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% Tapuscrit : Denis Vergès
% Corrigé : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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%% 1 est la marge gauche
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%%%%   Commandes perso FH
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\begin{document}
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%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{Corrigé du baccalauréat STI2D STL spécialité SPCL}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{15 novembre 2016}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL spécialité SPCL~\decofourright\\[5pt]
Nouvelle-Calédonie 15 novembre 2016\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\medskip

%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\emph{La politique communautaire de gestion des déchets et ses déclinaisons françaises sont
%définies par de nombreuses directives, dont la portée varie. Certaines ont une portée
%générale et d'autres concernent certaines catégories de déchets spécifiques.}\\
%~\\
%\emph{Le Projet de Plan national de prévention des déchets $2010-2020$ concerne les déchets
%ménagers et assimilés (DMA). L'objectif proposé par ce projet est une réduction annuelle
%de 7\,\% des DMA produits par habitant entre $2010$ et $2020$.}\\
%~\\
%\emph{Les DMA produits en France ont été de $590$ kg par habitant en $2011$ et de $570$ kg par
%habitant en $2013$.}\\ 
%\hfill Source ADEME\\\hline
%\end{tabularx}
%
%\bigskip

\subsection*{Partie A}

\medskip

%La réduction des DMA produits entre 2011 et 2013 atteint-elle l'objectif fixé par le Projet de Plan national de prévention des déchets ?

L'objectif fixé est une réduction de 7\,\% par an des DMA; on applique cette réduction à la masse produite en 2011:
$590 - 590\times \dfrac{7}{100} = 548,70$. Puis on applique cette réduction à ce qui aurait dû être la production de DMA en 2012: $548,70 - 548,70\times \dfrac{7}{100} \approx 510,3$ kg.

La production de DMA en 2013 est de 570 kg et elle aurait dû être de $510,3$~kg donc on peut dire que l'objectif fixé par le Projet de Plan national de prévention des déchets n'a pas été atteint pour la période 2011-2013.

\subsection*{Partie B}

\medskip

On considère que les objectifs du plan national de prévention des déchets sont atteints à partir de 2013. On modélise par une suite $\left(u_n\right)$ la quantité de DMA produits en kg par habitant, le terme $u_n$ correspondant à l'année $(2013 + n)$.
Ainsi $u_0 = 570$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $u_1 = u_0 - u_0\times \dfrac{7}{100} = 570\left ( 1-\dfrac{7}{100}\right ) = 530,1$ kg.

\item $2015 = 2013+2$ donc la masse de DMA produite en 2015 est $u_2 = u_1\times \left ( 1-\dfrac{7}{100}\right ) \approx 493$ kg. 

\item% Déterminer la nature de la suite $\left(u_n\right)$ puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
Baisser de 7\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{7}{100}=0,93$; donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,93$ et de premier terme $u_0=570$.

On en déduit que $u_n=u_0\times q^n = 570 \times 0,93^n$.

\end{enumerate}

\subsection*{Partie C}

\medskip

%
%\parbox{0.4\linewidth}{On considère l'algorithme ci-contre :}\hfill
%\parbox{0.5\linewidth}{\begin{tabularx}{\linewidth}{|lX|}\hline
%\textbf{Variables}	
%				&$n$ : un nombre entier naturel\\
%				&$q$ : un nombre réel\\
%				&$U$ : un nombre réel\\
%\textbf{Entrée}		
%				&Saisir $n$\\
%\textbf{Initialisation}	
%				&Affecter à $u$ la valeur 570\\
%				&Affecter à $q$ la valeur 0,93\\
%\textbf{Traitement}	
%				&Répéter $n$ fois\\
%				&\hspace{0.5cm} Affecter à $u$ la valeur $u \times q$\\
%\textbf{Sortie}		
%				&Afficher $u$\\ \hline
%\end{tabularx}}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On entre dans l'algorithme la valeur $n = 4$:

%Faire fonctionner cet algorithme pour compléter les cases non grisées du tableau suivant, que l'on recopiera (on donnera des valeurs arrondies au kg près par habitant).

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&$n$ &$q$ &$u$\\ \hline
Entrées et initialisation& 4 &0,93 &570\\ \hline
1\up{er} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}& \textcolor{red}{530}\\ \hline
2\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}& \textcolor{red}{493}\\ \hline
3\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}& \textcolor{red}{458}\\ \hline
4\up{e} passage dans la boucle de l'algorithme&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}&\multicolumn{1}{>{\columncolor{lightgray}}c|}{\quad}& \textcolor{red}{426}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item La valeur de $u$ obtenue au quatrième passage dans la boucle de l'algorithme correspond à $u_4$, c'est-à-dire la masse de DMA supposée produite en $2013+4 = 2017$, si le modèle est conservé.

