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%tapuscrit Jean-Claude Souque
%Corrigé François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STHR}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{18 juin 2019}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\large  \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STHR~\decofourright\\[5pt] Antilles-Guyane  18 juin 2019}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 9 points}  

\medskip

%\textbf{Les trois parties sont indépendantes.}
%
%\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie A}

\medskip

Le temps passé, en minutes, par un client dans un restaurant gastronomique peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale dont la courbe de densité est donnée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.025cm,yunit=300cm,arrowsize=5pt,comma=true,labelFontSize=\scriptstyle,yAxis=false}
\begin{pspicture}(-0.1,-0.0004)(350,0.012) 
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=150,sigma=40]{0}{300}
 \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=blue]
     {
     \psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=150,sigma=40]{100}{200}
     \psplot{200}{100}{0}
    \closepath % indispensable !
   }
   \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=50]{->}(0,0)(350,0.05)
\psline[linewidth=0.75pt](150,0)(150,0.012)
\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1pt,mue=150,sigma=40]{0}{300}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item % Déterminer, en justifiant, l'espérance $m$ de cette variable aléatoire.
La fonction de densité d'une loi normale d'espérance $m$ est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=m$.

La fonction de densité tracée est symétrique par rapport à la droite d'équation $x=150$ donc l'espérance $m$ vaut 150. 

\item On admet que la probabilité de l'événement $100\leqslant X\leqslant 200$ représentée par l'aire grisée sur le graphique est égale à \np{0,7887}.

%Déterminer $p(X\leqslant 100)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

On a $p(X\leqslant 100) + p(100\leqslant X\leqslant 200) + p(X\geqslant 200) =1$ et, pour des raisons de symétrie, \\
$p(X\leqslant 100) = p(X\geqslant 200)$; donc
$p(X\leqslant 100) = \dfrac{1-p(100\leqslant X\leqslant 200)\rule{0pt}{9pt}}{2} = \dfrac{1-\np{0,7887}}{2} = \np{0,10565}$.

\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit la loi normale  d'espérance 150 et d'écart type 40. 

La probabilité qu'un client reste plus de 3 heures à table, donc plus de 180 minutes, est \\
$p(X>180) \approx 0,227$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

À la recherche d'investissements pour s'agrandir, le propriétaire du restaurant affirme que 90\,\% de ses clients sont satisfaits de son établissement. Un investisseur potentiel réalise un sondage auprès de 300 clients du restaurant ; 260 d'entre eux sont satisfaits.

On fait l'hypothèse que le pourcentage de clients satisfaits est $0,9$ et on va tester cette hypothèse sur un échantillon de taille $n=300$.

L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est

\begin{center}
$I=\left [p-\dfrac{1}{\sqrt{n}}~;\, p+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right ]
= \left [ 0,9 - \dfrac{1}{\sqrt{300}}~;\, 0,9 + \dfrac{1}{\sqrt{300}}\right ]
\approx \left [0,842~;\, 0,958 \strut\right ]$
\end{center}

La fréquence dans l'échantillon étudié est $f=\dfrac{260}{300}\approx 0,867$.

$f\in I$ donc il n'y a pas de raison de remettre en cause l'affirmation du restaurateur.

\smallskip

\emph{Remarque: le programme officiel paru au BO \no{}11 du 17/03/2016 précise que, pour utiliser un  intervalle de fluctuation, il faut que la proportion soit comprise entre $0,2$ et $0,8$, ce qui n'est pas le cas ici.} 

%Ce résultat remet-il en cause l'affirmation du restaurateur ? 
%
%Argumenter la réponse à l'aide d'un intervalle de fluctuation.

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le restaurateur propose des burgers.

Voici le tableau décrivant les différentes tâches à réaliser pour la préparation des burgers.

 Pour réaliser cette recette, on convient que certaines tâches peuvent être réalisées simultanément par plusieurs personnes.
 
