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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Académie de Guyane
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\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\def\e{\text{e}}
\def\i{\text{i}}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STI2D},
pdftitle = {Antilles-Guyane 16 juin 2016},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{16 juin 2016}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D/STL -- SPCL 16 juin 2016~\decofourright\\[4pt]
Antilles-Guyane}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}
 
\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
%suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
%n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
%n'enlèvent de point. \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre
%correspondant à la réponse}.}
%
%\medskip
%
%i \emph{désigne le nombre complexe de module $1$ et d'argument\: $\dfrac{\pi}{2}$}
%
%ln \emph{désigne la fonction logarithme népérien.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %La forme algébrique du nombre complexe $\dfrac{1 + 2\text{i}}{3 - \text{i}}$ est

$\dfrac{1 + 2\text{i}}{3 - \text{i}} = \dfrac{(1 + 2\text{i})(3 + \text{i})}{(3 - \text{i})(3 + \text{i})} = \dfrac{3 - 2 + \text{i} + 6\text{i}}{9 + 1} = \dfrac{1 + 7\text{i}}{10} = \dfrac{1}{10} + \text{i}\dfrac{7}{10}$ : réponse \textbf{b.}
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~}  $\dfrac{1}{2} + \dfrac{7}{10}\text{i}$&\textbf{b.~~}  $\dfrac{1}{10} + \dfrac{7}{10}\text{i}$\\
%\textbf{c.~~}  $\dfrac{1}{8} + \dfrac{7}{8}\text{i}$&\textbf{d.~~} \og Aucune des réponses a.-b.-c. \fg.
%\end{tabularx}
%\medskip

\item  %La forme exponentielle du nombre complexe $2 - 2\text{i}\sqrt{3}$ est
$\left|2 - 2\text{i}\sqrt{3}\right|^2 = 4 + 4 \times 3 = 4 + 12 = 16 = 4^2$, donc $\left|2 - 2\text{i}\sqrt{3}\right| = 4$.

D'où $2 - 2\text{i}\sqrt{3} = 4\left(\dfrac{2}{4} - \dfrac{2}{4}\text{i}\sqrt{3}\right)  = 4\left(\dfrac{1}{2}  - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\text{i}\right) = 4\left(\cos \frac{-\pi}{3} + \text{i}\sin \frac{-\pi}{3}\right) = 4 \text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Réponse \textbf{c.}
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~}$4\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{6}}$&\textbf{b.~~}$- 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$\\
%\textbf{c.~~}$4\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{a.~~}$16\text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$\\
%\end{tabularx}
%\medskip

\item  %Pour tout réel $a$ strictement positif, $\ln a + \ln 2a$ est égal à :
$\ln a + \ln 2a = \ln a \times 2a = \ln \left(2a^2\right)$. Réponse \textbf{c.}
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $\ln (3a)$				&\textbf{b.~~}$3\ln a$\\
%\textbf{c.~~} $\ln \left(2a^2\right)$	&\textbf{d.~~}$2\ln \left( a^2\right)$
%\end{tabularx}
%\medskip

\item  %Une solution $f$ de l'équation différentielle $3y'' + 12y = 0$ est la fonction définie pour tout réel $t$ par :
$3y'' + 12y = 0 \iff y'' + 4y = 0$

On sait qu'une solution de cette équation différentielle est définie par 

$f(t) = \sin (2t)$, $t$ étant un réel quelconque. Réponse \textbf{b.}

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $f(t) = \sin (4t)$&\textbf{b.~~}$f(t) = \sin (2t)$\\
%\textbf{c.~~} $f(t) = 2\sin (3t)$&\textbf{d.~~}\og Aucune des réponses a.-b.-c. \fg.
%\end{tabularx}
%\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}
 
\medskip

%Sur le graphique ci-dessous, $\mathcal{C}$ est la courbe représentative, dans le repère
%orthonormé \Oij, d'une fonction $f$ définie sur $\R$.
%
%\begin{center}
%\psset{unit=1.1cm}
%\begin{pspicture*}(-1,-1)(7.5,3.25)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-1,-1)(8,4)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1,-0.99)(7.5,3.25)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](7.3,0){$x$}
%\uput[l](0,3.1){$y$}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.75}{7}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{0.75}{7}{2.75 0.5 x mul sub}
%\uput[l](1.2,0.75){\blue $\mathcal{C}$}
%\uput[u](1,2.25){$T$}\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
%\uput[dl](0,0){O}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\textbf{Partie A - Étude graphique}

