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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : Jean-Claude Souque
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D/STL}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2014}}
\addtolength{\headheight}{\baselineskip}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0.15cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
 17 novembre 2014\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\smallskip
{\footnotesize
Au 1\up{er} janvier 2014, un particulier installe 20 m$^2$ de panneaux photovoltaïques à son
domicile. Pour estimer la rentabilité de cette installation, il utilise la documentation
suivante :

\smallskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
En France 1 m$^2$ de panneaux photovoltaïques correctement orientés produit environ
95~kWh/an.\\
La première année, une installation produit effectivement cette quantité et on estime
que la perte de rendement est de 3\,\% par an.\\
La rentabilité financière est assurée à partir du moment où la quantité totale d'énergie
produite depuis le début de l'installation dépasse \np{20000} \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Pour tout entier $n \geqslant 0$, on note $u_n$ la quantité d'énergie produite par l'installation durant l'année $2014 + n$.
}
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la quantité d'énergie produite en 2014  :
		
Si $\np[m^2]{1}$ produit \np[kWh]{95} alors $\np[m^2]{ 20} $produiront \np[kWh]{1900} $(20\times 95=\np{1900})$

 La quantité d'énergie produite en 2015 a baissé de 3\,\% par rapport à l'année précédente par conséquent elle a été multipliée par \np{0.97}. 
 
 $1900\times \np{0.97}=\np{1843}$. 
 
 La production en 2015 s'élève à \np[kWh]{1843}.
		\item À une diminution de 3\,\% correspond un coefficient multiplicateur de (1-\np{0.03}) c'est-à-dire de \np{0.97}. 

 Chaque terme se déduit du précédent en le multipliant par \np{0.97}. 
		
		Le terme précédent $ u_{n+1}$ est $u_n$  donc  $u_{n+1} = 0,97 \times  u_n$ pour tout entier naturel $n$.  

La suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de premier terme \np{1900} et de raison \np{0.97} 

Le terme général d'une suite  géométrique  de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est 

$u_n=u_0\times (q)^{n}$. Donc 
$u_n=\np{1900}\times \np{0.97}^n$.
	\end{enumerate}
\item Déterminons une estimation à la dizaine de kWh près, que l'on peut donner de la quantité d'énergie produite en 2044.

En 2044, $n=30$. En remplaçant $n$ par $30$ dans l'expression de $u_n$, nous avons $u_{30}=\np{1900}\times \np{0.97}^{30}\approx \np{761.913}$.

Une estimation à la dizaine de kWh près, que l'on peut donner de la quantité d'énergie produite en 2044 est \np[kWh]{760}.
\item La quantité d'énergie produite annuellement au bout d'un grand nombre d'années  tend vers $0$.
\item Pour déterminer en quelle année l'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement, résolvons

$\np{1900}\times (\np{0.97})^n\leqslant \dfrac{\np{1900}}{2}$.

$(\np{0.97})^n\leqslant \dfrac{\np{1}}{2} \iff n\ln\np{0.97} \leqslant -\ln 2 \iff n\geqslant \dfrac{-\ln 2}{\ln\np{0.97}}$.  Or $ \dfrac{-\ln 2}{\ln\np{0.97}}\approx \np{22.76}$.

Nous pouvons estimer que l'installation aura perdu plus de la moitié de son rendement en 2014+23 c'est-à-dire en 2037.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{l X}
1&VARIABLES\\
2& $u$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
3& $S$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
4& $n$ EST\_DU\_TYPE NOMBRE\\
5& DÉBUT ALGORITHME\\
6& $n$ PREND\_LA\_VALEUR 0\\
7& $u$ PREND LA VALEUR \np{1900}\\
8& $S$ PREND LA VALEUR \np{1900}\\
9& TANT\_QUE ($S< \np{20000}$) FAIRE\\
10& DÉBUT\_TANT\_QUE\\
11& $n$ PREND LA VALEUR $n+1$\\
12& $u$ PREND\_LA\_VALEUR $u \times 0,97$\\
13& $S$ PREND\_LA\_VALEUR $S+u$\\
14& FIN\_TANT\_QUE\\
15& AFFICHER $n$\\
16& FIN\_ALGORITHME\\
\end{tabularx}
\end{center}
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La ligne 8 sert  à initialiser la quantité totale d'énergie produite.
		\item La valeur affichée en exécutant cet algorithme est 12. Cela signifie qu'au bout de 12 ans, la quantité totale d'énergie produite est supérieure  à vingt mille kilowattheures, par conséquent la rentabilité financière est assurée.
	\end{enumerate}
\item On estime que la durée de vie de l'installation sera d'environ 25~ans.
	
