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%tapuscrit Denis Vergès
%Corrigé François Hache
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STHR},
pdftitle = {Nouvelle Calédonie - 26 novembre 2019},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  Sciences et Technologies de l’Hôtellerie et de la Restauration}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small{26 novembre 2019}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}{\large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STHR~\decofourright\\[5pt] Nouvelle Calédonie  -- 26 novembre 2019}}
\end{center}

%\vspace{0,25cm}
%
%\emph{L'usage de tout modèle de calculatrice, avec ou sans mode examen, est autorisé.\\
%Le candidat doit traiter les trois exercices.\\
%Le candidat est invité à faire figurer toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 8 points}  

%\vspace{0.25cm}
%
%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude a été menée depuis l'année 2007 sur le chiffre d'affaires annuel d'un club de vacances. Les résultats, exprimés en millions d'euros, ont été répertoriés dans le tableau ci-dessous avec indice de base $100$ en 2007.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|m{3.2cm}|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A					&B		&C		&D		&E		&F		&G		&H		&I		&J\\ \hline
1	& Année				&2007 	&2008 	&2009 	&2010 	&2011 	&2012 	&2013 	&2014 	&2015\\ \hline
2	& Chiffre d'affaires&21,7 	&23,4 	&22,7 	&27,8 	&25,1 	&28,2 	&32,5 	&37,6 	&40\\ \hline
3	& Indice			&100	&		&		&		&		&		&		&		&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item L'indice du chiffre d'affaires en 2015 est 
$\dfrac{40}{21,7}\times 100 \approx 184,3$.

%\emph{On arrondira le résultat au dixième}.

\item Parmi les quatre formules qui suivent on cherche celle que l'on peut écrire en cellule C3 et qui, par recopie vers la droite, permet de compléter la ligne 3.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Formule 1 &Formule 2 &Formule 3 &Formule 4\\ \hline
=(C2/\$B\$2)*\$B\$3& =(C2$-$B2)/B2 &=C2/B2 &=(\$C\$2/\$B\$2)*\$B\$3\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Il s'agit de la formule 1: \fbox{\texttt{=(C2/\$B\$2)*\$B\$3}}

\item% Montrer que le taux d'évolution du chiffre d'affaires entre 2007 et 2015, arrondi à 0,1\,\%, est égal à 84,3\,\%.
On passe de $21,7$ à $40$ millions en multipliant par $\dfrac{40}{21,7}$ ce qui fait un taux d'évolution de 

$\left (\dfrac{40}{21,7} -1\right )\times 100$ soit environ $84,3\,\%$.

\item La période entre 2007 et 2015 correspond à $8$ années.

Le taux d'évolution annuel moyen du chiffre d'affaires entre 2007 et 2015, arrondi à $0,1$\,\%, est donc:
$\left (\dfrac{40}{21,7}\right )^{\frac{1}{8}} - 1\approx 0,079$ ce qui correspond en pourcentage à $7,9$\,\%.

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On a constaté que depuis 2015 le chiffre d'affaires augmentait chaque année de $3$\,\%.

On note $u_n$ le chiffre d'affaires, en millions d'euros, de l'année $2015 + n$, avec $n$ entier naturel.

On a ainsi $u_0 = 40$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_1 =u_0+ u_0\times \dfrac{3}{100} = 41,2$

\item% Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique. Préciser sa raison.
Ajouter 3\,\%, c'est multiplier par $1+\dfrac{3}{100}$ soit $1,03$; la suite $(u_n)$ est donc géométrique de raison $1,03$.

\item% Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $(u_n)$ est une suite géométrique de raison $q=1,03$ et de premier terme $u_0=40$ donc, pour tout entier $n$, $u_n=u_0\times q^n = 40\times 1,03^n$.

\item $2019 = 2015+4$ donc le chiffre d'affaires en 2019 est  en millions d'euros, $u_4 = 40\times 1,03^4\approx 45$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On complète l'algorithme ci-dessous afin de déterminer le rang $n$ à
partir duquel $u_n$ est supérieur à 50.

\begin{center}
\fbox{
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{X}
$N \gets 0$\\
$U\gets {\blue 40}$\\
Tant que $U {\blue \leqslant 50}$\\
\hspace{1.25cm}$N \gets N+1$\\
\hspace{1.25cm}$U \gets {\blue 1,03 \times U}$\\
Fin tant que\\ 
\end{tabularx}
}
\end{center}
		\item La variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme prend la valeur $8$.% Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

C'est donc en $2015+8$ soit en 2023 que le chiffre d'affaires dépassera pour la première fois 50 millions d'euros.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}  

%\vspace{0.25cm}
%
%Les parties A et B sont indépendantes

\medskip

Une restauratrice remarque une baisse de fréquentation de son établissement et décide de diversifier sa carte.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Afin de déterminer le type de plat à proposer, elle effectue une enquête dans les rues de son quartier.

