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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{.} M. E. P{.}}}
\lhead{\small Mercatique}  
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small 22 juin 2010}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STG Mercatique~\decofourright\\Métropole 22 juin 2010}}
 \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\medskip

%On s'intéresse au nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit en France.
%
%On a pris pour indice de référence 100 en décembre 2007. 
%
%On dispose des renseignements suivants : 
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&déc-01 &déc-02 &déc-03 &déc-04 &déc-05 &déc-06 &déc-07 &déc-08 \\ \hline
%Nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit, en milliers & 
%604&& \np{3626} &\np{6562} &\np{9465} &\np{12711} &\np{15752} &\np{17691} \\ \hline
%Indice& 3,8 &10,8 &23,0 &41,7 &60,1 &80,7 &100,0 &112,3\\ \hline
%\multicolumn{9}{r}{\emph{(Sources: France Telecom et ARCEP) }}
%\end{tabularx}
%
%\medskip
% 
%\begin{center}\emph{Les pourcentages demandés seront arrondis à $1\,\%$.} \end{center}
 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer, au millier près, le nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit en France en décembre 2002.
Le nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit en France en décembre 2002 est égal à $\np{15752}\times \dfrac{10,8}{100} \approx \np{1701}$ au millier près. 
\item %Donner le taux d'évolution du nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit de décembre 2007 à décembre 2008.
L'indice passant de 100 à 112,3, le taux d'évolution est égal à

 $1 + \dfrac{112,3 - 100}{100} = 1 + \dfrac{12,3}{100} = 1 + 0,123 = 1,123$.

Plus simplement : $\dfrac{112,3}{100} = 1,123$. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer le taux d'évolution du nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit de décembre 2005 à décembre 2008.
De décembre 2005 à décembre 2008 le nombre de clients est passé de \np{9465} à \np{17691}, soit un taux d'évolution de $\dfrac{\np{17691} - \np{9465}}{\np{9465}} \approx 0,87$ ou encore 87\,\%.
		\item %Calculer le taux d'évolution annuel moyen du nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit de décembre 2005 à décembre 2008.
Si $t$ est le taux d'évolution annuel moyen du nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit de décembre 2005 à décembre 2008, on a : 

$(1 + t)^3 = 1,87$ soit $1 + t = 1,87^{1/3}$ ou $t = 1,87^{1/3} - 1 \approx 0,23$ ou encore 23\,\%.
		\item %On suppose qu'en 2009 l'évolution s'est poursuivie avec le taux annuel calculé au 3. b. 

%Déterminer, au millier près, le nombre de clients ayant accès à l'internet haut débit en décembre 2009.
Avec une nouvelle augmentation de 23\,\%, le nombre de clients sera environ de :

$\np{17691} \times 1,23 \approx \np{21760}$.
	\end{enumerate} 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
%On s'interroge sur la pertinence de la supposition faite à la question 3. c. Pour cela, on calcule les taux d'évolution annuels suivants :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{4cm}|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%&\small De décem\-bre-04 à décembre-05&
%\small De décembre-05 à décembre-06&\small De décembre-06 à décembre-07\\ \hline 
%\begin{tabular}{l}Taux d'évolution du\\
% nombre de clients ayant\\
%  accès à l'internet haut débit\\
%  \end{tabular} &
%+44\,\% &+34\,\% &+24\,\%\\ \hline
%\end{tabularx}

%\medskip 
%
%La supposition faite dans la question 3. c. vous paraît-elle pertinente ? 
De décembre 2004 à décembre 2008 les taux d'évolution ont été de 44\,\%, 34\,\%, \,\%24, \,\%12 soit une perte annuelle de 10~points : l'hypothèse d'une augmentation annuelle de 23\,\% paraît peu pertinente.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).\\ 
%Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.\\ 
%Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.\\ 
%Une réponse juste rapporte $1$ point ; une réponse fausse enlève $0,25$~point et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l'exercice est ramenée à $0$.}
%
%\medskip
% 
%\fbox{
%\begin{minipage}{\textwidth} \begin{center}Formulaire :\end{center} 
%Si $u$ et $v$ sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, alors la fonction $uv$ est dérivable sur l'intervalle I et $(uv)'= u'v + uv'$.\end{minipage}} 
%
%\medskip
%
%On considère deux fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ par 
%
%\[f(x) = (2 + x)\text{e}^x \quad \text{et}\quad  g(x) = 2x\text{e}^x.\]
% 
%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur $\R$ et $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur $\R$.
% 
%On a tracé, en annexe 1, trois courbes $\mathcal{C}_{1},~\mathcal{C}_{2}$ et $\mathcal{C}_{3}$.
% 
%Parmi elles, figure la représentation graphique de chacune des fonctions $f$ et $g$.
 
