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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{19 juin 2018}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STHR Antilles-Guyane 19 juin 2018~\decofourright\\ }}
\end{center}

\vspace{0,55cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}

\medskip
  
{\footnotesize

Pour les fêtes de fin d’année, une entreprise produit des objets décoratifs. Le coût de
production est modélisé par la fonction $C$ définie sur l’intervalle [20 ; 60] par :

\[C(q)=q^3-105q^2+\np{3000}q+\np{8500}\] 
où $q$ est le nombre  d’objets décoratifs fabriqués et $C(q)$ est le coût de la production, en
euros, de $q$ objets décoratifs.
}
\begin{enumerate}
\item La fonction dérivée $C'$ de $C$ est définie par  

 $C'(q)=3q^2-105(2q)+\np{3000}=3q^2-210q+\np{3000}=3(q^2-70q+\np{1000})$.
\item La fonction dérivée $C'$ est représentée dans le repère ci-dessous.

\begin{center}
\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=0.275cm,yunit=0.003cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-2,-1000)(62,1400)
\multido{\n=0+1}{44}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-900)(\n,1250)}
\multido{\n=-900+100}{22}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-1.5,\n)(44,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=2,Ox=18,Dy=200,]{->}(0,0)(0,-870)(44,1300)
\psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{2}{42}{x  18 add 2 exp 3 mul x 18 add 210 mul sub 3000 add }
\uput[u](44,0){$q$}
\end{pspicture}
 }
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Résolvons sur $\R$ l’équation $3(q^2-70q+\np{1000})= 0$.

 $3(q^2-70q+\np{1000})=0\iff q^2-70q +\np{1000}=0$.

 Nous avons un trinôme du second degré, calculons $\Delta$.
 
 $\Delta=(-70)^2-4\times \np{1000}=\np{4900}-\np{4000}=900$. 

$\Delta>0$ le trinôme admet deux racines distinctes.
 
 $x_1=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ x_1=\dfrac{-(-70)-\sqrt{900}}{2\times 1}=\dfrac{70-30}{2}=20$

$x_2=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\ x_2=\dfrac{70+30}{2}=50$

Ces valeurs appartenant à [20~;~60], l'ensemble solution de l'équation $C'(q)=0$ est :

$\{20~;~50\}$.

\item Dressons le tableau de signe de la fonction dérivée $C'$.

\smallskip
\begin{center}
\begin{tabular}[]{|c|c m{2.5cm}c m{2.5cm}|}
\hline
$q$& 20&& \np{50}& \hfill 60\\\hline
$q-20$& 0&\centering $+$ && \hspace{2.2em} $+$\\\hline
$q-50$&&\centering $-$&0& \hspace{2.3em}$+$\\\hline
$C'(q) = 3(q - 20)(q - 50)$&0&\centering $-$&0& \hspace{2.3em}$+$\\\hline
\end{tabular}
\end{center}
\smallskip

\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Étudions  le sens de variation de $C$.
 
Si pour tout $x\in I,\:f'(x)< 0$ alors $f$ est  strictement décroissante sur $I$. 

Sur $[20~;~50[,\:f'(x)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur cet intervalle.

Si pour tout $x\in I, \:f'(x)>0 $ alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.

Sur $]50~;~60], \: f'(x)>0$ donc $f$ est strictement croissante sur cet intervalle.

Dressons le tableau de variation de la fonction $C$ sur l’intervalle $[20~;~60]$.


	\begin{center}
	\scalebox{0.7}{
\psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm}
\begin{pspicture}(12,3.5)
%\psgrid
\psframe(10,3)
\psline(0,1.5)(10,1.5)\psline(0,2.5)(10,2.5)  \psline(3.5,0)(3.5,3)
\uput[u](1.75,2.5){$q$} \uput[ur](3.7,2.5){$20$}\uput[ur](9.1,2.5){$60$}\uput[u](6.4,2.5){$50$}
\uput[u](1.3,1.75){Signe de $C'(q)$}\uput[u](1.3,0.5){Variation de $C$}
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](6.4,1.5)(6.4,2.5)
\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.5pt](3.7,1.5)(3.7,2.5)
\uput[u](3.7,1.75){$0$} \uput[u](6.4,1.75){$0$}
\uput[u](4.9,1.75){$-$}\uput[u](7.8,1.75){$+$}
\psline{->}(4,1.15)(5.9,0.35)\psline{->}(6.85,0.35)(8.78,1.15)
\uput[d](4.1,1.5){\small $\np{34500}$} \rput(6.42,0.15) {\small $\np{21000}$}
\uput[d](9.1,1.5){$\np{26500}$}
\end{pspicture}
}
\end{center}

\item La fonction $C$ admet un minimum pour $q=50$ puisque strictement décroissante sur [20~;~50[ et strictement croissante sur ]50~;~60]. Il en résulte que  le nombre d’objets décoratifs à produire pour que le coût de production soit minimum est  50. 

