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%Tapuscrit : Denis Vergès Denis.Verges@wanadoo.fr
%Correction: Paul Duprat  mathparadise@free.fr
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{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du  baccalauréat STG Mercatique Étranger},
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STG mercatique, comptabilité finance entreprises,\\ gestion de systèmes informatiques}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small juin 2007}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du  baccalauréat STG Mercatique~\decofourright\\ Centres étrangers juin 2007}}
 \end{center}

\vspace{0,3cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} }

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item On a : $\dfrac{525}{1500}=0,35=35\:\%$ 

Parmi la population totale, il y a 35\:\% des personnes qui connaissent le commerce équitable.
\item On a $\dfrac{156}{1500}=0,104=10,4\%$	

Parmi la population totale, il y a 10,4\% des personnes âgées de moins de 25 ans qui connaissent le commerce équitable.
\item On a $\dfrac{48}{195}\approx 0,246=24,6\:\%$	

Parmi les plus de 60 ans, il y a 24,6\:\% des personnes  qui connaissent le commerce équitable.

\item On a $\dfrac{156+171}{525}\approx 0,623=62,3\:\%$	

Parmi les personnes connaissant le commerce équitable, il y a 24,6\:\% des personnes âgées de moins de 40 ans.
 \end{enumerate}
\item 	
\begin{enumerate}
\item  Parmi les 525  personnes connaissant le commerce équitable, il y a 504 d'entre-elles qui connaissent le label AB donc $P_{\text{C}}(\text{A}) =\dfrac{504}{525}= 0,96$.

Parmi les 975  personnes qui ne connaissant pas le commerce équitable, il y a 546 d'entre-elles qui connaissent le label AB donc $P_{\overline{\text{C}}}(\text{A}) =\dfrac{546}{975}= 0,56$.

\item  On a l'arbre suivant:

\begin{center}
\psset{nodesep=0mm,levelsep=30mm,treesep=8mm}
\pstree[treemode=R]{\Tdot}
{
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{C}\taput{\small $0,35$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{A}\taput{\small $0,96$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{A}}$}\tbput{\small $0,04$}
}
\pstree
{\Tdot~[tnpos=a]{$\overline{\text{\text{C}}}$}\tbput{\small $0,65$}}
{
\Tdot~[tnpos=r]{A}\taput{\small $0,56$}
\Tdot~[tnpos=r]{$\overline{\text{A}}$}\tbput{\small $0,44$}
}
}
\end{center}


\item 	On a :

\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
 P(\text{A}  \cap \text{C})&=& P(\text{C})\times P_{\text{C}}(\text{A})\\
&=&   0,35\times 0,96\\
&=&   0,336                       
\end{array}$
\hspace{3cm}$
\begin{array}{rcl}
 P\left(\text{A} \cap\overline{\text{C}}\right)&=& P(\overline{\text{C}})\times P_{\overline{\text{C}}}(\text{A})\\
&=&   0,65\times 0,56\\
&=&   0,364                       
\end{array}$
\end{center}
\item La probabilité qu'une personne interrogée connaisse le label AB est:
\begin{center}
$P(\text{A}) = P(\text{A}  \cap \text{C})+P\left(\text{A} \cap\overline{\text{C}}\right)= 0,336+0,364=0,7$
\end{center}
On peut donc dire que \og 70\:\%  des personnes interrogées connaîssent le label AB\fg.
\item Les évènements A et C sont indépendants si $ P(\text{A}  \cap \text{C})=P(\text{A})\times P(\text{C})$

Or $P(\text{A})\times P(\text{C})=0,7\times 0,35=0,245$ et $P(\text{A}  \cap \text{C})=0,336 $

Les évènements A et C ne sont pas indépendants.
\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} }

\medskip

\textbf{Partie A :}
\begin{enumerate}
\item Calculons le taux d'évolution $t$ entre 1980 et 2004 :
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
	t&=&\dfrac{N_{2004}-N_{1980}}{N_{1980}}\\[3mm]
	t&=&\dfrac{\np{56628}-\np{68839}}{\np{68839}}\\
	t&\approx& -0,177
\end{array}$
\end{center}
Le nombre d'écoles a diminué de 17,7\:\%

\item  \begin{enumerate}
\item $a^7= \dfrac{\np{56628}}{\np{60196}}$ équivaut à $a= \left(\dfrac{\np{56628}}{\np{60196}}\right)^{\frac17}\approx 0,99$


\item  Calculons le taux dévolution annuel moyen $t_m$ du nombre d'écoles entre les années 1997 et 2004 :
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
(1+t_m)^7&=&\dfrac{\np{56628}}{\np{60196}}\\
1+t_m&=&\left(\dfrac{\np{56628}}{\np{60196}}\right)^{\frac17}\\
1+t_m&\approx& 0,99\\
t_m&\approx& 0,99-1\\
t_m& \approx& -0,01 
\end{array}$
\end{center}
Le nombre de d'écoles  a diminué de 1\:\% par an en moyenne entre 1997 et 2004.

