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\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
%Tapuscrit  : Arié Yallouz
%Relecture : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {STI2D STL/SPCL Antilles Guyane},
pdftitle = {4 septembre 2020},
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pdfstartview=FitH}
\usepackage[np]{numprint}\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D et STL/SPCL}
\lfoot{\small{Antilles Guyane}}
\rfoot{\small 4 septembre 2020}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat  STI2D et STL/SPCL - Antilles Guyane ~\decofourright\\[5pt]4 septembre 2020}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}
%
%On note i le complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~
	\begin{enumerate}
		\item $f'(0) = 5$ : on ne peut pas lire dans le tableau la valeur de ce nombre dérivé.
		\item si $x \leqslant 0$ alors $f'(x) \leqslant 0$ : sur $]- \infty~;~0]$ la fonction $f$ est croissante, donc $f'(x) \geqslant 0$.
		\item la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote parallèle à l'axe des abscisses : on a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - 2$ : ceci prouve que la droite dont une équation est $y = - 2$ est asymptote horizontale à la courbe $\mathcal{C}_f$.
		\item la courbe $\mathcal{C}_f$ admet une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées : le tableau montre que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$, mais ceci ne prouve pas l'existence d'une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées
	\end{enumerate}
\item Pour tout réel strictement positif $b$ le nombre $\ln \left(b^{-3}\right)$ est égal à :
%	\begin{enumerate}
%		\item $-3b$
%		\item $-3 \ln b$ 
%		\item  $(\ln b)^{-3}$
%		\item $\dfrac{1}{\ln \left(b^{3}\right)}$
%	\end{enumerate}

$\ln \left(b^{-3}\right) = - 3 \ln b$, car $b > 0$.
\item Soit $x$ un nombre réel. On considère le nombre complexe $z$ dont la partie réelle est $x$ et dont la partie imaginaire est 3. La partie imaginaire de $z^2$ est égale à :

%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 6&\textbf{b.~~} 9&\textbf{c.~~} $6x$&\textbf{d.~~}$(6x)$i
%\end{tabularx}

On a $z = x + 3\text{i}$, donc $z^2 = x^2 - 9 + 6\text{i}$. La partie imaginaire est donc $6x$.
\item %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé \Ouv.

Les points A, B et C ont pour affixes respectives $z_{\text{A}} = \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$, \:$z_{\text{B}} = \text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{3}}$ et $z_{\text{C}} = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

%Le graphique correct est :
\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.2)(1.1,2)
\pscircle(0,0){1}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.5,-1.2)(1.1,2)
\psline(1;-60)(2;120)
\uput[dr](1;-60){C}\uput[ul](2;120){B}\uput[l](1;120){A}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[r](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(0.5;-60)(0.5;120)(1.5;120)
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.2)(1.1,2)
\pscircle(0,0){1}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.5,-1.2)(1.1,2)
\psline(1;-60)(1;120)\psline(1;-120)
\uput[dr](1;-60){B}\uput[dl](1;-120){C}\uput[l](1;120){A}
\psdots(0.5;120)(0.5;-60)(0.5;-120)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[r](0,0.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.2)(1.1,2)
\pscircle(0,0){1}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.5,-1.2)(1.1,2)
\psline(1;-60)(2;120)\psline(1;-120)
\uput[ul](2;120){C}\uput[dl](1;-120){B}\uput[l](1;120){A}
\psdots(0.5;120)(0.5;-120)(1.5;120)
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[r](0,0.5){$\vect{v}$}
\end{pspicture}&
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-1.5,-1.2)(1.1,2)
\pscircle(0,0){1}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(-1.5,-1.2)(1.1,2)
\psline(0;0)(2;120)\psline(0;0)(1;150)
\uput[ul](2;120){C}\uput[ul](1;150){B}\uput[l](1;120){A}
\uput[d](0.5,0){$\vect{u}$}\uput[r](0,0.5){$\vect{v}$}
\psdots(0.5;120)(0.5;150)(1.5;120)
\end{pspicture}\\
\textbf{a.}&\textbf{b.}&\textbf{c.}&\textbf{d.}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

Les deux premiers complexes ont pour module 1 : A et B appartiennent donc au cercle trigonométrique ce qui élimine le premier graphique.