\begin{enumerate}
\item  %$f(0)$ est égal à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} 0&\textbf{b.~~} 2& \textbf{c.~~} $- 2$\\
%\end{tabularx}
$f(0) = (2 + 0)\text{e}^0 = 2 \times 1 = 2$

\medskip
 
\item %La représentation graphique de la fonction $g$ est :

\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $\mathcal{C}_{1}$&\textbf{b.~~} $\mathcal{C}_{2}$& \textbf{c.~~} $\mathcal{C}_{3}$\\
%\end{tabularx}
La représentation graphique n'est pas une droite ; la seule courbe contenant le point O est $\mathcal{C}_{1}$.
\medskip 

\item %Pour tout nombre réel $x,~g'(x)$ est égal à :
D'après la formule, dérivée d'un produit : $g(x) = 2x\text{e}^x$, donc $gb'(x) = 2\text{e}^x + 2x\text{e}^x = (2 + 2x)\text{e}^x$.
\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} $2\text{e}^x$&\textbf{b.~~} $(2x + 2)\text{e}^x$& \textbf{c.~~} $2 + \text{e}^x$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip  

\item %On admet que, pour tout nombre réel $x,~f'(x) = (3 + x)\text{e}^x$. La fonction $f$ est :
Pour $x < - 3,~f'(x) < 0$ : la fonction est décroissante ;

Pour $x > - 3,~f'(x) > 0$ : la fonction est croissante. Réponse c
\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
%\textbf{a.~~} croissante sur $\R$&\textbf{b.~~} décroissante sur $\R$& \textbf{c.~~} ni décroissante ni croissante sur $\R$\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\medskip
 
%Sur un site internet, on trouve les données suivantes qui concernent le Tour de France.
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%Année &2006 &2007 &2008\\ \hline 
%\begin{tabular}{c}Nombre de\\
% participants\\
% \end{tabular}& 176 &189 &180\\ \hline 
%\begin{tabular}{c}Nombre d'\\ \og épinglés \fg*\\
% \end{tabular}&45 &38 &26 \\ \hline 
%\multicolumn{4}{r}{\emph{(Source: cyclisme-dopage.com)}}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
% 
%\emph{* La catégorie \og épinglés \fg{} est constituée par les coureurs ayant été contrôlés positifs (y compris par constat de carence ou par constat d'un hématocrite supérieur à 50\,\%), ayant reconnu s'être dopé et ayant été sanctionnés (par la justice, leur fédération ou leur équipe) dans le cadre d'affaires liées au dopage.}
%
%\bigskip
 
\textbf{Première partie : Traitement des données sur tableur}

\medskip
 
%On reporte ces données dans une feuille de calcul, afin de les compléter : 

%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|p{4.cm}|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%&A&B&C&D&E\\ \hline
%1&Année&2006&2007&2008&2009\\ \hline
%2&Nombre de participants
%&176&189&180&545\\ \hline
%3&Nombre d'\og épinglés \fg
%&45&38&26&109\\ \hline
%4&Nombre de \og non épinglés \fg
%&&&&436\\ \hline
%5&Taux d'\og épinglés \fg & 25,6\,\%&&&\\ \hline
%\multicolumn{6}{c}{La plage de cellule B5:E5 est au format pourcentage à une décimale.}\\
%\end{tabularx}
%
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Donner une formule qui, entrée en cellule B4, permet par recopie vers la droite d'obtenir le contenu des cellules de la plage B4: D4.
Formule : \fbox{~= B2 - B3~}. 
\item %Donner une formule qui, entrée en cellule E2, a permis par recopie vers le bas d'obtenir le contenu des  cellules de la plage E2: E4.
Formule : \fbox{~= SOMME(B2 : D2)~} ou \fbox{~= B2 + C2 + D2~}. 
\item %Donner une formule qui, entrée en cellule B5, permet par recopie vers la droite d'obtenir le contenu des  cellules de la plage B5: E5.
Formule : \fbox{~B3/B2*100~}. 
\item %Calculer la valeur affichée dans la cellule C5.
Taux d'\og épinglés \fg{} en 2007 : $\dfrac{38}{189} \approx 20,1$~\,\%.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie: Probabilités}

