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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sciences et technologies de l'industrie et du développement durable\\
Sciences et technologies de laboratoire\\spécialité Sciences physiques et chimiques de laboratoire}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{19 novembre 2015}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,25cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie 19 novembre 2015\\}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 6 points}
 
\medskip

Jusqu'à présent Pierre n'a encore jamais réussi à économiser un seul euro. Pour le
responsabiliser dans la gestion de son argent de poche, ses parents décident de lui
verser 30 euros tous les premiers du mois.

Pierre décide que pour s'offrir le téléphone de ses rêves qui coûte 150 euros, il ne
dépensera chaque mois que 20\,\% de son capital accumulé.

Le premier versement lui a été fait au 1\up{er} janvier 2015.

\begin{enumerate}
\item %De quelle somme Pierre disposera-t-il encore au soir du 31 janvier 2015 ?
À la fin du mois, Pierre a dépensé 20\,\% des 30 euros ; il lui reste donc 80\,\% de cette somme soit : $30 \times 0,80 = 24$~euros.
\item %Soit $\left(u_n\right)$ le capital dont dispose Pierre juste après le $n$-ième versement. Ainsi $u_1$ vaut 30 et $u_5$ correspond au capital acquis par Pierre le 1\ier mai 2015.
\begin{enumerate}
\item  %Montrer que $u_2 = 54$.
À la fin du 1\ier mois il lui restait 24 euros auxquels s'ajoutent le lendemain les 30~euros mensuels ; $u_2 = 24 + 30 = 54$~(euros).
 \item %Justifier que $u_{n+1} = 0,8 u_n + 30$.
S'il lui reste $u_n$ il en dépense 20\,\%, donc il lui reste $0,80u_n$ auxquels s'ajoutent les 30~euros, donc $u_{n+1} = 0,8 u_n + 30$
\item ~%Recopier et compléter l'algorithme A suivant pour qu'il affiche le capital acquis
%le 1\up{er} avril 2015.

\medskip
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
\phantom{initial}Affecter à i la valeur 1\\
\phantom{initial}Affecter à u la valeur 30\\
\textbf{Traitement}\\
\phantom{ini}Tant que i $< 4$\\
\phantom{initial}Affecter à u la valeur $0,8*u + 30$\\
\phantom{initial}Affecter à i la valeur i + 1\\
\phantom{ini}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\phantom{initial}Afficher u\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

\item ~%Recopier et compléter le tableau suivant donnant des termes de la suite $\left(u_n\right)$ et conjecturer la limite de cette suite.

\medskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{11}{c|}}\hline
$n$		&21 	&22		&23 	&24 	&25		&26		&27 	&28		& 29 	&30\\\hline
$u_n$	&148,62	&148,89	&149,12	&149,29	&149,43	&149,55	&149,64	&149,71	&149,77	&149,81\\\hline
\end{tabular}
\end{center}

La suite semble croissante et se rapprocher de 150.
\item %Soit l'algorithme B suivant:

%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%\textbf{Initialisation}\\
%\phantom{initial} Affecter à i la valeur 1\\
%\phantom{initial} Affecter à u la valeur 30\\
%\phantom{initial} Saisir la valeur de p\\
%\textbf{Traitement}\\
%\phantom{ini} Tant que $\Big| \text{u} - 150 \Big|$ >p \\
%\phantom{initial} Affecter à u la valeur 0,8 u + 30\\
%\phantom{initial} Affecter à i la valeur i + 1\\
%\phantom{ini} Fin Tant que\\
%\textbf{Sortie}\\
%\phantom{initial} Afficher i\\
%\hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\medskip
%Comment utiliser cet algorithme B pour savoir à quel moment Pierre disposera d'au
%moins $149,90$ euros?
Il faut rentrer comme valeur de p : 0,10.
\item %Pierre se rend compte qu'avec cette gestion de son argent de poche il ne pourra
%jamais s'offrir le téléphone de ses rêves. Exposez un plan de gestion de l'argent de
%poche qui permette à Pierre d'effectuer son achat dans l'année sans demander plus
%d'argent à ses parents.
On peut essayer de dépenser moins de 20\,\% par mois : avec une dépense de 16\,\% on trouve qu'au bout de 12 mois Pierre disposera de 154,71~\euro. (On utilise l'algorithme A avec un coefficient de 0,84 au lieu de 0,8.) 
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est
exacte.\\
Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses
ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip

