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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 septembre 2014}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\[4pt]
Métropole 11 septembre 2014\hspace{1em} \\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip
{\footnotesize 
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\medskip
 
\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip
 }
\begin{enumerate}
\item La forme exponentielle du nombre complexe $z_{1} = \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{6}$ est :

	\medskip
	
 \begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \ovalbox{$z_{1} = 2\sqrt{3}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $z_{1} = 2\sqrt{6}\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{4}}$}&\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$z_{1} = 6\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$} &\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$z_{1} = \sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{7\pi}{4}}$ }
\end{tabularx}
\medskip
		
\item On considère les nombres complexes $z_{1} = \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{6}$ et $z_{2} = - \sqrt{6} + \text{i}\sqrt{6}$.
 
Le nombre complexe $z_{2}$ est égal à :
 
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\overline{z_{1}}$  }&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- z_{1}$ } &\textbf{c.~~}\ovalbox{$- \overline{z_{1}}$ } &\textbf{d.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\text{i} + z_{1}$}
\end{tabularx}
	 
\item La fonction $f$ est définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$. 

Sa courbe représentative est donnée ci-dessous : 

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1,-0.5)(4.5,2.2)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-0.9,-0.5)(4.5,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.4}{4.5}{1 x div}
\uput[dl](0,0){O}
\pscustom[fillstyle=vlines,hatchcolor=cyan,hatchsep=1pt]{
\psline[linewidth=0.01ptlinecolor=cyan](1,1)(2,1)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,plotpoints=4000]{1}{2}{1 x div}
\psline (2,0.69931471)(2,1)
}

\end{pspicture*}
\end{center}

Le domaine du plan défini comme l'ensemble des points $M$ de coordonnées $(x~;~y)$ qui  vérifient $1 \leqslant x \leqslant 2$ et $\dfrac{1}{x} \leqslant y \leqslant 1$ a pour aire (exprimée en unité d'aire) :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\ln 2$}&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\dfrac{1}{2}$} &\textbf{c.~~}\ovalbox{$1 - \ln 2$} &\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{ $1 - \text{e}^2$}.
\end{tabularx}

\item La tangente au point d'abscisse $\dfrac{1}{2}$ à la courbe représentative de la fonction $f$, définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \dfrac{1}{x}$, a pour équation :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}\ovalbox{ $y = - 4x + 4$ }&\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = 4x + 4$}  &\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = - 4x - 4$ }&\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$y = 4x - 4$ }
\end{tabularx}

\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
 {\footnotesize
Une équipe aérospatiale se propose d'envoyer un satellite de $10$~tonnes en orbite autour de la Terre par l'intermédiaire d'une fusée à un seul étage. Cette fusée a une masse à vide, c'est-à-dire sans carburant ni satellite, de $40$~tonnes.
 
L'éjection des gaz permet à la fusée de décoller et de s'élever dans les airs jusqu'à la consommation totale du propergol, carburant contenu dans ses réservoirs. La vitesse d'éjection des gaz est $V_{\text{e}} = \np[m\cdot s^{-1}]{3200}$.
 
La vitesse finale de la fusée, vitesse atteinte lorsque les réservoirs sont vides, varie en fonction de la masse de propergol contenue au départ dans les réservoirs. Elle doit être de $\np[m\cdot s^{-1}]{8000}$ pour permettre la mise en orbite souhaitée.
 
Le but de l'exercice est de déterminer la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre cette mise en orbite du satellite.
 
On note $x$ la masse, en tonnes, de propergol contenu au décollage dans les réservoirs de la fusée. La masse $x$ est comprise entre 100 et 900 tonnes. 

La masse totale de la fusée est alors $(x + 50)$~tonnes.
 
Il est établi que la vitesse finale de la fusée, $f(x)$, exprimée en m$\cdot s^{-1}$, est donnée par
 
\[f(x) = V_{\text{e}} \times [\ln(x + 50) - \ln 50]\]
 
où $x$ est un réel de l'intervalle [100~;~900].
}
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrons que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [100~;~900], $f(x) = \np{3200} \times \ln (0,02x + 1)$.

D'une part par hypothèse $V_{\e}=\np{3200}$, d'autre part $\ln(x + 50) - \ln 50=\ln\dfrac{x+50}{50}=\ln \left(\dfrac{1}{50}x+1\right)=\ln (\np{0.02}x+1)$.

 Nous avons bien $f(x) = \np{3200} \times \ln (0,02x + 1)$.
 