\item% Quel sera le pourcentage de réduction des DMA produits entre 2013 et 2017 si l'objectif du Projet de Plan national de prévention des déchets est atteint chaque année?
Entre 2013 et 2017 il y a 4 années.

Une baisse de 7\,\% correspond à une multiplication par $0,93$; une baisse de 7\,\% sur 4 ans correspond à une  multiplication par $0,93^4 \approx 0,748$. Une multiplication par $0,748$ correxpond à une baisse de $(1-0,748)\times 100 = 26,2$\,\%.

\item% Quelle devrait être la quantité de DMA produits en 2020 pour atteindre l'objectif fixé par le Projet de Plan national de prévention des déchets?
$2020=2013+7$ donc la quantité de DMA produits en 2020 est
$u_7= 570\times 0,93^7 \approx 343$ kg.


\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip

%\emph{Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse en
%justifiant la réponse.\\
%Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée.\\
%Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}
%
%\bigskip

\begin{enumerate}
\item Considérons les deux nombres complexes $z_1 = \sqrt{2}\e^{\i\frac{3\pi}{4}}$ et $z_2 = 1 - \i\sqrt{3}$ où i est le nombre complexe de module 1 et d'argument $\frac{\pi}{2}$.

\textbf{Affirmation 1 :} Le produit $z_1 \times z_2$ est égal à $2\sqrt{2}\e^{\i\frac{5\pi}{12}}$.

\medskip

$z_2 = 1 - \text{i}\sqrt{3}$ donc $\left | z_2\right | = \ds\sqrt{1^2 + \left ( -\sqrt{3} \right )^2} = 2$;
$z_2=2 \left ( \dfrac{1}{2} - \i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right ) 
= 2\left ( \cos \left (-\dfrac{\pi}{3}\right ) + \i \sin \left ( -\dfrac{\pi}{3} \right ) \right ) = 2 \e^{\i \frac{-\pi}{3}}$

$z_1 \times z_2 = \sqrt{2}\e^{\text{i}\frac{3\pi}{4}} \times 2 \e^{\i \frac{-\pi}{3}}
= 2\sqrt{2} \e^{\i \left ( \frac{3\pi}{4} + \frac{-\pi}{3}\right )}
= 2\sqrt{2} \e^{\i \frac{5\pi}{12}}$

\smallskip

\textbf{Affirmation 1 vraie}

\medskip

\item \textbf{Affirmation 2 :} La solution $f$ de l'équation différentielle $y" + 4y = 0$ qui vérifie
$f(0) = - 1$ et $f'(0) = 2$ admet comme représentation graphique :

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-6,-3)(6,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2]{->}(0,0)(-6,-3)(6,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{6}{x RadtoDeg 2 mul sin 2 mul x RadtoDeg 2 mul cos sub}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=red](-6,2)(6,2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

D'après le cours, les solutions de l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y =0$ sont les fonctions $f$ définies par $f(t)= A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ où $A$ et $B$ sont deux réels quelconques.

Donc les solutions de l'équation différentielle $y'' + 4 y =0$ sont les fonctions $f$ définies par $f(t)= A \cos(2 t) + B \sin(2 t)$ où $A$ et $B$ sont deux réels quelconques.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item On sait que $f(0)=-1$ donc $A \cos(0) + B \sin(0) = - 1 \iff A\times 1 + B\times 0 = -1 \iff A=-1$.
\item On en déduit que $f(t) = - \cos(2t) + B\sin(2t)$ donc $f'(t)= 2 \sin(2t) + 2B \cos(2t)$.\\
On sait que $f'(0)=2$ donc $2 \sin(0) + 2B \cos(0) = 2 \iff 2\times 0 + 2B\times 1 = 2 \iff 2B=2 \iff B=1$.
\end{list}

La solution cherchée est donc la fonction $f$ définie par $f(t)=-\cos(2t) + \sin(2t)$.

On sait que, quel que soit le réel $x$, $-1\pp \cos(x) \pp +1$ et $-1\pp \sin(x) \pp +1$; on peut en déduire que, quel que soit le réel $t$, $-2 \pp -\cos(2t) + \sin(2t) \pp +2$.

