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%Tapuscrit : Jean-Claude Souque
%Corrigé : François Hache
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D sujet de secours}
\lfoot{\small{Métropole -- corrigé}}
\rfoot{\small{9 septembre 2025}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du Baccalauréat STI2D~\decofourright\\
Épreuve d'enseignement de spécialité\\[8pt]Métropole 9 septembre 2025 sujet de secours}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

%\medskip

\begin{center}
\textbf{\large EXERCICE 1 \hfill (physique-chimie et mathématiques)
\hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Transferts thermiques dans une glacière}
\end{center}

\medskip

On souhaite savoir combien de temps une boisson peut rester au frais dans une glacière. On considère que la boisson reste fraîche tant que sa température est inférieure à $17\degres C$.

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

On considère une glacière réfrigérante comprenant un dispositif de refroidissement de ce qu’elle contient. La paroi de la glacière est composée de deux couches de polypropylène (PP) d’épaisseur $e_{\text{PP}} = 0,25$~cm et d’une couche de mousse de polyuréthane (PU) d’épaisseur $e_{\text{PU}} = 4,5$ m.

On donne les conductivités thermiques des matériaux :
\begin{itemize}
\item Polypropylène (PP) : $\lambda_{\text{PP}} = 0,20$ W $\cdot$ K$^{-1} \cdot$ m$^{-1}$.
\item Mousse polyuréthane (PU) : $\lambda_{\text{PU}} = 0,025$ W $\cdot$ K$^{-1} \cdot$ m$^{-1}$.
\end{itemize}

On rappelle que la résistance thermique surfacique $r_{\text{th}}$ d’une paroi constituée d’un matériau unique est donnée par la relation :

\[r_{\text{th}} = \dfrac e \lambda\]

où $e$ est l’épaisseur du matériau (en m) et $\lambda$ sa conductivité thermique $\left(\text{en W} \cdot \text{K}^{-1} \cdot \text{m}^{-1}\right)$.

La résistance thermique $R_{\text{th}}$ d’une paroi de surface $S$ est donnée par la relation : 
\[R_{\text{th}} = \dfrac{r_{\text{th}}}{S}\]

\medskip

\textbf{Q1.} Calculer la valeur de la résistance thermique surfacique de la couche de mousse de polyuréthane $r_{\text{PU}}$.

\medskip

\textbf{Q2.} Montrer que la résistance thermique surfacique $r_{\text{th}}$ de la paroi de la glacière est voisine de $1,83$ m$^2 \cdot$ K $\cdot$ W$^{-1}$.

\medskip

\textbf{Q3.} La surface totale $S$ des parois de la glacière vaut $S = 1,2$ m$^2$.

Calculer la résistance thermique $R_{\text{th}}$ globale entre l’intérieur de la glacière et l’air extérieur.

\medskip

Le dispositif de refroidissement fonctionne un moment puis est interrompu à un instant pris comme origine des temps $t = 0$. La glacière demeure fermée pendant 1 h dans une pièce dont la température ambiante est constante et vaut $\theta_{\text{ext}} = 24,2\degres C$.

Le suivi temporel de la température à l’intérieur de la glacière a permis d’obtenir le graphique de la figure 1 ci-après.

\begin{center}
\psset{xunit=0.00333cm,yunit=0.3cm,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-500,-6)(4000,25)
{\psset{linecolor=gray}
\multido{\n=0+100}{41}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,25)}
\multido{\n=0+1}{26}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(4000,\n)}
\multido{\n=0+500}{9}{\psline[linewidth=0.6pt](\n,0)(\n,25)}
\multido{\n=0+5}{6}{\psline[linewidth=0.6pt](0,\n)(4000,\n)}}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=500,Dy=5,labelFontSize=\scriptstyle](0,0)(4000,25)
\uput[d](2000,-2){Temps (s)}
\rput{90}(-250,12.5){Température ($\degres C$)}
\psdots*[dotstyle=B+,dotsize=0.2cm](0,13.5)(150,13.6)(300,14)(450,14.5)(600,14.8)(750,14.9)(900,15.5)(1050,15.9)(1200,15.95)(1350,16.1)(1500,16.5)(1650,16.8)(1800,17)(1950,17.05)(2100,17.2)(2250,17.1)(2400,17.7)(2550,18)(2700,18.05)(2850,18.4)(3000,18.1)(3150,18.5)(3300,18.9)(3450,19.05)(3600,19)
\rput(2000,-5){Figure 1 – Évolution de la température de la glacière au cours du temps}
%%%
\psline[linecolor=blue,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2](0,17)(2044,17)(2044,0)
\uput[l](0,17){\blue\scriptsize 17}
\end{pspicture}
\end{center}


\textbf{Données :}
\begin{itemize}
\item capacité thermique de la glacière et de son contenu: $c_{\text{g}} = 3,6 $kJ ·$\degres C^{-1}$ ;
\item on admet que la glacière et son contenu sont à la même température.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Q4.} La température initiale de l’air contenu dans la glacière est $\theta_{\text{i}} = 13,4\degres$.