Le module de $z_{\text{C}}$ est égal à 2 ce qui élimine le graphique \textbf{b.}.

Or un argument de $z_{\text{B}}$ est $\dfrac{4\pi}{3}$ ce qui élimine le graphique \textbf{d.}: le graphique correct est donc le \textbf{c.}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\medskip

%Une compagnie aérienne annonce qu'elle souhaite augmenter sa rentabilité, tout en surveillant la fiabilité de ses appareils et en garantissant la satisfaction de ses passagers.
%
%Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.
%
%Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième. 
%
%\medskip

\textbf{PARTIE A - Rentabilité}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %La compagnie aérienne étudie le taux de remplissage de ses avions. On considère que le taux de remplissage d'un avion peut être modélisé par la variable aléatoire $R$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 0,85$ et d'écart-type $\sigma = 0,05$.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner $P(R \leqslant 0,85)$.
Puisque la moyenne est 0,85, on a $P(R \leqslant 0,85) = \dfrac{1}{2} = 0,5$.
		\item %Déterminer la probabilité que le taux de remplissage d'un avion soit compris entre $0,8$ et~$0,9$.

On a $P(0,80 < R < 0,90) = P(\mu - \sigma < R < \mu + \sigma) \approx 0,68$.

Avec la calculatrice :

$P(R < 0,90) \approx \np{0,841345}$ et $P(R < 0,80) \approx \np{0,158655}$, d'où par différence :

$P(0,80 < R < 0,90) \approx \np{0,841345} - \np{0,158655} \approx \np{0,682689}$, soit 0,683 au millième près.
	\end{enumerate}
\item %On considère que, pour un passager ayant acheté un billet, la probabilité de se présenter à l'embarquement pour ce vol est de $0,96$.

%Afin d'augmenter sa rentabilité, la compagnie décide de pratiquer la surréservation. Pour cela, elle vend $250$ billets pour un vol dans un avion ne contenant que $246$ places.

%Soit $X$ la variable aléatoire comptant le nombre de passagers se présentant à l'embarquement pour ce vol.

%On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n = 250$ et $p = 0,96$.
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'espérance de la variable aléatoire $X$. Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
On a $E = n \times p = 250 \times 0,96 = 240$.

Ceci signifie qu'en moyenne 240 personnes se présenteront à chaque vol.
		\item %Donner la probabilité qu'au moins $247$ passagers se présentent à l'embarquement pour ce vol.
La probabilité qu'il y ait au plus 246 passagers, est environ égale à : 0,991 au millième près.

Donc la probabilité qu'au moins $247$ passagers se présentent à l'embarquement pour ce vol est environ $1 - 0,991 = 0,009$.

$P(X = 247) + P(X = 248) + P(X = 249) + P(X = 250) = \binom{247}{250}0,96^{247} \times 0,04 ^3 + \binom{248}{250}0,96^{248} \times 0,04 ^2 + \binom{249}{250}0,96^{249} \times 0,04 ^1 + \binom{250}{250}0,96^{250} \times 0,04 ^0.$
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B- Fiabilité}

\medskip

%À la suite d'une visite de maintenance, la compagnie décide de remplacer un composant électronique de la sonde de température par un nouveau composant plus fiable.
%
%On admet que le temps de fonctionnement avant panne de ce nouveau composant, exprimé en année, est une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,025$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le temps moyen de fonctionnement avant panne de ce nouveau composant.
On a $T = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,025} = 40$~(années).
\item %Calculer $p(T < 40)$.
On sait que $p(T < 40) = 1 - \text{e}^{-0,025 \times 40} = 1 - \text{e}^{-1} \approx \np{0,6321}$, soit environ 0,623 au millième près.
\item %La prochaine visite de maintenance pour cet avion est prévue dans deux ans. Déterminer la probabilité que ce composant électronique ne subisse pas de panne avant la prochaine visite.
On a $p(T < 2) - \text{e}^{- 0,025 \times 2} = 1 - \text{e}^{-0,05}$.