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\small}m{8.cm}|c|m{0.88cm}|X|}
 \hline
Tâches&&Durées (min)&Tâches immédiatement antérieures\\\hline
Dans un saladier, mélanger la farine, la levure, le sucre et le sel.&A&2&\\\hline
Dans une casserole, faire chauffer l'eau, le lait et le beurre.&B&5&\\\hline
Mélanger les deux préparations.&C&5&A et B\\\hline
Pétrir en ajoutant les jaunes d'\oe ufs un à un.&D&15&C\\\hline
Laisser pousser la pâte.&E&90&D\\\hline
Préchauffer le four thermostat 7.&F&20&\\\hline
Former des boules de pâte (pâtons) et les laisser reposer.&G&60&E\\\hline
À l'aide d'un pinceau, badigeonner de lait les pâtons et les parsemer de graines de sésame.&H&5&G\\\hline
Enfourner et cuire les pâtons.&I&11&F et H\\\hline
Émincer les oignons.&J&7&\\\hline
Faire caraméliser les oignons dans une poêle.&K&15&J\\\hline
Préparer la mayonnaise.&L&15&\\\hline
Couper les pains en deux.&M&5&I\\\hline
Faire cuire les steaks.&N&8&\\\hline
Faire fondre du fromage sur chaque steak.&O&6&N\\\hline
Garnir les pains.&P&7&M, L, K et O\\\hline
\end{tabularx}

\medskip
%
%Par exemple, la tâche I désigne la cuisson des pains. Elle a une durée de 11 minutes et ne peut débuter qu'après l'exécution des tâches F et H.

\begin{enumerate}
\item  On complète le graphe de cette recette (voir annexe page \pageref{schema}).
\item% Quel est le temps incompressible de cette recette, c'est-à-dire le temps minimum nécessaire pour la réaliser ? Expliquer la démarche.
Le plus long chemin pour aller du début à la fin est:

\begin{center}
\fbox{Début} $\longrightarrow$ 
B $\stackrel{5}{\longrightarrow}$
C $\stackrel{5}{\longrightarrow}$
D $\stackrel{15}{\longrightarrow}$
E $\stackrel{90}{\longrightarrow}$
G $\stackrel{60}{\longrightarrow}$
H $\stackrel{5}{\longrightarrow}$
I $\stackrel{11}{\longrightarrow}$
M $\stackrel{5}{\longrightarrow}$
P $\stackrel{7}{\longrightarrow}$ \fbox{Fin}
\end{center}

Il est d'un longueur totale de 203 minutes, donc le temps incompressible de cette recette est de 3 heures et 23 minutes.
 
\item Le restaurateur souhaite pouvoir servir les premiers burgers à 19h30. %À quelle heure faut-il allumer le four ?

Il doit allumer le four en F; le trajet contenant F est

\begin{center}
\fbox{Début} $\longrightarrow$ 
F $\stackrel{20}{\longrightarrow}$
I $\stackrel{11}{\longrightarrow}$
M $\stackrel{5}{\longrightarrow}$
P $\stackrel{7}{\longrightarrow}$ \fbox{Fin}
\end{center}

La tâche F est située $20+11+5+7=43$ minutes avant la fin, donc doit être effectuée 43 minutes avant la fin. Il faut donc allumer le four 43 minutes avant 19h30 soit à 18h47 au plus tard.

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill  4 points}

\medskip

Une entreprise fabrique des robots pâtissiers connectés et les vend ensuite à des enseignes spécialisées dans les articles de cuisine.

Le tableau suivant donne le chiffre d'affaires en millions d'euros de l'entreprise de 2012 à 2017.
%\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|m{3.85cm}|*{6}{c|}}
\hline
\centering Année&2012&2013&2014&2015&2016&2017\\\hline
Chiffre d'affaires (en millions d'euros)&5,43&6,03&6,63&6,50&7,54&9,17\\\hline
Indice du chiffre d'affaires
(base 100 en 2012)&100&111,05&&119,71&138,86&168,88\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le taux global d'évolution du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2012 et 2017 exprimé en pourcentage est
$\dfrac{9,17-5,43}{5,43}\times 100 \approx 68,9$.

\smallskip

On retrouve ce résultat en travaillant sur les indices: passer de l'indice $100$ de 2012, à l'indice $168,88$ de 2017, c'est augmenter de $68,88\,\%$.

\item Le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires de l'entreprise entre 2012 et 2017, donc sur 5 ans, exprimé en pourcentage, est le nombre $t$ tel que
$\left (1+\dfrac{t}{100}\right )^{5} = 1+\dfrac{68,9}{100}$.

On trouve $t\approx 11,1\,\%$.

\item L'indice du chiffre d'affaires de l'entreprise en 2014 est
$\dfrac{6,63\times 100}{5,43} \approx 122,10$.

\end{enumerate}

Pour les questions qui suivent, on estime que le chiffre d'affaires augmente de 11\,\% par an à partir de l'année 2017.

\begin{enumerate}[resume]

\item % Donner une estimation du chiffre d'affaires de l'entreprise en 2022.
Augmenter de $11\,\%$, c'est multiplier par $1,11$. 

