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%Tapuscrit : Denis Vergès
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STG (sujet de remplacement)},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STG Mercatique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007 (sujet de remplacement)}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique  Polynésie~\decofourright\\ juin 2007 (sujet de remplacement)}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip

\emph{Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.}

\medskip

%Pour combattre les risques d'épidémie dus à une maladie, un laboratoire a mis au point un vaccin. Il a testé ce vaccin et obtenu les données suivantes :
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{description}
%\item[ ] La probabilité qu'un individu soit malade sachant qu'il a été vacciné est égale à $0,09$.
%\item[ ] La probabilité qu'un individu soit malade sachant qu'il n'a pas été vacciné est égale à $0,5$.
%\end{description}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%Un quart de la population a été vacciné contre la maladie. Une épidémie survient.
%
%Pour une personne prise au hasard dans la population, on notera $M$ l'évènement \og être malade \fg, 
%$\overline{M}$ l'évènement contraire, $V$ l'évènement \og être vacciné\fg, $\overline{V}$ l'évènement contraire.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Recopier et compléter l'arbre de probabilité traduisant les données de l'énoncé.
D'après l'énoncé : $p_V(M) = 0,09$ donc par complément à 1 : $p_V\left(\overline{M}\right)= 1 - 0,09 = 0,91$.

$p_{\overline{V}}(M) = 0,5$, donc $p_{\overline{V}}\left(\overline{M}\right) = 0,5$.

Enfin $p(V) = \dfrac{1}{4} = 0,25$, donc $p\left(\overline{V} \right) = 1 - 0,25 = 0,75$.
\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\pstree[treemode=R,nodesep=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$V$}\taput{0,25}}
	{\TR{$M$}\taput{0,09}
	 \TR{$\overline{M}$}}\tbput{0,91}
\pstree{\TR{$\overline{V}$}\tbput{0,75}}
	{\TR{$M$}\taput{0,5}
	 \TR{$\overline{M}$}}\tbput{0,5}	 
	 }
\end{center}
\medskip

\item  %Calculer la probabilité des évènements $M \cap V$ et $M \cap \overline{V}$.
On a $p(M \cap V) = p(V) \times p_V(M) = 0,25 \times 0,09 = \np{0,0225}$.

$p\left(M \cap \overline{V}\right) = p\left(\overline{V}\right) \times p_{\overline{V}}(M) = 0,75 \times 0,5 = 0,375$.
\item  %Calculer la probabilité de l'évènement $M$ puis celle de l'évènement $\overline{M}$.
On a $p(M) = p(M \cap V) + p\left(M \cap \overline{V}\right) = \np{0,0225} + 0,375 = \np{0,3925}$.

Donc $p\left(\overline{M}\right) = 1 - \np{0,3925} = \np{0,6075}$.
\item  %Sachant qu'un individu pris au hasard dans la population n'est pas malade, quelle est la probabilité qu'il ait été vacciné ?
Il faut trouver $p_{\overline{M}}(V) = \dfrac{p\left(\overline{M} \cap V\right)}{p\left(\overline{M}\right)} = \dfrac{0,375}{\np{0,6075}} \approx \np{0,6173}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

%Cet exercice est un QCM. Pour chaque question, une seule réponse est exacte. On vous demande de recopier
%la réponse qui vous paraît exacte, aucune justification n'est demandée.
%
%\medskip
%
%\emph{Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse inexacte enlève $0,5$ point, l'absence de réponse n'enlève ni n'ajoute de points. Si le total des points est négatif, la note attribuée à l'exercice sera $0$.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Soit $\left(u_n\right)$ une suite géométrique de premier terme $u_0 = 500$ et de raison $1,03$.

