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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Corrigé : François Hache
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\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdfsubject = {Corrigé du baccalauréat STI2D STL},
pdftitle = {Métropole - La Réunion -- 6 septembre 2018},
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\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}%     le d de différentiation
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}%      le e de l'exponentielle
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\newcommand{\ds}{\displaystyle}

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat  STI2D et STL}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small{6 septembre 2018}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

%\vspace{0.25cm}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D et STL~\decofourright\\[5pt]
Métropole--La Réunion -- 6 septembre 2018}}
\end{center}

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points} 

%\medskip
%
%Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes,
%une seule des quatre réponses proposées est exacte. 
%
%\textbf{Aucune justification n'est demandée.}
%
%Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence
%de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Une forme exponentielle du nombre complexe $- 3 + \i \sqrt{3}$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- 2 \sqrt{3}\e^{-\i\frac{\pi}{6}}$&
\textbf{b.~~} $2\sqrt{3}\e^{\i\frac{\pi}{6}}$&
\textbf{c.~~} \fbox{$2 \sqrt{3}\e^{\i\frac{5\pi}{6}}$}&
\textbf{d.~~} $\sqrt{12}\e^{- \i\frac{5\pi}{6}}$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
Soit $z= - 3 + \i \sqrt{3}$; 
$|z| = \ds\sqrt{(-3)^2 + \left ( \sqrt{3} \right )^2} = \ds\sqrt{9+3} = \ds\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$

Donc $z=2\sqrt{3} \left ( \dfrac{-3}{2\sqrt{3}} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\right )
= 2\sqrt{3} \left (- \dfrac{ \sqrt{3}}{2} + \i \dfrac{1}{2}\right )
= 2\sqrt{3} \left ( \cos \dfrac{5\pi}{6} + \i \sin \dfrac{5\pi}{6} \right )
= 2\sqrt{3} \e^{\i \frac{5\pi}{6}}$

\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}

\item  On considère le nombre complexe $z = \dfrac{1}{2}\e^{-\i\frac{\pi}{4}}$. Le nombre $z^2$ est :
	\begin{enumerate}
		\item un nombre réel
		\item \fbox{un nombre complexe de partie réelle nulle}
		\item un nombre complexe de module 1
		\item un nombre complexe de partie imaginaire positive
 	\end{enumerate}
 	
 \medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$z = \dfrac{1}{2}\e^{-\i\frac{\pi}{4}}$ donc
$z^2 = \left (\dfrac{1}{2}\e^{-\i\frac{\pi}{4}}\right )^2
= \left (\dfrac{1}{2}\right )^2 \e^{2\left (-\i\frac{\pi}{4}\right )}
= \dfrac{1}{4} \e^{-\i\frac{\pi}{2}}
= -\dfrac{1}{4} \i$ imaginaire pur

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}	

\medskip
 	
\item  Une variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur un intervalle de la forme $[2~;~x]$, où $x$ est un réel strictement supérieur à 2. Sachant que $P(2 \leqslant T \leqslant 3) = \dfrac{1}{4}$, la valeur de $x$ est :
	
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2,25&\textbf{b.~~} \fbox{6} &\textbf{c.~~} 8&\textbf{d.~~} 10
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
$P(2 \leqslant T \leqslant 3) = \dfrac{1}{4}
\iff \dfrac{3-2}{x-2} = \dfrac{1}{4}
\iff \dfrac{1}{x-2} = \dfrac{1}{4}
\iff x-2 = 4 \iff x=6$

\textbf{Réponse b.}
\end{tabular}	

\medskip

\item Sur le graphique ci-dessous, la surface grisée est délimitée par la courbe d'équation
$y = \dfrac{1}{x}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = \e$ et $x = a$, où $a$ est un réel strictement supérieur à e.

