d'évolution&$\times$	&$- 20,07$\:\%	&$+ 33,79$\:\%	&$-15,70$\:\%&$+ 37,65$\:\%&$+ 52,94$\:\%\\ \hline
%\multicolumn{7}{r}{(source INSEE)}\\
%\end{tabularx}
%
%\emph{Exemple : Entre 2001 et 2002, le prix du baril de pétrole a baissé de $20,07$\:\%.}
%
%\emph{Les taux seront arrondis à $0,01$\:\% près, les prix à $0,01$~\euro{} près.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer que le taux d'évolution du prix du baril de pétrole entre 2001 et 2006 (c'est-à-dire le taux d'évolution global) est de $89,78$\:\%.
Le cours est multiplié par 

$(1 - 0,2007)(1 + 0,3379)(1 - 0,1570)(1 + 0,3765)(1 + 0,5294) = $

$\np{0,7993} \times \np{1,3379} \times 0,843 \times \np{1,3765} \times \np{1,5294} = \np{1,89783}$ soit environ 89,78\,\% au centième près.
\item %En 2006 le prix du baril de pétrole s'élevait à 52~\euro. Quel était son montant en 2001 ?
Le prix en 2001 était égal à : $\dfrac{52}{1,8978}\approx 21,4603$, soit 21,46~\euro{} au centième d'euro près.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  %Déterminer le taux d'évolution annuel moyen du prix du baril de pétrole entre 2001 et 2006.
		Si $t$ est ce taux : $(1 + t)^5 = 1,8978$, d'où $1 + t = 1,8978^{\frac{1}{5}} \approx 1,1367$, d'où $t \approx 13,67\,\%$.
		\item  %En utilisant ce dernier résultat donner une estimation du prix du baril de pétrole en 2007.
En supposant que cette augmentation moyenne va être valable de 2006 à 2007, le prix en 2007 devrait être environ : $52 \times 1,1367 \approx 59,108$, soit 59,11~\euro{} au centième d'euro près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

%Une entreprise possède trois usines de fabrication d'alarmes : la première située à Bordeaux, la deuxième à Grenoble et la troisième à Lille.
%
%Un contrôleur qualité s'intéresse au nombre d'alarmes (défectueuses ou non), produites en ce mois de septembre 2007 dans chacune des trois usines.
%
%Il a relevé les données suivantes :
%
%\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
					&Défectueuses	&En bon état&Total\\ \hline
Usine de Bordeaux	&160			&\blue \np{3200}		&\np{3360}\\ \hline
Usine de Grenoble	&\blue 66		&\blue \np{1200}		&\np{1266}\\ \hline
Usine de Lille		&154			&\blue \np{3500}		&\blue \np{3654} \\ \hline
Total				&380			&\np{7900}				&\blue \np{8280}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Compléter le tableau sur l'annexe fournie.
Voir au dessus.
\item %\emph{Dans toute cette question, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.}

%On prend une alarme au hasard dans la production de ce mois de septembre.
%	
%On note :
%	
%B l'évènement : \og l'alarme provient de l'usine de Bordeaux \fg{} ;
%
%G l'évènement : \og l'alarme provient de l'usine de Grenoble \fg{} ;
% 
%L l'évènement : \og l'alarme provient de l'usine de Lille \fg{} ;
%  
%D l'évènement  : \og l'alarme est défectueuse \fg.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer la probabilité de l'évènement B notée $p$(B).
$p(B) = \dfrac{\np{3360}}{\np{8280}}\approx \np{0,4057}$ soit environ 0,406.  
		\item  %Calculer la probabilité de évènement D notée $p$(D).
$p(D) = \dfrac{\np{380}}{\np{8280}}\approx \np{0,0458}$ soit environ 0,046.		 
		\item  %Définir par une phrase l'évènement B $~\cap~$D , puis calculer $p(\text{B}~\cap~\text{D})$.
$B \cap D$ est l'évènement : \og l'alarme est défectueuse et provient de Bordeaux \fg.

