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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D - corrigé}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{28 mars 2023}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~<Corrigé du baccalauréat STI2D -- Spécialité~\decofourright\\[10pt]La Réunion 28 mars 2023}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

%\medskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 \hfill{}physique-chimie et mathématiques\hfill{}(4 points)}
\end{center}

\medskip

\textbf{Critère \no 1 :} la variation de température d'une boisson doit être inférieure ou égale à $5$~\degres C avec une tolérance de $0,5$ \degres C au bout de 8 heures pour une température extérieure de $\theta_{\text{ext}} = 20,0$ \degres C.

On souhaite vérifier le critère \no 1 dans le cas d'une boisson chaude.

L'évolution de la température (en \degres C ) de la boisson en fonction du temps (en heure) est modélisée par la fonction $f$ solution de l'équation différentielle suivante :

\[(E) :\quad  y' = - 0,044y + 0,88\]

 où $y$ est une fonction définie sur $\R$ et $y'$ sa dérivée.

\begin{enumerate}[start=6]
\item %Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E).
\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'équation \og sans second membre\fg{} $y'=-0,044y$, a pour solutions les fonctions $t \longmapsto k\times \e^{-0,044t}$ où $k\in\R$.
\item L'équation $(E)$ a pour solution particulière la fonction $t \longmapsto \dfrac{0,88}{0,044}$ soit 

$t \longmapsto 20$.
\end{list}

Donc  l'ensemble des solutions de l'équation différentielle (E) est l'ensemble des fonctions $f$ définies par $f(t)= k\times \e^{-0,044t} + 20$ où $k\in\R$.

\item %Sachant que la température initiale de la boisson est de $60 \degres $C, montrer que $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par 
$f(t) = 40\text{e}^{-0,044t} + 20$.
La température initiale de la boisson est de $60 \;\degres $C donc\\
$f(0)=60\iff k\times\text{e}^{-0,044t} + 20=60 \iff k+20=60\iff k=40$.

Donc la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par 
$f(t) = 40\text{e}^{-0,044t} + 20$.
\item La température de la boisson au bout de $8$ heures est:
$f(8)=40\text{e}^{-0,044\times 8} + 20
\approx 48,1$.

La variation de température est donc en degrés d'environ $60 - 48,1$ soit $11,9$ qui eest supérieure à $5\;\degres$.
Le critère \no 1 n'est donc pas vérifié.
\end{enumerate}

\bigskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 3\hfill{}mathématiques\hfill{}(4 points)}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

%Simplifier l'écriture de l'expression suivante: 
$A(x) = - \ln (9) + 2 \ln(3x) = -\ln(9) + \ln\left (\left (3x\right )^2\right )
= -\ln(9) + \ln\left (9x^2\right )
=  \ln\left (\dfrac{9x^2}{9}\right )
= \ln\left (x^2\right )
=2\ln(x)$

\bigskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé \Ouv.

\medskip

Le point M d'affixe $z_{\text M}$ vérifie les conditions suivantes :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] M appartient au cercle de centre O et de rayon 6 ;
\item[$\bullet~~$] la partie réelle de $z_{\text M}$ est négative;
\item[$\bullet~~$] la partie imaginaire de $z_{\text M}$ est égale à 3.
\end{itemize}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $\theta$ la mesure dans $[0~;~ 2\pi[$ de l'argument du nombre complexe $z_{\text M}$.

%Déterminer $\sin (\theta)$.

D'après le texte, $z_{\text M}=x_{\text M} + 3 \i$, et $\text{OM} = \left |z_{\text M}\right |= 6$.

$z_{\text M}= \left |z_{\text M}\right | \left (\cos(\theta) + \i\sin(\theta)\right )$ donc  $z_{\text M}= 6 \left (\cos(\theta) + \i\sin(\theta)\right )$.

En égalisant les parties imaginaires, on déduit $3= 6 \sin(\theta)$ donc $\sin(\theta)=\dfrac{1}{2}$.

\item À l'aide du demi-cercle trigonométrique ci-dessous, on peut dire que 
$\theta=\dfrac{\pi}{6}$ ou $\theta=\dfrac{5\pi}{6}$.

La partie réelle de $z_{\text M}$ vaut alors $6\cos \left (\frac{\pi}{6}\right )$ qui est positive, ou $6\cos \left (\frac{5\pi}{6}\right )$ qui est négative.

Comme on sait que cette partie réelle est négative, on a donc: $\theta=\frac{5\pi}{6}$.

\item L'écriture exponentielle de $z_{\text M}$ est donc: $6\e^{\frac{5\i\pi}{6}}$.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-1)(7.5,7.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=10](0,0)(-7,0)(7.5,7)
\psarc(0,0){7}{0}{180}
\uput[ur](7;30){$\blue\frac{\pi}{6}$}\uput[ur](7;45){$\frac{\pi}{4}$}\uput[ur](7;60){$\frac{\pi}{3}$}
\uput[u](7;90){$\frac{\pi}{2}$}\uput[ul](7;120){$\frac{2\pi}{3}$}\uput[ul](7;135){$\frac{3\pi}{4}$}
\uput[ul](7;150){$\blue\frac{5\pi}{6}$}\uput[l](7;180){$\pi$}
\uput[d](6.062,0){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}\uput[d](4.95,0){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}\uput[d](3.5,0){$\frac12$}
\uput[d](-6.062,0){$\frac{-\sqrt{3}}{2}$}
\uput[d](-4.95,0){$-\frac{\sqrt{2}}{2}$}\uput[d](-3.5,0){$-\frac12$}
\uput[l](0,6.062){$\frac{\sqrt{3}}{2}$}\uput[l](0,4.95){$\frac{\sqrt{2}}{2}$}
\psline[linestyle=dashed,linecolor=blue](-6.062,0)(-6.062,3.5)(6.062,3.5)(6.062,0)
\uput*[l](0,3.5){$\blue\frac12$}
%\psline[linestyle=dashed](6.062,0)(6.062,3.5)(0,3.5)
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\psline[linestyle=dashed](3.5,0)(3.5,6.062)(0,6.062)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{document}