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%Tapuscrit : Denis Vergès et François Hache
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{7 septembre 2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 4 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI 2D/STL~\decofourright\\
Métropole--La Réunion 7 septembre 2015\\}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une
%seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne
%réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse
%à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}
%
%\medskip
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %On considère le nombre complexe $z = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$. Le nombre complexe conjugué de $z$ est égal à :

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~} $\overline{z} = - 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{b.~~} $\overline{z} =3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{c.~~} $\overline{z} = - 3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$&\textbf{d.~~} $\overline{z} = 33\text{e}^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
%\end{tabularx}
%\medskip
Si $z = 3\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{3}}$, alors $\overline{z} = 3\text{e}^{-\text{i}\frac{\pi}{3}}$.
\item  ~%La figure ci-dessous donne la courbe représentative d'une fonction! définie sur $\R$.
%En notant $I$ l'intégrale $\displaystyle\int_0^3 f(x)\:\text{d}x$, on a alors, en unités d'aire :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.2,-1.5)(6.5,4.3)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\def\f{-x^3/33-x^2/33+20*x/33+3}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=8](-1.2,-1.5)(6.5,4.3)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1.2,-1.5)(6.5,4.3)
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1.2}{6.5}{10  x mul 3  div   x dup mul 2 mul  3 div sub 3 add}
%\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.2}{6.5}{\f}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.2}{6.5}{20 x mul 33 div 3 add x dup mul 33 div sub x 3 exp 33 div sub}
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](-1.2,2.13)(-1,2.3)(0,3)(1,3.5)(2,3.77)(2.4,3.8)(3,3.7)(4,3)(5,1.6)(6,-1)(6.2,-1.53)
\psframe[fillstyle=hlines](3,3)
\psframe[fillstyle=vlines](0,3)(3,4)
\uput[dl](0,0){0}
\end{pspicture*}
\end{center}

%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~} $1 <I < 3$&
%\textbf{b.~~} $0 < I < 9$&
%\textbf{c.~~} 
On voit clairement sur la figure l'encadrement : $9 < I < 12$%&
%\textbf{d.~~} $12 < I < 22$
%\end{tabularx}
%\medskip

\item  %La figure ci-dessous donne la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $[0~;~ +\infty[$ par 

%\[g(x) = \ln \left(x^2 - 2x + 4\right).\]

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(10.1,5.1)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=8](-0.2,-0.2)(10.1,5.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(10.1,5.1)
%\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(10.1,5.1)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt,linecolor=blue]{0}{10}{x dup mul 2 x mul sub 4 add ln}
%\end{pspicture*}
%\end{center}
%
%\item  La courbe de la fonction dérivée de la fonction $g$ est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
%\textbf{a.~~ Courbe 1}&&\textbf{b.~~ Courbe 2}\\
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture*}(-0.9,-2.1)(6.4,1.5)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](-0.8,-2.)(6.4,1.5)
%\psaxes[linewidth=1.23pt]{->}(0,0)(-0.8,-1.95)(6.4,1.5)
%\psline[linewidth=1pt](0,-1)(6,1)
%\uput[dl](0,0){0}
%\end{pspicture*}&&\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture*}(-0.75,-2.1)(6.4,1.2)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](-0.8,-2.)(6.4,1)
%\psaxes[linewidth=1.23pt]{->}(0,0)(-0.8,-1.95)(6.4,1)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0}{6}{2 x mul 2 sub x dup mul 4 add 2 x mul sub div}
%\uput[dl](0,0){0}
%\end{pspicture*}\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.1cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
%\textbf{c.~~ Courbe 3}&&\textbf{d.~~ Courbe 4}\\
%\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture*}(-0.75,-0.5)(3.1,5.2)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](-0.75,-0.5)(3.1,5.2)
%\psaxes[linewidth=1.23pt]{->}(0,0)(-0.75,-0.5)(3.1,5.2)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0}{6}{x 1 sub 2 exp 3 add}
%\uput[dl](0,0){0}
%\end{pspicture*}&&\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture*}(-0.8,-2.1)(6.4,4.1)
%\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
%\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=10](-0.75,-2.1)(6.4,4.1)
%\psaxes[linewidth=1.23pt]{->}(0,0)(-0.8,-1.95)(6.4,4.1)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1pt]{0}{6}{4 2 x mul sub}
%\uput[dl](0,0){0}
%\end{pspicture*}
%\end{tabularx}
%\end{center}
La fonction est décroissante sur [0~;~4] et croissante sur [1~;~10], donc $f'(x) \leqslant 0$ sur [0~;~1] et $f'(x) \geqslant 0$ sur [1~;~10]. La seule courbe vérifiant ces deux conditions est la courbe 2.
\item  %La variable $X$ suit la loi normale d'espérance $3$ et d'écart type $6$.