$p(B \cap D) = \dfrac{160}{\np{8280}} \approx 0,0193$, soit environ 0,019. 
		\item  %Calculer $p(\text{B}~\cup~\text{D})$.
$p(B \cup D) = p(B) + p(D) - p(B \cap D) = 0,406 + 0,046 - 0,019 = 0,433$. 
		\item  %Calculer $p_{\text{B}}(\text{D})$, la probabilité de D sachant B.
$p_B(D) = \dfrac{p(B \cap D)}{p(B)} = \dfrac{0,019}{0,406} \approx \np{0,0467}$ soit environ 0,047.

%Quelle usine semble la plus efficace en terme de qualité de production ?
À Bordeaux la proportion d'alarmes défectueuses est : $\dfrac{\np{160}}{\np{3200}} = 0,05$.

À Grenoble la proportion d'alarmes défectueuses est : $\dfrac{\np{66}}{\np{1200}} = 0,055$.

À Lille la proportion d'alarmes défectueuses est : $\dfrac{\np{154}}{\np{3500}}\approx \np{0,044}$.

C'est donc l'usine de Lille qui semble être la plus efficace.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
%
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.92cm}\begin{pspicture}(-3,-2)(3,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-2)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{1}{x 1 add x 2 exp sub x 3 exp sub}
%\rput(0,-2.25){Courbe de $f_{1}$}\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture}} \hfill 
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.92cm}
%\begin{pspicture}(-3,-2)(3,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-3,-2)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-2)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
% \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{1}{x 1 add 2  exp  x 2 exp 1 sub mul}
%\rput(0,-2.25){Courbe de $f_{2}$}
%\end{pspicture}}
%
%\bigskip \bigskip
%
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.92cm}
%\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-3,-3)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-3)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
% \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{1}{x 1 add  x 2 exp    1  sub mul}
%\rput(0,-3.25){Courbe de $f_{3}$}
%\end{pspicture}} \hfill 
%\parbox{0.45\linewidth}{\psset{unit=0.92cm}
%\begin{pspicture}(-3,-3)(3,3)
%\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-3,-3)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5](0,0)(-3,-3)(3,3)
%\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}
% \uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}\uput[dl](0,0){O}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{1}{x 1 add 2  exp  x 2 exp 1 sub mul neg}
%\rput(0,-3.25){Courbe de $f_{4}$}
%\end{pspicture}}
%
%\vspace{0,75cm}
%
%Les courbes ci-dessus représentent quatre fonctions $f_{1},~f_{2},~f_{3}$ et $f_{4}$  définies et dérivables sur $[- 2~;~1)$.
%
%\begin{enumerate}
%\item On donne ci-dessous les tableaux de signes de ces fonctions.\\
%
%\medskip
%
%\hspace{-1cm}\begin{tabular}{c c}
%\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](4.5,1){$-1$} \uput[u](6.3,1){$1$}
%\rput(3.5,0.5){$-$} \rput(4.5,0.5){$0$}\rput(5.5,0.5){$+$}\rput(6.3,0.5){$0$}
%\rput(1.25,0.5){{\scriptsize Signe de la fonction}}
%\rput(3.25,-0.5){Tableau a}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.85cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](4.5,1){$-1$} \uput[u](6.3,1){$1$}
%\rput(3.5,0.5){$+$} \rput(4.5,0.5){$0$}\rput(5.5,0.5){$+$}\rput(6.3,0.5){$0$}
%\rput(1.25,0.5){{\scriptsize Signe de la fonction}}
%\rput(3.25,-0.5){Tableau b}
%\end{pspicture}\\
%\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](4.5,1){$-1$} \uput[u](6.3,1){$1$}
%\rput(3.5,0.5){$-$} \rput(4.5,0.5){$0$}\rput(5.5,0.5){$-$}\rput(6.3,0.5){$0$}
% \rput(1.25,0.5){{\scriptsize Signe de la fonction}}
% \rput(3.25,-0.5){Tableau c}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.85cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](4.5,1){$-1$} \uput[u](6.3,1){$1$}
%\rput(3.5,0.5){$+$} \rput(4.5,0.5){$0$}\rput(5.5,0.5){$-$}\rput(6.3,0.5){$0$}
% \rput(1.25,0.5){{\scriptsize Signe de la fonction}}
% \rput(3.25,-0.5){Tableau d}
%\end{pspicture}\\
%\end{tabular}
%
%\bigskip
%
%Compléter, sur l'annexe fournie, le tableau suivant à l'aide de la lettre a, b, c ou d qui convient :
%
%\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Fonction			&$f_{1}$&$f_{2}$	&$f_{3}$	&$f_{4}$\\ \hline
Tableau de signes	&b		&d			&c			&a  \\ \hline
\end{tabularx}