En utilisant la figure 1, indiquer la valeur $\theta_{\text{f}}$ de la température de l’air contenu dans la glacière après une heure.

\medskip

\textbf{Q5.} Calculer la valeur de la variation d’énergie interne $\Delta U$ du système formé par la glacière et son contenu entre les instants $t = 0$ et $t = 1$~h.

\medskip

\textbf{Q6.} Représenter une paroi latérale de la glacière et préciser le sens du transfert thermique au travers de celle-ci.

Pendant les $500$ premières secondes, la température passe de $\theta_{\text{i}} = 13,4~\degres C$ à $\theta_{500} = 14,4~\degres C$.

\medskip

\textbf{Q7.} Montrer que le flux thermique moyen reçu par la glacière durant les $500$ premières secondes est voisin de $7,2$ W.

On rappelle la relation entre le flux thermique $\phi_{\text{th}}$, la résistance thermique globale $R_{\text{th}}$ et la différence de température entre l’extérieur et l’intérieur de la glacière $\theta_{\text{ext}} - \theta_{\text{int}}$ :

\[\phi_{\text{th}} = \dfrac{\theta_{\text{ext}} - \theta_{\text{int}}}{R_{\text{th}}}.\]

\medskip

\textbf{Q8.} Montrer que la résistance thermique globale $R_{\text{th}}$ de la paroi de la glacière mesurée par cette méthode est voisine de 1,4 K · W$^{-1}$.

On admettra que pendant les $500$ premières secondes, la différence $\theta_{\text{ext}} - \theta_{\text{int}}$ vaut $10,3\degres C$.

\medskip

\textbf{Q9.} Comparer le résultat de la question \textbf{Q8.} à celui de la question \textbf{Q3.} et commenter.

\bigskip

\textbf{Partie 2}

\medskip

On détermine un modèle numérique à partir de l'expérience de la partie 1. 

On suppose que la fonction $\theta$ modélisant la température de l’air contenu dans la glacière, en degré Celsius, en fonction du temps $t$, en seconde, est définie sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$ par : 

\[\theta(t) = - 10,8 \e ^{- \frac{t}{\np{5040}}} + 24,2.\]

\medskip

\textbf{Q10.} On détermine $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \theta(t)$.
% et analyser le résultat dans le contexte de l’exercice.

On sait que $\ds\lim_{x \to -\infty} \e^{x} =0$ et que $\ds\lim_{t\to +\infty} -\dfrac{t}{\np{5040}} = -\infty$, donc $\ds\lim_{t\to +\infty} \e^{-\frac{t}{\np{5040}}}=0$.

On en déduit que $\ds\lim_{t\to +\infty} \theta\left (t\right ) = 24,2$.

Cela signifie que la température limite de la glacière sera de $24,2~\degres$C

\medskip

\textbf{Q11.} On résout l'inéquation $\theta(t) \geqslant 17$.

$\aligned
\theta(t) \geqslant 17
& \iff - 10,8 \e ^{- \frac{t}{\np{5040}}} + 24,2 \geqslant 17
\iff 24,2-17 \geqslant  10,8 \e ^{- \frac{t}{\np{5040}}}
\iff \dfrac{7,2}{10,8} \geqslant \e ^{- \frac{t}{\np{5040}}} \\
& \iff \ln \left ( \dfrac{7,2}{10,8}\right ) \geqslant - \dfrac{t}{\np{5040}}
\iff -\np{5040} \, \ln \left ( \dfrac{7,2}{10,8}\right ) \leqslant t
\endaligned$

$ -\np{5040} \, \ln \left ( \dfrac{7,2}{10,8}\right ) \approx \np{2043.5}$ donc on peut considérer que la boisson dans la glacière ne sera plus fraiche au bout de \np{2044} secondes.

Ce résultat semble cohérent avec le graphique.
%Interpréter le résultat dans le contexte de l’exercice.

\newpage

\textbf{\large EXERCICE 3 \hfill (mathématiques) \hfill 4 points}

\bigskip

%\textbf{Dans cet exercice, les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes les unes des autres.}
%
%\bigskip

\textbf{Question 1}

Pour cette question, indiquer, en justifiant, la lettre correspondant à la réponse exacte.

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2 + 5x)\e^{3x}$.

On admet que $f$ est dérivable sur $\R$ et on note $f'$ sa dérivée. Pour tout $x$ appartenant à $\R$, on a :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
A					&B					&C								&D
\\ \hline
$f'(x) = 5\e^{3x}$	& $f'(x) = 15\e^{3x}$&$f'(x) = (11 + 15x)\e^{3x}$	&$f'(x) = (7 + 5x)\e^{3x}$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

$f(x)=\left (2+5x\right ) \e^{3x}$ donc
$f'(x)= 5\times \e^{3x} + \left (2+5x\right )\times 3\e^{3x}
= \left (5+6+15x\right ) \e^{3x} = \left (11+15x\right )\e^{3x}$

\hfill Réponse \textbf{C}

\bigskip

\textbf{Question 2}

On considère l'équation différentielle: $(E) \qquad y' = -3y + 5,$

où $y$ est une fonction de la variable $x$, définie et dérivable sur $\R$.