\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-0.25,-0.25)(8.5,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.333}{8}{1 x div}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.71828}{6.3}{1 x div}
\psline(6.3,0)(2.71828,0)(2.71828,0.3679)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=gray](0,0)(8,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(8,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\uput[ur](1.5,0.57){\blue $y = \frac{1}{x}$}
\uput[d](2.71828,0){e}\uput[d](6.3,0){$a$}
%\pscustom[fillstyle=hlines]{
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.71828}{6.3}{x ln}
%\psline(6.3,0)(2.71828,0)(2.71828,0.3679)}
\end{pspicture}
}%%% fin du scalebox
\end{center}

La surface grisée a une aire strictement comprise entre 1 et $1,5$ unité d'aire lorsque $a$
est égal à:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 2e&\textbf{b.~~} $2\e^2$&\textbf{c.~~} \fbox{$3\e$}&\textbf{d.~~} $\e^2$
\end{tabularx}

\medskip

\begin{tabular}{@{\hspace*{0.05\linewidth}} | p{0.95\linewidth}}
La surface grisée a une aire $\mathcal A$ égale à
$\ds\int_{\e}^{a} \dfrac{1}{x} \d x = \left [ \ln(x)\strut\right ]_{\e}^{a}
= \ln(a)-\ln(\e) = \ln(a)-1$.

On veut $1< \mathcal{A} < 1,5$ donc $1 < \ln(a) -1 < 1,5$ ce qui équivaut à $2 < \ln(a) < 2,5$.

La seule valeur de $a$ qui convienne est $a=3\e$.

\textbf{Réponse c.}
\end{tabular}	
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points} 

\medskip

Le benzène est un produit chimique liquide utilisé dans la fabrication de matières plastiques.

\smallskip

À la suite d'un incident le 10 juin 2018, une certaine quantité de benzène a été rejetée dans
une rivière qui alimente en partie un bassin servant de base nautique. Les autorités
sanitaires doivent s'occuper de la dépollution de la rivière tandis que le responsable de la
base nautique s'occupe de celle du bassin.

Le benzène flotte à la surface de l'eau. Le responsable de la base nautique prélève un échantillon de liquide selon un protocole établi. Il détermine ainsi la concentration de benzène à la surface du bassin. Celle observée le 10 juin 2018 est de $68$~microgrammes par litre. Le tableau suivant classe la qualité de l'eau selon la concentration de benzène, exprimée en microgrammes par litre ($\mu$g/L), dans un échantillon prélevé à la surface de l'eau.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{3cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Concentration de benzène en $\mu$g/L&[0~;~0,5[ &[0,5~;~5[ &[5~;~50[ &[50~;~\np{5000}[& 
$\geqslant \np{5000}$\\ \hline
Qualité de l'eau &Excellente &Bonne &Moyenne &Médiocre &Mauvaise\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

La toxicité du benzène par inhalation conduit le responsable à fermer la base nautique afin
de préserver la santé des usagers, cette décision entraînant une perte de recette de $750$~euros par jour.
La base nautique pourra rouvrir lorsque la qualité de l'eau sera devenue excellente. Le responsable décide d'étudier deux solutions pour dépolluer le bassin : la première consiste à laisser le benzène s'éliminer sans intervention extérieure et la seconde consiste à filtrer l'eau au charbon actif.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Élimination du benzène de façon naturelle}

\medskip

Dans cette partie, le responsable étudie l'évolution de la concentration de benzène à la surface du bassin sans intervention extérieure. Il estime que cette concentration diminue de manière naturelle de $7\,\%$ par jour, notamment par évaporation.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le 10 juin 2018 la concentration de benzène est de 68~$\mu$g/L donc la qualité est médiocre. 
		\item Le 11 juin 2018 la concentration aurait baissé de 7\,\% donc serait de
		$68-68\times \dfrac{7}{100}= 63,24$; la qualité de l'eau serait toujours médiocre.
 	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la concentration de benzène, en microgrammes par litre, à la surface du bassin $n$ jours après le 10 juin 2018.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
Chaque jour, la concentration diminue de 7\,\%; diminuer de 7\,\%, c'est multiplier par $1-\dfrac{7}{100} = 0,93$. Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,93$.

Le 10 juin 2018 la concentration est de 68~$\mu$g/L donc le premier terme de la suite est $u_0=68$.		
		
		\item % Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q=0,93$ et de premier terme $u_0=68$ donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=u_0 \times q^n = 68 \times 0,93^n$.		
				