\item  %On donne ci-dessous les tableaux de variations de ces fonctions.

\medskip

%\hspace{-1cm}\begin{tabular}{c c}
%\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](4.5,1){$-1$} \uput[u](6.3,1){$1$} \uput[u](5.4,0.9){$\frac{1}{2}$}
%\rput(3.5,0.5){$\nearrow$} \rput(5,0.5){$\searrow$}\rput(6,0.5){$\nearrow$}
%\rput(1.25,0.5){{\small Variations}}
%\rput(3.25,-0.5){Tableau a}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.85cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](6.3,1){$1$} \uput[u](4.5,0.9){$\frac{1}{2}$}
%\rput(3.6,0.5){$\searrow$}\rput(5.4,0.5){$\nearrow$}
%\rput(1.25,0.5){{\small Variations}}
%\rput(3.25,-0.5){Tableau b}
%\end{pspicture}\\\psset{unit=0.85cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](4.5,1){$-1$} \uput[u](6.3,1){$1$} \uput[u](5.4,0.9){$\frac{1}{3}$}
%\rput(3.5,0.5){$\searrow$} \rput(5,0.5){$\nearrow$}\rput(6,0.5){$\searrow$}
%\rput(1.25,0.5){{\small Variations}}
%\rput(3.25,-0.5){Tableau c}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.85cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](6.3,1){$1$} \uput[u](4.5,0.9){$\frac{1}{3}$}
%\rput(3.6,0.5){$\nearrow$}\rput(5.4,0.5){$\searrow$}
%\rput(1.25,0.5){{\small Variations}}
%\rput(3.25,-0.5){Tableau d}
%\end{pspicture}\\
%\end{tabular}

%\medskip
%
%Compléter, sur l'annexe fournie, le tableau suivant à l'aide de la lettre a, b, c ou d qui convient :
%
%\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Fonction				&$f_{1}$&$f_{2}$&$f_{3}$&$f_{4}$\\ \hline
Tableau de variations	&c		&b		&a		&d  \\ \hline
\end{tabularx}

\item %On donne ci-dessous les tableaux de signes des dérivées de ces fonctions.

