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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STG Mercatique}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2007 (sujet dévoilé)}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique  Polynésie~\decofourright\\ juin 2007 (sujet dévoilé)}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
%\begin{center} La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.\\
%Le formulaire officiel est autorisé.
%
%\end{center}

\vspace{0,35cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\medskip

%Sur un site Internet on peut consulter le tableau suivant.

%\begin{center} 
%\textbf{Indicateur des taux fixes pour un prêt immobilier}
%\end{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%		&15 ans		&20 ans		&25 ans\\ \hline
%Taux A	&3,65\:\%	&3,70\:\%	&3,85\:\%\\ \hline
%Taux B	&3,85\:\%	&3,90\:\%	&4,05\:\%\\ \hline
%Taux C	&4\:\%		&4,05\:\%	&4,20\:\%\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\emph{On rappelle que le montant $a$, en euros, de chacune des $n$ annuités dans le cas d'un emprunt à annuités constantes de $E$ euros, avec un intérêt annuel de $i$ est :}

\[a = E \times \dfrac{i}{1 - (1 + i)^{-n}}\]

%Monsieur Durand et Monsieur Feux souhaitent emprunter \np{150000} euros pour acheter un appartement.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  %Monsieur Durand choisit le taux A sur 15 ans, calculer le montant de l'annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit.
$a = \np{150000} \times \dfrac{0,0365}{1 - (1 + 0,0365)^{- 15}} \approx \np{13163,10}~\euro$.

Chaque mois il devrait rembourser $\dfrac{13163,10}{12} \approx \np{1096,92}$.

Il devra rembourser en tout $15 \times \np{13163,10} = \np{197446}$~\euro.
		\item  %Monsieur Feux choisit le taux B sur 20 ans, calculer le montant de l'annuité, le montant de la mensualité, le coût total du crédit.
$a = \np{150000} \times \dfrac{0,037}{1 - (1 + 0,037)^{-20}} = \np{10746,10}$~\euro.

Chaque mois il devrait rembourser $\dfrac{10746,10}{12} \approx \np{895,51}$.

Il devra rembourser en tout $15 \times \np{10746,10} = \np{214921}$~\euro.
	\end{enumerate}
\item  %Monsieur Durand gagne \np{3400} euros par mois et Monsieur Feux gagne \np{3100} euros par mois.
%La banque refuse le dossier si la mensualité dépasse 30\,\%  du salaire mensuel.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la ou les personnes pour qui le dossier sera refusé.
Monsieur Durand gagne dans l'année : $12 \times \np{3400} = \np{40800}$ et 30\,\% de \np{40800} représentent \np{12240} donc moins que le remboursement annuel : la banque va lui refuser le prêt.

Monsieur Feux  gagne dans l'année : $12 \times \np{3100} = \np{37200}$ et 30\,\% de \np{37200} représentent \np{11160} donc plus que le remboursement annuel : la banque va accepter le prêt.
		\item %Pour la ou les personnes refusée(s), proposer une solution qui soit acceptée par la banque.
Pour Monsieur Durand le prêt pour 20 ans va être accepté puisque à ce taux le prêt est accepté à Monsieur Theux qui gagne moins que lui.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\medskip

