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% Tapuscrit et corrigé : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 18 juin 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~vaccalauréat STI2D Métropole--La Réunion 18 juin 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. }
%
%\smallskip
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse. }
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. 

%On note $z_A$ l'affixe d'un point $A$ appartenant au cercle de centre O et de rayon 4. La partie réelle de $z_A$  est positive et sa partie imaginaire est égale à 2. 

%Le nombre complexe $z_A$  a pour forme exponentielle: 
On a $z_A = x + 2\text{i}$, avec $x > 0$.

Or $A$ appartient au cercle de centre O et de rayon 4, donc O$A^2 = x^2 + 2^2 = 4^2$ ou $x^2 = 12$ et donc $x = \sqrt{12} = \sqrt{4\times 3} = 2\sqrt{3}$.

On a donc $z_A = 2\sqrt{3} + 2\text{i} = 4\left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} + \text{i}\dfrac{1}{2}\right)= 4\left(\cos \frac{\pi}{6} + \text{i}\sin \frac{\pi}{6} \right) = 4\text{e}^{\frac{\pi}{6}}$ : réponse \textbf{c.}
%\textbf{a.~~} $4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 

%\textbf{b.~~} $- 4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 

%\textbf{c.~~} $4\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 

%\textbf{d.~~} $- 4\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{6}}$ 

\item  %Le nombre $- 3$ est solution de l'équation: 

%\textbf{a.~~} $\ln(x) = - \ln (3)$ 
%
%\textbf{b.~~} $\ln \left(\text{e}^x\right) = -3$ 
%
%\textbf{c.~~} $\text{e}^{\ln (x)} = 3$ 
%
%\textbf{d.~~} $\text{e}^x = 3$ 
On sait que, quel que soit le réel $x$, \: $\ln \left(\text{e}^x\right) = x$, donc l'équation du \textbf{b.} se ramène à $x = - 3$ : réponse \textbf{b.}
\item %On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle 
%$\left] - \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$ par $g(x) = \dfrac{\text{e}^x}{2x+ 1}$. 

%La fonction $g$ est dérivable sur l'intervalle $\left] - \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$ et sa fonction dérivée est définie sur $\left] - \dfrac{1}{2}~;~ +\infty \right[$ par : 

%\textbf{a.~~} $g'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{2}$ 
%
%\textbf{b.~~} $g'(x) = \dfrac{\text{e}^x}{(2x + 1)^2}$  
%
%\textbf{c.~~} $g'(x) = \dfrac{2x+3)\text{e}^x}{(2x + 1)^2}$ 
%
%\textbf{d.~~} aucune des réponses précédentes 
On a $g'(x) = \dfrac{\text{e}^x(2x + 1) - 2\text{e}^x}{(2x + 1)^2} = \dfrac{\text{e}^x(2x + 1 - 2) }{(2x + 1)^2} = \dfrac{\text{e}^x(2x  - 1) }{(2x + 1)^2}$. Réponse \textbf{d.}
\item %On considère l'équation différentielle $y'' + 4y = 0$ dans laquelle $y$ est une fonction de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur $\R$. 

%Une fonction $f$, solution de cette équation différentielle, qui vérifie $f(0) = 1$ est définie sur $\R$ par : 

%\textbf{a.~~} $f(x) = \text{e}^{2x}$ 
%
%\textbf{b.~~} $f(x) = \cos (2x)$ 
%
%\textbf{c.~~} $f(x) = \sin (2x)$ 
%
%\textbf{d.~~} $f(x) = \cos (4x)$
On sait que la solution générale de l'équation différentielle est :

\[f(x) = A\cos 2x + B \sin 2x.\]

Or $f(0) = 1$ entraîne $A = 1$  ; en prenant $B = 0$, on trouve bien comme solution $f(x) = \cos 2x$. Réponse \textbf{b.}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  7 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties {\rm A} et {\rm B} de cet exercice sont indépendantes. }