\medskip

%La droite $T$ est tangente à $\mathcal{C}$ au point A(2,5~;~1,5) et d'ordonnée à l'origine 2,75.
%
%L'axe des abscisses est asymptote horizontale à $\mathcal{C}$ au voisinage de $+\infty$.
%
%Déterminer graphiquement et indiquer sur votre copie :
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(1) = 0$ ;
\item  $f'(2,5) = \dfrac{0 - 1,5}{5,5 - 2,5} = - \dfrac{1}{2}$ ;
\item  Une équation de la tangente $T$ est $y - f(2,5) = f'(2,5)(x - 2,5)$ ; avec 

$f(2,5) = 1,5$ et $f'(2,5) =  - \dfrac{1}{2}$, on obtient : $y - 1,5 = - 0,5(x - 2,5)$, soit 

$y = - 0,5x + 2,75$ ;
\item  $\displaystyle\lim_{+ \infty} f(x) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Modélisation}

\medskip

%On admet qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que :
%
%\[\text{pour tout réel }\:x,\: \:f(x) = (ax + b)\text{e}^{-x+2,5}.\]

\begin{enumerate}
\item %Calculer $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
$f'(x) = a\text{e}^{-x+2,5} - (ax + b)\text{e}^{-x + 2,5} = \text{e}^{-x + 2,5}(a - ax - b) =  (- ax  + a - b)\text{e}^{-x + 2,5}$.
\item %Exprimer en fonction des réels $a$ et $b$ les nombres suivants :

%\[f(1) \quad ;\quad f'(2,5).\]
$\bullet~~$$f(1) = (a + b)\text{e}^{-1 + 2,5} = (a + b)\text{e}^{1,5}$ ;

$\bullet~~$$f'(2,5) = (-2,5a + a - b)\text{e}^{- 2,5 + 2,5} = (- 1,5a - b)\text{e}^{0} = - 1,5a - b$.
\item %Déduire des questions précédentes un système d'équations vérifiées par $a$ et $b$.
D'après les résultats de la partie A (lecture graphique $a$ et$b$ vérifient le système :

\[\left\{\begin{array}{l c r}
(a + b)\text{e}^{1,5}&=&0\\
- 1,5a - b&=&- \dfrac{1}{2}
\end{array}\right.\]
\item %Résoudre ce système et en déduire l'expression de $f(x)$ en fonction de $x$.
Comme $\text{e}^{1,5} \ne 0$, la première équation entraîne $a + b = 0$ ou $b = - a$, d'où en reportant dans la seconde :

$- 1,5a + a = - 0,5$ ou $- 0,5a = - 0,5$ ou  $a = 1$ et 
$b = - 1$.

On a donc pour tout réel $x$, 

$f(x) = (x - 1)\text{e}^{- x + 2,5}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Étude algébrique}

\medskip

On admet que pour tout réel $x,\: f(x) = (x - 1)\text{e}^{-x+2,5}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la limite de $f$ en $- \infty$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x - 1 = - \infty$ et 
$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} \text{e}^{-x+2,5} = + \infty$, d'où par produit de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout réel $x$,

%\[f(x) = \text{e}^{2,5}\left(\dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x}\right).\]
$f(x) = (x - 1)\text{e}^{- x + 2,5} = (x - 1)\times \text{e}^{- x} \times \text{e}^{2,5} = \text{e}^{2,5}\left(\dfrac{x - 1}{\text{e}^{- x}} \right) = \text{e}^{2,5}\left(\dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x}\right).$
		\item %Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\text{e}^x}{x} = + \infty$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} = 0$ et 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\dfrac{1}{\text{e}^x} = 0$, d'où par somme de limites 
$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{x}{\text{e}^x} - \dfrac{1}{\text{e}^x} = 0$ et enfin :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$.
On a donc pour tout réel $x$, \:$f'(x) = \text{e}^{-x + 2,5} - (x - 1)\text{e}^{-x+2,5} =$

$ \text{e}^{-x+2,5}(1 - x + 1) = (2 - x)\text{e}^{- x + 2,5}$.
		\item %Étudier le signe de $f'$ et en déduire le tableau des variations de la fonction $f$ en faisant figurer les limites trouvées précédemment.
		On sait que pour tout réel $x$, \: $\text{e}^{- x + 2,5} > 0$, donc le signe de $f'(x)$ est celui de $2 - x$, donc :
		
si $x < 2$, \: $f'(x) > 0$ : la fonction $f$ est croissante sur $]- \infty~;~2[$ ;

si $x > 2$,\: $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est décroissante sur $[2~;~+ \infty[$ ;

$f(2) = (2 - 1)\text{e}^{-2+2,5} = \text{e}^{0,5}$ est le maximum de la fonction sur $\R$.