Parmi les réponses:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item 42\,\% des personnes interrogées souhaitent une offre bio dans les restaurants du
quartier ;
\item 25\,\% de celles qui souhaitent une offre bio mangent de la viande;
\item 20\,\% de celles qui ne souhaitent pas une offre bio ne mangent pas de viande.
\end{itemize}

\medskip

On choisit une personne au hasard parmi celles qui ont été interrogées. 

On note:

\begin{itemize}[label=$\bullet~~$]
\item $B$ l'évènement : \og la personne choisie souhaite une offre bio \fg. 
\item $V$ l'évènement : \og la personne choisie mange de la viande\fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item On complète l'arbre donné dans le texte:

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,levelsep=4cm,nrot=:U]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\naput{\blue$0,42$}}
	{\TR{$V$} \naput{\blue$0,25$}
	\TR{$\overline{V}$} \nbput{\blue$1-0,25=0,75$}
	}
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline{B}$}\nbput{\blue$1-0,42=0,58$}}
	{\TR{$V$} \naput{\blue$1-0,20=0,80$}
	\TR{$\overline{V}$} \nbput{\blue$0,20$}
	}	
}
\end{center}

\item  
	\begin{enumerate}
		\item L'évènement $B \cap V$ correspond à \og la personne choisie souhaite une offre bio ET mange de la viande \fg{}.
		
$P\left (B \cap V\right ) = P(B)\times P_{B}(V) = 0,42\times 0,25 = 0,105$
		 
		\item D'après la formule des probabilités totales:
		
		 $P(V) = P(B\cap V) + P\left ( \overline{B}\cap V\right ) = 0,105 + 0,58\times 0,80 =  0,569$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
La restauratrice décide d'ajouter un menu bio à sa carte. Elle estime qu'elle ne peut pas préparer plus de $60$ ~menus bio dans une journée. Le coût unitaire, en euros, de ce menu bio est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~60] par
$f(x) = 0,005x^2 - 0,4x + 12$,

où $x$ est le nombre de menus bio préparés et vendus dans la journée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, la restauratrice prépare et vend $20$ menus bio.
	\begin{enumerate}
		\item Le coût unitaire, en euros, de ce menu bio est $f(20)=6$.
		\item La restauratrice vend chaque menu bio $10$ euros. Le bénéfice réalisé pour
un menu bio vendu est, en euros, de $10-6=4$.
	\end{enumerate}
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) = 0,005\times 2x -0,4 = 0,01x-0,4$
		
		\item On résout dans l'intervalle [1~;~60], l'équation $0,01x - 0,4 = 0$:
		
$0,01x - 0,4 = 0 \iff 0,01x=0,4 \iff x = \dfrac{0,4}{0,01} \iff x=40$		
		
		\item On établit le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [1~;~60].
		
$f(1)\approx 11,61$; $f(40)=4$; $f(60)=6$

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 1 & \esp & 40 & \esp & 60 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{11,61}  &  &  &  & \Rnode{max2}{6}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{4} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		
		
		\item Le nombre de menus bio à préparer et à vendre pour que le coût
unitaire soit minimal est donc 40.
		\item Le coût unitaire minimal est de 4~\euro.
	\end{enumerate}
\item  La restauratrice souhaite connaitre le nombre de menus à préparer et à vendre pour que son bénéfice soit maximal. Pour cela elle a réalisé une feuille de calcul, \textbf{donnée en annexe}.
%Répondre au problème posé par la restauratrice à l'aide de la feuille de calcul.

La colonne donnant $R(x)$ correspond à la recette, et la colonne donnant $R(x)-x\times f(x)$ correspond au bénéfice.

Le bénéfice est donc maximum pour une préparation et une vente de 51 repas (voir tableau en annexe). Ce bénéfice maximal est d'environ $275,15$~\euro.

\item  Le bénéfice n'est pas maximal lorsque le coût unitaire est minimal car quand le coût unitaire est minimal (pour $x=40$), le bénéfice n'est que de 240~\euro.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}  

\vspace{0.25cm}

On a représenté sur le graphe ci-dessous 8 villes que l'on note A, B, C, D, E, F, G et H. Une arête symbolise une route entre deux villes sur laquelle est indiqué le temps moyen de parcours exprimé en minutes.

