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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Sujet aimablement fourni par Marie Paterski
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D / STL spécialité SPCL}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{28 novembre 2017}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 28 novembre 2017\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 
%
%Pour chacune des questions suivantes,
%une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.
%
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou
%l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.
%
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Une primitive de $f$ définie pour $x > 0$ par $f(x) = 3x + \dfrac{2}{x}$ est la fonction $F$ telle que :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}*{4}{>{}X}}
%\textbf{a.~~} $F(x) = 3x^2 + \ln \left(x^2\right)$&\textbf{b.~~} \fbox{$F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 2\ln (x)$}
%&\textbf{c.~~} $F(x) = 3 - \dfrac{2}{x^2}$&\textbf{d.~~} $F(x) = 6x - 2\ln (x)$
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{center}
\textbf{a.~~} $F(x) = 3x^2 + \ln \left(x^2\right)$ \hfill \textbf{b.~~} \fbox{$F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 2\ln (x)$}
\hfill \textbf{c.~~} $F(x) = 3 - \dfrac{2}{x^2}$ \hfill \textbf{d.~~} $F(x) = 6x - 2\ln (x)$
\end{center}

\begin{quote}
Si $F(x) = \dfrac{3x^2}{2} + 2\ln (x)$, alors $F'(x)=\dfrac{3}{2}\times 2x + 2\times \dfrac{1}{x} = 3x+\dfrac{2}{x}$.
\end{quote}

\item $\ln (128)$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\ln (2) + \ln (7)$ &\textbf{b.~~} \fbox{$7 \ln (2)$} &\textbf{c.~~} $2 \ln (14)$ &\textbf{d.~~} $\ln (120) + \ln (8)$.
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{quote}
$128=2^7$ donc $\ln(128) = \ln\big( 2^7 \big) = 7 \ln(2)$
\end{quote}

\item On considère le nombre complexe $z = 2\e^{\i\frac{\pi}{3}}$  où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$. Le cube de $z$ est égal à :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $6\i$ &\textbf{b.~~} \fbox{$- 8$} &\textbf{c.~~} $8$ &\textbf{d.~~} $-8\i$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{quote}
$\big( z \big)^3 = \left ( 2\e^{\i\frac{\pi}{3}} \right )^3 = \big(2\big)^3 \left (\e^{\i\frac{\pi}{3}}\right )^3
= 8 \e^{\i\frac{\pi}{3}\times 3} = 8\e^{\i\pi} = -8$ 
\end{quote}

\item L'équation $\e^{2x} = 3$ admet comme solution dans $\R$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{@{}*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{3}{2}$&\textbf{b.~~} \fbox{$\dfrac{1}{2}\ln (3)$}
&\textbf{c.~~} $\dfrac{3}{2}\text{e}$&\textbf{d.~~} $\ln (9)$
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{quote}
$\e^{2x} = 3 \iff 2x=\ln(3) \iff x = \dfrac{1}{2}\,\ln(3)$
\end{quote}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}
 
\medskip

Un kiosque numérique propose des magazines consultables sur tablette. Il avait \np{4000}
abonnés lors de son lancement.
Une étude commerciale montre que chaque année le taux de réabonnement est voisin de
70\,\% et que le nombre de nouveaux abonnés est d'environ \np{6000}.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On calcule le nombre d'abonnés une année après le lancement:\\
$\np{4000} \times 70\,\% = \np{2800}$ et $\np{2800}+\np{6000} = \np{8800}$.

\item On calcule le nombre d'abonnés deux années après le lancement:\\
$\np{8800} \times 70\,\% = \np{6160}$ et $\np{6160}+\np{6000} = \np{12160}$.

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables :}		&$n$ est un entier naturel.\\
							&$u$ est un réel.\\
\textbf{Initialisation :}	&Affecter à $u$ la valeur \np{4000}\\
							&Affecter à $n$ la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}		&Tant que $n < 2$\\
							&$u$ prend la valeur $\dfrac{7}{10}u + \np{6000}$\\
							&$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\textbf{Sortie :}& Afficher $u$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Quel est le résultat affiché par cet algorithme ?