 \end{enumerate}
\item 	Calculons le nombre d'écoles en France en 2008:
\begin{center}$
\begin{array}{rcl}
N_{2008}&=&N_{2008}\times(1+t_m)^4\\
N_{2008}&=&\np{56628} \times (1-0,01)^{4}\\
N_{2008}&=&\np{56628}\times 0,99^{4}\\
N_{2008}&\approx& \np{54397}
\end{array}$
\end{center}
On peut estimer qu'il y aura \np{54397} écoles en France en 2008.

\end{enumerate}

\medskip
	
\textbf{Partie B :}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un ajustement affine de ce nuage est envisageable car les points sont presque alignés.
\item 
L'année 2008 correspond au rang 28, on calcule donc $y = - 510,6\times 28 + \np{69003}\approx \np{54706}$\\
La nouvelle estimation du nombre d'écoles en France en 2008 est de \np{54706}.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(0)$ est l'image de 0 par $f$, elle est égale à $8$	: Réponse \textbf{d.}
\item $f'(0)$ est le coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse 0, il est égal à 0 : Réponse \textbf{b.}
\item Sur l'intervalle $[-1~;~4]$ les deux courbes se coupent deux fois : Réponse \textbf{b.}
\item Pour calculer la dérivée de $g$ on utilise la formule $(uv)'= u'v+uv'$ avec $\left\{
\begin{array}{rcl}
u&=&0,5(x+1)=0,5x+0,5\\
u'&=&0,5
\end{array}\right.$
et  $\left\{
\begin{array}{rcl}
v&=&\text{e}^x\\
v'&=&\text{e}^x
\end{array}\right.$

\medskip

On obtient donc $g'(x)=0,5 \text{e}^x+(0,5x+0,5)\text{e}^x = (0,5+0,5x+0,5)\text{e}^x = (0,5x+1)\text{e}^x$:
\hfill Réponse \textbf{a.} 
\end{enumerate}
\medskip

\textbf{Partie B : application économique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item   $f(1) = \dfrac{8(1+1)}{\text{e}^1}=\dfrac{16}{\text{e}}\approx 5,886$. (\emph{On peut vérifier sur la courbe})
\item $f(1)$ est la quantité en milliers de porte-clés que les entreprises sont prêtes à acheter au prix de $1$ \euro. Les entreprises sont prêtes à acheter \np{5886} porte-clés au prix unitaire de $1$ \euro.
\item $g(1)$ est la quantité en milliers de porte-clés que DISTRI-PUB propose au prix de $1$ \euro,\\ or $g(1)=	0,5(1+1)\text{e}^1=\text{e}\approx 2,718$

DISTRI-PUB propose \np{2718} porte-clés au prix unitaire de $1$ \euro.

\item 	Au prix unitaire de $1$ \euro, la société DISTRI-PUB ne peut pas satisfaire  la demande des entreprises  car elle propose moins de porte-clés que les entreprises sont prêtes à acheter.
\end{enumerate}
\item  On cherche la valeur de $x \in [0,5~;~4]$ pour laquelle $f(x) = g(x)$. Cette valeur $x$ est appelée prix d'équilibre.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{A- En utilisant un tableur}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans la cellule C2 on a saisi :\fbox{=0,5*(A2+1)*EXP(A2)}
Dans la cellule D2 on a saisi :\fbox{=B2-C2}
\item 	Dans la cellule A8 il y aura la formule \fbox{= A7+\$F\$2 }.
\item 	On cherche la valeur de $x$ telle que $f(x)=g(x)$ , c'est à dire  $f(x)-g(x)=0$.

On cherche donc dans le tableau, pour quelle valeur de $x$ la différence $f(x)-g(x)$ change de signe.

On trouve que le prix d'équilibre est compris entre 1,38 \euro ~ et 1,39 \euro.
\end{enumerate}

\medskip	
	
\textbf{B - Par calcul algébrique}
\begin{enumerate}
\item L'équation $f(x)=g(x)$ peut s'écrire:
\begin{center}$
\begin{array}{rcll}
\dfrac{8(x+1)}{\text{e}^x}&=&0,5(x+1)\text{e}^x\\
8(x+1)&=&0,5(x+1)\text{e}^x\times \text{e}^x\\
8(x+1)&=&0,5(x+1)\text{e}^{2x}&\qquad\qquad \text{car }  \text{e}^a\times \text{e}^b=\text{e}^{a+b}\\
(x+1)(8-0,5\text{e}^{2x})&=&0 &\qquad\qquad \text{en factorisant par }  (x+1)
\end{array}$
\end{center}
\item 	Un produit est nul si l'un des facteurs est nul donc 
\begin{center}
$\begin{array}{rcll}
x+1&=&0\\
x&=&-1
\end{array}$
\hspace{2cm} ou \hspace{2cm} 
$\begin{array}{rcll}
8-0,5\text{e}^{2x}&=&0\\
0,5\text{e}^{2x}&=&8\\
\text{e}^{2x}&=&\dfrac{8}{0,5}=16=4^2\\
2x &=& \ln (4^2)\\
2x &=& 2\ln (4)\\
x &=& \ln (4)
\end{array}$
\end{center}
La valeur exacte du prix d'équilibre est donc $\ln(4)$.
\end{enumerate}
\end{document}