		\item % Vérifier que le 15 juin 2018, l'eau deviendrait de qualité moyenne.
Le 15 juin 2018 correspond à $n=5$: $u_5 = 68\times 0,93^5 \approx 47,3$.

Or $47,3 \in [5\,; 50[$ donc le 15 juin 2018 la qualité de l'eau est moyenne.		
		
		\item%  Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
La suite $(u_n)$ est géométrique de raison $0,93$. Or $0< 0,93 < 1$ donc la suite $(u_n)$ a pour limite 0.

Cela signifie qu'au bout d'un certain temps, la concentration en benzène va tendre vers 0 donc que la qualité de l'eau va devenir excellente.		
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On propose ci-dessous la partie traitement de deux algorithmes.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.3cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}
\multicolumn{1}{|c|}{\textbf{Algorithme 1}}&&\multicolumn{1}{c|}{\textbf{Algorithme 2}}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}	
$u \gets 68$&&$u \gets 68$\\ 
$n \gets 0$&&$n \gets 0$\\ 
Tant que $u \geqslant 0,5$&&Tant que $u < 0,5$\\ 
$u \gets 0,93u$&&$u \gets 0,93u$\\ 
$n \gets  n+1$&&$n \gets  n+1$\\ 
Fin Tant que&&Fin Tant que\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}
\end{center}

%Quel est celui qui permettrait de déterminer le nombre de jours de fermeture avant que la qualité de l'eau soit devenue excellente ?
Dans l'algorithme 2 la condition pour entrer dans la boucle est \og $u<0,5$ \fg{}; or la variable $u$ est initialisée à 68 donc on n'entre jamais dans la boucle et l'algorithme 2 affiche la valeur 0 pour $n$.

C'est donc l'algorithme 1 qui permet de déterminer le nombre de jours de fermeture avant que la qualité de l'eau soit devenue excellente.

		\item  On résout l'inéquation $68 \times 0,93^n < 0,5$:
		
$68 \times 0,93^n < 0,5 \iff 0,93^n < \dfrac{0,5}{68}\\
\phantom{68 \times 0,93^n < 0,5} \iff \ln(0,93^n) < \ln \left ( \dfrac{0,5}{68}\right )$ (croissance de la fonction ln)\\
$\phantom{68 \times 0,93^n < 0,5} \iff n\ln(0,93) < \ln \left ( \dfrac{0,5}{68}\right )$ (propriété de la fonction ln)\\
$\phantom{68 \times 0,93^n < 0,5} \iff n > \dfrac{\ln \left ( \frac{0,5}{68}\right )}{\ln(0,93)}$ (car $\ln(0,95)<0$)

Or $\dfrac{\ln \left ( \frac{0,5}{68}\right )}{\ln(0,93)}\approx 67,7$ donc le plus petit entier $n$ tel que la concentration soit inférieure à $0,5$~$\mu$g/L est 68.

%Indiquer la démarche utilisée.
		\item% Interpréter le résultat précédent.
Donc c'est à partir du $68\ieme{}$ jour après le 10 juin 2018 que la qualité de l'eau sera redevenue excellente.		
		
		\item Si cette solution était retenue, la base serait fermée 67 jours donc la perte financière serait, en euros, de $68 \times 750 = \np{51000}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Élimination du benzène par traitement au charbon actif}

\medskip

Un procédé de filtration de l'eau de la base nautique au charbon actif permettrait d'éliminer 
plus rapidement le benzène présent à la surface du bassin. Le coût total de l'installation est
de \np{20000}~euros.

Dans cette partie, le responsable étudie cette solution. L'action du filtre commencerait alors
le 13 juin 2018. À la mise en service, à l'instant $t = 0$, le responsable estime que la concentration de benzène à la surface du bassin serait de $54,7$~microgrammes par litre.

Il choisit de modéliser la concentration de benzène en microgrammes par litre à la surface
du bassin, en fonction du temps $t$ exprimé en jours, par une fonction $f$, définie sur 
$[0~; ~+ \infty[$ et vérifiant l'équation différentielle :
$\quad (E)\qquad  y' + \dfrac{1}{4}y = 0$.

\begin{enumerate}
\item% Résoudre dans l'intervalle $[0\,; +\infty[$ l'équation différentielle $(E)$.
L'équation différentielle $y' + \dfrac{1}{4}y = 0$ est de la forme $y'+ay=0$ qui a pour solutions $y=K\e^{-at}$ où $K$ est un réel quelconque.