%La probabilité $P(X < 3)$ vaut :
On a $P(X < 3) = 0,5$.
%\medskip
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}X}
%\textbf{a.~~} 3&\textbf{b.~~}0,5&
%\textbf{c.~~} 0&\textbf{d.~~} 0,997
%\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\medskip

%\emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}
%
%\medskip
%
%Un smartphone est équipé d'une batterie Li-ion qui débite en usage normal un courant d'intensité
%moyenne $I$ de 0,03 ampère (A).
%
%La capacité $C$ de cette batterie, exprimée en ampères-heures (Ah), est la quantité maximale
%d'électricité qu'elle peut emmagasiner.
%
%On dit que la batterie a effectué un cycle de charge lorsque la quantité d'électricité absorbée,
%éventuellement en plusieurs fois, est égale à sa capacité.
%
%Lors des 300 premiers cycles de charge de la batterie, sa capacité reste égale à 1,8 Ah.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %L'autonomie $T$ de ce smartphone, en heures, est fonction de la capacité $C$ de sa batterie
%et de l'intensité moyenne $I$ du courant qu'elle débite en usage normal.

%On estime que $T = 0,7 \times \dfrac{C}{I}$.

%Calculer l'autonomie $T$, en heures, de ce smartphone au cours de l'un des $300$ premiers cycles de charge.
On a $T = 0,7 \times \dfrac{1,8}{0,03} = \dfrac{1,26}{0,03} = 42$~(h).
\item %On considère qu'après $300$ cycles de charge, l'autonomie de la batterie diminue de 1\,\% à chaque nouveau cycle de charge.

%Pour tout entier naturel $n$, on note $T_n$ l'autonomie, en heures, de la batterie au bout de \og $300 + n$ \fg{} cycles de charge.

%On admet que $T_0 = 42$.
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $T_1$ et $T_2$. Interpréter les résultats.
Diminuer de 1\,\%, revient à multiplier par $1 - \dfrac{1}{100} = \dfrac{99}{100} = 0,99$.

On a donc $T_1 = T_0 \times 0,99 = 42 \times 42 = 41,58$~(h), puis 

$T_2 = T_1 \times 0,99 = 41,58 \times 0,99 = \np{41,1642}\approx 41,16$~(h).
		\item %Exprimer $T_{n+1}$ en fonction de $T_n$ ;
On a vu que chaque charge diminue de 1\,\%, ce qui revient à la multiplier par $0,99$, soit $T_{n+1} = T_n \times 0,99$.
		\item %Justifier que $T_n = 42 \times  0,99^n$.
Les termes $T_n$ sont donc les termes d'une suite géométrique de premier terme 42 et de raison 0,99. On sait qu'alors $T_n = T_0 \times 0,99^n = 42 \times 0,99^n$.
	\end{enumerate}
\item %Un utilisateur souhaite déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
	\begin{enumerate}
		\item ~%On propose l'algorithme suivant pour déterminer le nombre de cycles de charge correspondant.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\
\hspace{0.4cm}$n$ : nombre entier naturel\\
\hspace{0.4cm}$T$ : nombre réel\\
\hspace{0.4cm}$q$ : nombre réel\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace{0.4cm}$n$ prend la valeur $0$\\
\hspace{0.4cm}$T$ prend la valeur $42$\\
\hspace{0.4cm}$q$ prend la valeur $0,99$\\
\textbf{Traitement}\\
\hspace{0.4cm}Tant que $T > 21$\\
\hspace{0.7cm}$T$ prend la valeur $T \times q$\\
\hspace{0.7cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
\hspace{0.4cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
\hspace{0.4cm}Afficher $n + 300$\\ \hline
\end{tabularx}

\end{center}

%Recopier et compléter la partie relative au traitement.
		\item %Déterminer à partir de combien de cycles de charge l'autonomie de la batterie aura diminué de moitié par rapport à son état initial.
En programmant cet algorithme, on trouve que l'autonomie de la batterie aurait diminué de moitié au bout de 369 recharges.