%\medskip
%
%Le conservatoire des espaces naturels d'une région s'occupe d'une zone protégée de \np{1800}~hectares. Depuis plusieurs années, il surveille le domaine d'extension d'une plante invasive. Cette plante inhabituelle, d'origine exotique, devient envahissante et cause une régression de la biodiversité. Si le conservatoire constate qu'à la fin d'une année l'aire de la surface occupée par la plante dépasse $80$ hectares, cette plante fera alors l'objet d'un plan d'élimination progressive à partir de l'année suivante. 
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Des relevés de la surface occupée par cette plante ont été effectués sur le terrain, en fin d'année, de 2015 à 2018: 

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|l| *{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Année   &2015   &2016   &2017   &2018\\ \hline   
%Surface en hectares (ha)   &63   &66,2   &69,5   &73\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

%Le conservatoire estime que l'aire de la surface occupée par cette plante a augmenté de 5\,\% environ chaque année. 
%
%Vérifier que cette estimation est cohérente avec les relevés pris sur le terrain. 
Augmenter de 5\,\% revient à multiplier par $\left(1 + \dfrac{5}{100} \right) = 1 + 0,05 = 1,05$.

$\bullet~~$$63 \times 1,05 = 66,15 \approx 66,2$ ;

$\bullet~~$$66,15 \times 1,05 = \np{69,4575} \approx 69,5$ ;

$\bullet~~$$\np{69,4575} \times 1,05 = \np{72,9304} \approx 72,9$ ;
Au dixième près pour le dernier relevé, l'estimation de 5\,\% est cohérente.
\item %On considère qu'à partir de l'année 2018 la surface occupée par la plante augmente chaque année de 5\,\%. 

%Expliquer alors pourquoi la décision de commencer l'élimination de la plante devrait être prise à la fin de l'année 2020 par le conservatoire.
En partant de 73 en 2018 la surface en l'année $2018 + n$ sera de $73 \times 1,05^n$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$73 \times 1,05^n > 80$, soit $105^n > \dfrac{80}{73}$ et par croissance de la fonction logarithme népérien :

$n \ln 1,05 > \ln \frac{90}{73}$ soit enfin $n > \dfrac{\ln \frac{90}{73}}{\ln 1,05}$.

Or $ \dfrac{\frac{90}{73}}{\ln 1,05} \approx 1,87$.La surface dépassera 80 pour $n = 2$ soit en 2020.
\item  %Le conservatoire décide de mettre en œuvre un plan d'élimination progressive. Ce plan prévoit d'éliminer la plante, par arrachage ou par brûlage thermique, sur une surface de $10$~hectares à chaque fin d'année, à partir de l'année 2021. 

%Pour tout entier naturel $n$, on désigne par $P_n$ l'aire de la surface occupée par la plante, exprimée en hectares, en fin d'année \og 2020 + n \fg, en prenant $P_0 = 80,5$. 

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $P_1 = 74,525$.
		En 2021 la surface a naturellement augmenté de 5\,\% et le traitement l'a réduit de 10, donc :
		
		$P_1 = 80,5 \times 1,05 - 10 = 74,525$. 
		\item %Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a : $P_{n+ 1} = 1, 05P_n - 10$.
		De même de l'année $n$ à l'année $n + 1$, la surface est multipliée par 1,05 puis diminuée de 10, soit :
		
$P_{n+ 1} = 1, 05P_n - 10$ quel que soit le naturel $n$.
		\item %Donner une valeur arrondie de $P_2$ à $10^{-3}$ près.
		On a donc $P_2 = P_1 \times 1,05 - 10 = 74,525 \times 1,05 - 10 = \np{68,2513}$, soit 68,251 au millième près.
		\item %Pourquoi la suite $\left(P_n\right)$ n'est-elle pas géométrique ? 
La suite n'est pas géométrique car $\dfrac{P_1}{P_0} = \dfrac{74,525}{80,5} \approx 0,925$ et $\dfrac{P_2}{P_1} = \dfrac{68,251}{74,525} \approx 0,915$.