On sort de la boucle \og Tant que \fg{} quand $n=2$; il s'affiche donc $\np{12160}$ en sortie.
 
\item On modifie l'algorithme pour afficher le nombre d'années à partir duquel il y aura plus de \np{15000} abonnés:

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l|X|}\hline
\textbf{Variables :}		&$n$ est un entier naturel.\\
							&$u$ est un réel.\\
\textbf{Initialisation :}	&Affecter à $u$ la valeur \np{4000}\\
							&Affecter à $n$ la valeur 0\\
\textbf{Traitement :}		&Tant que {\red $u \pp \np{15000}$}\\
							& \hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $\dfrac{7}{10}u + \np{6000}$\\
							& \hspace*{0.5cm} $n$ prend la valeur $n + 1$\\
\textbf{Sortie :}& Afficher {\red $n$} \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Soit la suite $\left(a_n\right)$ définie par: 
$a_0 = 4$   et pour tout $n \pg 0$,  $a_{n+1} = \dfrac{7}{10}\,a_n + 6$.

%Quel lien peut-on établir entre cette suite et le nombre d'abonnés au kiosque numérique ?

Les termes de la suite $(u_n)$ donnent le nombre de milliers d'abonnés après $n$ années de lancement.

\item Soit $\left(b_n\right)$ la suite définie pour tout entier $n$ par : $b_n = 20 - a_n$.

On admet que la suite $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{7}{10}$.

%Exprimer $a_n$ en fonction de $n$.

$b_0=20 - a_0 = 20-4 = 16$

La suite $(b_n)$ est géométrique de raison $q=\dfrac{7}{10}$ et de premier terme $b_0=16$ donc, pour tout $n$, $b_0= 16 \times \left (\dfrac{7}{10} \right )^n$.

Pour tout $n$, $b_n = 20 - a_n$, donc $a_n=20-b_n$ donc $a_n=20- 16 \times \left (\dfrac{7}{10} \right )^n$.

\item %D'après ce modèle peut-on envisager de dépasser les \np{30000} abonnés?
%Expliquer la démarche suivie.
On dépasse $\np{30000}$ abonnés si on peut trouver $n$ tel que $u_n > 30$.

Mais $u_n= 20-16 \times \left( \dfrac{7}{10}\right )^n$ est inférieur à 20 car $16\times \left (\dfrac{7}{10}\right )^n>0$. 

Donc on ne dépassera jamais $\np{30000}$ abonnés.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\medskip

Marie a invité quelques amis pour le thé. Elle souhaite leur proposer ses macarons maison.

Elle les sort de son congélateur à $-18$\,\degres C et les place dans une pièce à $20$\,\degres C. 

Au bout de 15 minutes, la température des macarons est de $1$\,\degres C.

\bigskip

\textbf{Premier modèle}

\medskip

On suppose que la vitesse de décongélation est constante : chaque minute la hausse de température des macarons est la même.

%Estimer dans ce cadre la température au bout de $30$~minutes, puis au bout de $45$~minutes.

%Cette modélisation est-elle pertinente?

La température des macarons passe, en 15 minutes, de $-18$\,\degres C à $1$\,\degres C, donc augmente de $19$\;\degres C.

En supposant que la vitesse de décongélation est constante, la température des macarons passerait à $1+19=20$\,\degres C au bout de 30 minutes, et à $20+19=39$\,\degres C au bout de 45 minutes.

Mais c'est impossible que la température des macarons soit supérieure à la température ambiante, donc le modèle n'est pas pertinent. 

\bigskip

\textbf{Deuxième modèle}

\medskip

On suppose maintenant que la vitesse de décongélation est proportionnelle à la différence
de température entre les macarons et l'air ambiant (il s'agit de la loi de Newton). 