D'où le tableau de variations :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)\psline(0,2.5)(7,2.5)
\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$} \uput[u](1.5,2.4){$- \infty$} \uput[u](4,2.4){$2$} \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}\rput(0.5,1){$f(x)$}
\rput(0.5,2.25){$f'(x)$} \uput[u](2,1.9){+}\uput[u](4,1.9){0}\uput[u](5.5,1.9){$-$}
\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
\uput[u](1.5,0){$- \infty$}\uput[d](4,2){$\text{e}^{0,5}$}\uput[u](6.5,0){0} 
\end{pspicture}
\end{center}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie D - Application}

\medskip

%\parbox{0.7\linewidth}{On souhaite déterminer l'aire $S$ en unité d'aire de la surface
%d'une des faces principales du boîtier plastique de l'appareil
%auditif schématisé ci-contre.
%
%Une modélisation mathématique a permis de représenter
%cette surface.}\hfill \parbox{0.25\linewidth}{
%\psset{unit=1.3cm}
%\begin{pspicture*}(0.5,0)(3,1.8)
%\def\bordure{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{1}{2.5}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{1}{2.5}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{2}{2.47}{12 x mul 16 sub x dup mul 2 mul sub 0.1 add}
%\rput(-0.3,0.1){\bordure}
%\psline(0.7,0.14)(1,0)(2,0.1)
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
%{\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{1}{2.5}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt]{2.47}{2}{12 x mul 16 sub x dup mul 2 mul sub 0.1 add}
%\psline(2,0.1)(1,0)
%}
%\end{pspicture*}}
%
%
%Dans le plan muni du repère orthonormé \Oij, cette surface correspond à la
%partie du plan limitée par :
%
%\setlength\parindent{8mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] l'axe des abscisses;
%\item[$\bullet~~$] les droites d'équations $x = 1$ et $x = 2,5$ ;
%\item[$\bullet~~$] la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ étudiée précédemment ;
%\item[$\bullet~~$] la courbe représentative $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$ définie par:
%pour tout réel $x,$
%
%$ g(x) = -2x^2 + 12x - 16$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Sur l'annexe fournie, hachurer la surface décrite précédemment.
Voir l'annexe.

%Pour déterminer l'aire $S$ de cette surface, on décompose le calcul en deux parties.
\item %Calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : $I = \displaystyle\int_2^{2,5} g(x)\:\text{d}x$.
$I = \displaystyle\int_2^{2,5} g(x)\:\text{d}x = \displaystyle\int_2^{2,5} \left(- 2x^2 + 12x - 16 \right)\:\text{d}x = \left[- \dfrac{2}{3}x^3 + 6x^2 - 16x \right]_2^{2,5} =$

$ - \dfrac{2}{3}\times 2,5^3 + 6\times 2,5^2 - 16\times 2,5 - \left( - \dfrac{2}{3}\times 2^3 + 6\times 2^2 - 16\times 2\right) = - \dfrac{155}{12} + \dfrac{40}{3} = \dfrac{- 155 + 160}{12} = \dfrac{5}{2}$.
\item %On souhaite calculer la valeur exacte de l'intégrale suivante : $J = \displaystyle\int_1^{2,5} f(x)\:\text{d}x$ où $f$ est la fonction dont une expression est donnée dans la partie C.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier qu'une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $\R$ est la fonction définie par :
		
%\[\text{pour tout réel }\:x,\: F(x) = - x \text{e}^{-x+2,5}.\]
Quel que soit le réel $x$, \: $F'(x)  = - \text{e}^{-x+2,5} + x\text{e}^{-x+2,5} = \text{e}^{-x+2,5}(x - 1) = f(x)$.

Donc $F$ est une primitive de $f$ sur $\R$. 		
		\item %En déduire la valeur exacte de l'intégrale $J$.
On a donc $J = \displaystyle\int_1^{2,5} f(x)\:\text{d}x = [F(x)]_1^{2,5} = F(2,5) - F(1) = - 2,5 \text{e}^{-2,5+2,5} - \left(- 1 \text{e}^{-1+2,5} \right) = $

$- 2,5 + \text{e}^{1,5}.$
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la valeur exacte de l'aire $S$ en unité d'aire,
En unité d'aire, on a donc :
		