%\medskip
%
%\hspace{-1cm}\begin{tabular}{c c}\psset{unit=0.85cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](4.5,1){$-1$} \uput[u](6.3,1){$1$} \uput[u](5.4,0.9){$\frac{1}{3}$}
%\rput(3.5,0.5){$+$}\rput(4.5,0.5){$0$} \rput(5,0.5){$+$}\rput(5.4,0.5){$0$}\rput(6,0.5){$-$}
%\rput(1.25,0.5){{\footnotesize Signe de la dérivée}}
%\rput(3.25,-0.5){Tableau a}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](4.5,1){$-1$} \uput[u](6.3,1){$1$} \uput[u](5.4,0.9){$\frac{1}{2}$}
%\rput(3.5,0.5){$-$}\rput(4.5,0.5){$0$} \rput(5,0.5){$-$}\rput(5.4,0.5){$0$}\rput(6,0.5){$+$}
%\rput(1.25,0.5){{\footnotesize Signe de  la dérivée}}
%\rput(3.25,-0.5){Tableau b}
%\end{pspicture}\\\psset{unit=0.85cm}
%\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](4.5,1){$-1$} \uput[u](6.3,1){$1$} \uput[u](5.4,0.9){$\frac{1}{3}$}
%\rput(3.5,0.5){$-$}\rput(4.5,0.5){$0$} \rput(5,0.5){$+$}\rput(5.4,0.5){$0$}\rput(6,0.5){$-$}
%\rput(1.25,0.5){{\footnotesize Signe de  la dérivée}}
%\rput(3.25,-0.5){Tableau c}
%\end{pspicture}&\psset{unit=0.85cm}\begin{pspicture}(0,-0.5)(6.5,2)
%\psframe(6.5,1.75) \psline(0,1)(6.5,1) \psline(2.5,0)(2.5,1.75)
%\uput[u](1,1){$x$}\uput[u](2.7,1){$-2$} \uput[u](4.5,1){$-1$} \uput[u](6.3,1){$1$} \uput[u](5.4,0.9){$\frac{1}{2}$}
%\rput(3.5,0.5){$+$}\rput(4.5,0.5){$0$} \rput(5,0.5){$-$}\rput(5.4,0.5){$0$}\rput(6,0.5){$+$}
%\rput(1.25,0.5){{\footnotesize Signe de  la dérivée}}
%\rput(3.25,-0.5){Tableau d}
%\end{pspicture}
%
%\end{tabular}
%
%\medskip

Compléter, sur l'annexe fournie, le tableau suivant à l'aide de la lettre a, b, c ou d qui convient :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{4cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Fonction						&$f_{1}$&$f_{2}$ 	& $f_{3}$ 	& $f_{4}$\\ \hline
Tableau des signes  des dérivées&c		&b			&d			&a  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans cette partie, on considère la fonction $g$, définie sur $[-2~;~1]$ par :

\[g(x) = (1 - x) \times  (x + 1)^2.\]

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que $g(x) = - x^3 - x^2 + x + 1$.
$g(x) = (1 - x) \times  (x + 1)^2 = g(x) = (1 - x)\left(x^2 + 2x  + 1\right) = x^2 + 2x + 1 - x^3 - 2x^2 - x = - x^3 - x^2 + x + 1$.
\item %Déterminer la dérivée $g'$ de $g$.
$g'(x) = - 3x^2 - 2x + 1$

%Vérifier que $g'(x) = (x + 1)(1 - 3x)$.
$(x + 1)(1 - 3x) = x - 3x^2 + 1 - 3x = - 3x^2 - 2x + 1 = g'(x)$.

On a bien $g'(x) =  (x + 1)(1 - 3x)$.
\item %Étudier le signe de $g'$ sur $[-2~;~1]$.
$g'(x)$ s'annule pour $x = - 1$ et pour $x = \dfrac{1}{3}$. On peut donc dresser un tableau de signes pour obtenir le signe de la dérivée et donc les variations de la fonction $g$.

On calcule $g(- 2) = 3$, \: $g(- 1) = 0$, \:$g\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{32}{27}$ et $g(1) = 0

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,5.5)
\psframe(8,5.5)\psline(0,2)(8,2)\psline(0,3)(8,3)\psline(0,4)(8,4)\psline(0,5)(8,5)\psline(2,0)(2,5.5)
\uput[u](1,4.9){$x$} \uput[u](2.2,4.9){$- 2$} \uput[u](4,4.9){$- 1$} \uput[u](6,4.9){$\frac{1}{3}$} \uput[u](7.9,4.9){$1$}
\rput(1,4.5){$x+1$}\rput(1,3.5){$1 - 3x$}\rput(1,2.5){$(x+1)(1 - 3x)$}
\rput(1,1){$g(x)$}
\rput(3,4.5){$-$}\rput(4,4.5){$0$}\rput(5,4.5){$+$}\rput(7,4.5){$+$}
\rput(3,3.5){$+$}\rput(5,3.5){$+$}\rput(6,3.5){$0$}\rput(7,3.5){$-$}
\rput(3,2.5){$-$}\rput(4,2.5){$0$}\rput(5,2.5){$+$}\rput(6,2.5){$0$}\rput(7,2.5){$-$}
\psline{->}(2.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(5.5,1.5)\psline{->}(6.5,1.5)(7.5,0.5)
\uput[d](2.2,2){3}\uput[u](4,0){0} \uput[d](6,2){$\frac{32}{27}$} \uput[u](7.6,0){0} 
\end{pspicture}
\end{center}
%En déduire le tableau de variations de $g$.
\item 	%En fait la fonction $g$ est l'une des quatre fonctions $f_{1},~f_{2},~f_{3}$ ou $f_{4}$ de la partie A.

