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%Tapuscrit : Arié Yallouz
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{19 juin 2014}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL--SPCL~\decofourright\\[4pt]
Métropole 19 juin 2014\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item $X$ suit la loi normale telle que $\mu = 200$ et $\sigma = 2,86$.
	\begin{enumerate}
		\item $p(195 \leqslant X \leqslant 205) \approx  \np{0,9196}$.
		\item $p(X \geqslant 195) = p(195\leqslant X\leqslant + \infty) \approx  \np{0,9598}$.
	\end{enumerate}
\item $IF_{95\,\%} = \left[0,04 \pm 1,96\times \sqrt{\dfrac{0,04
	\times(1 - 0,04)}{150}}\right] = [0,04 \pm 0,0314] = [\np{0,0086}~;~\np{0,0714}]$.
	
$f = \dfrac{10}{150} = \dfrac{1}{15} \approx \np{0,0667}$.
	
Avec $f \in  IF_{95\,\%}$,  le réglage de la machine n’est pas remis en cause.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
 
\medskip

$z = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$ et $z' = 2\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

\begin{enumerate}
\item $z = 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} = 2\left(\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right)+ \text{i}\sin \left(\frac{2\pi}{3}\right)\right) = 2\left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$.

\item $z' = 2\text{e}^{- \text{i}\frac{2\pi}{3}} = 2\left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) + \text{i}\sin \left(- \frac{2\pi}{3}\right)\right) = 2 \left(\cos\left(-\frac{2\pi}{3}\right) - \text{i}\sin \left(-\frac{2\pi}{3}\right)\right) =2\left(- \frac{1}{2}- \text{i} \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = - 1 - \text{i}\sqrt{3}= \overline{z}$.
\item $z \cdot z'= 2\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}} \times 2\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}} = 2 \times 2 \times \text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}-\text{i}\frac{2\pi}{3}} = 4 \times \text{e}^0 = 4 \times 1 = 4$.
\item $z \,\cdot\, z'' = \text{i} \iff  z'' = \dfrac{\text{i}}{z}  \iff z = \dfrac{\text{i}}{ - 1 + \text{i} \sqrt{3}} = \dfrac{\text{i}\left(- 1 - \text{i}\sqrt{3}\right)}{\left(- 1 + \text{i}\sqrt{3}\right)\left(- 1 - \text{i}\sqrt{3}\right)} = \dfrac{- \text{i} - \text{i}^2\sqrt{3}}{(- 1)^2 - \left(\text{i}\sqrt{3}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{3} - \text{i}}{1 + 3} = \dfrac{\sqrt{3} - \text{i}}{4}$.

Donc

$\left|z''\right|= \sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 + \left(- \dfrac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\dfrac{3}{16} + \dfrac{1}{16}} = \sqrt{\dfrac{4}{16}} = \sqrt{\dfrac{1}{4}} = \dfrac{1}{2}$.

Ce qui nous donne :

$\cos \theta = \dfrac{\frac{\sqrt{3}}{4}}{\frac{1}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times \dfrac{2}{1}= \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et
$\sin \theta = \dfrac{- \frac{1}{4}}{\frac{1}{2}} = -  \frac{1}{4} \times \dfrac{2}{1} = - \dfrac{1}{2}$.

donc $\theta= - \dfrac{\pi}{6} + 2k \pi$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

\textbf{Partie A :}

$\forall t \in [0~;~+ \infty[$ on a $f(t) = 35\text{e}^{-1,6t} - 30$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $f(0,5) = 35\text{e}^{- 0,8} - 30 \approx - 14$~\degres C.
\item $f'(t) = -1,6 \times 35\text{e}^{-1,6t} + 0 = - 56\text{e}^{-1,6t}$ or $\forall t \in [0~;~+ \infty[,\: \text{e}^{-1,6t} > 0$ et $- 56 < 0$
donc $f'(t) < 0$ sur $[0~;~+ \infty[$. La fonction $f$ est décroissante sur $[0~;~+ \infty[$.
\item  $f(1,5) = 35\text{e}^{-2,4} - 30 \approx - 27$~\degres C. La température des ailerons sera conforme au cahier des charges.
\item  $f(t) = - 24 \iff  35\text{e}^{-1,6t} - 30 = - 24 \iff 35\text{e}^{-1,6t} = 6 \iff \text{e}^{-1,6t} = \dfrac{6}{35} \iff \ln \left(\text{e}^{- 1,6t}\right) = \ln \left(\dfrac{6}{35}\right)
\iff - 1,6t = \ln \left(\dfrac{6}{35}\right) \iff  t = - \dfrac{1}{1,6}\ln \left(\dfrac{6}{35}\right) \iff$

$  t = - 0,625\ln\left(\dfrac{6}{35}\right) \approx 1,10$.