%Le tableau suivant donne la répartition des internautes par continent pour les années 2001, 2002, 2003 et 2004 en millions d'individus.
%
%Il est incomplet. Pour le remplir il faut utiliser les réponses aux différentes questions.
%
%\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
zone				&2001&	2002&	2003	&2004	&\scriptsize Taux moyen annuel&\scriptsize Estima\-tion 2005\\ \hline		
Amérique du Nord	&166,7	&182,6	&196	&243		&\blue 13,39\,\%	&\blue 275,5\\ \hline
Amérique latine		&24,8	&33,3	&40,6	&47,3		&24\,\%				&\blue 58,7\\ \hline
Afrique/Moyen orient&8,4	&11,4	&21,3	&31,2		&\blue 54,87\,\%	&\blue  48,3\\ \hline
Asie du  Pacifique	&125,9	&187,2	&298	&\blue 375,5&44\,\%				&\blue 540,7\\ \hline
Europe				&143,3	&\blue 190,9&221,1&252,5	&21\,\%				&\blue 305,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  %Le taux d'évolution en Asie pacifique entre 2003 et 2004 vaut 26\:\%. Calculer le nombre d'internautes en millions, à $10^{-1}$ près, en Asie pacifique en 2004.
On a $298 \times 1,26 = 375,48 \approx 375,5$~millions.
\item   %En prenant pour base 100, le nombre d'internautes en Europe en 2001, on obtient un indice $133,2$ pour l'année 2002. Calculer le nombre d'internautes, à $10^{-1}$ près, en Europe en 2002.
On a donc $143,3 \times 1,332 = 190,876 \approx 190,9$~millions.
\item   %Calculer les taux annuels moyens, à $10^{-2}$ près, entre 2001 et 2004 pour l'Amérique du Nord et l'Afrique/Moyen-Orient. Classer les cinq zones par ordre croissant  de taux moyens annuels d'évolution.
$\bullet~~$Pour l'Amérique du Nord : l'augmentation sur les trois ans est $\dfrac{243 - 166,7}{166,7}$ soit environ 45,77\,\% d'augmentation  ; le taux annuel moyen est donc $1,4577^{\frac{1}{3}} \approx 1,1339$, soit un taux moyen annuel  de 13,39\,\%.

$\bullet~~$Pour l'Afrique/Moyen-Orient : l'augmentation sur les trois ans est $\dfrac{31,2 - 8,4}{8,4}$ soit environ 271,43\,\% d'augmentation  ; le taux annuel moyen est donc $3,7143^{\frac{1}{3}} \approx 1,5487$, soit un taux moyen  annuel de 54,87\,\%.
\item   %Un organisme utilise le taux moyen annuel pour estimer le nombre d'internautes dans les cinq zones en 2005. Calculer ces cinq prévisions. Que pensez-vous de la méthode choisie ?
On obtient respectivement : 275,5 ; 58,7 ; 48,3 ; 540,7 ; 305,5.

La méthode est contestable  : elle ne serait valable que si la progression des internautes était linéaire ce qui est loin d'être le cas en particulier en Afrique et en Asie du Pacifique.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}

\medskip

Un nouveau logiciel permet de filtrer les messages sur une messagerie électronique.

Les concepteurs l'ont testé pour \np{1000}~messages et voici leurs conclusions :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item  70\,\% des messages entrants sont indésirables ;
\item  95\,\% des messages indésirables sont éliminés ;
\item  2\,\% des messages bienvenus sont éliminés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On note B, l'évènement : \og le message est bienvenu \fg.

On note I, l'évènement : \og le message est indésirable \fg.

On note E, l'évènement : \og le message est éliminé \fg.

On note C, l'évènement : \og le message est conservé \fg.

\begin{enumerate}
\item  Compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
				&Nombre de messages indésirables&Nombre de messages	de bienvenue&Total\\ \hline
Nombre de messages éliminés	&665	&6		&671\\ \hline
Nombre de messages conservés&35		&294	&329\\ \hline
Total						&700	&300	&\np{1000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  %Un message est envoyé ; utiliser le tableau précédent pour calculer les probabilités demandées ci-dessous.

%Les résultats seront donnés à $10^{-3}$ près.
	\begin{enumerate}
		\item  %Calculer $P_{\text{C}}(\text{B})$ et $P_{\text{I}}(\text{E})$.
On lit dans le tableau : $P_{\text{C}}(\text{B}) = \dfrac{294}{329} = \np{0,8936}$.

$P_{\text{I}}(\text{E}) = \dfrac{665}{700} \approx 0,95$ (dans l'énoncé)
		\item  %Calculer $P(\text{B} \cap  \text{E})$ et $P(\text{E} \cap \text{I})$.
$P(\text{B} \cap  \text{E}) = \dfrac{6}{\np{1000}} = 0,006$.

