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% tapuscrit Denis Vergès
% corrigé François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
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\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%%           le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STHR -- corrigé}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{4 septembre 2020}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{ \textbf{\decofourleft~\Large Corrigé du baccalauréat STHR Antilles-Guyane ~\decofourright\\[5pt]  4 septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}  

\medskip

Ces dernières années, la cuisine japonaise a connu un énorme essor en dehors du Japon. Une étude du ministère japonais de l'Agriculture, des Forêts et de la Pêche a permis d'obtenir les données suivantes :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&\multicolumn{3}{c|}{Nombre de restaurants de cuisine japonaise}\\ \cline{2-4}
\multicolumn{1}{c|}{~}	&Année 2013	&Année 2015&Taux d'évolution de 2013 à 2015\\ \hline
Monde (hors Japon)		& \np{55000}		& \np{89000} &\\ \hline
Europe uniquement		& \np{5500} & \np{10555} &91,9\,\%\\ \hline
\multicolumn{4}{r}{\footnotesize \emph{Ministère japonais de l'Agriculture, des Forêts et de la Pêche}}\\
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Comparer, en justifiant, le taux d'évolution du nombre de restaurants de cuisine japonaise de 2013 à 2015 en Europe et dans le monde.
Le taux d'évolution du nombre de restaurants de cuisine japonaise de 2013 à 2015 dans le monde est
$\dfrac{\np{89000} - \np{55000}  }{\np{55000} }\times 100 \approx 61,8\,\%$.

Il est donc inférieur à celui de l'Europe.

\item %Montrer que le taux d'évolution moyen annuel du nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe entre 2013 et 2015 est d'environ 38,5\,\%.
Il y a 2 années entre 2013 et 2015, et le pourcentage d'augmentation est de $91,9\,\%$. 

Le taux d'évolution moyen annuel du nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe entre 2013 et 2015 est le nombre $t$ tel que
$\left (1+\dfrac{t}{100} \right )^2= 1+\dfrac{91,9}{100}$.

Donc $1+\dfrac{t}{100} = \ds\sqrt{1,919}$ soit $t= \left ( \ds\sqrt{1,919}-1\right )\times 100 \approx 38,5$.

Le taux d'évolution moyen annuel du nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe entre 2013 et 2015 est donc de $38,5\,\%$.

\item On considère que le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe continue de croître de 38,5\,\% tous les ans à partir de l'année 2015. 

On note $u_n$ le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe durant l'année $2015 + n$ sous cette hypothèse. 
On a $u_0 = \np{10555}$.

%Par la suite, tous les résultats seront arrondis à l'unité.

\smallskip

	\begin{enumerate}
		\item $u_1 = u_0 + u_0 \times \dfrac{38,5}{100}
		= \np{10555} + \np{10555}\times \dfrac{38,5}{100} \approx \np{14619}$
		
		\item %Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$. Quelle est la nature de la suite $\left(u_n\right)$ ? Donner sa raison.
Augmenter de $38,5\,\%$, c'est multiplier par $1+\dfrac{38,5}{100}$ soit $1,385$.\\
Donc pour tout $n$, $u_{n+1} = 1,385\times u_n$.

La suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $q=1,385$ et de 1\ier{} terme $u_0 = \np{10555}$.

		
		\item %Calculer $u_5$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
Pour tout $n$, $u_n=u_0\times q^n = \np{10555}\times 1,385^n$ donc
$u_5 = \np{10555}\times 1,385^5 \approx \np{53791}$.

$n=5$ correspond à l'année $2015+5$ soit 2020, donc on peut estimer à environ $\np{53791}$ le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe en 2020.
		
		\item On souhaite déterminer l'année à partir de laquelle le nombre de restaurants de cuisine japonaise en Europe dépassera les \np{25000} établissements.
		
On complète l'algorithme suivant pour qu'à la fin de son exécution la variable A donne la réponse à cette question.