Donc la probabilité que ce composant électronique ne subisse pas de panne avant la prochaine visite est égale à $1 - \left(1 - \text{e}^{-0,05}\right) = \text{e}^{-0,05}\approx \np{0,9512}$ soit 0,951 au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE C - Satisfaction des passagers}

\medskip

%Après une étude interne, la compagnie aérienne affirme que 90\,\% de ses passagers sont satisfaits.
%
%Une association de consommateurs procède à une enquête indépendante auprès de $450$ passagers et constate que $63$ clients sont mécontents.
%
%Au seuil de 95\,\%, faut-il mettre en doute l'affirmation de la compagnie aérienne ? Justifier la réponse.

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%On rappelle que lorsque la proportion $p$ dans la population est connue, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est
%donné par : $\left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;p+1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right]$.\\ \hline
%\end{tabularx}
Avec $n = 450$, \: $p = 0,9$, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par : $\left[0,9 - 1,96\sqrt{\dfrac{0,9(1 - 0,9)}{450}}~;~0,9 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,9(1 - 0,9)}{450}}\right] \approx [0,872~;~0,928]$.

Sur l'échantillon la proportion de clients satisfaits est égale à : 

$\dfrac{450 - 63}{450} = \dfrac{387}{450} = \dfrac{9 \times 43}{9 \times 50} = \dfrac{43}{50} = \dfrac{86}{100} = 0,86$.

Comme $0,86 \notin [0,872~;~0,928]$, on peut mettre en doute l'affirmation de la compagnie aérienne.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes}.

\medskip

\textbf{PARTIE A}

\medskip

%En 2015, la consommation d'électricité liée aux usages du numérique en France était de $56$ térawattheures (TWh).
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On admet que cette consommation augmente de 4\,\% par an depuis 2015.

%Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la consommation d'électricité liée aux usages du numérique en France, exprimée en térawattheure, pour l'année $2015+n$.
 
%Ainsi, $u_0 = 56$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la consommation d'électricité, exprimée en TWh, liée aux usages du numérique en 2016.
La consommation devrait être en 2016 égale à : $56 \times 1,04 = 58,24$.
		\item %Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et donner ses éléments caractéristiques.
D'une année à la suivante la consommation est multipliée par 1,04.
		
On a donc pour pour tout naturel $n$, \: $u_{n+1} = 1,04u_n$ : la suite $\left(u_n\right)$  est une suite géométrique de premier terme $u_0 = 56$ et de raison $1,04$.
		\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
On sait que pour tout naturel $n$, \: $u_{n} = 56 \times 1,04^n$.
		\item %On admet que chaque année, la consommation d'électricité en France, tous usages confondus, est égale à $480$~TWh.
		
E%st-il exact d'affirmer qu'en 2030, plus de 20\,\% de la consommation d'électricité sera liée aux usages du numérique ? Justifier la réponse.
2030 correspond à $n = 15$.

On aura donc $u_{15} = 56 \times 1,04^{15}\approx 100,9$.

Or 20\,\% de 480 représente $0,20 \times 480 = 96$.

Conclusion : l'affirmation est exacte.
	\end{enumerate}
\item %On estime qu'en 2030, en France, la consommation d'électricité liée aux usages du numérique sera de $101$~TWh. 

%À partir de 2030, on envisage une baisse de la consommation d'électricité liée aux usages du numérique de 3 TWh par an. 

%Déterminer en quelle année la consommation d'électricité liée aux usages du numérique sera égale à la consommation en 2015.

En $2030 + n$ la consommation devrait être égale à $101 - 3n$.

Il faut trouver $n$ tel que $101 - 3n = 56$, soit $101 - 56 = 3n$ ou $45 = 3n$ soit finalement $n = 15$

En 2045 la consommation d'électricité liée aux usages du numérique sera de 56 TWh.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B}