%La somme $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{44}$ est égale (arrondie à l'unité) à  :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\np{23520} &\np{44524} &\np{22660} &\np{46360}\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip
La somme des 45 premiers termes est égale à $45u_0 + r \times \dfrac{44\times 45}{2} = 45\times 500 + 1,03 \times 22 \times 45 = \np{23519,7}$ soit à l'unité près \np{23520}.
\item  %Une année, le prix d'une matière première a augmenté de 25\,\% ; l'année suivante le prix de cette matière première a diminué de 22\,\%. Globalement, sur les deux années, le prix

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash \footnotesize}X|}}\hline
%a augmenté de 3\,\%&a augmenté de 5,5\,\%&a diminué de 2,5\,\%&n'a ni augmenté ni diminué\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip
Le prix a été multiplié par $1 + 0,25$ puis par $1 - 0,22$ soit finalement par $1,25 \times 0,78 = 0,975 = 1 - 0,025$ ce qui correspond à une baisse de 2,5\,\%. 
\item %Un capital est placé au taux annuel de 3\,\%, à intérêts composés. Pour que ce capital double, il faut attendre :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%au moins 6 ans&au moins 16 ans&au moins 24 ans&au moins 32 ans\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip
Il faut trouver $n$ tel que $1,03^n \geqslant 2$, soit $n \ln 1,03 \geqslant \ln 2$ ou $n \geqslant \dfrac{\ln 2}{\ln 1,03}$. Or $\dfrac{\ln 2}{\ln 1,03} \approx 23,4$ : il faudra donc attendre 24~ans au moins.
\item %Un capital est placé au taux annuel de 3,2\,\%, à intérêts composés, pendant 7 ans. Le taux global d'augmentation de ce capital pour les 7 années (arrondi au dixième) est 

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%24,7\,\% & 22,4\,\% & 21,8\,\% & 34,5\,\%\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip
En 7 ans le capital a été" multiplié par $1,032^7 \approx \np{1,24669}$ soit une augmentation d'environ 24,7\,\%.
\item  %Un taux annuel de placement de 9\,\%, à intérêts composés, correspond à taux mensuel équivalent (arrondi au centième) de :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%1,08\,\% & 0,72\,\%&0,75\,\% & 1,20\,\%\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip
Si $m$ est le facteur mensuel d'augmentation  on doit avoir $m^{12} = 1,9$ soit $m = 1,9^{\frac{1}{12}} \approx 1,00721$ ce qui correspond à un taux mensuel de 0,72\,\%.
\item %Le prix d'un article augmente de 47\,\%. Pour revenir au prix initial, il faudrait le diminuer d'environ :
On a $p \times 1,47 \times x = p$ soit $x = \dfrac{1}{1,47} \approx \np{0,6802}$, ce qui correspond à une baisse d'environ 32\,\%.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%32\,\%&47\,\%&53\,\% & 68\,\%\\ \hline
%\end{tabularx}
%\medskip

\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Première partie: Utilisation d'un tableur et étude graphique}

\medskip

%\parbox{0.65\linewidth}{%La fonction $f$ est définie sur $[0~;~16]$ par 

\[f(x) = 0,6x + 1 - 1,4\ln (x + 1)\]

\begin{enumerate}
\item %Pour obtenir le tableau de valeurs ci-contre à l'aide d'un tableur, on a rempli les
%cellules A2 à A18 comme indiqué. Proposer une méthode qui permet de remplir la
%plage A2 : A18 sans avoir à saisir, une à une, les 17 valeurs.
On saisit dans A2 : 0, et dans A3 =A2+1 et ensuite on recopie A3 de A4 à A18.
\item %On veut obtenir, dans la colonne B, les images par $f$ des nombres figurant en
%colonne A. Pour cela, on saisit en B2 une formule à recopier vers le bas. Parmi les
%formules proposées, choisir celle qui convient (aucune justification n'est demandée).