$S = \displaystyle\int_1^{2,5} \text{e}^{-x+2,5}(x - 1) \:\text{d}x - \displaystyle\int_2^{2,5} g(x)\:\text{d}x = 	- 2,5 + \text{e}^{1,5} - \dfrac{5}{12} = \text{e}^{1,5} - \dfrac{35}{12}$.	 
		\item %En déduire la valeur arrondie à $10^{-2}$ de l'aire $S$ en unité d'aire.
La calculatrice donne $\text{e}^{1,5} - \dfrac{35}{12} \approx \np{1,56502}$ soit 1,57~unité d'aire au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 3 points}
 
\medskip

%\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
%Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à \boldmath $10^{-3}$ \unboldmath près.}
%
%\medskip
%
%Un manufacturier de pneumatiques produit des pneus d'avions en grande quantité.
%
%Il s'engage à livrer des produits spécifiques aux avionneurs de masse maximum
%garantie de 124 kg. Ces pneus doivent supporter une charge nominale de 10 tonnes,
%des vitesses pouvant aller jusqu'à $420$~km.h$^{-1}$ et des températures instables allant de
%$- 40$~\degres C (en altitude) à $250$~\degres C (au moment du décollage).
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On note $M$ la variable aléatoire qui, à chaque pneu prélevé au hasard dans la
%production, associe sa masse en kilogramme. On admet que la variable aléatoire $M$
%suit la loi normale de moyenne $\mu = 121,37$ et d'écart type $\sigma = 0,42$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg
%comprise entre $120,95$ et $121,79$.
On sait que $P(\mu - \sigma \leqslant M \leqslant \mu + \sigma)$ soit ici $P(120,95 \leqslant M \leqslant 121,79) \approx 0,683$. (au millième près)
\item %Déterminer la probabilité qu'un pneu prélevé au hasard ait une masse en kg supérieure à $122,63$.
On a $P(M \geqslant 122,63) = P(M \geqslant 121,37) - P(121,37 \leqslant M \leqslant 122,63) = 0,5 -  P(121,37 \leqslant M \leqslant 122,63) \approx 0,001$.  (au millième près)
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Un pneu trop lourd entraîne une augmentation de la consommation du kérosène.
%
%Lorsque la masse d'un pneu reçu par une compagnie aérienne dépasse 
%121,9~kg cela entraîne des pénalités financières pour le manufacturier.
%
%Sur la chaîne de fabrication, on prélève de façon aléatoire un échantillon de $36$ pneus
%et on constate que $2$ d'entre eux ont une masse qui dépasse $121,9$~kg.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la fréquence des pneus dans l'échantillon prélevé dont la masse dépasse $121,9$~kg ?
La fréquence des pneus dans l'échantillon prélevé dont la masse dépasse $121,9$~kg est égale à $f = \dfrac{2}{36} = \dfrac{1}{18} \approx 0,056$.
\item %Déterminer l'intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95\,\% de la proportion de pneus dont la masse dépasse $121,9$~kg dans la production.

%\emph{On rappelle que lorsqu'une fréquence $f$ est mesurée dans un échantillon de taille $n$,
%l'intervalle de confiance à $95$\,\% de la proportion dans la population est donné par :}
%
%\[I = \left[f- 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}~;~f + 1,96\sqrt{\dfrac{f(1 - f)}{n}}\right].\]
$I = \left[\dfrac{1}{18} - 1,96 \sqrt{\dfrac{\frac{1}{18} \times \frac{17}{18}}{36}}~;~ \dfrac{1}{18} + 1,96 \sqrt{\dfrac{\frac{1}{18} \times \frac{17}{18}}{36}}\right] \approx [- 0,02~;~0,131]$, soit plus vraisemblable 

$I \approx [0~;~0,131]$.
\item %Donner une interprétation du résultat précédent.
La proportion de pneus dont la masse dépasse 121,9~kg est comprise entre 0 et 0,131.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

%\textbf{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
%
%\textbf{Les résultats seront arrondis, si nécessaire, à }\boldmath $10^{-2}$.\unboldmath
%
%\medskip
%
%Par souci de santé, d'environnement ou simplement pour le plaisir du goût,
%l'alimentation biologique s'invite de plus en plus dans les assiettes des français.
%
%Deux fermes auvergnates décident de se convertir dans la production biologique.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%En 2015, la ferme \emph{Bernard} décide de cultiver 2 hectares selon le mode de production
%biologique et d'augmenter cette surface de production de $20$\,\% par an les années,
%suivantes.
%
%On note $S_n$ la surface, en hectare, cultivée selon le mode de production biologique,
%durant l'année \og 2015 + n \fg.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Quelle sera la surface cultivée en hectare selon le mode de production biologique durant l'année 2016, puis durant l'année 2017 ?
On a donc $S_0 = 2$, puis $S_1 = 1,2S_0 = 1,2 \times 2 = 2,4$ et $S_2 = 1,2S_1 = 1,2 \times 2,4 = 2,88$.
\item %Quelle est la nature de la suite $\left(S_n\right)$ ? Justifier
Quel que soit le naturel $n$, on a $S_{n+1} = 1,2S_n$ : ceci montre que la suite $\left(S_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 1,2$ et de premier terme $S_0 = 2$.
\item %Exprimer $S_n$ en fonction de $n$.
On sait que $S_n = S_0 \times q^n = 2 \times 1,2^n$.
\item %La ferme \emph{Bernard} dispose d'une surface de $10$~hectares. Durant quelle année la totalité de la ferme sera cultivée selon le mode de production biologique ? Justifier par le calcul.
On résout l'inéquation : 