$P(\text{E} \cap \text{I}) = \dfrac{665}{\np{1000}} = 0,665$.
		\item  %Calculer la probabilité pour que le message soit indésirable sachant qu'il est éliminé.
Sur les 671 éliminés 665 sont indésirables donc la probabilité est égale à $\dfrac{665}{671} = \np{0,9911}$.
		\item  %Calculer la probabilité pour que le message soit conservé et indésirable.
La probabilité est égale à $\dfrac{35}{\np{1000}} = 0,035$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Monsieur Durand dirige une entreprise familiale qui fabrique des montres de luxe depuis cinquante ans. Il part à la retraite et confie l'entreprise à son fils Vincent.}

\emph{Dès la première semaine, Vincent demande à un collaborateur un compte rendu de l'activité journalière de l'usine ;  celui-ci lui remet le document $1$ ci-dessous.}

\newpage
\begin{center}
\textbf{DOCUMENT 1}

\medskip

\begin{pspicture}(0,-2)(12,12)
\multido{\n=0+0.4}{31}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,12)}
\multido{\n=0+2}{7}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=2]{->}(0,0)(12,12)
\psline[linestyle=dashed](0,0)(10,10)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{10}{x 3 exp 0.01 mul x dup mul 0.135 mul sub 0.7 x mul add 4.5 add}
\rput{90}(-0.7,6){milliers d'euros}
\uput[d](10,-0.5){nombre de montres}
\psframe(2,-2.5)(10,-1)
\psline[linecolor=blue](2.5,-1.5)(4,-1.5) 
\psline[linestyle=dashed](2.5,-2.)(4,-2.)
\rput(7.1,-1.5){coût de productions (milliers d'euros)}
\rput(7.1,-2.){recettes (milliers d'euros)}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Partie  1 :} %En lisant graphiquement les deux courbes du document \no 1, répondre aux questions suivantes
\begin{enumerate}
\item %Quel est le nombre maximum de montres produites en une journée ?
L'entreprise produit au plus 10 montres dans une journée.
\item %Quel est le coût de production de $6$~montres ? de $8$~montres ?
6 montres reviennent à \np{6000}~\euro{} et 8 montres à à peu près \np{6500}~\euro.
\item %Combien faut-il vendre de montres pour obtenir une recette de \np{6000}~euros ?
Une recette de \np{6000}~\euro{} correspond à la production de 6 montres.
\item %Combien de montres faut-il vendre par jour pour que l'usine fasse un bénéfice ? (ce bénéfice doit être strictement positif.)
Pour faire un bénéfice il faut vendre 7, 8, 9, ou 10 montres.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{La semaine suivante, Vincent se demande s'il peut produire plus de montres à condition que l'usine reste bénéficiaire. Il convoque son collaborateur qui lui remet le document ci-dessous, dressé à l'aide d'un tableur :}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{}&A&	B& C \\ \hline
1&Nombre de montres&	Coût de production (en milliers d'euros)&		Recette (en milliers d'euros)\\ \hline
2&	0&	4,5		&	0\\ \hline
3&	1&	5,075	&	1\\ \hline
4&	2&	5,44	&	2\\ \hline
5&	3&	5,655	&	3\\ \hline
6&	4&	5,78	&	4\\ \hline
7&	5&	5,875	&	5\\ \hline
8&	6&	6		&	6\\ \hline
9&	7&	6,215	&	7\\ \hline
10&	8&	6,58	&	8\\ \hline
11&	9&	7,155	&	9\\ \hline
12&	10&	8		&	10\\ \hline
13&	11&	9,175	&	11\\ \hline
14&	12&	10,74	&	12\\ \hline
15&	13&	12,755	&	13\\ \hline
16&	14&	15,28	&	14\\ \hline
17&	15&	18,375	&	15\\ \hline
18&	16&			&	16\\ \hline
19&	17&			&	17\\ \hline
\end{tabularx}