\medskip

%On considère un conducteur électrique représenté par une tige métallique rectiligne fixée en ses deux extrémités.
%
%Dans le repère orthonormé \Oij{} ci-dessous, d'unité graphique un centimètre, la tige métallique est modélisée par le segment [OP], où P désigne le point de coordonnées (1~;~0).
%
%\begin{center}
%\psset{unit=8cm,comma=true}
%\begin{pspicture*}(-0.08,-0.08)(1.05,0.38)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,griddots=15](0,0)(1,0.3)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(1.05,0.38)
%\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,0){P}
%\psline[linewidth=2.5pt](1,0)
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%En raison d'une augmentation de la température, cette tige métallique se déforme en se dilatant.
%
%La tige déformée est schématisée ci-dessous par la courbe $\mathcal{C}$ passant par les points O et P.
%
%La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point O passe par le point T de coordonnées (0,3~;~0,3).
%
%\begin{center}
%\psset{unit=8cm,comma=true}
%\begin{pspicture*}(-0.08,-0.08)(1.05,0.4)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,griddots=15](0,0)(1,0.4)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.1,Dy=0.1,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(1.05,0.4)
%\uput[dl](0,0){O}\uput[ur](1,0){P}
%\psline[linewidth=2.5pt](1,0)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x 180 mul sin 3.141592 div}
%\psline(0.38,0.38)
%\psdots(0.3,0.3)\uput[ul](0.3,0.3){T}\uput[r](0.7,0.26){\red $\mathcal{C}$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%On admet que la courbe $\mathcal{C}$ est la courbe représentative d'une fonction $f$, solution de l'équation différentielle $(E)$, dans laquelle $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et deux fois dérivable sur l'intervalle [0~;~1].
%
%\[(E) :\qquad  y'' + \pi^2 y = 0.\]
%
%\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer les solutions de l'équation différentielle $(E)$ sur l'intervalle [0~;~1].

On sait que la solution générale de l'équation différentielle $(E)$ est :

$y = A \sin \pi x$, avec $A \in \R$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Sans justifier, donner la valeur de $f(0)$.
D'après le graphique $f(0) = 0$.
		\item %Déterminer la valeur de $f'(0)$. Justifier la réponse.
D'après le graphique $f'(0) = \dfrac{0,3}{0,3} = 1$.
		\item %En déduire que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~1], $f(x) = \dfrac{1}{\pi} \sin (\pi x)$.
D'après le résultat précédent comme $f'(x) = A \pi \cos \pi x$, on a donc :

$f'(0) = A \pi \cos 0  = 1$ ou $A \pi = 1$ et $A = \dfrac{1}{\pi}$.

Conclusion : sur [0~;~1], \: $f(x) = \dfrac{1}{\pi} \sin (\pi x)$.
	\end{enumerate}
\item On considère que la tige métallique subit une détérioration irréversible lorsque le
maximum de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~1] est supérieur à $\dfrac{1}{3}$.

Est-ce le cas ? Justifier la réponse.
La fonction  a un extremum (maximum) quand $f'(x) = 0$, soit $\cos \pi x = 0$, soit si $\pi x = \dfrac{\pi}{2}$ donc pour $x = \dfrac{1}{2} = 0,5$ (ce que confirme le graphique).

Or $f(0,5) = \dfrac{1}{\pi} \sin \left(\frac{1}{2}\pi x\right) = \dfrac{1}{\pi}\sin \frac{\pi}{2} = \dfrac{1}{\pi}$.

La calculatrice donne $\dfrac{1}{\pi} \approx 0,318 < 0,333$ valeur approchée de $\dfrac{1}{3}$ : la déformation ne sera pas irréversible.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\medskip

%Dans cet exercice, on s'intéresse à l'évolution depuis 1958 de la concentration de dioxyde de carbone $\left(\text{CO}_2\right)$ dans l'atmosphère terrestre.
%
%Cette concentration est exprimée en \og partie par million en volume \fg{} (ppmv).
%
%\smallskip
%
%Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
%
%\medskip

\textbf{PARTIE A - Modélisation}

\medskip

%On modélise la concentration de CO$_2$ dans l'atmosphère, exprimée en ppmv, par une
%fonction $f$ de la variable $t$ définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : 
%
%\[f(t) = 280 +k\text{e}^{at}\]
%
%où $k$ et $a$ sont deux constantes réelles, et $t$ représente le temps écoulé depuis le 1\up{er} janvier 1958, exprimé en année.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Le 1\up{er} janvier 1958, la concentration de CO$_2$ dans l'atmosphère valait $315$~ppmv. Déterminer la valeur de la constante $k$.
Le 1\up{er} janvier 1958 correspond à $t = 0$. Donc :