Il n'existe donc pas de réel $q$ tel que $P_{n+1} = q \times P_n$ : la suite n'est pas géométrique.
	\end{enumerate}
\item 
%\parbox{0.55\linewidth}{Le conservatoire décidera de mettre fin au plan d'élimination dès que l'aire de la surface occupée par la plante sera inférieure à $6$ hectares. 
%
%\textbf{Recopier} et compléter l'algorithme ci-contre pour qu'à la fin de son exécution, la variable $n$ contienne le nombre d'années de mise en œuvre du plan. }\hfill
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$n \gets 0$\\
$P \gets 80,5$\\ 
Tant que $P \geqslant 6$\\
\hspace{0.6cm} $ P \gets P \times 1,05 - 10 $\\ 
\hspace{0.6cm}$n \gets n+1$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}%}
\item %À la fin de quelle année le plan d'élimination prendra-t-il fin ?
La calculatrice donne $P_{10} \approx 5,3$ : on arrêtera donc le traitement à la fin 2031. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

%\parbox{0.58\linewidth}{Le logo utilisé par le conservatoire pour la communication est constitué de deux feuilles symétriques l'une de l'autre, dessinées ci-contre. }\hfill
%\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=2cm}
%\begin{pspicture*}(-0.25,-0.25)(1.8,1.1)
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]
%{
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.2}{1}{0.2 x mul 1 add x dup mul sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1}{0.2}{0.2 x div}
%}
%\rput{90}(2,0){\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.2}{1}{0.2 x mul 1 add x dup mul sub}}
%%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.2}{1}{0.2 x div}
%%}
%\rput{90}(2,0){\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.2}{1}{0.2 x div}}
%\rput(1,0.9){\small\emph{Préserver}}
%\rput(1,0.1){\small \emph{l’environnement}}
%\end{pspicture*} }
%
%Soient les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle [0,1~;~1,25] par $f(x) = \dfrac{0,2}{x}$ et $g(x) = - x^2 + 0,2x + 1$.
%
% On note $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ les courbes représentatives de ces fonctions tracées dans le repère orthonormé ci-
% dessous. 
%
%On admet que ces deux courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ se coupent en deux points. 
%
%\begin{center}
%\psset{unit=3cm,comma} 
%\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(1.6,2)
%\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.2}{1}{0.2 x mul 1 add x dup mul sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{1}{0.2}{0.2 x div}
%}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=10]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.5,-0.49)(1.6,2)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.1}{1.25}{0.2 x div}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{0.1}{1.25}{0.2 x mul 1 add x dup mul sub}
%\uput[ur](0.7,0.65){\small $\mathcal{C}_g$}
%\uput[dl](0.45,0.45){\small $\mathcal{C}_f$}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
% La feuille gauche du logo correspond à la partie grisée du plan, délimitée par ces deux courbes. 
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier par le calcul que $0,2$ est une solution de l'équation $f(x) = g(x)$. 
$\bullet~~$$f(0,2) = \dfrac{0,2}{0,2} = 1$ ;

$\bullet~~$$g(0,2) = - 0,2^2 + 0,2\times 0,2 + 1 = 1$, donc $0,2$ est une solution de l'équation $f(x) = g(x)$
\item %Déterminer graphiquement la seconde solution de cette équation.
Graphiquement on lit que $f(1) = g(1)$ (on vérifie que $f(1) = 0,2$ et $g(1) = - 1 + 0,2 + 1 = 0,2$).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Interpréter graphiquement l'intégrale $I = \displaystyle\int_{0,2}^1 g(x) \:\text{d}x$.
		Sur l'intervalle [0,2~;~1] la fonction $g$ est positive, donc l'intégrale est égale à l'aire (en unité d'aire) de la surface limitée par la courbe $\mathcal{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 0,2$ et $x = 1$. 
		\item %Donner une valeur approchée de cette intégrale à $10^{-2}$ près.
		Une primitive de la fonction $g$ sur [0,2~;~1] est $G$ définie par  $G(x) = - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{0,2x^2}{2} + x = - \dfrac{x^3}{3} + 0,1x^2 + x$.
		