La courbe donnée dans le texte dépasse  2 en ordonnée (voir graphique) donc ce n'est pas la représentation graphique de la fonction $f$. 

\smallskip

\textbf{Affirmation 2 fausse}

\medskip

\item \textbf{Affirmation 3 :} La solution de l'équation $\ln(x + 3) = 5$ est $\e^5 - 3$.

\medskip

$\ln(x + 3) = 5 \iff x=3 = \e^{5} \iff x = \e^{5} - 3$

\smallskip

\textbf{Affirmation 3 vraie}

\medskip

\item La durée de vie en heures d'un certain type d'ampoules électriques est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,000125}\: \left(\text{exprimé en } \:h\right)$.

\textbf{Affirmation 4 :} En moyenne, la durée de vie d'une ampoule est \np{1250}~h.

\medskip

La durée de vie moyenne est l'espérance mathématique égale, dans le cas d'une loi exponentielle, à $\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{\np{0,000125}} = \np{8000}$ heures.

\smallskip

\textbf{Affirmation 4 fausse}

\medskip

\item  \textbf{Affirmation 5 :} la fonction $F(x) = x\ln x - x + 2$ est une primitive de la fonction $f(x) = \ln x$ sur l'intervalle $\cg 0~;~+\infty\cd$.

\medskip

$F'(x)= 1\times \ln(x) + x \times \dfrac{1}{x} - 1 + 0 = \ln(x) +1-1 = \ln(x)$.

\smallskip

\textbf{Affirmation 5 vraie}

\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\section*{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip
%
%Le bassin d'une piscine municipale a une capacité de \np{600000} litres d'eau. Afin de respecter les normes d'hygiène et de sécurité, \np{30000} litres d'eau de la piscine sont renouvelés chaque heure et le taux de chlore maximum autorisé est de $0,25$~mg/L.
%
%\smallskip
%
%Un soir après la fermeture de la piscine, alors que le taux de chlore est indétectable, $1$~kg de chlore est déversé par erreur dans le bassin à $20$~h.
%
%\smallskip
%
%Le directeur de la piscine souhaiterait savoir quand il pourra ouvrir à nouveau la piscine au public.
%
%On modélise la concentration massique du chlore présent dans la piscine par une fonction $f$. Lorsque $t$ désigne le temps écoulé depuis l'accident, exprimé en heures, $f(t)$ représente la concentration massique du chlore présent dans la piscine en milligrammes par litre.

On admet que la fonction $f$ qui donne la concentration massique de chlore présent dans la piscine est solution de l'équation différentielle (E) :
$y' + 0,05 y = 0$ où $y$  désigne une fonction de la variable  $t$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Résoudre l'équation différentielle (E).
D'après le cours, on sait que les solutions de l'équation différentielle $y'+ay=0$ sont les fonctions $f$ définies par $f(t) = C \e^{-at}$ où $C$ est un réel quelconque.

Les solutions de l'équation différentielle (E) sont donc les fonctions $f$ définies par $f(t)=C\e^{-0,05t}$ où $C$ est un réel quelconque.
		
		\item% Que vaut $f(0)$ ? En déduire une expression de $f(t)$ sur $[0~;~+ \infty[$.
Au moment de l'accident, à 20~h, le taux de chlore est indétectable donc à 0. On verse accidentellement 1~kg de chlore dans la piscine, ce qui fait $\np{1000000}$~mg pour $\np{600000}$ litres d'eau, soit une concentration de $\dfrac{\np{1000000}}{\np{600000}} = \dfrac{5}{3}$~mg/L. Donc $f(0= \dfrac{5}{3}$.

$f(t)=C\e^{-0,05t}$ donc $f(0)=\dfrac{5}{3} \iff C\e^{0} = \dfrac{5}{3} \iff C=\dfrac{5}{3}$.
Donc, sur $\cd0~;~+\infty\cd$, $f(t)=\dfrac{5}{3}\e^{-0,05t}$.

	\end{enumerate}
\item% On admet que $f$ est définie sur $[0~;~+ \infty[$ par $f(t) = \dfrac{5}{3} \times  \text{e}^{- 0,05t}$.

%À quel moment la piscine pourra-t-elle ouvrir de nouveau au public ?