Calculons  $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}$. 

$\left(u_n\right)$ étant une suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$, $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}=u_0\dfrac{1-q^{25}}{1-q}$. 

Par conséquent $u_0 + u_1 + u_2 + \cdots + u_{24}=1900\times \dfrac{1-\np{0.97}^{25}}{1-\np{0.97}}\approx \np{33758,3} \approx \np{33758}$~kWh.

Ce résultat correspond à la quantité d'énergie produite pendant les vingt-cinq ans de l'installation.

La rentabilité financière est donc assurée.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}
 
\medskip
{\footnotesize
Un grand constructeur automobile propose une nouvelle gamme de véhicules
électriques équipés de batteries au nickel-cadmium.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On s'intéresse à l'autonomie en kilomètres de cette nouvelle gamme de véhicules.

Soit $X$ la variable aléatoire qui à un véhicule tiré au hasard associe son autonomie
en km.

On suppose que $X$ suit la loi normale de moyenne $\mu = 104$ et d'écart type $\sigma = 6$.

On arrondira les résultats à $10^{-2}$ près.

On considère qu'un véhicule est conforme lorsque son autonomie est comprise
entre 92 et 116.
}

Déterminons la probabilité que le véhicule soit déclaré conforme. 

À l'aide de la calculatrice, nous obtenons $P(92 \leqslant X \leqslant 116)\approx \np{0.9545}$.

{\footnotesize Nous pouvons remarquer que [92~;~116] correspond à l'intervalle $[\mu-2\sigma~;~\mu+2\sigma]$.}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
{\footnotesize
Les véhicules sont parqués par lots de 75 avant de recevoir leur certificat de
conformité.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 75 véhicules choisis au hasard
dans la production associe le nombre de véhicules non-conformes dans cet
échantillon.

La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler tout échantillon de 
75 véhicules à un échantillon aléatoire prélevé avec remise.

On suppose que la probabilité qu'un véhicule soit non-conforme est $0,05$.
}
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binomiale et donner les paramètres de cette loi.

La loi de probabilité de $Y$ est une loi binomiale car il s'agit d'une répétition de $n$ séries indépendantes  et identiques caractérisées par  deux issues de probabilité  $p$ et $q$ telles que $p+q=1$. 

Le \og succès\fg {}  est l'évènement : \og  le véhicule est non conforme\fg{} avec la probabilité  $p=\np{0.05}$ et  l'\og échec \fg{} l'évènement \og le véhicule est conforme\fg{} avec la probabilité $q=\np{0.95}$.

 Nous avons donc une loi binomiale de paramètres (75~;~\ \np{0.05}) par conséquent $p(Y = k) =\binom{75}{k}(\np{0.05})^k(\np{0.95})^{75 - k}$

\item Calculons la probabilité de l'évènement :

\og dans l'échantillon prélevé au hasard, tous les véhicules sont conformes \fg. 

Nous avons donc $k=0$. $p(Y = 0) = \np{0.95}^{75} \approx \np{0.02}.$
% {\footnotesize On arrondira le résultat à $10^{-2}$ près.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip
{\footnotesize
Le constructeur automobile veut juger de l'impact d'une campagne publicitaire menée dans les médias pour la vente de cette nouvelle gamme de véhicules.

Dans un échantillon, considéré comme prélevé au hasard et avec remise, de \np{1000}~véhicules produits, on constate la vente de $148$~véhicules avant la campagne
publicitaire.