%Quelle est cette fonction ? Justifier votre réponse.
La seule fonction décroissante, puis croissante et enfin décroissante est la fonction $f_1$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

%Un entrepreneur achète à crédit le 01/01/2003 une machine coûtant \np{500000}~\euro. Il rembourse son prêt en 10 annuités en versant le 1\up{er} janvier de chaque année (à partir du 01/01/12004), la somme de \np{64752,29}~\euro{} qui se décompose en deux parties :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~$] Les intérêts 5\:\% sur ce capital restant dû l'année précédente ;
%\item[$\bullet~$] L'amortissement du prêt (le capital remboursé).
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Voici le détail de ces premiers versements donné à l'aide d'un tableur :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%  &A&	B&	C&	D &	E\\ \hline
%1&Dates& Annuité&Intérêts&Amortissement&Capital restant dû\\ \hline
%2&01/01/2003&&	&&\np{500000,00}\\ \hline
%3&01/01/2004&\np{64752,29}&\np{25000,00}&	\np{39752,29}&\np{460247,71}\\ \hline
%4&01/01/2005&\np{64752,29}&\np{23012,39}&\np{41739,90}&\np{418507,81}\\ \hline	
%5&01/01/2006&	\np{64752,29}&\np{20925,39}&\np{43826,90}&\np{374680,91}\\ \hline
%6	&	&	&	&	&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Ainsi, les intérêts payés le 01/01/2004 représentent les 5\:\%
%du capital restant dû au 01/01/2003. La somme amortie en 2003 étant la différence entre le montant de l'annuité et les intérêts payés en 2003.
% 
%\emph{Toutes les sommes seront données avec deux décimales.}
 
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que les sommes indiquées en C3 et D3 sont correctes. Faire de même avec les sommes indiquées en C4 et D4. Compléter alors la ligne 6 de ce tableau fournie en annexe.

On a en C3 : $\np{500000} \times 0,05 = \np{25000}$~\euro ; ce sont les intérêts.

On a en D3 : $\np{64752,29} - \np{25000} = \np{39752,29}$.

On a en C4 : $\np{460247,71} \times 0,05 =\approx \np{23012,39}$.

On a en D4 : $\np{64752,29} - \np{23012,39} = \np{41739,90}$.

On aura en C5 : $\np{374680,91} \times 0,05= \np{18734,05}$ : intérêts.

On aura en D5 : $\np{64752,29} - \np{18734,05} = \np{46018,24}$ : amortissement.

On aura	 en E5$\np{374680,91} - \np{46018,24} = \np{328662,67}$ : capital restant dû.
 
\item 	%Dans la cellule D3 a été entrée la formule : =B3$-$ C3 qui, par copier-glisser a permis de compléter la colonne D.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner, de la même façon, la formule entrée en C3. Que devient cette formule si on la recopie en C4 ?
En C3 : =E2*0,05.

Après recopie on aura en C4 : =E3*0,05.
		\item 	%Donner la formule entrée en E3 qui, par \og copier-glisser \fg{} a permis de compléter la colonne E.
En E3 : =E2 - D3.
	\end{enumerate}
\item %On définit les suites $\left(i_{n}\right),~ \left(a_{n}\right)$ et $\left(c_{n}\right)$ pour $n \geqslant 1$ par :

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|c|X|}\hline
%Dates			& Annuité 		&Intérêts	& Amortissement	&Capital restant dû\\ \hline
%01/01/(2003+$n$)&\np{64752,29}	&	$i_{n}$	& 	$a_{n}$		&$c_{n}$\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Par exemple, $i_{1} =  \np{25000}$ représente les intérêts au 01/01/2004.
%
%Donner les valeurs de $i_{2},~ i_{3},~ i_{4},~ a_{1},~  a_{2},~ a_{3},~a_{4},~c_{1},~c_{2},~c_{3}$  et $c_{4}$.
$i_2 = \np{23012,39} ; i_3 = \np{20925,39} ; i_4 = \np{18734,05}$.