%formule 1 : =0,6X+1-1,4ln(X+1)

%formule 2 : 0,6*A2+1-1,4*LN(A2+1)

formule 3: =0,6*A2+1-1,4*LN(A2+1)

%formule 4: =0,6A2+1-1,4LN(A2+1)
\end{enumerate}
%\hfill \parbox{0.32\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%	&A 	&B			\\ \hline
%1	&$x$&$f(x)$		\\ \hline
%2	&0	&1			\\ \hline
%3	&1	& \np{0,629594}\\ \hline
%4	&2	&\np{0,661943}\\ \hline
%5	&3	&\np{0,859188}\\ \hline
%6	&4	&\np{1,146787}\\ \hline
%7	&5	&\np{1,491537}\\ \hline
%8	&6	&\np{1,875726}\\ \hline
%9	&7	&\np{2,288782}\\ \hline
%10	&8	&\np{2,723886}\\ \hline
%11	&9	&\np{3,176381}\\ \hline
%12	&10	&\np{3,642947}\\ \hline
%13	&11	&\np{4,121131}\\ \hline
%14	&12	&\np{4,609071}\\ \hline
%15	&13	&\np{5,10532}\\ \hline
%16	&14	&\np{5,60873}\\ \hline
%17	&15	&\np{6,118376}\\ \hline
%18	&16	&\np{6,633501}\\ \hline
%\end{tabularx}
%}

\begin{enumerate}
\item %En vous appuyant sur les valeurs du tableau, éliminer parmi les trois graphiques proposés en annexe, ceux qui ne peuvent pas représenter la fonction ; vous justifierez vos décisions.
On a $f(0) = 1$, donc cela ne peut être la figure 1 ;

Sur le graphique 3, on a $f(5) > 2$ et le tableau donne une valeur bien inférieure ; cela ne peut être le graphique 3. Il reste la figure 2.
\item %Une entreprise produit $x$ centaines d'objets et $f(x)$ exprime, en million d'euros, le coût de production en fonction de $x$, pour les valeurs de $x$ comprises entre $0$ et $16$.

%Chaque objet fabriqué est vendu. Le montant $g(x)$ (en million d'euros) de la vente de $x$ centaines d'objets est donné par la formule $g(x) = 0,4x$, pour $x$ appartenant à [0~;~16].
	\begin{enumerate}
		\item %Préciser le prix de vente d'un objet, exprimé en euros.
Le prix de vente d'un objet, exprimé en euros est $0,4 \times 1 = 0,4$~million d'euro soit \np{400000}~\euro.
		\item %Sur le graphique représentant la fonction $f$ retenu en annexe, tracer la représentation graphique de $g$.
		Voir à la fin.
	\end{enumerate}
\item[\textbf{5.}] %Utiliser le graphique pour répondre aux questions suivantes :
	\begin{enumerate}
		\item %L'entreprise est-elle bénéficiaire si elle produit et vend $100$ objets ?
100 objets correspondent à $x = 1$ ; on voit qu'alors le montant des ventes est inférieur au coût de production : l'entreprise est déficitaire.
		\item %L'entreprise est-elle bénéficiaire si elle produit et vend $900$ objets ?
900 objets correspondent à $x = 9$ ; on voit qu'alors le montant des ventes est supérieur au coût de production : l'entreprise est bénéficiaire.
		\item %Dans quel intervalle doit se situer $x$ pour que l'entreprise soit bénéficiaire ?
On voit que l'entreprise est bénéficiaire si elle produit et vend de 200 à \np{1400}õbjets.
		\item %Pour quelle valeur de $x$ le bénéfice maximum est-il atteint ? (Vous expliquerez votre méthode).
Il faut trouver pour quelle abscisse l'écart entre les deux courbes est le plus grand ; on trouve que c'est à peu près pour 600 objets vendus
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie : Étude mathématique du problème}

\medskip

%On note $B(x)$ le bénéfice, en million d'euros, réalisé par l'entreprise pour la production et la vente de $x$ centaines d'objets.