Par exemple, le temps moyen de parcours entre les villes A et B est de $7$~minutes.
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(8,6.25)
\cnodeput(0,4){A}{A}\cnodeput(2,6){B}{B}
\cnodeput(4,4){C}{C}\cnodeput(0,0){D}{D}
\cnodeput(4,0){E}{E}\cnodeput(8,4){F}{F}
\cnodeput(8,0){G}{G }\cnodeput(2,2){H}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{7}
\ncline{C}{A}\ncput*{6}
\ncline{A}{D}\ncput*{5}
\ncline{A}{H}\ncput*{3}
\ncline{B}{C}\ncput*{6}
\ncline{C}{E}\ncput*{4}
\ncline{C}{F}\ncput*{5}
\ncline{H}{C}\ncput*{5}
\ncline{D}{H}\ncput*{4}
\ncline{D}{E}\ncput*{12}
\ncline{E}{G}\ncput*{6}
\ncline{H}{E}\ncput*{10}
\ncline{F}{G}\ncput*{7}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

%\textbf{Les questions 1. et 2. sont indépendantes.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Un chemin partant de A, passant une et une seule fois par chaque ville et se terminant en A est, par exemple: A -- B -- C -- F -- G -- E -- H -- D -- A

\item Un livreur d'un service de livraison à domicile doit se rendre de la ville A à la ville G. 

Le parcours le plus rapide est:
A $\stackrel{6}{\longrightarrow}$ 
C $\stackrel{4}{\longrightarrow}$ 
E $\stackrel{6}{\longrightarrow}$ G

Sa durée est de 16 minutes.


\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe de l'exercice 2}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|m{1cm}|c|c|c|>{\centering \arraybackslash}X|}\cline{1-4}\cline{6-9}
 $x$&$f(x)$&Recette $R(x)$&$R(x) - x \times  f(x)$&&$x$&$f(x)$&Recette $R(x)$&$R(x) - x \times  f(x)$
 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
1&11,605&10& 	$-1,605	$&	&31	&4,405	&310&173,445 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
2&11,22	& 20	&$-2,44$	&	&32	&4,32	&320&181,76 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
3&10,845& 30	&$-2,535$	&	&33	&4,245	&330&189,915 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
4&10,48	& 40	&$-1,92$	&	&34	&4,18	&340&197,88 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
5&10,125& 50	&$-0,625$	&	&35	&4,125	&350&205,625 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
6&9,78	& 60&1,32		&	&36	&4,08	&360&213,12 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
7&9,445& 70&3,885		&	&37	&4,045	&370&220,335 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
8&9,12& 80&7,04			&	&38	&4,02 	&380&227,24 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
9&8,805& 90&10,755		&	&39	&4,005	&390&233,805 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
10&8,5& 100&15			&	&$\red 40$	&$\red 4$ 		&$\red 400$&$\red 240$ \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
11&8,205 &110&19,745	&	&41	&4,005 	&410&245,795 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
12&7,92& 120&24,96 		&	&42	&4,02	&420&251,16 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
13&7,645& 130&30,615	&	&43	&4,045	&430&256,065 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
14&7,38& 140&36,68		&	&44	&4,08 	&440&260,48 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
15&7,125& 150&43,125	&	&45	&4,125	&450&264,375 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
16&6,88& 160&49,92		&	&46	&4,18 	&460&267,72 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
17&6,645& 170&57,035	&	&47	&4,245 	&470&270,485 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
18&6,42& 180&64,44		&	&48	&4,32 	&480&272,64 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
19&6,205& 190&72,105	&	&49	&4,405	&490&274,155 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
20&6& 200&80 			&	&50	&4,5	&500&275 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
21&5,805&210&88,095		&	&$\blue 51$	&$\blue 4,605$ 	&$\blue 510$ &$\blue 275,145$ \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
22&5,62& 220&96,36		&	&52	&4,72	&520&274,56 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
23&5,445& 230&104,762	&	&53	&4,845	&530&273,215 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
24&5,28& 240&113,28		&	&54	&4,98	&540&271,08 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
25&5,125& 250&121,875	&	&55	&5,125	&550& 268,125 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
26&4,98& 260&130,52		&	&56	&5,28	&560&264,32 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
27&4,845& 270&139,185	&	&57	&5,445	&570&259,635 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
28&4,72& 280&147,84		&	&58	&5,62	&580&254,04 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
29&4,605& 290&156,455	&	&59	&5,805	&590&247,505 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
30&4,5&300&165			&	&60	&6		&600&240 \\ \cline{1-4}\cline{6-9}
\end{tabularx}
\end{center}
\end{document}