$a_1 = \np{39752,29}; a_2 = \np{41739,90} ; a_3 = \np{43826,90} ; a_4 = \np{46018,24}$.

$c_1 = \np{460247,71} ; c_2 = \np{418507,81} ; c_3 = \np{374680,91} ; c_4 = \np{328662,67}$.
\item 	%Sachant qu'une de ces trois suites et une seule est géométrique, déterminer laquelle en précisant votre méthode. Quelle est la raison de cette suite ? (\emph{On arrondira les calculs à $10^{-2}$ près})
On a $\dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} = \dfrac{a_4}{a_3} = 1,05$, ce qui montre que l'on passe pour les premiers termes de la suite $\left(a_n\right)$ d'un terme au suivant en multipliant par 1,05 : cette suite est géométrique de raison 1,05et de premier terme $a_1 = \np{39752,29}$.
\item 	%Déterminer, sans calcul et en justifiant, la somme $a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{10}$.
La somme des amortissements doit être égale au montant emprunté soit :

$a_1 + a_2 + \cdots = a_{10} = \np{500000}$.
\item 	%À l'aide de la question 4, justifier l'égalité suivante :

%$a_{1} + a_{2} + \cdots + a_{10} = \np{795045,80} \times  \left(1,05^{10} - 1\right)$.

%Comparer le résultat avec celui de la question 5. Commenter.
La somme des dix premiers termes de la suite géométrique est égale à :

$a_1 + a_2 + \cdots = a_{10} = \np{39752,29} \times \dfrac{1 - 1,05^{10}}{1 - 1,05} = \dfrac{\np{39752,29}}{0,05}\times \left(1,05^{10} - 1\right) \approx \np{500000}$.
\item 	%Par la méthode de votre choix, déterminer le montant total des intérêts payés par l'entrepreneur.
La somme des intérêts et des amortissements est égale à la somme des annuités, donc la somme des intérêts est la différence des annuités et des amortissements soit :

$\np{64752,29} \times 10 - \np{500000} = \np{147522,90}$~\euro.
\end{enumerate}

%\newpage
%\begin{center}
%\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}
%\end{center}
%
%\medskip
%
%\textbf{Exercice 2}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,8cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&Défectueuses&	En bon état&	 Total\\ \hline
%Usine de Bordeaux&	160&&		\np{3360}\\ \hline
%Usine de Grenoble&&&			\np{1266}\\ \hline
%Usine de Lille&	154&& \\ \hline
%Total&	380&	\np{7900}&\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\textbf{Exercice 3}
%
%\textbf{Partie A}
%\begin{enumerate}
%\item \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Fonction&$f_{1}$&$f_{2}$&$f_{3}$&$f_{4}$\\ \hline
%Tableau de signes&&&&  \\ \hline
%\end{tabularx}
%\item \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Fonction&$f_{1}$&$f_{2}$&$f_{3}$&$f_{4}$\\ \hline
%Tableau de variations&&&&  \\ \hline
%\end{tabularx}
%\item 
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2,5cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Fonction&$f_{1}$&$f_{2}$&$f_{3}$&$f_{4}$\\ \hline
%Tableau des signes  des dérivées&&&&  \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\end{enumerate}
%
%\medskip
%
%\textbf{Exercice 4}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|c|X|}\hline
%Dates	& Annuité &Intérêts& Amortissement&Capital restant dû\\ \hline
%01/01/(2003+$n$)&\np{64752,29}&	$i_{n}$& 	$a_{n}$&$c_{n}$\\ \hline
%\end{tabularx}
\end{document} 