\medskip
 
%Pour chacune des années 2006, 2007 et 2008, on dispose pour chaque participant d'une fiche sur laquelle figurent l'année, le nom du participant, et la mention\og épinglé\fg ou bien \og non-épinglé \fg. Ainsi un même participant peut figurer sur plusieurs fiches s'il a participé au tour de France plusieurs fois  parmi les années 2006, 2007 ou 2008.
% 
%Toutes les fiches sont mélangées, et on en choisit une au hasard.
% 
%On définit les évènements suivants :
%
%\setlength\parindent{5mm}
%\begin{itemize}
%\item[] D : \og la fiche est une fiche du Tour de France de l'année 2008 \fg ; \item[] E : \og la fiche porte la mention \og épinglé \fg.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\begin{center} 
%\emph{Les probabilités demandées seront arrondies au centième.}\end{center} 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement D.
$p(\text{D}) = \dfrac{180}{545} \approx 0,33$.		 
		\item %Calculer la probabilité de l'évènement D $\cap$ E.
Il y a eu en 2008 26 coureurs \og épinglés \fg, donc $p(\text{D} \cap \text{E}) = \dfrac{26}{545} \approx 0,05$.  
		\item %Calculer la probabilité, sachant D, de l'évènement E.
Sur les 180 coureurs de 2008, 26 ont été épinglés, d'où une probabilité de 

$\dfrac{26}{180} \approx 0,14$.
	\end{enumerate} 
\item %Calculer la probabilité de l'évènement E.
109 épinglés sur 545 coureurs, donc $p(\text{E}) = \dfrac{109}{545} = 0,2$.  
\item %Calculer la probabilité, sachant que la fiche choisie porte la mention \og épinglé \fg, que ce soit une fiche de l'année 2008.
Sur 109 épinglés 26 l'ont été en 2008, d'où une probabilité de $\dfrac{26}{109} \approx 0,24$.$  
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}

\medskip
 
%Dans cet exercice, on s'intéresse au nombre de personnes, enfants et adultes, vivant avec le VIH/SIDA (Virus de l'Immunodéficience Humaine/Syndrome Immuno-Déficitaire Acquis) au Sénégal.
%
%\bigskip
 
\textbf{Partie A : étude d'un premier modèle}

\medskip
 
%Le tableau ci-dessous présente les données de 1996 à 2006 :
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
%\begin{tabular}{l}Année\\ \end{tabular} &\small 1996 &\small 1997 &\small 1998 &\small 1999 &\small 2000 &\small 2001 &\small 2002 &\small 2003 &\small 2004 &\small 2005 &\small 2006\\ \hline 
%\begin{tabular}{l}Rang de l'année $x_{i}$\\ \end{tabular}& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9 &10\\ \hline 
%\begin{tabular}{l}Estimation du\\ nombre de per-\\sonnes vivant avec\\ le VIH au Sénégal\\ (en milliers) $y_{i}$\\
%\end{tabular}
%&9 &11 &13 &16 &20 &24 &29 &35 &41 &49 &57\\ \hline
%\multicolumn{12}{r}{\emph{(Source: UNAIDS (Joint United Nations program on HIV/A1DS))}}
%\end{tabularx}
%
%\medskip 
%  
%Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$, pour $i$ variant de $0$ à $10$, est donné en annexe 2 à rendre avec la copie.
 
\begin{enumerate}
\item %À l'aide de la calculatrice déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ (arrondir les coefficients au millième).
La calculatrice donne : $y = 4,755x + 3,864$. 
\item %On décide d'ajuster le nuage avec la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 4,8x + 3,9$.
	\begin{enumerate}
		\item %Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique figurant sur l'annexe 2.
Voir plus bas. 
		\item %En utilisant cet ajustement affine, estimer le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal en 2007.
2007 correspond à $x = 11$, donc $y = 4,8 \times 11 + 3,9 = 52,8 + 3,9 = 56,7$~(milliers) soit \np{56700} personnes vivant avec le VIH au Sénégal en 2007.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude d'un deuxième modèle}

