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%%% Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%%% Corrigé : François Hache
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STI2D et STL spécialité SPCL}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL~\decofourright\\[4pt]
 Antilles-Guyane -- 16 juin 2017}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill (4 points)}  

%\vspace{0.25cm}
%
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
%suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
%n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
%n'enlèvent de point.
%
%\smallskip
%
%Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et
%indiquerez la seule réponse choisie.
%
%\smallskip

Dans cet exercice, i désigne le nombre complexe de module 1 et d’argument $\frac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate}
\item La suite $\left(u_n\right)$  est définie par $u_0 = -3$ et pour tout entier naturel  $n$, $u_{n+1}=\frac{7}{5}u_n$. 

La limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de $\left(u_n\right)$ est :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $0$ &\textbf{b.~~} \fbox{$-\infty$} &\textbf{c.~~}$+\infty$& \textbf{d.~~} $-3$
\end{tabularx}

\smallskip

\begin{quote}
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=\frac{7}{5\rule[-4pt]{0pt}{0pt}}$ et de premier terme $u_0=-3$ donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0\times q^n=-3\times \left ( \frac{7}{5\rule[-4pt]{0pt}{0pt}}\right )^n$.

$\frac{7}{5}>1$ donc $\lim\limits_{n \to +\infty} \left ( \frac{7}{5}\right )^n = +\infty$ et donc 
$\lim\limits_{n \to +\infty} -3\times \left ( \frac{7}{5}\right )^n = -\infty$.

\end{quote}

\medskip

\item On considère la suite géométrique $\left(v_n\right)$ définie par son premier terme $v_0=\frac{1}{4}$
et sa raison $q=\frac{3}{2}$.

La valeur exacte du terme$v_{10}$ est égale à :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\np{14.4}$ &\textbf{b.~~} $\np{7.3}\times 10^{-4}$&\textbf{c.~~}\fbox{$\frac{\np{59049}}{\np{4096}}$} & \textbf{d.~~} $\frac{15}{4}$
\end{tabularx}

\smallskip

\begin{quote}
La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=\frac{1}{4}$ et de raison $q=\frac{3}{2}$ donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n= v_0\times q^n = \frac{1}{4}\times \left ( \frac{3}{2} \right )^n$.
Donc
$v_{10} = \frac{1}{4}\times \left ( \frac{3}{2} \right )^{10}
= \frac{3^{10}}{4\times 2^{10}}
= \frac{\np{59049}}{\np{4096}}$

\end{quote}

\medskip

\item On considère le nombre complexe $z=\sqrt{3} - 5\mathrm{i}$.
Le nombre complexe $z \overline{z}$ est égal à :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $3 - 25\mathrm{i}$ &\textbf{b.~~} $\left(-\sqrt{3} + 5\mathrm{i}\right)\left(\sqrt{3} -5\mathrm{i}\right)$&\textbf{c.~~}$-28$& \textbf{d.~~} \fbox{$28$}
\end{tabularx}

\smallskip

\begin{quote}
$z \overline{z} = |z|^2 = \left ( \sqrt{3}\right ) ^2 + \left (-5\strut\right )^2 = 3+25=28$
\end{quote}

\medskip

\item Le nombre $a$ est un réel strictement positif.
Le nombre complexe $z=a + \mathrm{i} a\sqrt{3}$ admet pour forme exponentielle :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\e^{\mathrm{i}\frac{a \pi}{3}}$ &\textbf{b.~~} $a\e^{\mathrm{i}\frac{2a \pi}{3}}$ &\textbf{c.~~}\fbox{$2a\e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$} & \textbf{d.~~} $2a\e^{\mathrm{i}\frac{2\pi}{3}}$
\end{tabularx}

\smallskip

\begin{quote}
$|z| = \ds\sqrt{a^2 + \left (a\sqrt{3} \right )^2} = \ds\sqrt{4a^2} = 2a$
donc
$z=2a\left ( \frac{1}{2} + \i \frac{\sqrt{3}}{2} \right )
= 2a \left ( \cos \frac{\pi}{3} + \i \sin \frac{\pi}{3} \right )
= 2a \e^{\i\frac{\pi}{3}}$

\end{quote}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

    
\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill (7 points)}  

\vspace{0.25cm}

En 1648, Blaise Pascal a demandé à son beau-frère Florin Périer de mesurer la hauteur de mercure dans deux baromètres, l'un situé à Clermont-Ferrand et l'autre en haut de la montagne la plus proche, le Puy-de-Dôme.