\textbf{\large Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante
choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La négation de la phrase suivante \og toute solution de l'équation (E) est
strictement supérieure à 3 \fg{} :
\begin{enumerate}
\item toute solution de (E) est inférieure ou égale à 3
\item aucune solution de (E) n'est strictement supérieure à 3
\item au moins une solution de (E) est inférieure ou égale à 3 VRAIE
\item une seule solution de (E) est inférieure ou égale à 3
\end{enumerate}
\item Soient $Z_1$ et $Z_2$ les nombres complexes définis par: $Z_1 = 2\e^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$ et $Z_2 = 3\e^{-\text{i}\frac{\pi}{2}} $.
Une forme exponentielle du quotient $\dfrac{Z_l}{Z_2}$ est :
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{2}{3}\e^{-\text{i}\frac{5\pi}{6}}$
\item $-\e^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\item $-\dfrac{2}{3}\e^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$
\item $\dfrac{2}{3}\e^{\text{i}\frac{5\pi}{6}}$ VRAIE
\end{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle $y' + 5y = 3$, où $y$ désigne une fonction
dérivable sur l'ensemble des réels. La solution $f$ de cette équation
telle que $f(0) = 0$ est la fonction de la variable $x$ vérifiant pour tout réel $x$ :
\begin{enumerate}
\item $f(x) = + 0,6\e^{5x}  + 0,6$
\item $f(x) = - 0,6\e^{-5x} + 0,6$ VRAIE
\item $f(x) = 0$
\item $f(x) = - 3\e^{-5x} + 3$
\end{enumerate}
\item On considère la production d'une usine de composants électroniques.
On admet que la durée de fonctionnement sans panne (en années) de ces
composants peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ suivant la loi
exponentielle de paramètre $\lambda = 0,1$.

La probabilité qu'un composant pris au hasard, soit tombé en panne au bout 6 ans
est, au centième près:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}} 
\textbf{a.~~} 1,6  & \textbf{b.~~}0,55 & \textbf{c.~~} 0,45&\textbf{d.~~}0,05
\end{tabularx}
\medskip

$P(X \geqslant 6)  \approx 0,55$.
\end{enumerate}


\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points}
 
\medskip

%Les questions peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.
%
%Les résultats seront arrondis à $10^{-4}$ près.
\begin{enumerate}
\item %Dans une usine, une machine remplit automatiquement avec de l'huile de moteur des bidons pouvant contenir au maximum 102 litres.
%Pour pouvoir être commercialisé, un bidon doit contenir au moins 98 litres d'huile.

%La quantité d'huile, exprimée en litres, fournie par la machine peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu=100$ et d'écart-type $\sigma = 0,8$.

\begin{enumerate}
\item  %Déterminer la probabilité de l'évènement \og $X > 102$ \fg{} et interpréter ce résultat.
On a $P(X > 102) = P(X \geqslant 100) - P(100 \leqslant X \leqslant 102)  = 0,5 - P(100 \leqslant X \leqslant 102) \approx \np{0,0062}$. C'est la probabilité que l'huile déborde lorsque la machine remplit un bidon.
\item %Déterminer le pourcentage de bidons qui ne pourront pas être commercialisés en expliquant votre démarche.
Ne sont pas commercialisés les bidons contenant  moins de 98 litres d'huile. Or 

$P(X < 98) = P(X \leqslant 100) - P(98 \leqslant X \leqslant 100) = 0,5 - P(98 \leqslant X \leqslant 100) \approx \np{0,0062}$.

Donc 0,62\,\% des bidons ne pourront être commercialisés.
\end{enumerate}

\item %On estime que 99,4\,\% des bidons sont remplis correctement.

%Soit$ Y$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 30 bidons prélevés au hasard dans
%la production de l'usine, associe le nombre de bidons non correctement remplis. Le
%stock est suffisamment important pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage
%avec remise.