\end{enumerate}
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 14 points}  

\vspace{0.5cm}

\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

Au 1\up{er} janvier 2017, Monsieur Xavier, boulanger pâtissier, souhaite diversifier son activité en
devenant également chocolatier. Pour cela, il a besoin de connaître le marché du chocolat en
France.
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
Le tableau ci-dessous présente l’évolution du chiffre d’affaires du marché du chocolat en
France entre 2011 et 2015.

\smallskip

\begin{center}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{5.85cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $x_i$ &2011& 2012& 2013 &2014& 2015\\\hline
Chiffre d’affaires de la vente du chocolat
en France (en million d’euros) $y_i$ &\np{2721}& \np{2762} &\np{2761}&\np{3100} & \np{3090}\\\hline
\multicolumn{6}{r}{\emph{Source : le syndicat du chocolat.}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip
Le nuage de points associé au tableau ci-dessus figure \textbf{en annexe}. Il sera à compléter et à
remettre avec la copie.

\begin{enumerate}
\item  Déterminons les coordonnées du point moyen G de ce nuage de points et  plaçons-le
dans le repère de l'\textbf{\textsc{Annexe} }.
 
 Le point moyen est le point  G de coordonnées $(\overline{x}~;~\overline{y})$.
 
 \[\overline{x}_G=\frac{\np{2011}+\np{2012}+\dots+\np{2015}}{5}=2013 \quad \overline{y}_G=\frac{\np{2721}+\np{2762}+\dots+\np{3090}}{5}=\np{2886.8}\]
 
 G~(2013~;~\np{2886.8})

 \item On décide de réaliser un ajustement affine du chiffre d’affaires en millions d’euros en
fonction de l’année par la droite D passant par le point G et d’équation : $y=mx-\np{213 712}$  où
$m$ est le coefficient directeur de la droite D.
\begin{enumerate}
\item  Calculons la valeur de $m$. Les coordonnées de G vérifient l'équation de la courbe;

 $\np{2886.8}=\np{2013} m -\np{213712}$ 
d'où $m=\dfrac{\np{2886.8}+\np{213712}}{\np{2013}}=\np{107.6}$.
\item  La droite D est tracée sur le graphique de l’annexe.
\end{enumerate}
\item On admet que cet ajustement reste valable jusqu’en 2025.
\begin{enumerate}
\item  Donnons une estimation du chiffre d’affaires du marché du chocolat durant l’année 2019. 

Pour ce faire, remplaçons $x$ par 2019 dans l'équation de D. 

$y=\np{107.6}\times \np{2019}-\np{213 712}=\np{3532.4}$

Une estimation du chiffre d'affaires du marché du  chocolat est de \np{3532.4} millions d'euros.
\item Déterminons l'année au cours de laquelle  nous pouvons prévoir que le chiffre d’affaires du marché du chocolat
vendu en France dépassera 4 milliards d’euros.

 Résolvons  $\np{107.6}x-\np{213 712}>\np{4000}$.

$\np{107.6}x-\np{213 712}>\np{4000}\qquad  x>\dfrac{\np{4000}+\np{213 712}}{\np{107.6}}\approx \np{2023.34}$.

Au cours de l'année 2023 le chiffre d'affaires dépassera les quatre milliards d'euros.
\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le taux d'évolution $\mathcal{T}$ est défini par  $\dfrac{\text{valeur finale}-\text{valeur initiale}}{\text{valeur initiale}}$.
 
$\mathcal{T}=\dfrac{\np{3090}-\np{2721}}{\np{2721}}\approx \np{0.1356}$.

 Le taux global d’évolution du chiffre d'affaires entre 2011 et 2015 exprimé en pourcentage et arrondi à \np{0.1}\,\% est de \np{13.6}\,\%. 
		\item Déterminons le taux moyen annuel d’augmentation du chiffre d’affaires de la vente de chocolat en France entre 2011 et 2015.
	En appelant $t_m$ le taux moyen, le coefficient multiplicateur global est aussi $(1+t_m)^4$ puisque le chiffre d'affaires a subi 4 évolutions durant cette période. 