On désigne par $\theta$ la température des macarons à l'instant $t$, et par $\theta'$ la vitesse de décongélation. 

L'unité de temps est la minute et l'unité de température le degré Celsius.

\smallskip

On négligera la diminution de température de la pièce et on admettra donc qu'il existe un
nombre réel $a$ tel que, pour $t$ positif : $\theta'(t) = a \big[\theta(t) -20\big]\quad (E)$

\begin{enumerate}
\item% Vérifier que l'équation $(E)$ s'écrit également : $\theta' - a \theta = - 20 a$. 
$\theta'(t) = a \big[\theta(t) -20\big] \iff \theta'(t) = a \theta(t) - 20a \iff  \theta'(t) - a \theta(t) = -20a$ qui s'écrit $\theta' -  a \theta = - 20a$.

D'après le cours, l'équation différentielle $y'+ay=b$ (avec $a \neq 0$) a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t) = k\e^{-at} + \dfrac{b}{a}$ où $k$ est un réel quelconque.

Donc l'équation différentielle $\theta' - a \theta = - 20 a$ a pour solutions les fonctions $\theta$ définies par \\
$\theta(t) = k \e^{at} +20$ où $k\in \R$.

%Donner alors, en fonction de $a$, l'ensemble des solutions de $(E)$.
\end{enumerate}
On rappelle que la température des macarons à l'instant $t = 0$ est égale à $-18$~\degres C et que, au bout de $15$~min, elle est de $1$~\degres C.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item %Montrer que pour $t$ positif : $\theta(t) = 20 - 38 \text{e}^{- \frac{t \ln 2}{15}}$.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item On sait que $\theta(0)=-18$ donc $k\e^{0} +20=-18$ donc $k=-38$; on en déduit que $\theta(t)=20 - 38\e^{at}$.

\item On sait que $\theta(15)=1$ donc $20-38\e^{15a} = 1$ ce qui équivaut à $\e^{15a} = \dfrac{-19}{-38}$ ou encore $\e^{15a} = \dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire $15a = \ln \dfrac{1}{2}$ soit $15a = - \ln 2$; on en déduit que $a=-\dfrac{\ln 2}{15}$.
\end{list}

On a donc démontré que $\theta(t)= 20-38 \e^{-\frac{t \ln 2}{15}}$.

\item La température idéale de dégustation des macarons étant de $15$\,\degres C, Marie estime que
celle-ci sera atteinte au bout de $30$~min.% A-t-elle raison ? Justifier la réponse.

Au bout de 30 minutes, la température sera de\\
$\theta(30)=20-38\e^{-\frac{30\times \ln 2}{15}} = 20-38\e^{-2\ln 2} = 20-\dfrac{38}{4} = 10,5$\,\degres C.
Donc Marie a tort.

Il faut chercher une température $t$ pour laquelle $\theta(t)=15$; on résout cette équation:

$\theta(t)=15
\iff  20-38 \e^{-\frac{t \ln 2}{15}} = 15
\iff 5 = 38\e^{-\frac{t \ln 2}{15}}
\iff \dfrac{5}{38} = \e^{-\frac{t \ln 2}{15}}
\iff \ln\left ( \dfrac{5}{38} \right ) = -\dfrac{t \ln 2}{15}\\
\phantom{\theta(t)=15}
\iff \dfrac{\ln\left ( \frac{5}{38} \right )}{-\frac{\ln 2}{15}} = t$
%Sinon, combien de temps faudra-t-il attendre ?