Par le calcul il faut résoudre l'inéquation :

$42 \times0,99^n < 21$ ou $0,99^n < 0,5$ et en prenant le logarithme népérien : $n \ln 0,99 < \ln 0,5$ ou $n > \dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,99}$ (car $\ln 0,99 < 0$).

Or $\dfrac{\ln 0,5}{\ln 0,99} \approx 68,96$, donc $n = 69$.

On a bien $300 + 69 = 369$.
	\end{enumerate}
\item %Lorsque l'autonomie de la batterie devient inférieure à $5$~heures, on estime qu'elle ne permet plus un usage normal du smartphone. Le nombre de cycles de charge correspondant est alors appelé durée de vie de la batterie.
%Déterminer la durée de vie de cette batterie.
On résout l'inéquation $42 \times0,99^n < 5$ ou $0,99^n < \dfrac{5}{42}$ et en prenant le logarithme népérien : $n \ln 0,99 < \ln \frac{5}{42}$ et enfin $n > \dfrac{\ln \frac{5}{42}}{\ln 0,99}$.

La calculatrice donne $\dfrac{\ln \frac{5}{42}}{\ln 0,99} \approx 211,7$, donc $n = 212$ au moins.

La durée de vie est donc de $300 + 212 = 512$ recharges.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}
 
\medskip

%\og Avec une centaine de décès en moyenne par an, le monoxyde de carbone (CO) est la première
%cause de mortalité accidentelle par intoxication en France. [\ldots] Pourtant certains symptômes
%annonciateurs d'une intoxication au monoxyde de carbone existent. Maux de tête, nausées
%et vomissements sont notamment les premiers signes qui doivent alerter. Bien identifiés, ils
%permettent de réagir rapidement et d'éviter le pire. \fg
%
%\begin{flushright}Source Ministère des Affaires Sociales et de la Santé. (octobre 2012)\end{flushright}
%
%\newpage
%
%\textbf{Document 1}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%La société COalerte fabrique un modèle de détecteurs qui enregistre en temps réel
%la concentration de monoxyde de carbone en parties par million (ppm).
%
%Un tel détecteur produit un signal d'alarme respectant les modalités fixées par
%la norme européenne EN 50 291 ci-dessous.
%
%Il déclenche un signal d'alarme :
%
%\setlength\parindent{0.5cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]si la concentration est supérieure à 30 ppm pendant au moins 120 minutes ;
%\item[$\bullet~~$]si la concentration est supérieure à 50 ppm pendant au moins 60 minutes ;
%\item[$\bullet~~$]si la concentration est supérieure à 100 ppm pendant au moins la minutes ;
%\item[$\bullet~~$]si la concentration est supérieure à 300 ppm pendant au moins 3 minutes.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm} \\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Document 2}\\
%\textbf{Symptômes et effets sur la santé du monoxyde de carbone}\\
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(9,12)
%%\psgrid
%\pspolygon(1.2,1)(2.4,1)(2.4,10)(2.7,10)(1.8,11.5)(0.9,10)(1.2,10)
%\psline(2.4,1)(2.6,1.4)(2.6,9.8)(3,9.8)(2,11.4)(1.8,11.5)
%\multido{\n=1.2+1.4}{7}{\psline(1.2,\n)(1.4,\n)}
%\multido{\n=1.2+1.4}{7}{\psline(2.2,\n)(2.4,\n)}
%\rput(1.8,1.2){10}\rput(1.8,2.6){20}
%\rput(1.8,4){40}\rput(1.8,5.4){100}
%\rput(1.8,6.8){200}\rput(1.8,8.2){400}
%\rput(1.8,9.6){\np{1000}}\rput(1.8,11){\np{2000}}
%\rput{90}(0.5,5){\textbf{Niveaux croissants de CO}}
%\rput{90}(1,5){\textbf{dans l'air ambiant (en ppm)}}
%\uput[r](3,11){Décès rapide}
%\uput[r](3,9.6){Coma, convulsions}
%\uput[r](3,8.2){Céphalées, confusion, évanouissements chez l'adulte}
%\uput[r](3,6.8){Céphalées, vertiges, baisse de l'acuité visuelle,
%irritabilité} 
%\uput[r](3,6.4){chez l'adulte et syncope chez l'enfant}
%\uput[r](3,5.4){Céphalées occasionnelles,
%souffle court lors d'un exercice}
%\uput[r](3,5){modéré}
%\uput[r](3,4){Céphalées et nausées chez les enfants}
%\uput[r](3,2.6){Troubles du rythme cardiaque ressentis
%chez les personnes}
%\uput[r](3,2.2){les plus sensibles, souffrant de coronaropathie}
%\uput[r](3,1.2){Pas de symptôme}
%Source : Commission européenne 2014.
%\end{pspicture}
%\end{center}
%\\ \hline
%\end{tabularx}
%
%\medskip
%
%Un laboratoire d'essais procède à des tests sur un détecteur produit par la société COalerte
%en simulant un accident qui provoque une concentration anormale de monoxyde de carbone
%dans une pièce.
%
%\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Le laboratoire relève la concentration de monoxyde de carbone en fonction du temps, exprimé
%en heures. Les enregistrements effectués sur une période de 8 heures se traduisent
%par la représentation graphique ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.025cm,yunit=0.075cm}
\begin{pspicture}(-10,-9)(435,82)
\multido{\n=0+30}{15}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,80)}
\multido{\n=0+10}{9}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(435,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=30,Dy=10](0,0)(435,82)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{435}{200 x mul 60 div 2.71828 x 60 div exp div 2.2 add}
\uput[d](390,-8){Temps en minutes}
\uput[r](0,84){Concentration de monoxyde de carbone en ppm}
\psline[linestyle=dotted](10,0)(10,30)\psline[linestyle=dotted](20,0)(20,50)
\end{pspicture}
\end{center}
\medskip