Florin Périer a constaté que la hauteur de mercure dans le baromètre situé en haut du Puy-de-Dôme était inférieure à la hauteur de mercure dans le baromètre situé plus bas, à Clermont-Ferrand.

Cette expérience a permis de montrer que la pression atmosphérique diminue lorsque l'altitude augmente.

\emph{Dans cet exercice, la pression atmosphérique est exprimée en hectopascal (hPa)}.

\emph{On rappelle que la pression atmosphérique vaut $\np[hPa]{1013,25}$  au niveau de la mer.}

\medskip

\subsection*{Partie A: Une règle simplifiée}

%\medskip

Pour évaluer la pression atmosphérique, les alpinistes utilisent la règle simplifiée suivante : \og la pression atmosphérique diminue de $0,11$ hectopascal quand l'altitude augmente de 1 mètre \fg.

\begin{enumerate}
\item  La pression baisse de \np[hPa]{0,11} par mètre donc elle baisse de $800\times 0,11=88$~hPa pour 800 mètres; la pression à 800 mètres est donc $\np{1013,25} - 88 = 925,25$ hPa.

On fait un calcul similaire pour obtenir la pression à \np{1500}~m et à \np{2000}~m.

On complète alors le tableau  en utilisant cette règle :

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|m{2.95cm}|c|c|c|c|}
\hline
altitude (en mètre)& 0& 800& \np{1500}& \np{2000}\\
\hline
pression atmosphérique (en hPa)& \np{1013,25}& \textcolor{red}{$925,25$}&\textcolor{red}{$848,25$}&\textcolor{red}{$793,25$}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la pression atmosphérique en hPa à l'altitude de $n$ mètres calculée avec la règle simplifiée.
Ainsi $u_0	=\np{1013,25}$.

\begin{enumerate}

\item  $u_1=u_0-0,11 = \np{1013,25}-0,11=\np{1013,14}$;
 $u_2=u_1-0,11 = \np{1013,14}-0,11=\np{1013,03}$

\item  % Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ n’est pas géométrique.
$\dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{\np{1013,03}}{\np{1013,14}}\approx \np{0,9998914267}$;
$\dfrac{u_1}{u_0} = \dfrac{\np{1013,14}}{\np{1013,25}}\approx \np{0,9998914384}$

\smallskip

$\dfrac{u_2}{u_1} \neq \dfrac{u_1}{u_0}$ donc la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.

\item On admet que pour tout entier naturel $n,\ u_n =u_0 - \np{0,11}n$.

La pression atmosphérique est inférieure à \np[hPa]{950} pour les valeurs de $n$ telles que:

$u_n < 950
\iff
u_0 - \np{0,11}n < 950
\iff
\np{1013,25} - \np{0,11}n <950
\iff
63,25 < 0,11 n\\
\phantom{u_n < 950}
\iff
\dfrac{63,25\rule{0pt}{10pt}}{0,11}<n
\iff
n>575$

La pression sera inférieure à \np[hPa]{950} pour une altitude supérieure à 575 mètres.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie B: La formule barométrique}

\medskip

On considère l’équation différentielle (E): $y' + 0,12 y = 0$.

%où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$ et $y'$ est la
%fonction dérivée de $y$
Pour de faibles valeurs de l'altitude, les scientifiques ont démontré que la fonction $f$ qui, à l'altitude $x$  \textbf{en kilomètre}, associe la pression atmosphérique en hectopascal est la solution de l’équation différentielle (E) qui vérifie \mbox{$f(0) = 1 013,25 $}.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item % Déterminer les solutions de l’équation différentielle (E).
L'équation différentielle $y' + 0,12 y = 0$ est de la forme $y'+ay=0$ avec $a\neq0$. 

D'après le cours, les solutions de cette équation différentielle sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=C\e^{-ax}$ où $C$ est un réel quelconque.

Donc les solutions de l'équation différentielle (E) sont les fonctions $f$ définies sur $\R$ par $f(x)=C \e^{-0,12x}$ où $C$ est un réel quelconque.

\item La solution $f$ de l’équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $f(0)= 1 013,25$ est la fonction définie sur $\texttt{[}0~;~+\infty\texttt{[}$ telle que $C\e^{0}=\np{1013,25}$ donc telle que $C=\np{1013,25}$.

La solution $f$ vérifiant la condition initiale est donc définie par $f(x) = \np{1013,25} \e^{-0,12x}$.