Or $\dfrac{\ln\left ( \frac{5}{38} \right )}{-\frac{\ln 2}{15}} \approx 43,9$ donc il faudra attendre environ 44 minutes.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\medskip

Dans un élevage de poulets fermiers, les volailles sont commercialisées après $90$~jours d'élevage. Un poulet de $90$ jours sera dit conforme si sa masse est comprise entre $2,8$~kg et $3,2$~kg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'avicultrice a constaté que la masse $M$, exprimée en kg, de ses poulets de $90$ jours
suit une loi normale de moyenne $\mu=3$ et d'écart type $\sigma = 0,1$.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'un poulet de $90$ jours prélevé au hasard soit conforme est, d'après le cours,
		$P\big(2,8 \pp M \pp 3,2\big) = P\big(3-2\times 0,1 \pp M \pp 3+2\times 0,1\big) =   P\big(\mu-2\sigma \pp M \pp \mu +2\sigma\big) \approx 0,95$.
		
		\item La probabilité que la masse d'un poulet de $90$ jours prélevé au hasard soit supérieure à $3,3$~kg est
$P\big( M > 3,3\big) \approx 0,001$ (à la calculatrice).		
		
	\end{enumerate}
	
\item On admet dans cette question que $95$\,\% des poulets de $90$ jours sont conformes donc la probabilité qu'un poulet soit non conforme est $p=1-0,95=0,05$.
	
Un rôtisseur achète tous les samedis $100$ de ces poulets. On admet que le nombre de poulets de l'élevage est suffisamment important pour que cet achat puisse être assimilé à un prélèvement avec remise. 
	
On appelle $X$ la variable aléatoire égale au nombre de poulets non conformes, c'est-à-dire dont la masse n'est pas dans l'intervalle $\cd 2,8~;~3,2\cg$.
	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que $X$ suit une loi binomiale. Préciser ses paramètres.
L'achat peut être assimilé à un prélèvement avec remise dans un lot de 100 poulets, avec une probabilité de non conformité égale à $0,05$; donc on peut dire que la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de poulets défectueux dans le lot de 100 suit la loi binomiale de paramètres $n=100$ et $p=0,05$.

		\item L'espérance mathématique de $X$ est $np=100\times 0,05 = 5$; c'est le nombre moyen de poulets non conformes que l'on peut trouver dans un lot de 100 poulets.

	\end{enumerate}		
\item Lors de son dernier achat, le rôtisseur a compté $9$ poulets non conformes. Il se plaint
auprès de l'éleveur.
	
Avec un tableur, on a calculé les probabilités $P(X \leqslant a)$ pour $a$ allant de $0$ à $13$.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$					& 0			&1 		&2 		&3 	&4 			&5 			&6\\ \hline
$P(X\leqslant a)$	&\np{0,0059}&\np{0,0371}&\np{0,1183}&\np{0,2578}&\np{0,4360}&\np{0,6160}&\np{0,7660}\\ \hline
\end{tabularx}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$ 				&7 			&8 		&9 			&10 	&11 	&12 	&13\\ \hline
$P(X\leqslant a)$	&\np{0,8720}&\np{0,9369}&\np{0,9718}&\np{0,9885}&\np{0,9957}&\np{0,9985}&\np{0,9995}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
	
	\begin{enumerate}
		\item  \emph{Rappel du cours de première}
		
L'intervalle de fluctuation à 95\,\% d'une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille $n$, d'une variable aléatoire $X$ de loi binomiale, est l'intervalle $\left [ \dfrac{a}{n}~;\dfrac{~b}{n}\right ]$, dans lequel:

\hspace*{0.5cm}\textbullet~~$a$ est le plus petit entier tel que $P(X \pp a) > 0,025$ ;

\hspace*{0.5cm}\textbullet~~$b$ est le plus petit entier tel que $P(X \pp b) \pg 0,975$. 
 
En observant le tableau ci-dessus, on trouve $a=1$ et $b=10$ ce qui conduit à l'intervalle de fluctuation à 95\,\%: $I = \left [ \dfrac{1}{100}~;~\dfrac{10}{100} \right ] = \cd 0,01~;~0,10\cg$.
		\item  La fréquence observée par le rôtisseur est de $\dfrac{9}{100\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}=0,09$; cette fréquence appartient à l'intervalle $I$ donc le rôtisseur n'a pas de raison de se plaindre, au risque de 5\,\%.				
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}