\begin{enumerate}
\item %Estimer au bout de combien de temps devrait retentir un signal d'alarme.
La concentration est inférieure à 100 ppm. On ne regarde donc que les deux premiers cas d'intoxication :

-- la concentration atteint 30 ppm au bout de 10 min environ et 120 min  plus tard, soit au bout de 130 min, elle est toujours supérieure à 30 ppm : l'alarme va donc se déclencher ;

-- la concentration atteint 50 ppm au bout de 20 min environ et 60 min après, soit au bout de 80 min elle est toujours supérieure à 50 ppm : c'est donc cette alarme qui va se déclencher en premier. 
\item %Une personne présente dans la pièce depuis le début d'un tel accident risquerait-elle de présenter des symptômes ? Si oui, lesquels ?
La concentration maximale est environ 75 ppm : certaines personnes auront donc des symptômes et des effets : ceux qui sont dans les trois premières du tableau à partir du bas.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans cette partie, tous les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.
%
%La concentration de monoxyde de carbone exprimée en ppm dans la pièce en fonction du
%temps, exprimé en heures, est modélisée par la fonction $f$ définie sur [0~;~8] par
%
%\[f(t) = 2,2 + 200t\text{e}^{-t}.\]
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la concentration de monoxyde de carbone en ppm dans la pièce:
	\begin{enumerate}
		\item %au moment de l'accident;
L'accident correspond à $t = 0$ et $f(0) = 2,2 + 200\times 0 \times\text{e}^{- 0} = 2,2$~(ppm).
		\item %30 minutes après.
30 minutes correspondent à $t = 0,5$~(h) et $f(0,5) = 2,2 + 200\times 0,5 \times \text{e}^{-0,5} = 2,2 + 100\text{e}^{-0,5} \approx 62,853$ soit 62,85~ppm au centième près.
	\end{enumerate}
\item %À l'aide du graphique de la partie A, conjecturer les variations de la concentration de
%monoxyde de carbone dans la pièce en fonction du temps.
On voit d'après le graphique que la fonction $f$ croît de $f(0) = 2,2$ à $f(1) = 2,2 + 200\text{e}^{-1} \approx 75,78$.

Elle décroît ensuite de $f(1)$ à $0$.
\item %On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que pour tout réel $t$ de l'intervalle [0~;~8], $f'(t) = 200(1 - t)\text{e}^{-t}$.
		$f$ est somme de produits de fonctions toutes dérivables sur [0~;~8], elle est donc dérivable sur cet ensemble et en dérivant comme un produit :
		
		$f'(t) = 200\text{e}^{-t} + 200 \times (- 1)t\text{e}^{-t} = 200\text{e}^{-t}(1 - t)$. 
		\item %Étudier le signe de $f'(t)$ sur l'intervalle [0~;~8].
On sait que quel que soit le réel $t$, \: $\text{e}^{-t} > 0$, donc le signe de $f'$ est celui de $1 - t$ :

$\bullet~~$$1 - t > 0$ si $0 \leqslant t < 1$ : $f'(t) > 0$ sur [0~;~1[ ;

$\bullet~~$$1 - t < 0$ si $1 < t$ : $f'(t) < 0$ sur ]1~;~8] ;

$\bullet~~$$f'(1) = 0$.
		\item %Valider ou invalider la conjecture émise à la question 2.
On retrouve bien le fait que $f$ est croissante sur [0~;~1[ et décroissante sur ]1~;~8].