$f(0) = 280 + k\text{e}^{0\times a} = 280 + k = 315$, soit $k = 315 - 280 = 35$.
		\item %Le 1\up{er} janvier 2018, la concentration de CO$_2$ dans l'atmosphère valait $411,25$~ppmv. Déterminer la valeur exacte de la constante $a$.
Le 1\up{er} janvier 2018 correspond à $t = 60$. Donc :

$f(60) = 280 + 35\text{e}^{ a \times 60} = 411,25$, soit $35\text{e}^{ a \times 60} = 411,25 - 280$ ou $35\text{e}^{a \times 60} = 131,25$ soit 

$\text{e}^{60a} = \dfrac{131,25}{35}$ et $\text{e}^{60a} = 3,75$.

Par croissance de la fonction logarithme népérien on a donc $60a = \ln 3,75$ et enfin 

$a = \dfrac{\ln 3,75}{60} \approx \np{0,022029} \approx 0,022$ au millième près.
	\end{enumerate}
\item Dorénavant, on prend pour valeur de $a$ le nombre $0,022$.

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par

\[f(t) = 280 + 35\text{e}^{0,022t}.\] 

%La concentration de CO2 mesurée le 1\up{er} janvier 1994 était de 357 ppmv.

%La modélisation choisie semble-t-elle pertinente ?
Le 1\up{er} janvier 1994 correspond à $t = 36$. Donc :

$f(36) = 280 + 35\text{e}^{0,022 \times 36} = 280 + 35\text{e}^{0,792} \approx 357,273$, donc la valeur relevée à cette date à l'unité près : la  modélisation choisie est pertinente.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{PARTIE B - Étude de la fonction }\boldmath $f$ \unboldmath

\medskip

%La concentration de CO$_2$ dans l'atmosphère, exprimée en ppmv, est modélisée par la
%fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 
%
%\[f(t)=280 + 35\text{e}^{0,022t}\]
%
%où $t$ représente le temps écoulé depuis le 1\up{er} janvier 1958, exprimé en année. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
Comme $\displaystyle\lim_{\to + \infty} 0,022t = + \infty$, on sait que  $\displaystyle\lim_{\to + \infty} \text{e}^{0,022t} = 280 + \displaystyle\lim_{\to + \infty} \text{e}^{0,022t} = + \infty$.

Donc $\displaystyle\lim_{\to + \infty}f(t) = + \infty$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $f'(t)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		Sur $[0~;~+\infty[$, \: $f$ est dérivable et sur cet intervalle :
		
		$f'(t) = 0 + 35 \times 0,022\text{e}^{0,022t} = 0,77\text{e}^{0,022t}$.
Comme $0,77 > 0$ et $\text{e}^{0,022t} > 0$, quel que soit le réel $t$, on a donc $f'(t) > 0$.
		\item %En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Le résultat précédent montre que la fonction $f$ est strictement croissante de 

$f(0) = 280 + 35 = 315$ à $+ \infty$.	
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer une primitive $F$ de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Une primitive de la fonction $f$ est la fonction $F$ définie sur $[0~;~+\infty[$ par 

$F(t) = 280t + 35 \times \dfrac{1}{0,022}\text{e}^{0,022t} = 280 + \dfrac{35}{0,022}\text{e}^{0,022t}$.
		\item %On pose $m = \dfrac{1}{60}\displaystyle\int_0^{60}f(t)\: \text{d}t$.

%Exprimer $m$ en fonction de $F$.
On a $m = \dfrac{1}{60}[f(t)]_0^{60} = \dfrac{1}{60}[F(60) - F(0)]$.
		\item %Donner la valeur de $m$ arrondie au centième.
O a donc $m = \dfrac{1}{60}\left[280 \times 60 + \dfrac{35}{0,022}\text{e}^{0,022\times 60} - 280 \times 0 - \dfrac{35}{0,022}\text{e}^{0,022\times 0} \right] =$

$ 280 + \dfrac{35}{60\times 0,022}\left(\text{e}^{1,32} - \text{e}^{0}\right)  = 280 + \dfrac{7}{0,264}\left(\text{e}^{1,32} - 1\right) \approx 352,742$, soit 352,74 au centième près.
		\item %Interpréter dans le contexte de l'exercice la valeur obtenue à la question c.
La fonction $f$ étant positive $m$ est égale à  la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [50~;~60].