Donc $(E)$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=K\e^{-0,25t}$ où $K$ est un réel quelconque.

\item %Justifier que, pour tout $t \geqslant 0$,\: $f(t) = 54,7\e^{-0,25t}$.
En $t=0$, la concentration du bassin est de $54,7$~$\mu$g/L donc $f(0)= 54,7$ ce qui équivaut à $K\e^{0} = 54,7$ ce qui donne $K=54,7$.

Donc pour tout $t \geqslant 0$,\: $f(t) = 54,7\e^{-0,25t}$.

\item La concentration de benzène dans l'eau $19$ jours après la mise en service du filtre est
$f(19) = 54,7 \e^{-0,25\times 19} \approx 0,47$.

Cela veut dire que 19 jours après la mise en service du filtre, la qualité de l'eau est redevenue excellente.

 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\textbf{Comparaison des deux solutions étudiées}

\medskip

%Laquelle des deux solutions envisagées est financièrement la plus judicieuse pour la base nautique ?
$f(18) \approx 0,61$ donc au bout de 18 jours après la mise en service du filtre, l'eau n'est pas de qualité excellente.

Elle devient excellente après 19 jours à compter du 13 juin, donc après 22 jours à compter du 10 juin, jour de la pollution

22 jours de fermeture coûtent $22\times 750 = \np{16500}$~\euro{}; le coût total de la solution avec filtre est donc $\np{20000} + \np{16500}=\np{36500}$~\euro{}.

La solution avec utilisation d'un filtre à charbon est nettement plus judicieuse que l'autre.

\vspace{0.25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points} 

\medskip

Une société d'extraction de gravier reçoit une commande de \np{550000}~tonnes de gravier pour
la construction d'un tronçon d'autoroute. Pour satisfaire cette commande, elle exploite un
nouveau gisement de pierre.

\smallskip

Le responsable a recensé les masses journalières de gravier extraites de ce gisement au cours
de son exploitation. La tendance observée et son expérience professionnelle le conduisent
à modéliser la masse journalière de gravier extraite, exprimée en tonnes, par la fonction $f$
définie sur l'intervalle $[0~;~600]$ par :
$f(x) = \left(0,2x^2 + 30x\right)\e^{- 0,01x}$
où $x$ désigne le temps écoulé en jours depuis le début de l'exploitation du gisement.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$,
		
$f'(x) = \left(0,2\times 2x + 30\right)\e^{- 0,01x} +  \left(0,2x^2 + 30x\right) \times (-0,01)\e^{-0,01x}\\
\phantom{f'(x)}
= \left ( 0,4 x + 30 -0,002 x^2 -0,3x \right ) \e^{-0,01x}\\
\phantom{f'(x)}
= \left(- 0,002x^2 + 0,1x + 30\right)\e^{- 0,01x}$

		\item  Pour tout $x$ de l'intervalle $[0~;~600]$,

$0,002(- x + 150)(x + 100)\e^{- 0,01x} = 0,002 (-x^2 +150x -100x +\np{15000})\e^{-0,01x}\\
\phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\e^{- 0,01x}}
= 0,002 (-x^2 +50x +\np{15000})\e^{-0,01x}\\
\phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\e^{- 0,01x}}
= (-0,002 x^2 +0,1x  +30 )\e^{-0,01x}\\
\phantom{0,002(- x + 150)(x + 100)\e^{- 0,01x}}
= f'(x)$.

	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On étudie le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{1cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 0 & \esp & 150 & \esp \esp & 600 \\
\hline
-x+150 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
x+100 &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
\e^{-0,01x} &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{\phantom 0} & \pmb{+} &   \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &   \\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}		
		
		\item% Dresser le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
$f(0)=0$, $f(150)\approx \np{2008}$ et $f(600) \approx 223$

On dresse le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~600]$.
		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{1cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \esp & 150 & \esp\esp & 600 \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\approx \np{2008}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{\approx 223} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

		\item La masse journalière de gravier extraite sera maximale au bout de 150 jours et cette masse maximale sera d'environ $\np{2008}$~tonnes.
		