\medskip
 
%Le taux d'évolution annuel moyen du nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal entre les années 1996 et 2006 est d'environ 20\,\%.
%
%\medskip
% 
%On décide alors de modéliser la situation à l'aide d'une suite géométrique de raison $1,2$.
%\medskip
% 
%Pour tout entier naturel $n,~u_{n}$ désigne une estimation du nombre de personnes, en milliers, vivant avec le VIH au Sénégal pendant l'année $1996 + n$.
% 
%Ainsi $\left(u_{n}\right)$ est la suite géométrique de premier terme $u_{0} = 9$ et de raison $1,2$.
 
\begin{enumerate}
\item %Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
Par définition d'une suite géométrique : $u_{n} = u_{0} \times q^n = 9 \times 1,2^n$.
\item %Déterminer, d'après ce modèle, le nombre prévisible de personnes atteintes en 2007.
D'après ce modèle il y aura en 2007, $u_{11} = 9 \times 1,2^{11} \approx 66,87$~(milliers) soit environ \np{66870}~personnes.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : Exploitation des modèles}

\medskip
 
%Des experts ont estimé qu'en 2007 il y avait \np{67000}~personnes vivant avec le VIH au Sénégal.
 
\begin{enumerate}
\item %Lequel des deux modèles étudiés dans les parties A et B donne la meilleure prévision pour 2007 ?
Le modèle de la suite géométrique donne la meilleure précision. 
\item %\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation}

%\medskip
% 
%En choisissant le modèle qui vous paraît le mieux adapté, déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal dépassera $100$~milliers.
Avec le modèle de la suite géométrique il faut résoudre l'inéquation :

$9 \times 1,2^n > 100$, soit $1,2^n > \dfrac{100}{9}$ puis par croissance de la fonction logarithgme népérien $\ln \left(1,2^n \right) > \ln \left(\dfrac{100}{9} \right)$ ou $n \ln 1,2 > \ln \left(\dfrac{100}{9}\right)$ et enfin $n > \dfrac{\ln \left(\frac{100}{9}\right)}{\ln 1,2}$.

Or $\dfrac{\ln \left(\frac{100}{9}\right)}{\ln 1,2} \approx 13,2$. Il faut donc 14 années pour que le nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal dépasse $100$~milliers, soit en 2010.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
%\textbf{Annexe 1}
%
%\vspace{0,5cm}
%
%\psset{xunit=2cm,yunit=0.5cm}
%\begin{pspicture*}(-4,-6)(2.5,17)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-6)(2.5,17)
%\psgrid[gridlabels=0pt,gridcolor=orange,subgriddiv=2,subgridcolor=orange](-4,-6)(3,17)
%\multido{\n=-3.75+0.50}{14}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,-6)(\n,17)}
%\uput[d](2.4,0){$x$}\uput[l](0,16.7){$y$}\uput[dr](0,0){O}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-4}{1.5}{2 x mul 2.71828 x exp mul}
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-1.2}{2.5}{5 x mul }
%\psplot[linecolor=green,linewidth=1.25pt,plotpoints=10000]{-4}{1.5}{2 x add 2.71828 x exp mul}
%\uput[l](1,8){$\mathcal{C}_{2}$} \uput[ul](-1,-5){$\mathcal{C}_{3}$} \uput[d](-2.5,-0.5){$\mathcal{C}_{1}$} 
%\end{pspicture*}
%
%\newpage

\textbf{Annexe 2, à rendre avec la copie}

\vspace{2cm}

\psset{xunit=1cm,yunit=0.18cm}
\begin{pspicture}(12,107.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=10]{->}(0,0)(12,107.5)
\multido{\n=0.0+0.5}{25}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,107.5)}
\multido{\n=0.0+2.5}{44}{\psline[linewidth=0.4pt,linecolor=orange](0,\n)(12,\n)}
\uput[d](6,-6){Rang de l'année}\rput{90}(-1,53.5){Nombre de personnes vivant avec le VIH au Sénégal (en milliers)}
\psdots[dotscale=1.5](0,9)(1,11)(2,13)(3,16)(4,20)(5,24)(6,29)(7,35)(8,41)(9,49)(10,57)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{12}{4.8 x mul 3.9 add}
\end{pspicture}
\end{center} 
\end{document}