Le maximum de la fonction est $f(1) \approx 75,78$.
	\end{enumerate}
\item %On note $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~8] par 
	
	\[F(t) = 2,2 t - 200(t + 1)\text{e}^{-t}.\] 
	
%On admet que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8].
	\begin{enumerate}
		\item %On rappelle que la valeur moyenne d'une fonction continue sur un intervalle
%$[a~;b]$ est le nombre réel défini par : $\dfrac{1}{b-a} \displaystyle\int_a^b  f(t)\:\text{d}t$.
		
%Calculer la valeur moyenne de la concentration de monoxyde de carbone lors
%des 8 heures qui ont suivi l'accident.
Soit $m$ la valeur moyenne sur les 8 heures :

$m = \dfrac{1}{8}\displaystyle\int_0^8 f(t)\:\text{d}t = \dfrac{1}{8}\left[F(t)\right]_0^8 = \dfrac{F(8) - F(0)}{8} = \dfrac{2,2\times 8 - 200 \times 9 \text{e}^{-8} - \left(- 200\text{e}^0\right) }{8} = \dfrac{17,6 - 1800\text{e}^{-8} + 200}{8} \approx 27,12$ au centième près
		\item %Pour des raisons de sécurité, le ministère du travail fixe un seuil pour la concentration moyenne de monoxyde de carbone. Ce seuil est de $50$~ppm pour une période de 8 heures.
		
%La sécurité des personnes présentes dans la pièce aurait-elle été remise en cause lors de l'accident simulé ?
Comme $27,12 < 50$, la sécurité des personnes présentes dans la pièce n'aurait pas  été remise en cause lors de l'accident simulé.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\medskip