$2 \times 1,2^n \geqslant 10 \iff 1,2^n \geqslant 5 \iff n \ln 1,2 \geqslant \ln 5 \iff n \geqslant \dfrac{\ln 5}{\ln 1,2} \approx 8,8$.

La totalité de la ferme sera cultivée au cours de la 9\up{e} année soit en 2024.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%En 2015, la ferme \emph{Dupont} décide de cultiver 1 hectare, selon le mode de production
%biologique et d'augmenter cette surface de $0,8$ hectare par an.
%
%On note $u_n$ la surface cultivée selon le mode de production biologique, durant l'année
%\og $2015 + n$ \fg, exprimée en hectare.
%
%La production biologique impose aux sols un temps de repos pour se reconstituer. La
%ferme \emph{Dupont} dispose d'une surface de $18$~hectares. Afin de garder un certain
%bénéfice, la ferme Dupont limite sa production biologique à $70$\,\% de la surface totale
%de la ferme chaque année.
%
%On considère l'algorithme suivant :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
%\textbf{Variables}&\\
%&$K$ un entier naturel\\
%&$U$ un nombre réel\\
%\textbf{Début}&\\
%&$U$ prend la valeur 1\\
%&\hspace{0,6cm}\begin{tabular}{|l}
%	Pour $K$ allant de 1 à 10\\
%	$U$ prend la valeur $U + 0,8$\\
%	FinPour
%		\end{tabular}\\
%&Afficher $U$\\
%\textbf{Fin}&\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Tester cet algorithme. Pour cela on recopiera et complétera le tableau suivant
%donnant les valeurs de $K$ et $U$ :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $K$	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&1	&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\ \hline
Valeur de $U$	&1&1,8 &2,6&3,4&4,2&5&5,8&6,6&7,4&8,2&9\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item %Quelle est la valeur finale affichée par cet algorithme? À quoi correspond-elle ?
Au bout de 10 ans la surface cultivée en bio sera de 8,8~ha.
\item %La limite fixée par la production biologique est-elle atteinte pour cette année-là ?
On a $18 \times \dfrac{70}{100} = 12,6$. Comme $9 < 12,6$ la limite de superficie n'est pas atteinte au bout de 10 ans.
\item ~%Réécrire l'algorithme afin qu'il affiche l'année à partir de laquelle la limite imposée par une production biologique sera atteinte.
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables}&\\
&$K$ un entier naturel\\
&$U$ un nombre réel\\
\textbf{Début}&\\
&$U$ prend la valeur 1\\
&$K$ prend la valeur $0$\\
&\hspace{0,6cm}\begin{tabular}{|l}
	Tant que $U < 12,6$\\
	$U$ prend la valeur $U + 0,8$\\
	$K$ prend la valeur $K + 1$\\
	Fin Tant que
		\end{tabular}\\
&Afficher $2015+K$\\
\textbf{Fin}&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large ANNEXE 1}

\vspace{0,5cm}

\textbf{À rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}

\psset{unit=1.4cm}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(7.5,3.25)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt](-1,-1)(8,4)
\psaxes[linewidth=1pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-1,-0.99)(7.5,3.25)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[u](7.3,0){$x$}
\uput[r](0,3.1){$y$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0.75}{7}{12 x mul 16 sub x dup mul 2 mul sub}
\pscustom[fillstyle=vlines]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.5}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{2.5}{2}{12 x mul 16 sub x dup mul 2 mul sub}
\psline(2,0)(1,0)}
\uput[l](1.2,0.75){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[d](0.5,0){$\vect{\imath}$}\uput[l](0,0.5){$\vect{\jmath}$}
\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](3.5,1.5){$\mathcal{C}_g$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.75}{7}{x 1 sub 2.71828 x 2.5 sub exp div}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}