Sur une même période, après la campagne publicitaire, pour un échantillon de même taille et prélevé dans les mêmes conditions, on constate la vente de $177$~véhicules.

Que peut-on en conclure sur la campagne publicitaire ?
}
L' intervalle de confiance avec un niveau de confiance de 95\,\%  est : \[I = \left[p - 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}} \right]\]

Avant la campagne publicitaire, la proportion est  $ p_1=\dfrac{148}{\np{1000}}=\np{0.148} $. L'intervalle de confiance au niveau de 95\,\% est
 \[I_1 = \left[\np{0.148} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.148}(1 - \np{0.148})}{\np{1000}}}~;~\np{0.148} + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.148}(1 - \np{0.148})}{\np{1000}}} \right]\approx[\np{0.126}~;~\np{0.170}]\]

Après la campagne publicitaire, la proportion est $p_2=\dfrac{177}{\np{1000}}$. L'intervalle de confiance au niveau de 95\,\% \[I _2= \left[\np{0.177} - 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.177}(1 - \np{0.177})}{\np{1000}}}~;~\np{0.177} + 1,96\sqrt{\dfrac{\np{0.177}(1 - \np{0.177})}{\np{1000}}} \right]=[\np{0.153}~;~\np{ 0.201}]\]

Les intervalles n'étant pas disjoints, nous pouvons dire que la campagne n'a pas été efficace.
\vspace{0,25cm}



\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip
{\footnotesize
Pour chaque question, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est
attendue. Une bonne réponse apporte 1 point. Une mauvaise réponse, plusieurs
réponses ou l'absence de réponse n'apporte ni n'enlève de points.

Dans les questions 1. et 2. on considère la fonction $f$ définie sur $]7~;~+ \infty[$ par

\[f(x) = 3x^2 + x + \dfrac{1}{(x - 7)^2}\]
}

\begin{enumerate}
\item Une primitive $F$ de $f$ est donnée par :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$F(x) = 6x + 1 + \dfrac{2}{(x - 7)^3}$}&
\textbf{b.~~}\psframebox[linewidth=0.02pt]{ $F(x) = x^3 +  \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{1}{(x - 7)}$}\\
\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$F(x) = 9x^3 +  2x^2 + \dfrac{1}{(x - 7)}$}&
\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$F(x) = x^3+  \dfrac{x^2}{2} + \ln (x-7)$}\\
\end{tabularx}	
\item Laquelle des limites suivantes est correcte ?

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}	
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = - \infty$}&
	\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\displaystyle\lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$}\\
	\textbf{c.~~}\psframebox[linewidth=0.02pt]{$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = + \infty$}&
	\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\displaystyle\lim_{\substack{x \to 7\\x > 7}} f(x) = 154$}\\
\end{tabularx}
\item  Soit $z = - \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ alors l'écriture exponentielle du conjugué de $z$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{\pi}{3}}$}&
\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$}\\
\textbf{c.~~} \psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\overline{z} = \dfrac{1}{2}\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$}&
\textbf{d.~~}\psframebox[linewidth=0.02pt]{$\overline{z} = \text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}}$}\\
\end{tabularx}
	
	
\item  Un argument de $z = \sqrt{7}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} \times \text{e}^{-\text{i}\frac{3\pi}{7}}$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}\psframebox[linewidth=0.02pt]{$\dfrac{\pi}{14}$}&
\textbf{b.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\dfrac{13\pi}{14}$}\\
\textbf{c.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$- \dfrac{2\pi}{9}$}&
\textbf{d.~~}\psCancel[cancelType=s, linewidth=0.05pt]{$\sqrt{7}$}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}
 
\medskip
{\footnotesize
Un réservoir contient \np{1000} litres d'eau potable.

À la suite d'un incident, de l'eau de mer pénètre dans ce réservoir à raison de
10 litres par minute.

On s'intéresse à la salinité de cette eau, c'est-à-dire au taux de sel (en grammes
par litre), qui doit rester inférieure à 3,9 g.L$^{-1}$.

On modélise la situation en notant $s$ la salinité exprimée en grammes par litre et $t$
le temps écoulé en minutes depuis le début de l'incident.