$(1+t_m)^4=\dfrac{\np{3090}}{\np{2721}}\approx\np{1.1356}$ par conséquent $t_m=\np{1.1356}^{\tfrac{1}{4}}-1\approx \np{0.03230}$.

Le taux d'évolution moyen  annuel du chiffre d'affaires entre 2011 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est  égal à \np{3.2}\,\%. 	
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Monsieur Xavier a lancé sa nouvelle activité début 2017. Sur une période de six jours, il
propose deux produits : la bûche pâtissière au chocolat et les macarons au chocolat.

Ses commandes de bûches pâtissières augmentent de 10 unités par jour et ses ventes de
macarons au chocolat doublent chaque jour.

Le premier jour, il enregistre 30 commandes de bûches pâtissières et 20 commandes de
macarons au chocolat.}

\begin{enumerate}
\item  En six jours de vente, le nombre total de commandes de bûches pâtissières a dépassé 300. 

Le premier jour il a 30 bûches pâtissières en commande, au bout du sixième jour :

$30+5\times 10=80$

Calculons la somme de ces commandes. Nous pouvons assimiler cette somme à la somme de six termes consécutifs d'une suite arithmétique de premier terme 30 et de raison 10. Par conséquent  $30+40+\dots +80=\dfrac{6(30+80)}{2}=330$.

Le nombre total de commandes a bien dépassé 300.
\item Calculons  le nombre de commandes de macarons enregistrées pendant cette période de six
jours.

Puisque le nombre de commandes de macarons double chaque jour, nous pouvons considérer le nombre de commandes quotidiennes comme les termes d'une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 20. La somme de ces termes est égale à $\dfrac{20\times(2^6-1)}{2-1}= 20\times 63=\np{1260}$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Voici le tableau décrivant les différentes tâches pour la préparation des macarons.

Pour réaliser cette recette, on part du principe que certaines tâches peuvent être réalisées
simultanément par plusieurs personnes.

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{9cm}|c|*{2}{>{\small \centering \arraybackslash}X|}}
\hline
\multicolumn{4}{|l|}{Tableau d’analyse des tâches}\\\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Tâche}& Durée (min)&Antécédents immédiats\\\hline
Monter les blancs d’\oe uf en neige et ajouter le sucre.&A& 15&\\\hline
Dans un bol à part, verser la poudre d’amande et parsemer de sucre glace.& B&\cellcolor{lightgray}&\\\hline
Mélanger les blancs en neige et la poudre d’amande et placer le tout dans une poche à douille.&C&\cellcolor{lightgray}&\cellcolor{lightgray}\\\hline
Façonner les macarons et laisser reposer.& D&\cellcolor{lightgray}&\cellcolor{lightgray}\\\hline
Préchauffer le four, thermostat 7. &E& 45&\\\hline
Cuisson : mettre au four pendant 25 minutes, puis faire
refroidir les macarons.& F &45 &E et D\\\hline
Faire fondre le chocolat au bain-marie.& G& 5&\\\hline
Ajouter la crème fraîche et placer le tout dans une poche à
douille.& H& 5& G\\\hline
Mettre la crème au chocolat au réfrigérateur.& I &10& H\\\hline
Souder par deux les macarons avec la crème au chocolat.& J& 5& F et I\\\hline
\end{tabularx}

\bigskip

Par exemple, la tâche F désigne la cuisson, elle a une durée de 45 minutes et ne peut débuter
qu’après l’exécution des tâches E et D.

Le graphe fourni en annexe 3 résume ce tableau : par exemple la flèche qui relie A à C indique
que la tâche A doit débuter avant la tâche C et que la tâche A dure 15 minutes.


\begin{enumerate}
\item  En vous appuyant sur le graphe fourni en annexe 3, nous avons complété  les cases grisées de
l’\textbf{annexe 2} correspondant aux tâches B, C et D.
\item Nous avons complété le graphe de cette recette donné en annexe 3.
\item Déterminons  le temps incompressible de cette recette, c’est-à-dire le temps minimum nécessaire
pour la réaliser. %Expliquez votre démarche.
En ajoutant les différents temps pour parcourir les différents chemins puisque certaines tâches
peuvent être effectuées par un autre ou simultanément
\begin{itemize}
\item de A à J : 15+15+20+45=95
\item de B à J : 5+15+20+45=90
\item de E à J : 45+45=90
\item de G à J : 5+5+10=20
\end{itemize}
 Toutes les tâches étant nécessaires, il faut donc 95+5 soit  100 minutes ou 1 h 40 min pour réaliser la recette. 