%Quelle est alors cette masse maximale, en tonnes ?
 	\end{enumerate}
\item La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal est donnée ci-dessous :
	
\begin{center}
\psset{xunit=0.02cm,yunit=0.002cm,comma=true,arrowsize=3pt 2}
\begin{pspicture}(-30,-200)(650,2500)
\multido{\n=0+50}{14}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,2500)}
\multido{\n=0+500}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(650,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=500](0,0)(650,2500)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{600}{x dup mul 0.2 mul 30 x mul add 2.71828 0.01 x mul exp div}
%\uput[ur](350,1000){$\left(0,2x^2 + 30x\right)\text{e}^{- 0,01x}$}
\psline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=2,linecolor=red](0,1000)(360.6,1000)
\psline[ArrowInside=->,linecolor=red](360.6,1000)(360.6,0)
\uput*{9pt}[d](360.6,0){\red ~~360~~}
\end{pspicture}
\end{center}

Après avoir atteint son maximum, la masse journalière de gravier extraite diminue.

La masse deviendra alors inférieure à \np{1000}~tonnes au bout de 360 jours.

%Répondre avec la précision permise par le graphique.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un logiciel de calcul formel a permis d'obtenir les résultats suivants:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|c|X|}\hline
1 &$f(x) = \left(0,2 * x^2 + 30* x\right) * \text{exp}(- 0,01 * x)$\\ \hline
&\hspace{3cm}$\left(0,2x^2 + 30x\right)\text{exp}(- 0,01x)$\\ \hline
2 &intégrer $(f(x), x)$\\ \hline
&\hspace{3cm}$\left(- 20x^2 - \np{7000}x- \np{700000}\right)\text{exp}(- 0,01x)$\\ \hline
3 &intégrer $(f(x), x, 0, 600)$\\ \hline
&\hspace{3cm}$\np{-12100000} \text{exp}(- 6) + \np{700000}$\\ \hline
4 &approcher(intégrer $(f(x), x, 0, 600)$)\\ \hline
&\hspace{3cm}\np{670007.098662}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Le résultat fourni par le logiciel en ligne 2 donne une primitive de la fonction $f$. Si on appelle $F$ cette primitive, on a $F(x)= \left(- 20x^2 - \np{7000}x- \np{700000}\right)\e^{- 0,01x}$.
		
		\item Une valeur approchée de la masse totale de gravier extraite, en tonnes, entre le début de l'exploitation et le 600\up{e} jour d'exploitation est donnée par :
$I= \displaystyle\int_0^{600}  f(x) \d x$.

D'après la ligne 4 du logiciel de calcul formel, 
$I= \displaystyle\int_0^{600}  f(x) \d x \approx \np{670007}$. 

Au bout de 600 jours on aura extrait environ \np{670007} tonnes ce qui est supérieur à \np{550000} tonnes, ce qui permet d'honorer la commande.
		
%La commande pourra-t-elle être satisfaite au bout de $600$ jours ?
	\end{enumerate}
\item Le responsable du chantier d'extraction estime que la commande sera satisfaite au bout de $400$~jours.

La masse extraite au bout de 400 jours est

$\ds\int_{0}^{400} f(x) \d x = \left [ F(x) \strut\right ]_{0}^{400} = F(400) - F(0)\\
\hphantom{\ds\int_{0}^{400} f(x) \d x}
= \left ( \left(- 20\times 400^2 - \np{7000}\times 400- \np{700000}\right)\e^{- 0,01\times 400}\right ) - \left ( \left(- \np{700000}\right)\e^{0}\right )\\
\hphantom{\ds\int_{0}^{400} f(x) \d x}
= -\np{6700000} \e^{-4} + \np{700000}
\approx \np{577285} > \np{550000}$

Donc la commande peut être satisfaite au bout de 400 jours.	
	