On suppose que l'évolution de $s$ est représentée par l'équation différentielle

\[(\text{E}) : \quad  y' + 0,01y = 0,39.\]
}
\begin{enumerate}
\item Résolvons l'équation (E).

Les solutions de  l'équation différentielle $y'+ay=b$ sur  $\R$ sont les fonctions $y$ définies par  $y(x) = C\e^{-ax}+\dfrac{b}{a}$ où $C$ est une constante quelconque.

$a = \np{0.01}\ b = \np{0.39}$ par conséquent $y(t) =C \e^{-\np{0.01}t}+\dfrac{\np{0.39}}{\np{0.01}}$  d'où $y(t) = C \e^{-\np{0.01}t}+39$ où $C$ est une constante quelconque.

\end{enumerate}
On admet pour la suite qu'en considérant les conditions initiales, la fonction $s$ est définie par 

\[s(t) = 39 - 38,88\text{e}^{- 0,01t}.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminons la salinité de l'eau dans le réservoir avant l'incident c'est-à-dire à $t = 0$. 
		
		Calculons $s(0)$. $s(0) = 39 - 38,88\text{e}^{-0,01\times0}=\np{0.12}$
		\item La fonction $s$ est strictement croissante car la fonction dérivée définie par $x\mapsto -\np{38.88}\times (-\np{0.01})\e^{-\np{0.01}t}$ est une fonction positive.
		\item Déterminons la salinité de l'eau du réservoir 60~minutes après le début de l'incident.

 $s(60) = 39 - 38,88\text{e}^{-0,01\times 60 t}\approx\np{17.66}$ %Arrondir à $10^{-2}$ près.
 
La salinité de l'eau du réservoir 60~minutes après le début de l'incident est d'environ $\np[g.L^{-1}]{17.66}$.
		\item La salinité de l'eau du réservoir si l'on n'intervient jamais tend vers 39 puisque $\displaystyle \lim_{t\to +\infty} \e^{-\np{0.01}t}=0$
	\end{enumerate} 
\item La salinité doit rester inférieure à 3,9 g.L$^{-1}$.
	
De combien de temps le service de surveillance dispose-t-il pour arrêter l'arrivée de l'eau salée afin de limiter l'impact de l'incident ?

Pour ce faire, résolvons $s(t) < \np{3.9}$.
	
\smallskip
\begin{multicols}{2}
\begin{minipage}[]{5cm}
\begin{align*}
39-\np{38.88}\e^{-\np{0.01}t}& < \np{3.9}\\
-\np{38.88}\e^{-\np{0.01}t}& < \np{3.9}-39\\
\np{38.88}\e^{-\np{0.01}t}&>\np{35.1}\\
\np{38.88}\e^{-\np{0.01}t}&>\np{35.1}\\
\e^{-\np{0.01}t}& > \dfrac{\np{35.1}}{\np{38.88}}\\
\end{align*}
\end{minipage}

\smallskip

\begin{minipage}[]{0.6\linewidth}
\begin{align*}
\ln\e^{-\np{0.01}t}&>\ln\left(\dfrac{\np{35.1}}{\np{38.88}}\right)\\
-\np{0.01}t& > \ln\left(\dfrac{\np{35.1}}{\np{38.88}}\right)\\
t&<\dfrac{\ln\left(\dfrac{\np{35.1}}{\np{38.88}}\right)}{-\np{0.01}}\\
t& < - 100\ln\left(\dfrac{\np{35.1}}{\np{38.88}}\right)\\
-100\ln\left(\dfrac{\np{35.1}}{\np{38.88}}\right)&\approx \np{10.228}\\
\end{align*}
\end{minipage}
\end{multicols}

$10,228~\text{min} = 10~\text{min} + 0,228 \times 60~\text{s} \approx 10~\text{min}~ 13,7~\text{s}$.

Le service de surveillance dispose pour arrêter l'arrivée de l'eau salée afin de limiter l'impact de l'incident d'environ 10 minutes et 14 secondes.
\end{enumerate}
\end{document}