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabular}{l}
$U \gets \np{10555}$\\
$A \gets 2015$\\
Tant que $\blue U \leqslant \np{25000}$\\
\qquad $U \gets \blue U\times 1,385$\\
\qquad $A \gets A + 1$\\
Fin Tant que\\ 
\end{tabular}
}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}

\medskip

La boutique d'un hôtel de style japonais vend des bentô (boîtes compartimentées contenant les mets d'un repas) faits maison. 

On note $f(x)$ le coût de fabrication, en euros, de $x$ bentô.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On a représenté la fonction $f$:

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-1,-5)(20,85)
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,85)}
\multido{\n=0+5}{18}{\psline[linewidth=0.2pt,linecolor=lightgray](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=30,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(20,85)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{20}{x dup mul 0.2 mul 0.4 x mul sub 9.2 add}%%% décalage de 30 en y
\uput[u](19.5,0){$x$} %\uput[r](0,83){$y$}
\uput[d](17.2,-5){Nombre de bentô}
\uput[r](0,82){Coût de fabrication}
%%%%%%%%%% correction
\psset{linestyle=dashed,linecolor=red}
\psline(10,0)(10, 25.2)(0,25.2) \uput*[l](0,25.2){\red $55~$}
\psline(0,70)(18.46,70)(18.46,0) \uput*{9pt}[d](18,0){\red $18$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item À l'aide du graphique, on peut estimer le coût de fabrication de $10$ bentô à 55~\euro.
\item D'après le graphique, le nombre maximal de bentô que la boutique peut préparer chaque jour si son budget quotidien ne doit pas dépasser $100$~euros est 18.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur [1~;~20] par 
$f(x) = 0,2x^2 - 0,4x + 39,2$.

 Le coût unitaire d'un bentô est donné par :
$g(x) = \dfrac{f(x)}{x}$.

\smallskip

\begin{enumerate}
\item $g(x) = \dfrac{0,2x^2 - 0,4x + 39,2}{x} = \dfrac{0,2x^2}{x} - \dfrac{0,4x}{x} + \dfrac{39,2}{x} = 0,2x - 0,4 + \dfrac{39,2}{x}$

\item $g'(x) = 0,2 - 0 + 39,2\times \dfrac{-1}{x^2} = 0,2 - \dfrac{39,2}{x^2} = \dfrac{0,2x^2-39,2}{x^2}$

\item On admet que $g'(x)$ peut s'écrire sous la forme:
$g'(x) = \dfrac{0,2(x - 14)(x + 14)}{x^2}$. 

	\begin{enumerate}
		\item On étudie le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle [1~;~20]:
		
\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & 14 & \esp  & 20 \\
\hline
x+14 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &    \\
\hline
x-14 &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &    \\
\hline
x^2 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &    \\
\hline
g'(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &    \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}
		
		\item La fonction $g$ est donc décroissante sur l'intervalle [1~;~14], puis croissante sur l'intervalle [14~;~20].

	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $g$ admet un minimum pour $x=14$; il faut donc préparer 14  bentô chaque jour pour que le coût unitaire soit minimal.
		
		\item% Quel est le coût total de fabrication de ce nombre de bentô ?
Le coût unitaire minimal est $g(14)=5,2$~\euro.

Le coût total de fabrication de ces 14 bentô est de $14\times 5,2$ soit $72,80$~\euro.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le propriétaire du restaurant \og Aux $100$ sushis \fg{} a répertorié ses bénéfices lors des années précédentes dans le tableau ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année 					&2014 	&2015	&2016 	&2017	&2018 	&2019\\ \hline
Rang de l'année $x_i$	&1 		&2		&3		&4		&5		&6\\ \hline
Bénéfice $y_i$
(en milliers d'euros)	&67,4 	&69,3	&72,9 	&73,1	&74,8 	&78,2\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente ci-dessous, le nuage de points associé au bénéfice annuel de ce restaurant.