\bigskip

\textbf{Partie  2 :} En utilisant le tableau ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quel est le coût de production pour  $5$~montres ? pour $14$~montres ?
Pour 5 montres : \np{5875}~\euro ; pour 14 : \np{15280}~\euro.
\item %Quelle est la recette pour 12 montres ?
\np{10000}~\euro.
\item %Combien fabrique-t-on de montres avec \np{6215}~euros ?
7 montres.
\item %Combien peut-on fabriquer de montres en sachant que l'entreprise doit être bénéficiaire ? (donner la réponse sous forme d'un intervalle)
Le nombre de montres doit appartenir à l'intervalle [7~;~13].
\item %On a entré dans la cellule B2 la formule : 

%\begin{pspicture}(6,1)
%\psframe(0,0.4)(6,0.9)
%\end{pspicture}
%
%\vspace{-1cm}= 0.01*A2\verb+^+3 - 0.135*A2\verb+^+2+0.7*A2 +4.5
%
%que l'on a recopiée jusqu'à la cellule B19.
%
%Quelle valeur sera dans la cellule B18 ?  À quoi correspond-t-elle ?
Il y aura : $0,01\times 16^3 - 0,135\times 16^2 + 0.7\times 16  + 4,5 = 22,1$ : cela correspond au coût de production de 16 montres.

%Quelle valeur sera dans la cellule B19 ? À quoi correspond-t-elle ?
Dans la cellule B19 il y aura le coût théorique de 17 montres, ... mais l'entreprise ne peut en produire que 16. (Le calcul pour 17 montres donne un coût surréaliste de \np{26515000}~\euro !) 
\end{enumerate}
   
\bigskip
   
%\emph{La troisième semaine, Vincent se préoccupe de savoir combien il faut vendre de montres par jour pour que le bénéfice soit maximum. Cette fois-ci, le collaborateur décide de traiter le problème de façon algébrique.}

%\emph{Il propose de désigner par $x$, le nombre de montres vendues dans la journée, par $C(x)$ le coût de production de $x$ montres et par $R(x)$ la recette pour $x$ montres vendues. De plus, on a :}

\[C(x) = 0,01x^3 - 0,135x^2+ 0,7x + 4,5 \quad 	\text{et}\quad 	R(x) = x.\]
    
\textbf{Partie  3 :} %Dans cette partie, il s'agit de répondre aux questions suivantes de façon algébrique :

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On désigne par $B(x)$, le bénéfice réalisé par l'entreprise dans une journée.
On a $B(x) = R(x) - C(x) = x - \left(0,01x^3 - 0,135x^2+ 0,7x + 4,5 \right) = x - 0,01x^3 + 0,135x^2 - 0,7x - 4,5 = -0,01x^3 + 0,135x^2 + 0,3x - 4,5$.
%Montrer que $B(x) = -0,01x^3 + 0,135x^2 + 0,3x - 4,5$.
\item 	%Calculer $B'(x)$ et montrer que $B'(x) = - 0,03(x - 10)(x + 1)$.
$B'(x) = 3 \times (- 0,01)x^2 + 2\times 0,135x  + 0,3 = - 0,03x^2 + 0,27x + 0,3 = - 0,03\left(x^2 - 9x - 10)\right)$.

Or $(x - 10)(x + 1) = x^2  + x - 10x - 10 = x^2 - 9x - 10$, donc on a bien :

$B'(x) = - 0,03(x - 10)(x + 1)$.
\item 	%Étudier le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [0~;~17].
Si $0 \leqslant x \leqslant 17$, alors $1 \leqslant x + 1 \leqslant 18$, donc $x + 1 > 0$ ; le signe de $B'(x)$ est donc celui de $- 0,03(x - 10)$ ou $0,03(10 - x)$.

Donc sur [0~;~10], $B'(x) \geqslant 0$ et sur [10~;~17], $B'(x) \leqslant 0$.
\item 	%Dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~17].
La fonction $B$ est donc croissante sur [0~;~10] de $B(0) = - 4,5$ à $B(10) = 2$, puis décroissante de $B(10) = 2$ à $B(17) = - 9,515$.
\item 	%Déduire de ce qui précède, le nombre de montres qu'il faut vendre pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximum.
De l'étude de la fonction bénéfice on constate que le maximum est obtenu pour $x = 10$~(montres) et que le bénéfice est alors de \np{2000}~euros.
\end{enumerate}
\end{document}