%Un sismologue déclare en janvier 2014 : \og Le risque d'un séisme majeur le long de la %faille de
%San Andreas, en Californie, dans les vingt prochaines années est supérieur à 70\,\% \fg.
%
%\medskip
%
%On s'intéresse au temps, exprimé en années, écoulé entre deux séismes majeurs le long de
%cette faille en Californie. On admet que ce temps est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi
%exponentielle de paramètre $\lambda$.
%
%\bigskip
%
%\textbf{Document 1}
%
%La faille de San Andreas, en Californie : séismes majeurs de magnitude supérieure
%ou égale à 5.
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
%\textbf{Ville}	& \textbf{Année} &\textbf{Magnitude}\\ \hline\hline
%Comté d'Orange	& 1769	& 6\\ \hline
%San Diego 		&1800	& 6,5\\ \hline
%San Francisco 	&1808 	&6\\ \hline
%Fort Tejon 		&1857 	&8,3\\ \hline
%Monts Santa Cruz&1865 	&6,5\\ \hline
%Hayward 		&1868 	&6,9\\ \hline
%San Francisco 	&1906 	&8,2\\ \hline
%Santa Barbara 	&1925 	&6,3\\ \hline
%Santa Barbara 	&1927 	&7,3\\ \hline
%Long Beach 		&1933 	&6,3\\ \hline
%Comté de Kern 	&1952 	&7,7\\ \hline
%San Francisco 	&1957 	&5,3\\ \hline
%San Fernando 	&1971 	&6,6\\ \hline
%LomaPrieta 		&1989 	&7,1\\ \hline
%Parkfield 		&2004 	&6,0\\ \hline
%Los Angeles 	&2008 	&5,5\\ \hline
%Mexicali 		&2010 	&7,2\\ \hline
%Napa 			&2014 	&6,0\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}
%
%\textbf{Document 2}
%\smallskip
%
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
%\textbf{Rappels sur la loi exponentielle}\\
% \\
%$\bullet~~$ $\lambda$ est un nombre réel strictement positif.\\
% Une variable aléatoire suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$ si sa densité
%de probabilité est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(x) = \lambda\text{e}^{-\lambda x}$.\\
%$\bullet~~$ L'espérance d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre
%$\lambda$ est $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$.\\ \hline
%\end{tabularx}
% 
%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item %Pour illustrer la situation un élève utilise un tableur.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{|>{\centering \arraybackslash \tiny}c|>{\centering \arraybackslash \tiny}c|*{18}{>{\centering \arraybackslash \tiny}X|}>{\centering \arraybackslash \tiny}c|}\hline
%	&A 		&B 		&C 		&D 		&E 		&F 		&G 		&H 		&I 		&J 		&K 		&L 		&M 		&N 		&O 		&P 		&Q 		&R 		&S 		&T\\ \hline
%1	&Année	&1769	&1800 	&1808 	&1857 	&1865 	&1868 	&1906 	&1925 	&1927 	&1933 	&1952 	&1957 	&1971 	&1989 	&2004 	&2008 	&2010 	&2014	& Total\\ \hline
%2	&		& 		&31 	&8 		&49 	&8 	&3 	&38 	&19 	&2 		&6 		&19 	&5 		&14 	&18 	&15 	&4 		&2 		&4 		&245\\ \hline
%\end{tabularx}
%\end{center}  
	\begin{enumerate}
		\item %Proposer un titre pour la cellule A2 grisée.
Titre de la cellule A2 : \og Années entre deux séismes majeurs \fg.
		\item %Quelle formule a saisi l'élève dans la cellule C2 afin de compléter ce tableau jusqu'à la colonne S par \og recopie automatique vers la droite \fg{} ?
Formule dans C2 : \fbox{= C1 - B1}
 	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer en années la moyenne $m$, arrondie à $10^{-2}$ près, du temps écoulé entre deux séismes majeurs le long de la faille de San Andreas en Californie.
		On a $m = \dfrac{31 + 8 + 49 + \cdots + 4}{17} = \dfrac{245}{17} \approx 14,41$.
		\item %Justifier qu'une approximation du paramètre $\lambda$ de la loi exponentielle suivie par la variable aléatoire $X$ est \np{0,0694}.
		On a $E(X) = \dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{245}{17}$, donc $\lambda = \dfrac{17}{245} \approx \np{0,006938}$ soit \np{0,0694} à $10^{-4}$ près.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $P(X \leqslant 20)$ à $10^{-2}$ près.
$P(X \leqslant 20) = \displaystyle\int_0^{20} \np{0,0694}\text{e}^{- \np{0,0694}t}\:\text{d}t = \left[- \text{e}^{- \np{0,0694}t} \right]_0^{20} = 1 - \text{e}^{- \np{1,388}} \approx 0,7504$ soit 0,75 au centième près.
		\item %L'affirmation du sismologue paraît -elle cohérente avec cette modélisation par une loi exponentielle?
		Comme $0,75 > 0,7$ l'affirmation du sismologue paraît  cohérente avec la modélisation par une loi exponentielle.
	\end{enumerate}
\item  %Le dernier séisme majeur a eu lieu en 2014 à Napa.
%Calculer la probabilité qu'il n'y ait pas d'autres séismes majeurs le long de la faille de San Andreas, en Californie, avant 2050. On arrondira à $10^{-2}$ près.
Comme 2050 - 2014 = 36, il faut calculer $P(X > 36)$ :

$P(X > 36) = 1 - P(X \leqslant 36) = 1 - \displaystyle\int_0^{36} \np{0,0694}\text{e}^{- \np{0,0694}t}\:\text{d}t = 1 - \left[- \text{e}^{- \np{0,0694}t} \right]_0^{36} = 1 - 1 + \text{e}^{- \np{2,4984}t} \approx \np{0,0822}$ soit 0,08 au centième près (donc 92\,\% qu'il y ait un séisme majeur d'ici 2050).
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Résoudre l'équation $1 - \text{e}^{\np{-0,0694}t} = 0,95$.
$1 - \text{e}^{\np{-0,0694}t} = 0,95$ si $1 - 0,95 = \text{e}^{\np{-0,0694}t}$ ou $0,05 = \text{e}^{\np{-0,0694}t}$ et en prenant le logarithme népérien :

$\ln 0,05 = - \np{-0,0694}t$ et enfin $t = \dfrac{\ln 0,05}{-\np{0,0694}} \approx 43,166$ soit 43,17 au centième près.
		\item %Interpréter ce résultat.
On a $P(X \leqslant t) =  \displaystyle\int_0^{t} \np{0,0694}\text{e}^{- \np{0,0694}x}\:\text{d}x = 1 - \text{e}^{- \np{0,0694}t}$, on a donc :

$ 1 - \text{e}^{- \np{0,0694}t} = 0$ si $t = 43,17$, donc $P(X \leqslant 43,17) = 0,95$ : la probabilité qu'il y ait un séisme majeur dans les 44 prochaines années est supérieur à 95\,\%.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}