		Donc $I = \displaystyle\int_{0,2}^1 g(x) \:\text{d}x = \left[G(x) \right]_{0,2}^1 = G(1) - G(0,2) = - \dfrac{1^3}{3} + 0,1 \times 1^2  + 1 - \left(- \dfrac{0,2^3}{3} + 0,1\times 0,2^2 + 0,2 \right) = \dfrac{2,3}{3} +\dfrac{0,008}{3} - 0,004 - 0,2 =  \dfrac{2,3}{3} - \dfrac{0,604}{3} = \dfrac{1,696}{3} \approx 0,57$ à $10^{-2}$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0,1~;~1,25] par $F(x) = \dfrac{1}{5} \ln (x)$ est une primitive sur l'intervalle [0,1~;~1,25] de la fonction $f$. 
La fonction $F$ est dérivable sur l'intervalle [0,2~;~1] et sur cet intervalle :
		
$F'(x) = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{x} = 0,2 \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{0,2}{x} = f(x)$. Ceci montre que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0,2~;~1].
		\item %Calculer la valeur exacte de $J =\displaystyle\int_{0,2}^1 f(x) \:\text{d}x$.
		On a $J =\displaystyle\int_{0,2}^1 f(x) \:\text{d}x = [F(x)]_{0,2}^1 = F(1) - F(0,2) = \dfrac{1}{5} \ln (1) - \dfrac{1}{5} \ln (0,2) = - 0,2 \ln (0,2)$  
	\end{enumerate}
\item  %On admet que la courbe $\mathcal{C}_g$ est située au-dessus de la courbe $\mathcal{C}_f$ sur l'intervalle [0,2~;~1]. 

%L'unité choisie sur chacun des axes est de 2,5 cm. 

%En déduire, au cm$^2$ près, une valeur approchée de l'aire totale du logo.
L'aire de la partie grisée est donc égale à :

$I - J \approx 0,57 - 0,32 $  soit environ 0,25 unités d'aire.

Or 1 u. a. $= 2,5 \times 6,25$~cm$^2$. Le logo se composant de deux parties de même aire, 
l'aire du logo est donc environ $2 \times 6,25 \times 0,25 = 2 \times \np{1,5625}$~cm$^2$ soit arrondi au cm$^2$, 3~cm$^2$.
\end{enumerate} 
\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

%Le clinker est un constituant du ciment qui résulte de la cuisson d'un mélange composé de calcaire et d'argile. La fabrication du clinker nécessite des fours à très haute température qui libèrent dans l'air une grande quantité de dioxyde de carbone (CO$_2$). 
%
%Dans une cimenterie, la fabrication du clinker s'effectue de 7 h 30 à 20 h, dans une pièce de volume \np{900000}~dm$^3$. 
%
%À 20 h, après une journée de travail, le taux volumique de CO$_2$ dans la pièce est de 0,6\,\%. 
%
%\medskip
%
 \begin{enumerate}
\item %Justifier que le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de \np{5400}~dm$^3$ . 
Le volume de CO$_2$ présent dans cette pièce à 20 h est de $\np{900000} \times \dfrac{0,6}{100} = \np{9000} \times0,6 = \np{5400}$~dm$^3$.
\item %Pour diminuer ce taux de CO$_2$ durant la nuit, l'entreprise a installé dans la pièce une colonne de ventilation. Le volume de CO$_2$, exprimé en dm$^3$, est alors modélisé par une fonction du temps $t$ écoulé après $20$~h, exprimé en minutes. $t$ varie ainsi dans l'intervalle [0~;~690] puisqu'il y a $690$ minutes entre 20 h et 7 h 30. 