\begin{figure}[!h]
\centering
\psset{xunit=0.9cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-0.5,63)(13,92)
\psgrid[,xunit=0.9cm,yunit=0.2cm,gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=gray!50,subgridcolor=lightgray!50](0,128)(13,184)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Oy=64,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,64)(0,64)(13,92)
%%%% corrigé
{
\psset{linecolor=blue,dotstyle=x,dotscale=1.5}
\psdots(1,67.4)(2,69.3)(3,72.9)(4,73.1)(5,74.8)(6,78.2)
\psplot[plotpoints=1000]{0}{13}{2 x mul 65.5 add}
}
\psdots(3,71.5)(10,85.5) 
\uput[dr](3,71.5){A} \uput[dr](10,85.5){B}
\psline[linecolor=red, linestyle=dashed](12,64)(12,89.5)(0,89.5)
\uput*{5pt}[l](0,89.5){\red \footnotesize 89.5}
\end{pspicture}
\end{figure}

\item On détermine à la calculatrice et par la méthode des moindres carrés une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ de ce nuage:
$y=2,02x+65,547$

\item On utilisera par la suite l'ajustement affine suivant : $y = 2x + 65,5$.
	\begin{enumerate}
		\item Si $x=3$, alors $y=71,5$. Si $x=10$, alors $y=85,5$.
		
		On trace la droite passant par les points A\,$(3~;~71,5)$ et B\,$(10~;~85,5)$.
		 
		\item On admet que cet ajustement reste valable pour les années suivantes.\\
		 L'année 2025 correspond à $x=12$.%, quel bénéfice ce restaurateur peut-il prévoir pour l'année 2025 ?

Pour $x=12$, $y=2\times 12+ 65,5$ donc $y=89,5$.

En 2025 le restaurateur peut prévoir un bénéfice de $89,5$ milliers d'euros.	
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une échoppe japonaise propose un service de plats à emporter. Elle est très célèbre pour ses ramen au porc (spécialité culinaire japonaise) et pour la réduction faite aux clients qui apportent leur propre bol.

Durant l'année 2019, 71\,\% des commandes à emporter étaient des ramen au porc; pour 43\,\% de celles-ci, le bol était apporté par le client. Pour les commandes ne concernant pas des ramen au porc, le restaurateur a fourni un bol dans 65\,\% des cas.

On choisit au hasard l'une des commandes de l'année 2019. On note:

\setlength\parindent{12mm}
$R$ l'évènement \og il s'agit d'une commande de ramen au porc \fg{} ;

$B$ l'évènement \og le client a apporté son propre bol pour la commande \fg.
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre pondéré décrivant cette situation:

\begin{center}
\bigskip
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=3cm,nrot=:U,treesep=1.3cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$R$} \naput{0,71}}
	{\TR{$B$} \naput{\blue $0,43$}
	\TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue $1-0,43=0,57$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{R}$} \nbput{\blue $1-0,71=0,29$}}
	{\TR{$B$} \naput{\blue $1-0,65=0,35$}
	\TR{$\overline{B}$} \nbput{0,65}
	}
}
\bigskip
\end{center}

\item $P(R \cap B) = P(R)\times P_R(B) =0,71\times 0,43 = \np{0,3053} $.

On peut dire qu'il y a $30,53\,\%$ des clients qui prennent du ramon au porc et qui apportent leur bol.

\item $P(B) = P(R\cap B) + P\left (\overline{R}\cap B\right )
=  \np{0,3053}  + 0,29\times 0,35
= \np{0,4068}$

\item On choisit une commande au hasard parmi celles où le client a apporté son propre bol. 

La probabilité que la commande soit des ramen au porc est:\\
$P_B(R) = \dfrac{P(R\cap B)}{P(B)} = \dfrac{\np{0,3053}}{\np{0,4068}}
\approx 0,75$.

\end{enumerate}

\end{document}