\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts,makeidx}%,eucal \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx,mathtools} \usepackage{tabularx} \usepackage{xspace} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{multicol,diagbox} \usepackage{enumitem} %\usepackage{siunitx} %\sisetup{locale=FR} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Jean-Claude Souque %Corrigé : François Hache \usepackage{pst-all,pst-func} \usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry} \newcommand{\R}{\textbf{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {STI2D}, pdftitle = {Métropole}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \DeclareSIUnit\mol{mol} \DeclareSIUnit\Bq{Bq} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\e}{\,\text{e\,}} %%%le e de l'exponentielle \renewcommand{\d}{\,\text d} %%%le d de l'intégration \renewcommand{\i}{\,\text{i}\,} %%%le i des complexes \newcommand{\ds}{\displaystyle} \setlength\parindent{0mm} \setlength\parskip{5pt} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Baccalauréat STI2D sujet de secours} \lfoot{\small{Métropole -- corrigé}} \rfoot{\small{9 septembre 2025}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat STI2D~\decofourright\\ Épreuve d'enseignement de spécialité\\[8pt]Métropole 9 septembre 2025 sujet de secours}} \vspace{0,25cm} \textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques} \end{center} %\medskip \begin{center} \textbf{\large EXERCICE 1 \hfill (physique-chimie et mathématiques) \hfill 5 points} \medskip \textbf{Transferts thermiques dans une glacière} \end{center} \medskip On souhaite savoir combien de temps une boisson peut rester au frais dans une glacière. On considère que la boisson reste fraîche tant que sa température est inférieure à $17\degres C$. \medskip \textbf{Partie 1} \medskip On considère une glacière réfrigérante comprenant un dispositif de refroidissement de ce qu’elle contient. La paroi de la glacière est composée de deux couches de polypropylène (PP) d’épaisseur $e_{\text{PP}} = 0,25$~cm et d’une couche de mousse de polyuréthane (PU) d’épaisseur $e_{\text{PU}} = 4,5$ m. On donne les conductivités thermiques des matériaux : \begin{itemize} \item Polypropylène (PP) : $\lambda_{\text{PP}} = 0,20$ W $\cdot$ K$^{-1} \cdot$ m$^{-1}$. \item Mousse polyuréthane (PU) : $\lambda_{\text{PU}} = 0,025$ W $\cdot$ K$^{-1} \cdot$ m$^{-1}$. \end{itemize} On rappelle que la résistance thermique surfacique $r_{\text{th}}$ d’une paroi constituée d’un matériau unique est donnée par la relation : \[r_{\text{th}} = \dfrac e \lambda\] où $e$ est l’épaisseur du matériau (en m) et $\lambda$ sa conductivité thermique $\left(\text{en W} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{m}^{-1}\right)$. La résistance thermique $R_{\text{th}}$ d’une paroi de surface $S$ est donnée par la relation : \[R_{\text{th}} = \dfrac{r_{\text{th}}}{S}\] \medskip \textbf{Q1.} Calculer la valeur de la résistance thermique surfacique de la couche de mousse de polyuréthane $r_{\text{PU}}$. \medskip \textbf{Q2.} Montrer que la résistance thermique surfacique $r_{\text{th}}$ de la paroi de la glacière est voisine de $1,83$ m$^2 \cdot$ K $\cdot$ W$^{-1}$. \medskip \textbf{Q3.} La surface totale $S$ des parois de la glacière vaut $S = 1,2$ m$^2$. Calculer la résistance thermique $R_{\text{th}}$ globale entre l’intérieur de la glacière et l’air extérieur. \medskip Le dispositif de refroidissement fonctionne un moment puis est interrompu à un instant pris comme origine des temps $t = 0$. La glacière demeure fermée pendant 1 h dans une pièce dont la température ambiante est constante et vaut $\theta_{\text{ext}} = 24,2\degres C$. Le suivi temporel de la température à l’intérieur de la glacière a permis d’obtenir le graphique de la figure 1 ci-après. \begin{center} \psset{xunit=0.00333cm,yunit=0.3cm,arrowsize=3pt 2} \begin{pspicture}(-500,-6)(4000,25) {\psset{linecolor=gray} \multido{\n=0+100}{41}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,25)} \multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(4000,\n)} \multido{\n=0+500}{9}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,25)} \multido{\n=0+5}{6}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(4000,\n)}} \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=500,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(4000,25) \uput[d](2000,-2){Temps (s)} \rput{90}(-250,12.5){Température ($\degres C$)} \psdots*[dotstyle=B+,dotsize=0.2cm](0,13.5)(150,13.6)(300,14)(450,14.5)(600,14.8)(750,14.9)(900,15.5)(1050,15.9)(1200,15.95)(1350,16.1)(1500,16.5)(1650,16.8)(1800,17)(1950,17.05)(2100,17.2)(2250,17.1)(2400,17.7)(2550,18)(2700,18.05)(2850,18.4)(3000,18.1)(3150,18.5)(3300,18.9)(3450,19.05)(3600,19) \rput(2000,-5){Figure 1 – Évolution de la température de la glacière au cours du temps} %%% \psline[linecolor=blue,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](0,17)(2044,17)(2044,0) \uput[l](0,17){\blue\scriptsize 17} \end{pspicture} \end{center} \textbf{Données :} \begin{itemize} \item capacité thermique de la glacière et de son contenu: $c_{\text{g}} = 3,6 $kJ ·$\degres C^{-1}$ ; \item on admet que la glacière et son contenu sont à la même température. \end{itemize} \medskip \textbf{Q4.