Augmenter de $11\,\%$ pendant 5 ans, pour passer de 2017 à 2022, c'est multiplier par $1,11^5$.

Une estimation du chiffre d'affaires de l'entreprise en 2022 est donc, en millions d'euros, de\\
$9,17\times 1,11^5 \approx 15,45$.

\item Le directeur se demande à partir de quelle année le chiffre d'affaires de l'entreprise dépassera 20 millions d'euros. On complète l'algorithme suivant afin que la variable $n$ contienne en fin d'exécution la réponse à la question du directeur.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l}
$n\leftarrow 0$\\
$c\leftarrow 9,17$\\
 Tant que $\blue c \leqslant 20$ \\
\hspace*{1cm} $n \leftarrow n+1$\\
\hspace*{1cm} $c \leftarrow \blue c\times 1,11$\\
 Fin Tant que
\end{tabular}
\end{center}

La réponse à donner au directeur est alors $2017+n$.

\emph{Remarque: pour que l'algorithme réponde à la question, il faudrait initialiser la variable $n$ à $2017$.}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill  7 points}

\medskip

Un pâtissier propose des gâteaux de mariage qu'il fabrique et vend sur commande 200 \euro{} pièce. Chaque mois, il vend toute sa production.

\medskip

\textbf{Partie A :} Lecture graphique

\medskip

 Le graphique ci-dessous représente les fonctions coût et recette dans un repère orthogonal.
 
 \begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.0015cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-1,-200)(21,5200)
 \multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](\n,-250)(\n,5200)}
 \multido{\n=-250+250}{22}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=lightgray](0,\n)(20,\n)}
 \psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=500,]{->}(0,0)(0,-250)(21,5300)
% \def\Funct{x 2 exp 10  mul x 40  mul add 150 add}
  \def\Func{x x 10 mul 40 add mul 150 add}
 \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{\Func}
% \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{0}{20}{\Funct}
 \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=cyan]{0}{20}{x 200 mul}
 \uput[r](17,4250){\blue \footnotesize coût}
  \uput[d](18,3500){\cyan\footnotesize Recette}
\uput[ur](0,5050){\footnotesize prix en euros} 
\uput[u](19,5){\footnotesize nombre de gâteaux}
%%% Corrigé
\psset{arrowsize=3pt 3}
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed,ArrowInside=->](8,0)(8,1110)(0,1110)
\uput*[l](0,1000){\white 1000} \uput*[l](0,1110){\blue \footnotesize 1100}
\psline[linecolor=cyan,linestyle=dashed,ArrowInside=->](8,1110)(8,1600)(0,1600)
\uput*[l](0,1500){\white 1500} \uput*[l](0,1600){\cyan \footnotesize 1600}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](17,0)(17,3720)
\psdots[linecolor=red](17,3400)(17,3720)
\psline[linecolor=red, linewidth=1.5pt]{]-[}(1,0)(15,0)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](1,0)(1,200)
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](15,0)(15,3000)
\end{pspicture}
\end{center}

%En vous appuyant sur le graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes :

\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  D'après le graphique, le coût de fabrication pour 8 gâteaux produits est d'environ \np{1100}~\euro.
\item D'après le graphique, la recette réalisée pour 8 gâteaux vendus est d'environ  \np{1600}~\euro.
\item Le bénéfice réalisé pour 8 gâteaux vendus est, en euro, d'environ $\np{1600}-\np{1100}=500$.
\end{enumerate}
\item Pour 17 gâteaux, le coût est supérieur à la recette donc ce n'est pas  rentable de confectionner et vendre 17 gâteaux.

\item L'entreprise est bénéficiaire quand la courbe représentant la recette est au-dessus de la courbe représentant le coût, donc le nombre de gâteaux peut varier entre 2 et 14 pour que l'entreprise soit bénéficiaire.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B :} Étude du bénéfice

\medskip

Le bénéfice réalisé pour une commande de $x$ gâteaux, exprimé en euros, est noté $B(x)$.

 La fonction $B$ est définie sur l'intervalle [0 ; 20] par : $B(x)=-10x^2 + 160x -150$.
 
 \begin{enumerate}
\item%  Étudier le signe de $B$ sur l'intervalle [0 ; 20].
$B(x)$ est un polynôme du second degré dont on va étudier le signe.