%Déterminer les fonctions définies sur $\R$, solutions de l’équation différentielle $(E)$.

La solution générale d'une équation différentielle d'ordre 1 est la somme d'une solution particulière et de la solution générale de l'équation différentielle sans second membre associée.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item L'équation sans second membre associée est: $y'=-3y$.

D'après le cours, on sait que les solutions de cette équation sont les fonctions $y_0$ définies par $y_0(x)= k\e^{-3x}$ où $k$ est un réel quelconque.

\item On cherche une solution particulière de $(E)$ sous forme de constante $a$. \\
Donc $a'=-3a+5$. Or $a'=0$, donc $-3a+5=0$ donc $a=\dfrac{5}{3}$.
\end{list}

Les fonctions  solutions de l'équation différentielle $(E)$ sont les fonctions $y$ définies sur $\R$ par $y(x)= k \e^{-3x} +\dfrac{5}{3}$ où $k$ est un réel quelconque.

\bigskip

\textbf{Question 3}

On veut déterminer la forme exponentielle du nombre complexe 
$z = - 6\sqrt 3 + 6\text{i}.$

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Le module de $z$ est $|z| = \ds\sqrt{\left(-6\sqrt{3}\right )^2 + 6^2 } = \ds\sqrt{108+36} = \ds\sqrt{144}=12$.

\item Un argument $\theta$ de $z$ vérifie $\cos\left (\theta\right )=\dfrac{-6\sqrt{3}}{|z|} = \dfrac{-6\sqrt{3}}{12} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\left (\theta\right )=\dfrac{6}{|z|} = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.

$\theta = \dfrac{5\pi}{6}$ vérifie ces égalités.
\end{list}

La forme exponentielle du nombre complexe 
$z = - 6\sqrt 3 + 6\text{i}$
est donc $12 \e^{\frac{5\i\pi}{6}}$.

\newpage

\textbf{Question 4}

\begin{minipage}{0.6\linewidth}
Les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\R$ respectivement par 
\begin{center}$f(x) =\dfrac12 x^2 +1$ et $g(x) = x + 5$\end{center} 
sont représentées sur le graphique ci-contre par la courbe $\mathcal{C}$, courbe représentative de la fonction $f$ et la droite $\Delta$, courbe représentative de la fonction $g$.

Lire graphiquement les positions relatives des courbes représentatives $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ et $\Delta$ de la fonction $g$ puis montrer que l’aire de la partie colorée comprise entre la courbe $\mathcal{C}$ et la droite $\Delta$ vaut 18 unités d’aire.
\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.39\linewidth}
\psset{unit=0.5cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-6,-1)(5.5,10)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2}{4}{x dup mul 0.5 mul 1 add}\psline(4,9)(-2,3)
}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.25pt]
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\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-6}{5.5}{x dup mul 0.5 mul 1 add}
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{5.5}{x 5 add}
\uput[r](-4,9){\red $\mathcal{C}$}\uput[ul](2,7){\blue $\Delta$}
\end{pspicture*}
\end{minipage}


\begin{list}{\textbullet}{Graphiquement, on voit que:}
\item sur l'intervalle $]-\infty\,,\, -2[$, la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\Delta$;
\item sur l'intervalle $]-2\,,\, 4[$, la courbe $\mathcal{C}$ est en dessous de la droite $\Delta$;
\item sur l'intervalle $]4\,,\, +\infty[$, la courbe $\mathcal{C}$ est au dessus de la droite $\Delta$.
\end{list}

Sur l'intervalle $[-2\,,\,4]$, la courbe est en dessous de la droite.

Soit $\mathcal{A}_1$ l'aire comprise entre la droite $\Delta$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x=-2$ et $x=4$.\\
Soit $\mathcal{A}_2$ l'aire comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites verticales d'équations $x=-2$ et $x=4$.\\
L'aire hachurée est égale à $\mathcal{A}_1-\mathcal{A}_2$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $\mathcal{A}_1$ est l'aire d'un trapèze rectangle de petite base 3, de grande base 9, et de hauteur 6, donc\\
 $\mathcal{A}_1=\dfrac{\left (3+ 9\right )\times 6 }{2}=\dfrac{72}{2}=36$.
\item $\mathcal{A}_2 = \ds\int_{-2}^{4}f(x) \d x$.

La fonction $f$ a pour primitive la fonction $F$ définie par $F(x)=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{x^3}{3}+x$ soit $F(x)=\dfrac{x^3}{6}+x$.

$\ds\int_{-2}^{4}f(x) \d x 
= F(4)-F(-2)
= \left ( \dfrac{4^3}{6} + 4 \right ) - \left ( \dfrac{(-2)^3}{6} + (-2)\right )
= \dfrac{64}{6}+ 4 + \dfrac{8}{6} + 2
= \dfrac{72}{6}+6 = 12+6=18$ 
\end{list}

L'aire hachurée vaut donc, en unités d'aire: $36 - 18 = 18$.

\end{document}