} La température initiale de l’air contenu dans la glacière est $\theta_{\text{i}} = 13,4\degres$. En utilisant la figure 1, indiquer la valeur $\theta_{\text{f}}$ de la température de l’air contenu dans la glacière après une heure. \medskip \textbf{Q5.} Calculer la valeur de la variation d’énergie interne $\Delta U$ du système formé par la glacière et son contenu entre les instants $t = 0$ et $t = 1$~h. \medskip \textbf{Q6.} Représenter une paroi latérale de la glacière et préciser le sens du transfert thermique au travers de celle-ci. Pendant les $500$ premières secondes, la température passe de $\theta_{\text{i}} = 13,4~\degres C$ à $\theta_{500} = 14,4~\degres C$. \medskip \textbf{Q7.} Montrer que le flux thermique moyen reçu par la glacière durant les $500$ premières secondes est voisin de $7,2$ W. On rappelle la relation entre le flux thermique $\phi_{\text{th}}$, la résistance thermique globale $R_{\text{th}}$ et la différence de température entre l’extérieur et l’intérieur de la glacière $\theta_{\text{ext}} - \theta_{\text{int}}$ : \[\phi_{\text{th}} = \dfrac{\theta_{\text{ext}} - \theta_{\text{int}}}{R_{\text{th}}}.\] \medskip \textbf{Q8.} Montrer que la résistance thermique globale $R_{\text{th}}$ de la paroi de la glacière mesurée par cette méthode est voisine de 1,4 K · W$^{-1}$. On admettra que pendant les $500$ premières secondes, la différence $\theta_{\text{ext}} - \theta_{\text{int}}$ vaut $10,3\degres C$. \medskip \textbf{Q9.} Comparer le résultat de la question \textbf{Q8.} à celui de la question \textbf{Q3.} et commenter. \bigskip \textbf{Partie 2} \medskip On détermine un modèle numérique à partir de l'expérience de la partie 1. On suppose que la fonction $\theta$ modélisant la température de l’air contenu dans la glacière, en degré Celsius, en fonction du temps $t$, en seconde, est définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : \[\theta(t) = - 10,8 \e ^{- \frac{t}{\np{5040}}} + 24,2.\] \medskip \textbf{Q10.} On détermine $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \theta(t)$. % et analyser le résultat dans le contexte de l’exercice. On sait que $\ds\lim_{x \to -\infty} \e^{x} =0$ et que $\ds\lim_{t\to +\infty} -\dfrac{t}{\np{5040}} = -\infty$, donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-\frac{t}{\np{5040}}}=0$. On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} \theta\left (t\right ) = 24,2$. Cela signifie que la température limite de la glacière sera de $24,2~\degres$C \medskip \textbf{Q11.} On résout l'inéquation $\theta(t) \geqslant 17$. $\aligned \theta(t) \geqslant 17 & \iff - 10,8 \e ^{- \frac{t}{\np{5040}}} + 24,2 \geqslant 17 \iff 24,2-17 \geqslant 10,8 \e ^{- \frac{t}{\np{5040}}} \iff \dfrac{7,2}{10,8} \geqslant \e ^{- \frac{t}{\np{5040}}} \\ & \iff \ln \left ( \dfrac{7,2}{10,8}\right ) \geqslant - \dfrac{t}{\np{5040}} \iff -\np{5040} \, \ln \left ( \dfrac{7,2}{10,8}\right ) \leqslant t \endaligned$ $ -\np{5040} \, \ln \left ( \dfrac{7,2}{10,8}\right ) \approx \np{2043.5}$ donc on peut considérer que la boisson dans la glacière ne sera plus fraiche au bout de \np{2044} secondes. Ce résultat semble cohérent avec le graphique. %Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice. \newpage \textbf{\large EXERCICE 3 \hfill (mathématiques) \hfill 4 points} \bigskip %\textbf{Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.} % %\bigskip \textbf{Question 1} Pour cette question, indiquer, en justifiant, la lettre correspondant à la réponse exacte. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2 + 5x)\e^{3x}$. On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa dérivée. Pour tout $x$ appartenant à $\R$, on a : \begin{center} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline A &B &C &D \\ \hline $f'(x) = 5\e^{3x}$ & $f'(x) = 15\e^{3x}$&$f'(x) = (11 + 15x)\e^{3x}$ &$f'(x) = (7 + 5x)\e^{3x}$\\\hline \end{tabularx} \end{center} $f(x)=\left (2+5x\right ) \e^{3x}$ donc $f'(x)= 5\times \e^{3x} + \left (2+5x\right )\times 3\e^{3x} = \left (5+6+15x\right ) \e^{3x} = \left (11+15x\right )\e^{3x}$ \hfill Réponse \textbf{C} \bigskip \textbf{Question 2} On considère l'équation différentielle: $(E) \qquad y' = -3y + 5,$ où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$. %Déterminer les fonctions définies sur $\R$, solutions de l’équation différentielle $(E)$. La solution générale d'une équation différentielle d'ordre 1 est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation différentielle sans second membre associée. \begin{list}{\textbullet}{} \item L'équation sans second membre associée est: $y'=-3y$. D'après le cours, on sait que les solutions de cette équation sont les fonctions $y_0$ définies par $y_0(x)= k\e^{-3x}$ où $k$ est un réel quelconque. \item On cherche une solution particulière de $(E)$ sous forme de constante $a$. \\ Donc $a'=-3a+5$. Or $a'=0$, donc $-3a+5=0$ donc $a=\dfrac{5}{3}$. \end{list} Les fonctions solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $y$ définies sur $\R$ par $y(x)= k \e^{-3x} +\dfrac{5}{3}$ où $k$ est un réel quelconque. \bigskip \textbf{Question 3} On veut déterminer la forme exponentielle du nombre complexe $z = - 6\sqrt 3 + 6\text{i}.$ \begin{list}{\textbullet}{} \item Le module de $z$ est $|z| = \ds\sqrt{\left(-6\sqrt{3}\right )^2 + 6^2 } = \ds\sqrt{108+36} = \ds\sqrt{144}=12$. \item Un argument $\theta$ de $z$ vérifie $\cos\left (\theta\right )=\dfrac{-6\sqrt{3}}{|z|} = \dfrac{-6\sqrt{3}}{12} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left (\theta\right )=\dfrac{6}{|z|} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$. $\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ vérifie ces égalités. \end{list} La forme exponentielle du nombre complexe $z = - 6\sqrt 3 + 6\text{i}$ est donc $12 \e^{\frac{5\i\pi}{6}}$. \newpage \textbf{Question 4} \begin{minipage}{0.6\linewidth} Les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ respectivement par \begin{center}$f(x) =\dfrac12 x^2 +1$ et $g(x) = x + 5$\end{center} sont représentées sur le graphique ci-contre par la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $f$ et la droite $\Delta$, courbe représentative de la fonction $g$. Lire graphiquement les positions relatives des courbes représentatives $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et $\Delta$ de la fonction $g$ puis montrer que l’aire de la partie colorée comprise entre la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ vaut 18 unités d’aire. \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.39\linewidth} \psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3} \begin{pspicture*}(-6,-1)(5.5,10) \pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{x dup mul 0.5 mul 1 add}\psline(4,9)(-2,3) } \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5.9,-1)(5.5,10) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6}{5.5}{x dup mul 0.5 mul 1 add} \psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{5.5}{x 5 add} \uput[r](-4,9){\red $\mathcal{C}$}\uput[ul](2,7){\blue $\Delta$} \end{pspicture*} \end{minipage} \begin{list}{\textbullet}{Graphiquement, on voit que:} \item sur l'intervalle $]-\infty\,,\, -2[$, la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\Delta$; \item sur l'intervalle $]-2\,,\, 4[$, la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de la droite $\Delta$; \item sur l'intervalle $]4\,,\, +\infty[$, la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\Delta$. \end{list} Sur l'intervalle $[-2\,,\,4]$, la courbe est en dessous de la droite. Soit $\mathcal{A}_1$ l'aire comprise entre la droite $\Delta$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x=-2$ et $x=4$.\\ Soit $\mathcal{A}_2$ l'aire comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x=-2$ et $x=4$.\\ L'aire hachurée est égale à $\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2$. \begin{list}{\textbullet}{} \item $\mathcal{A}_1$ est l'aire d'un trapèze rectangle de petite base 3, de grande base 9, et de hauteur 6, donc\\ $\mathcal{A}_1=\dfrac{\left (3+ 9\right )\times 6 }{2}=\dfrac{72}{2}=36$. \item $\mathcal{A}_2 = \ds\int_{-2}^{4}f(x) \d x$. La fonction $f$ a pour primitive la fonction $F$ définie par $F(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{x^3}{3}+x$ soit $F(x)=\dfrac{x^3}{6}+x$. $\ds\int_{-2}^{4}f(x) \d x = F(4)-F(-2) = \left ( \dfrac{4^3}{6} + 4 \right ) - \left ( \dfrac{(-2)^3}{6} + (-2)\right ) = \dfrac{64}{6}+ 4 + \dfrac{8}{6} + 2 = \dfrac{72}{6}+6 = 12+6=18$ \end{list} L'aire hachurée vaut donc, en unités d'aire: $36 - 18 = 18$. \end{document}