\end{enumerate}

\newpage

\framebox[14cm]{\textbf{Annexe à rendre avec la copie d’examen}}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Annexe 1} (exercice 1, partie A)

\begin{center}
\psset{xunit=0.8cm,yunit=0.005cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture}(-0.3,-100)(15.5,1800)
\multido{\n=0+0.2}{78}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,1700)}
\multido{\n=0+40}{43}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](-0.5,\n)(15.5,\n)}
\multido{\n=0+1}{16}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=darkgray](\n,0)(\n,1600)}
\multido{\n=0+200}{9}{\psline[linewidth=0.75pt,linecolor=darkgray](0,\n)(15.5,\n)}
\psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=1,Ox=2010,Oy=2600,Dy=200,]{->}(0,0)(15.5,1700)
\psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.6](1,121)(2,162)(3,161)(4,500)(5,490)
\uput[ur](0.5,1640){\footnotesize Chiffre d'affaires en millions d'euros }
\uput[d](14.5,130){\footnotesize Année}
 \psdot[dotstyle=square,dotscale=1.8,dotangle=45,fillcolor=red](3,288.6)
\uput[ur](3,288.6){\textcolor{red}{$G$}}
\psset{arrowscale=2}
\def\Func{x 107.6 mul 36 sub}
 \psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{15}{\Func}
 \psline[linewidth=0.95pt,linecolor=violet,linestyle=dashed,ArrowInside=-> ]{->}(!0 /x 13.3457 def \Func)(!13.3457 /x 13.3457 def \Func)(13.3457,0)
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage

\framebox[14cm]{\textbf{Annexes à rendre avec la copie d’examen}}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Annexe 2} (exercice 2, partie C)

\medskip

Tableau d’analyse des tâches : complétons les cinq\footnote{Le texte donne six} cases grisées.

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{9cm}|c|*{2}{>{\small\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\multicolumn{2}{|c|}{Tâche}& Durée (min)&Antécédents immédiats\\\hline
Monter les blancs d’\oe uf en neige et ajouter le sucre.&A& 15&\\\hline
Dans un bol à part, verser la poudre d’amande et parsemer de sucre glace.& B&\cellcolor{lightgray}5&\\\hline
Mélanger les blancs en neige et la poudre d’amande et placer le tout dans une poche à douille.&C&\cellcolor{lightgray}15&\cellcolor{lightgray}B et A\\\hline
Façonner les macarons et laisser reposer.& D&\cellcolor{lightgray}20&\cellcolor{lightgray}C\\\hline
\end{tabularx}

\vspace{2.5cm}

\textbf{Annexe 3} (exercice 2 partie C) graphe d’ordonnancement des tâches

\vspace{0.5cm}


\psset{unit=1.35cm,shortput=tablr}
\begin{pspicture}(-1,-1)(9,7)
\Cnode[radius=0.3cm](0,3){Z}\rput(0,3){\tiny Début}
\Cnode[radius=0.3cm](3,3){C}\rput(3,3){\large C}
 \Cnode[radius=0.3cm](6,3){F}\rput(6,3){\large F}
 \Cnode[radius=0.3cm](3,1.5){H}\rput(3,1.5){\large H}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,6){E}\rput(1.5,6){\large E}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,4.5){A}\rput(1.5,4.5){\large A}
\Cnode[radius=0.3cm](1.5,3){B}\rput(1.5,3){\large B}
 \Cnode[radius=0.3cm](1.5,1.5){G}\rput(1.5,1.5){\large G}
 \Cnode[radius=0.3cm](6,1.5){I}\rput(6,1.5){\large I}
\Cnode[radius=0.3cm](4.5,3){D}\rput(4.5,3){\large D}
\Cnode[radius=0.3cm](7.5,2.25){J}\rput(7.5,2.25){\large J}
\Cnode[radius=0.3cm](9,2.25){Y}\rput(9,2.25){Fin}

\ncline{->}{B}{C}^{5}\ncline{->}{C}{D}^{15}\ncline{->}{D}{F}^{20}\ncline{->}{F}{J}^{45}\ncline{->}{J}{Y}^{5}
 \ncline{->}{Z}{A} \ncline{->}{Z}{B}\ncline{->}{Z}{G} \ncline{->}{Z}{E}
 \ncline{->}{G}{H}^{\textcolor{violet}{5}}\ncline{->}{H}{I}^{\textcolor{violet}{5}}\ncline{->}{I}{J}^{10}
\ncline{->}{A}{C}^{15}\ncline{->}{E}{F}^{\textcolor{violet}{45}}
\end{pspicture}
\end{document}