%Après avoir précisé la loi suivie par $Y$, calculer la probabilité qu'il y ait au plus un
%bidon non correctement rempli dans un lot de 30 bidons.
Il y a assez de bidons pour que l'on puisse considérer que le prélèvement de 30 bidons soit considéré comme à un tirage avec remise de 30 bidons avec une probabilité de 0,006.

$Y$ est une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres $n = 30$ et $p = 0,006$.

La calculatrice donne $P(Y \leqslant 1) \approx \np{0,9860}$.
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

%Une entreprise fabriquant des planches de surf conçoit un nouveau modèle d'aileron.
%Cet aileron est composé de deux parties :
%\begin{itemize}
%\item la partie supérieure ou \og boîtier \fg{} permettant de fixer l'aileron à la planche,
%\item la partie inférieure destinée à être immergée dans l'eau.
%\end{itemize}
%
%\medskip
%
%\begin{center}
%\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelsep=0.15pt}
%\begin{pspicture}(-1,0.7)(4.5,3.5)
%%\psgrid
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{ x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
%\pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=lightgray]{
%\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
%\psline [linewidth=0.4pt](0.45,2.69486)(3,2.69486)}
%\psline[linewidth=0.3pt](1.25,2.69486)(1.25,3.19486)
%\psline[linewidth=0.3pt](1.4,2.69486)(1.4,3.19486)
%\psline[linewidth=0.3pt](1.1,3.19486)(1.25,3.19486)
%\psline[linewidth=0.3pt](1.4,3.19486)(1.55,3.19486)
%\psline[linewidth=0.3pt](1.1,3.19486)(1.1,3.3)
%\psline[linewidth=0.3pt](1.55,3.19486)(1.55,3.3)
%\psline[linewidth=0.3pt](1.1,3.3)(1.55,3.3)
%\end{pspicture}
%\end{center}
%
%Pour estimer la quantité de matière nécessaire à la fabrication de la partie inférieure de l'aileron, l'entreprise souhaite connaître le mieux possible l'aire A du domaine hachuré.
%
%Pour modéliser le profil latéral de la partie inférieure on se place dans un repère
%orthonormé avec une échelle de 1 carreau pour \np[cm] {10} et on se propose d'utiliser, pour
%des abscisses comprises entre 0,45 et 3, la courbe $C_f$ représentative de la
%fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[ $ par : $f(x) = \dfrac{a}{x} + b + 4\ln(x)$ où $a$ et $b$ sont des 
%constantes réelles qui restent à déterminer.
\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=1cm,labelsep=0.15pt}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(4.5,4)
\def\pshlabel#1{\scriptsize $#1$}
\def\psvlabel#1{\scriptsize $#1$}
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(4.4,3.5)
\multido{\n=0+1}{5}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed](\n,0)(\n,3.2)}
\multido{\n=0+1}{4}{\psline[linewidth=0.15pt,linecolor=cyan,linestyle=dashed](0,\n)(4.1,\n)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{ x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
\pscustom[fillstyle=hlines,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=8000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0.45}{3}{x -1 exp 4 mul 3 sub x ln 4 mul add}
\psline [linewidth=0.4pt](0.45,2.69486)(3,2.69486)}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](0.45,0)(0.45,2.69486)
\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.5pt](3,0)(3,2.69486)
\uput[d](0.45,-0.1){0,45}
\uput[d](3,-0.1){3}
\uput[r](2.2,1.8){$\mathcal{C}_f$}
\uput[ul](0.45,2.7){\scriptsize A}\uput[ur](3,2.7){\scriptsize B}\uput[dr](1.2,1){\scriptsize C}\uput[dl](0.45,1){\scriptsize D}
\uput[d](1,1){\scriptsize E}\uput[ul](0.45,0){\scriptsize F}
\uput[ur](3,0){\scriptsize G}
\pspolygon[linecolor=blue](0.45,2.7)(3,2.7)(1.2,1)(0.45,1)
\pspolygon[linecolor=red](0.45,2.7)(3,2.7)(1,1)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Évaluer l'aire A en nombre entier de carreaux en expliquant votre démarche.
Avec la précision du dessin soient les points :

A(0,45~;~2,7) ; B(3~;~2,7) ; C(1,2~;~1) ; D(0,45~;~1) et E(1~;~1).