%On admet que cette fonction $V$, définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~690] est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle 

%\[ \quad (E) : y' + 0,01y = 4,5.\] 

	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$. 
Les solutions de l'équation différentielle sont de la forme :

$V(t) = A\text{e}^{- 0,01t} + \dfrac{4,5}{0,01}$,\: avec $A \in \R$. Donc : $V(t) = A\text{e}^{- 0,01t} + 450$,\: avec $A \in \R$.
		\item %Vérifier que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~690], $V(t) = \np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450$. 
On sait que $V(0) = \np{5400}$, d'où en utilisant la question précédente :

$V(0) = A + 450 = \np{5400}$, d'où $A = \np{5400} - 450 = \np{4950}$.

Conclusion : pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~690], $V(t) = \np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450$.
	\end{enumerate}
\item %Quel sera, au dm$^3$ près, le volume de CO$_2$ dans cette pièce à 21 h ? 
21 h correspond à $t = 60$, donc 

$V(1) = \np{4950} \text{e}^{-0,01 \times 60} + 450 = \np{4950} \text{e}^{-0,6} + 450 \approx \np{3166,62}$, soit \np{3167}~dm$^3$ à 1~dm$^3$ près.
\item %Les responsables de la cimenterie affirment que chaque matin à 7 h 30 le taux de CO$_2$ dans cette pièce est inférieur à 0,06\,\%. 

%Cette affirmation est-elle vraie ? Justifier la réponse. 
À 7~h 30, il se sera écoulé 690~minutes et le volume de CO$_2$ sera égal à :

$V(690) = \np{4950} \text{e}^{-0,01 \times 690} + 450 = \np{4950} \text{e}^{-6,9} + 450 \approx 454,989$.

Le taux de CO$_2$ sera donc de :

$\dfrac{454,959}{\np{90000}} \approx \np{0,0005}$. Les responsables ont raison.
\item  %Déterminer l'heure à partir de laquelle le volume de CO$_2$ dans la pièce deviendra inférieur à 900 dm3. 
Il faut résoudre l'inéquation :

$\np{4950} \text{e}^{-0,01t} + 450 < 900$, ou $\np{4950} \text{e}^{-0,01t} < 450$, ou encore $11 \times 450 \text{e}^{-0,01t} < 450$, et en simplifiant :

$11\text{e}^{-0,01t} < 1$ et en multipliant par $\text{e}^{0,01t}$, \,$11 < \text{e}^{0,01t}$.

D'après la croissance de la fonction logarithme :

$\ln 11 < 0,01t$ et enfin  $100\ln 11 < t$.

Or $100\ln 11 \approx 239,79 \approx 240$~min ou encore 4~h.

Le volume de CO$_2$ dans la pièce deviendra inférieur à 900 dm$^3$ à minuit.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Dans cet exercice, les résultats sont à arrondir à $10^{-3}$ près. Les trois parties sont indépendantes. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

%Les téléphones portables intègrent des capteurs photographiques de plus en plus évolués. Ces capteurs sont fragiles et ont une durée de vie limitée. 
%
%La durée de fonctionnement sans panne, exprimée en années, d'un capteur photographique est modélisée par une variable aléatoire $D$ qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 4$ et $\sigma = 1,23$.
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item %Quelle est la durée moyenne de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique? 
La durée moyenne de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique est égale à l'espérance de la variable $D$, donc 4 ans. 
\item %Déterminer la probabilité $P(3,5 \leqslant D \leqslant 4,5)$.
La calculatrice donne $P(3,5 \leqslant D \leqslant 4,) \approx 0,316$. 
\item %Lors de l'achat d'un téléphone portable, la garantie pièces et main d' œuvre est de deux ans. 