La piscine pourra ouvrir au public à partir du moment $t$ où $f(t) \pp 0,25$; on résout cette inéquation:

$f(t) \pp 0,25 \iff
\dfrac{5}{3} \e^{-0,05t} \pp 0,25 \iff
\e^{-0,05t} \pp \dfrac{3}{5} \times 0,25 \iff
\e^{-0,05t} \pp 0,15 \\[5pt]
\phantom{f(t) \pp 0,25}
\iff
-0,05t \pp \ln(0,15) 
\iff
t \pg -\dfrac{\ln(0,15)}{0,05}$ 

Or $-\dfrac{\ln(0,15)}{0,05} \approx 38$ donc on pourra réouvrir la piscine au bout de 38 heures, soit à 10 heures le surlendemain de l'accident.

\end{enumerate}

%\vspace{0,25cm}
\newpage

\section*{\textsc{Exercice 4} \hfill 8 points}
 
\medskip

%Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.
%Dans l'ensemble de l'exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

Une usine fabrique des batteries au lithium-ion pour des vélos électriques. Le cahier des charges indique qu'une batterie mesure 15 cm de large.
Lors de la fabrication, on modélise la largeur des batteries par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 15$ et d'écart-type $\sigma = 0,02$.

%L'objectif de cet exercice est d'analyser la qualité de la production dans cette usine.

\medskip

\subsection*{Partie A}

\medskip

Une batterie est jugée conforme lorsque sa largeur, exprimée en centimètres, appartient à l'intervalle $\cd 14,95~;~15,05\cg$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Calculer la probabilité qu'une batterie prélevée au hasard dans la production soit non conforme.
On détermine la probabilité qu'une batterie soit conforme:
$P(14,95 \pp X \pp 15,05) \approx 0,988$.

Donc la probabilité qu'une batterie soit non conforme est environ
$1-0,988 = 0,012$.
\end{enumerate}

L'usine vend ses batteries au lithium-ion par lots de \np{2000} aux fabricants de vélos
électriques. En moyenne, chaque lot de \np{2000} batteries en contient $24$ non
conformes.

On note $p$ la probabilité qu'une batterie soit non conforme. On prélève au hasard \np{2000} batteries dans la production. La production est assez importante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise.

On modélise le nombre de batteries non conformes dans un lot de \np{2000} par une variable aléatoire $Y$.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item% Quelle loi suit la variable aléatoire $Y$ ? Préciser ses paramètres.
Une batterie a deux états possibles: elle est non conforme, avec une probabilité de $p=\dfrac{24}{2000}=0,012$, ou elle est conforme avec une probabilité de $1-p=1-0,012=0,988$.

On prélève \np{2000} batteries dans une production assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise: il s'agit donc d'une répétition dans les mêmes conditions d'une épreuve qui n'a que 2 issues. La variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre de batteries non conformes suit donc la loi binomiale de paramètres $n=\np{2000}$ et $p=0,012$.

\item La probabilité qu'il y ait au moins $30$ batteries non conformes dans un lot de \np{2000}~batteries est $P(Y\pg 30) \approx 0,131$.

\textbf{Remarque} - Le résultat est obtenu à la calculatrice; avec une calculatrice qui ne donne que $P(Y \pp x)$, on calculera $P(Y \pg 30) = 1- P(Y \pp 29)$.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsection*{Partie B}

\medskip

Dans le cadre d'un fonctionnement correct des machines de la chaîne de production, on admet que la proportion $p$ de batteries non conformes est 1,2\,\% soit $0,012$.
Le responsable de l'usine affirme qu'il ne vend pas de lot de \np{2000}~batteries qui en contienne plus de $40$ non conformes. 
%Quelle est la fiabilité de cette affirmation ?

%Justifier.

$n=\np{2000} \pg 30$; $np=24 \pg 5$ et $n(1-p) = \np{1976}$ donc on peut établir un intervalle de fluctuation  au seuil de 95\,\%:

\medskip

$I =\left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p\left (1-p\right )}}{n}~;~p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p\left (1-p\right )}}{n}\right ]
= \left [ 0,012-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,012\times 0,988}}{\np{2000}}~;~0,012+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,012\times 0,988}}{\np{2000}}\vphantom{\dfrac{\ds\sqrt{p\left (1-p\right )}}{n}}\right ]\\[7pt]
\phantom{I} \approx \cd 0,007~;~0,017 \cg$

\medskip

Avec 40 batteries non conformes sur \np{2000}, on obtient une fréquence de $\dfrac{40}{\np{2000}} = 0,02$; ce nombre n'appartient pas à l'intervalle de fluctuation trouvé.

On peut donc douter de la fiabilité de l'affirmation du responsable de l'usine, au risque de 5\,\% de se tromper.
\end{document}