$60m$ est égale à l'aire (en unité d'aire) de la surface limitée par :
		
-- la représentation graphique de $f$,
		
-- l'axe des abscisses, 

-- les droites d'équation $x = 0$ et $x = 60$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(-2,-5)(60,100)
\psframe[linecolor=blue](60,72.74)
\multido{\n=0+5}{13}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,100)}
\multido{\n=0+10}{11}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n,)(60,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Oy=280,Dy=10]{->}(0,0)(0,0)(60,100)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Oy=280,Dy=20](0,0)(0,0)(60,100)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{60}{25 2.71828 x 0.022 mul exp mul}
\uput[l](0,72.74){\blue $m \approx 352,74$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip
$m$ est la longueur d'un rectangle de largeur 60 qui a la même aire que celle de la surface précédente sous la courbe représentation graphique de $f$.

Cela signifie que la valeur moyenne sur 60 ans depuis le 1\up{er}  janvier 1958 de la concentration de CO$_2$  est égale à 352,74.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{PARTIE C - Variabilité saisonnière}

\medskip

%Les relevés de la concentration de CO$_2$ dans l'atmosphère depuis 1958 mettent en évidence une variabilité saisonnière.
%
%La concentration de CO$_2$, exprimée en ppmv, est alors modélisée par la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par:
%
%\[g(t) = 280 + 35\text{e}^{0,022t} + 3,5 \sin (2\pi t)\]
%
%où $t$ représente le temps écoulé depuis le 1\up{er} janvier 1958, exprimé en année.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous afin que la variable $C$ affiche successivement les concentrations de CO$_2$ le 1\up{er} de chaque mois de l'année 2018.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$T \gets 60$\\
Pour $i$ allant de {\blue 1} à {\blue 12}\\
\qquad $C \gets{\blue 280+35*\text{e}^{0,022*T} +3,5*\sin(2*\pi*T)}$\\
\qquad $T \gets T+ \dfrac{1}{12}$\\
\qquad Afficher $C$\\
 Fin Pour\\ \hline
 \end{tabular}
 \end{center}
 
\item ~%Au début de quel mois de l'année 2018 la concentration de CO$_2$ est-elle minimale ?

\begin{center}
\psset{xunit=10cm,yunit=.5cm,algebraic=true,arrowsize=2pt 4}
\begin{pspicture}(-0.1,-1)(1.1,20)
\multido{\n=0.0000+0.0833}{13}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,0)(\n,20)}
\multido{\n=0+1}{21}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](0,\n,)(1,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=60,Oy=400,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1,20)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=60,Oy=400,Dy=5](0,0)(0,0)(1,20)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=green]{0}{1}{3.5*sin(6.28319*(x+60))+35*2.71828^(0.022*(x+60))-120}
\uput[d](0.083,0){F}\uput[d](0.167,0){M}\uput[d](0.25,0){A}\uput[d](0.333,0){M}
\uput[d](0.417,0){J}\uput[d](0.5,0){Jl}\uput[d](0.583,0){A}\uput[d](0.667,0){S}
\uput[d](0.75,0){O}\uput[d](0.833,0){N}\uput[d](0.917,0){D}
%\psline[ArrowInside=->](0.75,0)(0.75,14.49)(0,14.49)
\psline[linestyle=dashed,ArrowInside=->](0,9.67)(0.729,9.67)(0.729,0)
\uput[l](0,9.5){\blue $\approx 409,67$}
\end{pspicture}
\end{center}
$\bullet~~$ En programmant l'algorithme on trouve la plus petite valeur  de $C$ pour $60 + \dfrac{9}{12} = 60 + \dfrac{3}{4} = 60,75$.
La concentration est minimale au 9\up{e} mois  soit en octobre 2018.

$\bullet~~$ On peut tracer la courbe représentative de de la fonction $g$ sur l'intervalle [60~;~61].
Le minimum est obtenu pour $x = 60,75$.

\emph{Rem.} En fait le minimum de la fonction sur l'intervalle [60~;~61] est obtenue pour $x \approx 60,729$ et le minimum est environ 409,67.
\end{enumerate}
\end{document}