%Quelle est la probabilité que la durée de fonctionnement sans panne d'un capteur photographique soit inférieure à la durée de garantie ? 
On a $P(D < 2) = P(\leqslant 4) - P(2 \leqslant D \leqslant 4) \approx 0,052$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

%Lorsqu'un téléphone portable devient défectueux et qu'il est encore sous garantie, le client peut le déposer dans un point de vente agréé pour réparation ou échange contre un appareil neuf. 
%
%On s'intéresse au temps d'attente, exprimé en jours, avant le retour de l'appareil, réparé ou échangé. Ce temps peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,025$.
%
%\medskip 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer l'espérance E($T$) de la variable aléatoire $T$.
		On a E($T) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{0,025} = 40$~(jours).
		\item %Interpréter cette valeur dans le contexte. 
		Le résultat précédent montre qu'en moyenne il faudra compter 40 jours pour le remplacement.
	\end{enumerate}
\item %Un téléphone portable, défectueux et encore sous garantie, a été déposé par un client dans un point de vente agréé. 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer la probabilité $P(T \leqslant 7)$ et interpréter ce résultat.
On a $P(T \leqslant 7) = 1 - \text{e}^{- 0,025 \times 7} \approx 0,161$ (au millième près).

La probabilité de récupérer le téléphone en moins de 7 jours est environ $0,161$.
		\item %Calculer la probabilité que le client doive attendre plus de 20 jours avant de récupérer son téléphone portable.
		Inversement $P(T \geqslant 20) = \text{e}^{- 0,025 \times 20} \approx 0,607$.
		
		La probabilité d'attendre le retour de l'appareil au moins trois semaines est 0,607. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

%Un magazine spécialisé souhaite comparer l'efficacité des services après-vente (S.A.V.) pour les téléphones portables de deux marques A et B. Après une enquête auprès de clients, le magazine obtient les résultats suivants: 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%Marque de téléphone&   Nombre de clients du S.A.V.  ayant répondu à l'enquête & Nombre de clients indiquant avoir  récupéré leur téléphone en moins   de 20 jours \\ \hline
%A 	&120 	&47\\ \hline  
%B	&92		&26\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %On admet que l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque A est [0,304~;~0,480]. 

%Déterminer l'intervalle de confiance, au niveau de confiance 95\,\%, de la proportion de clients ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone de marque B. 
La proportion de clients de la marque B ayant récupéré en moins de 20 jours leur téléphone est égale à $f = \dfrac{26}{92} = \dfrac{13}{46}$.

L'intervalle de confiance à 95\,\% des clients de la marque B est donc égal à :

$\left[\frac{13}{46} - 1,96 \sqrt{\frac{\frac{13}{46}\times \left(1 - \frac{13}{46} \right)}{92}}~;~ \frac{13}{46} + 1,96 \sqrt{\frac{\dfrac{13}{46}\times \left(1 - \frac{13}{46} \right)}{92}} \right] \approx [0,190~;~0,375]$
\item ~%Au vu des deux intervalles de confiance obtenus, le magazine peut-il indiquer à ses lecteurs qu'il y a une différence significative dans l'efficacité des deux S.A.V. ? Justifier la réponse.

\psset{xunit=15cm,yunit=2cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0.1,0)(0.4,0.4)
\psline(0.1,0.2)(0.5,0.2)
\rput(0.19,0.2){[}\rput(0.375,0.2){]}\uput[d](0.19,0.1){0,19} \uput[d](0.375,0.1){0,375}
\rput(0.304,0.2){\red [}\rput(0.48,0.2){\red]}\uput[d](0.304,0.1){\red 0,304}\uput[d](0.48,0.1){\red 0,48}
\end{pspicture}
\end{center} 

Les deux intervalles ayant une large plage commune on ne peut rien conclure sur l'efficacité des deux S. A. V.
\end{enumerate}
\end{document}