\end{enumerate}

\item En utilisant la fonction $f$ :
\begin{enumerate}
\item  
Une altitude de 150 mètres correspond à $0,15$ kilomètre donc la pression atmosphérique à 150 mètres d'altitude est

$f(0,15)= \np{1013,25} \e^{-0,12\times 0,150} = \np{1013,25} \e^{-0,018} \approx 995,17$~hPa.

\item L'altitude correspondant à une pression atmosphérique de \np[hPa]{900} est la solution (en kilomètre) de l'équation $f(x)=900$:

$f(x)=900
\iff
\np{1013,25} \e^{-0,12x} = 900
\iff
\e^{-0,12x}  = \dfrac{900}{\np{1013,25} }
\iff
-0,12x = \ln  \dfrac{900}{\np{1013,25} }\\
\phantom{f(x)=900}
\iff
x = - \dfrac{\ln  \dfrac{900}{\np{1013,25} }}{0,12}
\implies
x \approx 0,988
$

L'altitude correspondant à une pression atmosphérique de \np[hPa]{900} est 988 mètres.

\end{enumerate}

\item On pose  $v_n= f(n)$, pour tout entier naturel $n$.% Justifier qu'avec ce modèle, la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique.

$v_{n+1} = f(n+1) = \np{1013,25} \e^{-0,12(n+1)}
= \np{1013,25} \e^{-0,12n - 0,12}
= \np{1013,25} \e^{-0,12n}\times \e^{-0,12}
=$

$v_{n+1} =  v_n \times \e^{-0,12}$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $\e^{-0,12}$.

\end{enumerate}

\medskip

\subsection*{Partie C: La formule du nivellement barométrique}

\medskip

La formule de la partie B ne tient pas compte des changements de température et ne peut donc être utilisée que pour de faibles altitudes.

Pour des altitudes plus élevées, on utilise la fonction $p$ qui, à l'altitude $x$ \textbf{en kilomètre}, associe la pression atmosphérique en hPa :
$p(x)= 1013,25 \left(1-\dfrac{6,5x}{288,15}\right)^{\np{5.255}}$.

\begin{enumerate}

\item%  Calculer la pression atmosphérique (en hPa, arrondie à l'unité) au sommet de l’Everest dont l'altitude est \np{8 848} mètres.
La pression atmosphérique  au sommet de l’Everest est
$p(8,848) \approx 314$ hPa.

\item On complète l'algorithme suivant de façon à ce qu’il affiche en sortie l'altitude (estimée à 100 mètres près) à partir de laquelle la pression atmosphérique est inférieure à \np[hPa]{400}:

\begin{center}
\begin{tabular}[]{|l|}
\hline
%\begin{minipage}[]{7cm}
\textbf{Variables}\\
$A$ un nombre réel\\
$P$ un nombre réel\\
\textbf{Début}\\
$A$ prend la valeur 0\\
$P$ prend la valeur \np{1013.25}\\
\textbf{Tant que} {\red $P \geqslant 400$}  \textbf{faire}\\
\hspace{4em} $A$ prend la valeur $A+0,1$\\
\hspace{4em} $P$ prend la valeur {\red $p(A)$}\\
\textbf{Fin tant que}\\
Afficher {\red $P$}\\
\textbf{Fin}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\end{enumerate}


%\vspace{0,25cm}

\newpage
    
\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill (4 points)}  
\def\interA{\texttt{[}0,1~;~+\infty\texttt{[}}
%\vspace{0.25cm}

%Dans cet exercice, $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien et l'unité de longueur est le mètre (m).

Un ingénieur prépare un plan pour fabriquer la voile d'un petit bateau.

La voile est représentée en gris dans le repère orthonormé ci-dessous où une unité représente un mètre.

\smallskip

\begin{minipage}{9cm}
$\mathcal C_f$ est la représentation graphique de la fonction
$f$ définie sur $\interA$ par :

\[ f(x)= 12+ax^2+\ln(x).\]
où $a$ est un nombre réel qui sera déterminé dans la
partie A.

\begin{description}
\item[]S est le point de $\mathcal C_f$ d’abscisse 1.

\item A est le point de $\mathcal C_f$ d’abscisse 2.

\item B est le point de $\mathcal C_f$ d’abscisse 5.