\medskip
\parbox{0.55\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item %Vérifier que $B(x) = - 0,2x - 1 + 1,4\ln (x + 1)$.
On a $B(x) = g(x) - f(x) = 0,4x - \left(0,6x + 1 - 1,4\ln (x + 1) \right) = 0,4x - 0,6x -  1 + 1,4\ln (x + 1) = - 0,2x - 1 + 1,4\ln (x + 1)$
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $B'(x)$.
$B'(x) = - 0,2 + 1,4\times \dfrac{1}{x + 1}$.
		\item %Résoudre l'inéquation $B'(x) \geqslant 0$ et en déduire le signe de $B'$ sur [0~;16].
$B'(x) \geqslant 0$ ou $- 0,2 + 1,4\times \dfrac{1}{x + 1} \geqslant 0$ ou $1,4\times \dfrac{1}{x + 1} \geqslant 0,2$ ou $\dfrac{1}{x + 1}  \geqslant \dfrac{0,2}{1,4}$ ou $x + 1 \leqslant \dfrac{1,4}{0,2}$ soit $x + 1 \leqslant 7$ et enfin $x \leqslant 6$.

On obtient de même que $B'(x) < 0$ si $x > 6$ et $B'(x) = 0$ si $x = 6$.

La fonction $B$ est donc croissante sur [0~;~6] et décroissante sur [6~;~16] 
		\item %Recopier et complétez le tableau de variations ci-contre.
		Voir ci-contre.
	\end{enumerate}
\item  Utiliser le tableau pour déterminer:
	\begin{enumerate}
		\item %Le bénéfice maximum que l'entreprise peut espérer réaliser.
Le maximum de la fonction $B$ est :

$B(6) = - 0,2 \times 6 - 1 + 1,4\ln (6+1) = 1,4\ln 7 - 2,2 \approx \np{0,524274}$ soit environ \np{524274}~\euro.
		\item %Le nombre d'objets à produire pour réaliser ce bénéfice maximum.
Le nombre d'objets à fabriquer pour avoir ce bénéfice maximal est donc 600.
	\end{enumerate}
\item  %Ces résultats sont-ils en accord avec la réponse à la question 5. d. de la première partie ?
Oui.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.42\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(6.5,5)
\psframe(6.5,5)
\psline(0,3)(6.5,3)\psline(0,4)(6.5,4)
\psline(2,0)(2,5)
\rput(1,4.5){$x$}\rput(2.1,4.5){$0$} \rput(6.3,4.5){16}
\rput(4.25,4.5){$6$}
\rput(3.125,3.5){+}\rput(4.25,3.5){$0$}\rput(5.375,3.5){$-$}
\rput(1,3.5){\footnotesize signe de $B'(x)$}
\rput(1,2){\footnotesize variations}
\rput(1,1){\footnotesize de $B$}
\psline{->}(2.5,0.5)(3.75,2.5)\psline{->}(4.75,2.5)(6,0.5)
\uput[u](2.5,0){$- 1$}\uput[d](4.25,3){$1,4\ln 7 - 2,2$}\uput[u](5.5,0){$1,4\ln 17 - 4,2$}
\end{pspicture}}

\newpage
	
\begin{center}
	
\textbf{ANNEXE Cette feuille sera jointe à votre copie}

\vspace{1cm}

\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(16.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=violet](0,0)(16,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(16.5,8)
\uput[l](0,3){Figure 1}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{16}{0.6 x mul 0.5 add x 1 add ln 1.4 mul  sub}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{pspicture}(-2,-1)(16.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=violet](0,0)(16,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(16.5,8)
\uput[l](0,3){Figure 2}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{16}{0.6 x mul 1 add x 1 add ln 1.4 mul  sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{16}{0.4 x mul }
\end{pspicture}

\medskip

\begin{pspicture}(-2,-1)(16.5,8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=violet](0,0)(16,8)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=5]{->}(0,0)(16.5,8)
\uput[l](0,3){Figure 3}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{16}{0.6 x mul 1 add x 1 add ln   sub}
\end{pspicture}

\end{center}
\end{document}