{\footnotesize On pourra choisir l'une ou l'autre des expressions de $f(x)$ pour répondre à chacune des questions suivantes.} 
\item  	
	\begin{enumerate}
		\item Si les réservoirs contiennent au décollage 100~tonnes de propergol, la vitesse finale de la fusée est donnée par $f(100)$. \hspace{2em}
			$f(100)=\np{3200}\times \ln(2+1) =\np{3200}\times \ln 3\approx \np{3515.56}$
		
		La vitesse finale  de la fusée est d'environ $\np[m\cdot s^{-1}]{3516}$
		
		\item Avec 400~tonnes de propergol au décollage,  la vitesse finale de la fusée est donnée par $f(400)$.

 $f(400) = \np{3200} \times \ln (0,02\times 400 + 1)= \np{3200} \times \ln (9)=\np{6400}\times \ln 3 \approx \np{7031.12}$. 
		
	Avec 400 tonnes de propergol au décollage, la vitesse finale  de la fusée est d'environ $\np[m\cdot s^{-1}]{7031}$.

 Il en résulte que la mise en orbite n'est pas possible. 
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculons la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$. 

En utilisant la première forme, $f'(x)=\np{3200}\times \dfrac{1}{x+50}$ car $\left(\ln u\right)'=\dfrac{u'}{u}$.
		\item Déterminons  le sens de variation de la fonction $f$.

\'Etudions d'abord le signe de $f'(x)$. Pour tout $x \in [100~;~900],\  f'(x)> 0$ comme produit et quotient de nombres réels strictement positifs.

Si pour tout $x\in I,\:f'(x)> 0$ alors $f$ est strictement  croissante sur $I$. La fonction $f$ est par conséquent strictement croissante sur [100~;~900].
	\end{enumerate} 
\item Déterminons la masse de propergol à mettre dans les réservoirs pour permettre la mise en orbite souhaitée. Pour cela, la vitesse finale doit être de $\np[m\cdot s^{-1}]{8000}$ 

Résolvons alors $f(x)=\np{8000}$.
\begin{align*}
 \np{3200} \times \ln (0,02x + 1)&=\np{8000}\\ \ln(0,02x+1)&=2,5 \\ 0,02x+1&=\e^{2,5}\\ 0,02x &=\e^{2,5}-1\end{align*} 

$ x=50(\e^{2,5}-1)\approx 559,125$.

Pour permettre la mise en orbite souhaitée, la masse de propergol à mettre au départ doit être d'environ $\np[tonnes]{560}$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}
 
\medskip
 
Chloé, âgée de 15 ans au 1\up{er} janvier 2014, réside dans une agglomération française.
 
Pour anticiper le financement de son permis de conduire, elle décide de placer sur un produit d'épargne ses $600$~euros d'économies à partir du 1\up{er} janvier 2014.

\smallskip
 
\textbf{Information 1 :} conditions de souscription du livret jeune

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.7\linewidth}{|l X|} \hline
$\bullet~~$&Montant maximum de placement: \np{1600} euros\\ 
$\bullet~~$&Taux d'intérêt annuel de 2,75\,\%\\ 
$\bullet~~$&Avoir entre 12 et 25 ans\\ 
$\bullet~~$&Résider en France\\ 
$\bullet~~$&Montant minimum à l'ouverture : 10~euros\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%\newpage 
\textbf{Information 2 :} coût moyen du permis de conduire

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{12.5cm}|} \hline 
La loi impose un minimum de $20$~heures de conduite avant de se présenter au permis.\\ 
Une enquête de la CLCV (Consommation, Logement et Cadre de Vie) publiée en août 2013  et menée auprès de $447$~auto-écoles souligne que ce forfait de $20$~heures est facturé du simple au double selon les régions.\\ Par ailleurs, même si le minimum imposé par la loi est de vingt heures de conduite, il en faut plutôt trente en moyenne.\\ 
Ainsi, en comptant les frais de dossier, il est préférable de prévoir un budget de \np{1500}~euros.\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
 
\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Chloé remplit les conditions permettant de souscrire au livret jeune.
	\begin{description}
	\item[] Son âge est bien compris entre 12 et 25 ans
	\item[] Elle réside en France. 
	\item[] Son placement est supérieur à 10 euros
	\end{description}
 \item Elle n'aura pas  une somme suffisante disponible au 1\up{er} janvier 2017 pour passer son permis si elle choisit de souscrire au livret jeune.  Le placement, chaque année est multiplié par 1,0275 coefficient multiplicateur associé à une hausse de 2,75\,\%. 