\item D est le point d'intersection de la droite d'équation
$x=2$  et de la droite parallèle à l’axe des abscisses
passant par B.
\end{description}

La voile est représentée par le domaine délimité par le segment [AD], le segment [DB] et la courbe $\mathcal C_f$ .
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}[]{5.5cm}
\psset{unit=0.5cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(-0.8,-0.2)(6.3,13.4)
 \multido{\n=0+1}{7}{\psline[linewidth=0.45pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,12)}
 \multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.45pt,linecolor=lightgray](0,\n)(6,\n)}
 \psaxes[linewidth=0.65pt]{->}(0,0)(6.4,12.23)
 \psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0.1}{5.2}{x ln 12 add x 2 exp 0.5 neg mul add}
\uput[u](1,11.5){S}\uput[l](2,1.1094379){D}\uput[r](5,1.1094379){B}\uput[ur](2,10.693147){A}
\uput[ur](4,6){$\mathcal C_{f}$}
\psdots [dotstyle=Bullet,dotscale=1.2](1,11.5)(2,10.693)(2,1.109)(5,1.109)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psline[linewidth=0.15pt](2,1.109)(2,10.693)
\psplot[linecolor=blue,linewidth=0.85pt,plotpoints=2000]{2}{5}{x ln 12 add x 2 exp 0.5 neg mul add}
\psline[linewidth=0.15pt](5,1.109)(2,1.109)
}
\psline[linewidth=0.5pt]{<->}(0.5,11.5)(1.5,11.5)
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{minipage}

\medskip

\subsection*{Partie A}

\medskip 

La fonction $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
\begin{enumerate}
\item  On suppose que la tangente à la courbe $\mathcal C_f$ au point S est horizontale; donc $f'(1)=0$.

\item Pour tout réel $x$ de $\interA$, $f'(x) = 2ax + \dfrac{1}{x}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  $f'(x) = 2ax + \dfrac{1}{x}$ donc $f'(1)=2a+1$.
		\item $f'(1) =  0$ et $f'(1) = 2a+1$ donc $2a+1 = 0$ ce qui entraîne que $a=-0,5$ et donc que
		
$f(x)=12-0,5x^2 +\ln(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 \medskip

\subsection*{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $F$ la fonction définie sur $\interA$ par $F(x)=11x-\dfrac{1}{6}x^3+x\ln(x)$.

Pour tout $x$ de $\interA$, \\
$F'(x)=11-\dfrac{1}{6}\times 3x^2 + 1\times \ln(x) + x\times \dfrac{1}{x}
= 11 - 0,5x^2 + \ln(x)+1
= 12 - 0,5x +\ln(x)=f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\interA$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item La fonction $f$ est positive sur $\texttt{[} 2~;~5 \texttt{]}$ donc l'aire du domaine limité par la courbe $\mathcal C_f$, l’axe des abscisses et les droites d'équation $x=2$  et $x=5$ est:

$\ds\int_{2}^{5} f(x) \d x = \left [ F(x) \rule{0pt}{10pt}\right ]_{2}^{5}
= F(5) - F(2) 
= \left ( \dfrac{205}{6} + 5\ln(5)\right ) - \left ( \dfrac{62}{3} + 2 \ln(2) \right )
= \dfrac{27}{2} + 5 \ln(5) - 2 \ln(2)$~m$^2$.
		\item % Vérifier qu'une valeur approchée de cette aire, arrondie au dixième, est $\np[m^2]{20,2}$.
$\dfrac{27}{2} + 5 \ln(5) - 2 \ln(2) \approx 20,2$~m$^2$
	\end{enumerate}
\item Cette voile doit être légère tout en étant suffisamment résistante. Elle est fabriquée dans un tissu ayant une masse de 260 grammes par mètre carré.

L'aire de la voile en mètre carré est égale à l'aire de la partie grise soit :

$\ds\int_{2}^{5} f(x) \d x - \text{DB} \times f(5) = \dfrac{27}{2} + 5 \ln(5) - 2 \ln(2) - 3 \times \left(- \dfrac{1}{2} + \ln 5 \right) = 15 + 2\ln (5) - 2 \ln (2) = 15 +2 \ln(2,5)$.

La voile pèsera donc $\big(15 + 2\ln(2,5)\big)\times 0,26 \approx 4,376$~kg donc moins de 5~kg.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill (5 points)}  

%\vspace{0.25cm}
%
%\emph{Dans cet exercice, les résultats demandés seront arrondis à $10^{-3}$, sauf indication contraire.}
%
%\medskip

\subsection*{Partie A}

\medskip

Pour dépister les maladies de la glande thyroïde chez un patient, on mesure le taux d'une hormone appelée TSH.

Un médecin étudie les dossiers médicaux des patients de son hôpital.

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à un dossier pris au hasard dans cet hôpital, associe le taux de TSH du patient correspondant.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 2,2$ et d'écart-type $\sigma= 0,9$.

\begin{enumerate}

\item  On trouve à la calculatrice que $P(X<3) \approx 0,813$.