$\Delta=160^2 - 4(-10)(-150) = \np{19600} = 140^2$

$B(x)$ admet deux racines $x'=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-160-140}{-20}=15$ et
$x''=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-160+140}{-20}=1$

$B(x)$ est du signe de $a=-10$ donc négatif à l'extérieur des racines:

\begin{center}
{
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{7}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 1 & \esp & 15 & \esp & 20 \\
\hline
B(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

\item On note $B'$ la fonction dérivée de la fonction $B$ définie sur l'intervalle [0 ; 20].

$B'(x)=-10\times 2x +160 = -20x+160$;
$B'(x)>0 \iff -20x + 160 >0 \iff 160 > 20x \iff 8>x$

$B(8)=490$; on établit le tableau des variations de $B$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{10pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 8 & \esp & 20 \\ 
\hline
B'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{490}  &  &   \\  
B(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{\quad} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\quad} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

 %Calculer $B'(x)$ et dresser le tableau de variation de la fonction $B$ sur [0 ; 20].
\item \begin{enumerate}
\item  Le bénéfice est maximal pour 8 gâteaux. 
\item Ce bénéfice maximal est alors de 490~\euro.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Annexe à compléter et à remettre avec la copie}

\textbf{\textsc{Exercice} 1 partie C}

\medskip

{
\setlength {\fboxrule }{1.1pt}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=1cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(0.5,0)(19.5,12)
%\psgrid[subgriddiv=2, gridcolor=gray]%gridlabels=0, 
\rput(1,6){\rnode{X}{\psframebox{\small Début}}}
\rput(3,11){\rnode{A}{\framebox[1.5em]{A}}}
\rput(3,9){\rnode{B}{\framebox[1.5em]{B}}}
\rput(3,7){\rnode{F}{\framebox[1.5em]{F}}}
\rput(3,5){\rnode{J}{\framebox[1.5em]{\blue J}}}
\rput(3,3){\rnode{L}{\framebox[1.5em]{\blue L}}}
\rput(3,1){\rnode{N}{\framebox[1.5em]{N}}}
\rput(5,10){\rnode{C}{\framebox[1.5em]{\blue C}}}
\rput(7,10){\rnode{D}{\framebox[1.5em]{D}}}
\rput(9,10){\rnode{E}{\framebox[1.5em]{\blue E}}}
\rput(11,10){\rnode{G}{\framebox[1.5em]{\blue G}}}
\rput(13,10){\rnode{H}{\framebox[1.5em]{\blue H}}}
\rput(13,7){\rnode{I}{\framebox[1.5em]{\blue I}}}
\rput(15,7){\rnode{M}{\framebox[1.5em]{\blue M}}}
\rput(17,7){\rnode{P}{\framebox[1.5em]{\blue P}}}
\rput(6,5){\rnode{K}{\framebox[1.5em]{K}}}
\rput(11,1){\rnode{O}{\framebox[1.5em]{\blue O}}}
\rput(18.5,7){\rnode{Y}{\psframebox{\small Fin}}}
%\small
\ncline{->}{X}{A} 
\ncline{->}{X}{B} 
\ncline{->}{X}{F} 
\ncline{->}{X}{J} 
\ncline{->}{X}{L} 
\ncline{->}{X}{N} 
\ncline{->}{A}{C} \ncput*{\blue 2} 
\ncline{->}{B}{C} \ncput*{5} 
\ncline{->}{C}{D} \ncput*{\blue 5} 
\ncline{->}{D}{E} \ncput*{\blue 15}
\ncline{->}{E}{G} \ncput*{\blue 90} 
\ncline{->}{G}{H} \ncput*{\blue 60}  
\ncline{->}{H}{I} \ncput*{\blue 5}
\ncline{->}{F}{I} \ncput*{\blue 20}
 \ncline{->}{I}{M} \ncput*{11}  
\ncline{->}{M}{P} \ncput*{\blue 5}
\ncline{->}{P}{Y}   \ncput*{\blue 7}
\ncline{->}{J}{K} \ncput*{\blue 7}
\pnode[16.7,6.9]{P_1}{} \ncline{->}{K}{P_1} \ncput*{15}
\pnode[16.7,6.8]{P_2}{} \ncline{->}{L}{P_2} \ncput*{\blue 15}
\ncline{->}{N}{O}  \ncput*{\blue 8}
\pnode[16.9,6.75]{P_3}{} \ncline{->}{O}{P_3} \ncput*{6}
\end{pspicture}
}

\label{schema}

\end{document}