Au 1\up{er} janvier 2017, Chloé disposera de \np{650.87} euros ($600\times \np{ 1.0275}^3=\np{650.87}$).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Chloé aura besoin de \np{1500}~euros pour financer son permis. Ses parents lui conseillent de verser chaque mois sur le livret la somme supplémentaire de 25~euros, à partir du 1\up{er} février 2014. Ils lui expliquent que le taux annuel du livret jeune correspond à un taux mensuel de 0,226\,\%.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item {\footnotesize Ses parents lui présentent un extrait d'une page de tableur qui simule l'évolution d'épargne :} 
{\footnotesize
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&A& B\\ \hline 
1 &01/01/2014 &600,00~\euro\\ \hline 
2 &01/02/2014 &626,36~\euro\\ \hline 
3 &01/03/2014 &652,77~\euro\\ \hline 
4 &01/04/2014 &679,25~\euro\\ \hline 
5 &01/05/2014 &705,78~\euro\\ \hline 
6 &01/06/2014 &732,38~\euro\\ \hline 
7 &\dots &\dots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 
 }
	\begin{enumerate}
		\item Justifions la formule à écrire en B2.
		
À un taux d'augmentation de \np{0.226}\,\% correspond un coefficient multiplicateur de \np{1.00226}. Chaque mois la somme précédente (ici B1) est multipliée par ce coefficient multiplicateur et comme elle ajoute chaque mois 25 euros, la formule à saisir dans la cellule B2 est : \fbox{$= \np{1,00226} \times \text{B}1 + 25$}. 
		\item Déterminons la somme qui serait disponible sur le livret au 1\up{er} juillet 2014. 
		
		$\np{732.38}\times \np{1.00226}\approx \np{759.04}$. Au 1\up{er}juillet 2014, elle disposerait de \np{759.04} euros.
	\end{enumerate} 
\item {\footnotesize Chloé veut déterminer au bout de combien de mois elle aurait l'argent nécessaire pour financer son permis en suivant le conseil de ses parents. 

Elle décide de noter $u_{n}$ la somme, en euros, disponible le $n$-ième mois après l'ouverture du livret. Ainsi, $u_{0}$ vaut 600~euros.} 
	\begin{enumerate}
		\item Exprimons $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$. 
Nous avons justifié, lors de l'écriture de la formule, le passage d'un terme au suivant par conséquent 

$u_{n+1}=\np{1.00226}u_n+25$.
		
		
		\item {\footnotesize Chloé décide d'écrire l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline		 
\textbf{Variables}\\ 
\hspace{0,3cm}$n$ : un nombre entier naturel\\
\hspace{0,3cm}$u$ : un nombre réel\\ 
\textbf{Initialisation}\\ 
\hspace{0,3cm}Affecter à $n$ la valeur $0$\\ 
\hspace{0,3cm}Affecter à $u$ la valeur $600$\\ 
\textbf{Traitement}\\ 
\hspace{0,3cm} Tant que \ldots\ldots\\ 
		\hspace{0,6cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\ 
		\hspace{0,6cm}Affecter à $u$ la valeur \ldots\ldots\\ 
\hspace{0,3cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\ 
\hspace{0,3cm}Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
 }
%Trois lignes de l'algorithme comportent des pointillés. Recopier ces lignes et les compléter pour que Chloé puisse déterminer le nombre de mois cherché.
Complétons l'algorithme.

\begin{itemize}
\item [\textbullet] Tant que u < \np{1500}.
\item [\textbullet] Affecter à $u$ la valeur $\np{1.00226}*u+25$.\hspace{1em}{\footnotesize \emph{Il est préférable  d'éviter les multiplications implicites}}
\item [\textbullet] Afficher $u$.
\end{itemize}

		\item Au bout de 33 mois Chloé aura l'argent nécessaire pour financer son permis si elle suit les conseils de ses parents. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \newpage
%\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\medskip

Une entreprise de transport dispose d'un nombre important de camions. On admet que la distance quotidienne parcourue par chaque camion, exprimée en kilomètres, peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $500$ et d'écart type $40$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item La distance moyenne parcourue en un jour par un camion est de $\np[km]{500}$. 

Pour une loi normale, la moyenne est égale à l'espérance.
\item Déterminons la probabilité qu'un camion parcoure au moins $\np[km]{500}$ en un jour. $P(X>500)=1-P(X\leqslant 500)=\np{0.5}$.
\item Déterminons la probabilité qu'un camion parcoure entre $\np[km]{380}$ et $\np[km]{460}$~ en un jour. $P(380 \leqslant X \leqslant 460)=\np{0.1573}$.
\item Déterminons la probabilité qu'un camion parcoure plus de $\np[km]{460}$ en un jour.

 $ P(X>460)=1-P( X \leqslant 460)=\np{0.8414}$.
\item Le directeur de l'entreprise affirme qu'environ 95\,\% de ses camions parcourent entre $460$ et 540~km par jour. Le directeur a tort car $460=\mu-\sigma,\quad 540=\mu+\sigma$  et $P(\mu-\sigma\leqslant X \leqslant \mu+\sigma) \approx \np{0.68}$.
\end{enumerate}
\end{document}