\item La probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital présente un taux de TSH compris entre 1,5 et 3,5 est $P(1,5 < X < 3,5) \approx 0,707$.

\item Pour les dossiers médicaux dont le taux de TSH est supérieur à 4, les médecins prescrivent des examens complémentaires au patient.

La probabilité qu'un dossier médical pris au hasard dans cet hôpital corresponde à un patient qui nécessite des examens complémentaires est $P(X>4) \approx 0,023$.

\end{enumerate}
\medskip

\subsection*{Partie B}

\medskip
 
En 2012, l’Agence Nationale de Sécurité du Médicament (ANSM) s'est inquiétée de la forte augmentation des ventes du médicament qui traite l'hypothyroïdie. Pour obtenir un état des lieux de l'utilisation de ce médicament en France, l’ANSM a effectué un sondage sur \np{530877} personnes.

Dans cet échantillon, \np{21771} personnes ont déclaré qu'elles utilisaient ce médicament.

\begin{enumerate}

\item  La fréquence des utilisateurs du médicament dans l'échantillon étudié est
$f=\dfrac{\np{21771}}{\np{530877}} \approx 0,041$.

\item On détermine un intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95\,\% de la proportion d'utilisateurs de ce médicament dans la population française:

\smallskip

$ I = \left [ f -1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~;~ f +1,96 \ds\sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\right ]\\[4pt]
\phantom{I}
= \left [ 0,041-1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,041 (1- 0,041 )}{\np{530877}}} ~;~ 0,041+1,96 \ds\sqrt{\dfrac{0,041 (1- 0,041 )}{\np{530877}}} \right ]
\approx \texttt{[}  \np{0,040}~;~ \np{0,042}\texttt{]}$

\end{enumerate}

%Rappel : Lorsqu'une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$, l’intervalle de confiance à 95\,\% de la proportion dans la population est donné par :
%
%$ I = \left [ f -1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}} ~,~ f +1,96 \sqrt{\dfrac{f (1- f )}{n}}\right ]$
%
%\medskip

\subsection*{Partie C}

\medskip

 


En médecine, on utilise de l’iode radioactif pour traiter certaines maladies de la glande thyroïde.

La durée de vie exprimée en heure d'un atome d’iode radioactif est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,0036$, exprimé en h$^{-1}$.

\begin{enumerate}
\item  La durée de vie moyenne de l’atome d’iode radioactif est $E(D)=\dfrac{1}{\lambda} \approx 278$ heures.

%\emph{On arrondira le résultat à l’unité.}

\item D'après le cours:\\
$P(24 < D < 48) = \ds\int_{24}^{48} \lambda \e^{-\lambda t} \d t
= \left [ -\e^{-\lambda t}\rule{0pt}{10pt}\right ]_{24}^{48}
= -\e^{-0,0036\times 48} -\left (-\e^{-0,0036\times 24}\right )
= \e^{-\np{0,0864}} - \e^{-\np{0,1728}}\\[5pt]
\phantom{P(24 < D < 48)}
\approx 0,076
$.

\smallskip

Cela signifie qu'il y a environ $7,6$\,\% d'atomes d'iode encore en vie entre 24 et 48 heures.

%\emph{Rappel :}
%
% la fonction de densité de la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ est la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(t)=\lambda\e^{-\lambda t}$.
 
\item On appelle demi-vie d'un élément radioactif le temps $T$, exprimé en heure, nécessaire pour que la moitié des atomes radioactifs d'une substance se soit désintégrée.
Autrement dit, ce réel $T$ est tel que $P(D<T)=\frac{1}{2}$.

\begin{enumerate}
\item % Démontrer que $T=\frac{\ln 2}{\lambda}$.
Si la variable aléatoire $D$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, alors $P(D<t) = 1 - \e^{-\lambda t}$.

$P(D<T)= \dfrac{1}{2} \iff
1-\e^{-\lambda T} = \dfrac{1}{2} \iff
2-2\e^{-\lambda T} = 1 \iff
1 = 2\e^{-\lambda T} \iff
\dfrac{1}{2} = \e^{-\lambda T} \\
\phantom{P(D<T) = \dfrac{1}{2}}
\iff
\ln\left (\dfrac{1}{2} \right )= -\lambda T \iff
-\ln(2) = -\lambda T
\iff
T = \dfrac{\ln(2)}{\lambda}$

\item La demi-vie de l’iode radioactif est $\dfrac{\ln(2)}{\np{0,0036}} \approx 192,5$ heures soit environ 8 jours.

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}