%Qu'en pensez-vous ? Justifier la réponse par un calcul.
\end{enumerate}

%\vspace{0.25cm}
\newpage

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points} 

%\medskip

%\textbf{Les parties A et B sont indépendantes.}
%
%\medskip
%
%\emph{Dans cet exercice, sauf mention contraire, on donnera les résultats arrondis à $10^{- 3}$ près.}
%
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Lors de la conception d'un avion, les techniciens cherchent à optimiser l'espacement
entre les rangées de sièges.
L'espace minimal de confort, exprimé en centimètres, pour les jambes d'un passager
adulte peut être modélisé par une variable aléatoire $L$ qui suit la loi normale d'espérance
$\mu = 55$ et d'écart type $\sigma = 5$.

Un passager adulte est choisi au hasard.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit compris entre 48~cm et 62~cm est $P(48 \leqslant L \leqslant 62) \approx 0,838$.
		
		\item La probabilité que l'espace minimal de confort de ce passager soit supérieur à 67~cm est $P(L > 67) \approx 0,008$.
 	\end{enumerate}
 	
\item  Sur cet avion comportant $334$ sièges, les techniciens fixent l'espace entre deux rangées consécutives à 65~cm. La probabilité qu'un client adulte prenne place confortablement
est alors égale à $0,977$.
	
On choisit au hasard un échantillon de $334$ personnes adultes pour prendre place dans
cet avion. Le nombre de passagers confortablement installés peut être modélisé par
une variable aléatoire $X$.
	\begin{enumerate}
		\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. \\
		Les paramètres de cette loi sont $n=334$ et $p=0,977$.
		
		\item% Justifier qu'en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.
L'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ est $np=334\times 0,977 \approx 326$ donc, en moyenne, dans un tel avion, $326$ personnes pourraient s'asseoir confortablement.

		\item $P(X \geqslant 330) \approx 0,051$% Interpréter le résultat.
		
Dans un tel avion, la probabilité qu'au moins 330 personnes puissent s'asseoir confortablement est de $0,051$.		
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Par expérience, la compagnie estime que la probabilité qu'un passager ayant réservé une présente à l'embarquement est égale à $0,9$.

La compagnie a accepté un nombre $n$ de réservations supérieur ou égal à $335$ pour $334$ sièges disponibles. On suppose par ailleurs que les comportements des passagers sont indépendants les uns des autres.

On note $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de passagers se présentant effectivement.

$Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p = 0,9$.
Dans le tableau ci-dessous, on donne, pour quelques valeurs de $n$ supérieures à 335, la probabilité $p_n$ qu'il y ait plus de personnes à l'embarquement que de places disponibles.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|>{\centering \arraybackslash}X|c|}\hline
	&A		&B\\ \hline
1 	&Nombre $n$ de places vendues& $p_n$\\ \hline
2 	& 353 	&\np{0,0006}\\ \hline
3 	& 354 	&\np{0,0012}\\ \hline
4 	& 355 	&\np{0,0023}\\ \hline
5	&356	&            \\ \hline
6	&357 	&\np{0,0070}\\ \hline
7	& 358 	&\np{0,0115}\\ \hline
8	& 359 	&\np{0,0183}\\ \hline
9	& 360 	&\np{0,0280}\\ \hline
10	& 361 	&\np{0,0414}\\ \hline
11	& 362 	&\np{0,0594}\\ \hline
12	& 363 	&\np{0,0826}\\ \hline
13	& 364 	&\np{0,1116}\\ \hline
14	& 365 	&\np{0,1468}\\ \hline
15	& 366	&\np{0,1883}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On cherche une valeur approchée à $10^{-4}$ près de la valeur manquante de la cellule B5 de ce tableau.

Dans ce cas, la variable aléatoire $Y$ suit la loi binomiale de paramètres $n=356$ et $p=0,9$. \\
On cherche $p_{356}=P(Y >334)$; on trouve à la calculatrice $0,0041$.

\item La compagnie souhaite que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$\,\%.

On cherche donc $n$ pour que $p_n<0,025$; d'après le tableau, on peut prendre $n\leqslant 359$.

Pour que le risque d'avoir plus de passagers que de sièges le jour de l'embarquement soit inférieur à $2,5$\,\%, la compagnie doit prendre au maximum $359$ passagers.

\end{enumerate}
\end{document}