Les ailerons atteignent la température de $- 24$~\degres C au bout de 1~h et 6~min.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :}

\medskip
 

$\forall t \in [0~;~+ \infty[$ on a $y' + 1,5y = - 52,5$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item $y' + 1,5y = - 52,5\iff y' = -1,5y - 52,5$ ce qui nous donne $y = K\text{e}^{-1,5t} - \dfrac{52,5}{1,5} \iff $

$y = K\text{e}^{-1,5t} - 35$.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item À l’instant $t = 0$, les ailerons, à une température de 5~\degres C, sont placés dans le tunnel donc $g(0) = 5$.
		\item $g(0) = 5 \iff  K\text{e}^{0} - 35 = 5 \iff K = 35 + 5\iff K = 40$ donc $g(t) = 40\text{e}^{-1,5t} - 35$.
 	\end{enumerate}
\item  $g(t) = - 24 \iff 40\text{e}^{-1,5t} - 35 = - 24 \iff 40\text{e}^{-1,5t} = 11 \iff \text{e}^{-1,5t}= \dfrac{11}{40} \iff $

$\ln (\text{e}^{-1,5t}) = \ln \left(\frac{11}{40}\right)
\iff - 1,5t = \ln \left(\frac{11}{40}\right) \iff  t = - \dfrac{2}{3}\ln \left(\frac{11}{40}\right) \approx  \np{0,86}$~h soit environ 52~min..
	
Les ailerons atteignent la température de $- 24$~\degres C au bout de 52~min.
	
Le tunnel permet une congélation  plus rapide.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
 
\medskip

\begin{enumerate}
\item Une diminution de 10\,\% toutes les 5 minutes : $1 - 0,1 = 0,9$.
	\begin{enumerate}
		\item $v_1 = 420 \times 0,9 = 378$~km/h. Ce résultat fait bien partie de la règle admise.
La tornade appartient à la catégorie F4.
		\item Pour 15 minutes, on a $15 = 5 \times 3$ donc $n = 3$.
		
$v_2 = 378 \times 0,9 = 340,2 \approx 340$ km/h et $v_3 = 340,2 \times 0,9 = 306,18 \approx 310$~km/h.
		
Au bout de 15 minutes, la tornade est une tornade de catégorie F3.
		
Cette tornade occasionne des dégâts classés comme \og  dégâts considérables \fg.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item La diminution de 10\,\% correspond à la raison de la suite $q = 0,9$.
		\item $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $q = 0,9$ et de premier terme $v_0 = 420$ :
		\item \og  Tant que $v >120$ \fg
		
\og Affecter à $n$, la valeur $n+1$ \fg
		
\og $v$ prend la valeur $v \times 0,9$ \fg
		\item Comme la tempête diminue de 10\,\% toutes les 5 minutes (et non pas toutes les minutes). On fait $5 \times n$.
 	\end{enumerate}
\item La suite géométriques est définie par : $v_n = 420 \times 0,9^n$.
\item $v_n < 120 \iff 420 \times 0,9^n < 120 \iff 0,9^n < \dfrac{120}{420} \iff 0,9n < \dfrac27 \iff$
	
$\ln \left(0,9^n\right) < \ln \left(\frac27\right)
\iff n \times \ln(0,9) < \ln(\frac27)\iff n > \frac{\ln (\frac27)}{ \ln (0,9)} \iff n > 11,89$.
	
On a donc $n = 12$, la durée de vie de la tornade est de $12 \times 5 = 60$ c’est-à-dire 1~heure.
\end{enumerate}
\end{document}