On a aire (ABC) $ = \dfrac{1,65 \times 1,7}{2} = \np{1,4025}$.

aire (ABCD) $ = \dfrac{2,55 + 0,75}{2} \times 1,7 = 2,805$.

Comme l'aire de l'aileron est comprise entre l'aire du triangle et celle du trapèze, on peut estimer cette aire à environ 2,5 carreaux.
\item %Déterminer graphiquement les valeurs de $f(1)$ et de $f'(1)$.
On lit $f(1) = 1$ et $f'(1) = 0$.
\item %Vérifier que le choix de $a = 4$ et $b = - 3$ répond au problème posé.
La fonction $f$ est donc définie par $f(x) = \dfrac{4}{x} - 3 + 4\ln(x)$, d'où :

$\bullet~~$$f(1) = \dfrac{4}{1} - 3 + 4\ln(1) = 4 - 3 = 1$ ;

$\bullet~~$$f'(x) = - \dfrac{4}{x^2} + 4\dfrac{1}{x}$, d'où $f'(1) = - 4 + 4 = 0$.

Conclusion : le choix de $a = 4$ et $b = - 3$ répond au problème posé.
\item %Soit la fonction $F$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $F(x) = (4x + 4) \ln(x) - 7x$.

%Montrer que $F$ est une primitive de $f$.
La fonction $F$ est dérivable sur $]0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :

$F'(x) = 4\ln (x) + \dfrac{4x + 4}{x} - 7 = 4\ln (x) + 4 + \dfrac{4}{x} - 7 = \dfrac{4}{x} - 3 + 4\ln(x) = f(x)$.
\item %Déterminer au cm$^2$ près une valeur approchée de l'aire A.
On a vu que $f'(x) = - \dfrac{4}{x^2} + 4\dfrac{1}{x} = \dfrac{4x - 4}{x^2}$.

Comme $x^2 \geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $4x - 4$.

$\bullet~~$$4x - 4 > 0$ si $x > 1$, donc $f$ est croissante pour $x > 1$ ;

$\bullet~~$$4x - 4 < 0$ si $x < 1$, donc $f$ est décroissante si $x < 1$.

$f(1)$ est donc le minimum de  la fonction et $f(1) = 1$.

Le minimum de $f$ étant positif, la fonction $f$ est positive. 

L'aire de  l'aileron est donc égale à l'aire du trapéze ABGH et de l'aire de la surface limitée par la courbe $C_f$, l'axe des abscisses et les droites verticales contenant respectivement A et B d'équations respectives $x = 0,45$ et $x = 3$. Or cette dernière aire est égale en unités d'aire à l'intégrale de $f$ entre $x = 0,45$ et $x = 3$.

On a $f(3) = \dfrac{4}{3} - 3 + 4\ln(3) = 4 \ln 3 - \dfrac{5}{3}$ ;

$f(0,45) = f\left(\frac{9}{20} \right) = \dfrac{4}{\frac{9}{20}} - 3 + 4\ln \left(\frac{9}{20}\right) = \dfrac{80}{9} - 3  + 4\ln \left(\frac{9}{20}\right)  = \dfrac{53}{9} + 4\ln \left(\frac{9}{20}\right)$.

L'aire de l'aileron est donc égale à :

$\dfrac{f(0,45) + f(3)}{2} \times (3 - 0,45) - \displaystyle\int_{0,45}^3 f(x)\:\text{d}x =  \dfrac{f(0,45) + f(3)}{2} \times (3 - 0,45) - \left[F(x) \right]_{0,45}^3 = $

$\dfrac{f(0,45) + f(3)}{2} \times (3 - 0,45) - F(3) + F(0,45) \approx 2,555$ unités d'aire.

Comme l'unité sur chaque axe est 10 cm, l'unité d'aire est égale à 100~cm$^2$, donc l'aire au cm$^2$ près de l'aileron est 255~cm$^2$. 
\end{enumerate}
\end{document}