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%Tapuscrit : François Hache
%Corrigé : Denis Vergès
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\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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pdftitle = {Métropole septembre 2017},
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{10 septembre  2019}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D \& STL/SPCL~\decofourright\\[5pt]Métropole -- 10 septembre 2019}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points}

\bigskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.}

\begin{enumerate}
\item %Une variable aléatoire $X$ suit la loi uniforme sur l'intervalle [2~;~12]. \\
%$P(X \leqslant 5)$ est égale à:

%\begin{multicols}{4}
%\begin{enumerate}
%\item $\dfrac{1}{2}$
%\item $\dfrac{3}{10}$
%\item $\dfrac{5}{12}$
%\item $\dfrac{5}{7}$
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
$P(X \leqslant 5) = \dfrac{5 - 2}{12 - 2} = \dfrac{3}{10}$.
\item %Une variable aléatoire $X$ suit la loi normale d'espérance 20 et d'écart-type $\sigma$. 

%$P(X \leqslant 18)$ peut être égale à:

\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $0,4$
\item $1,8$
\item $0,6$
\item $0,82$
\end{enumerate}
\end{multicols}
18 est inférieur à l'espérance 20, donc la probabilité est inférieure à 0,5.

Mathématiquement : $P(X\leqslant 18) = P(X \leqslant 20) - P(18 \leqslant 18 \leqslant 20) = 0,5 - P(18 \leqslant 18 \leqslant 20) < 0,5$.
\item %La durée de vie, en années, d'un composant électronique est une variable aléatoire qui
%suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$. La durée de vie moyenne de ce composant
%électronique est de 5 ans.

%Le paramètre $\lambda$ vaut:

%\begin{multicols}{4}
%\begin{enumerate}
%\item $5$
%\item $0,5$
%\item $ 0,2$
%\item $-0,2$
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
On sait que $E = 5 = \dfrac{1}{\lambda} \iff \lambda = \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{10} = 0,2$.
\item %Un argument du nombre complexe
%$z=\left (2-2\i\right )\times \e^{\i \frac{\pi}{2}}$ est:
%
%\begin{multicols}{4}
%\begin{enumerate}
%\item $\dfrac{\pi}{2}$
%\item $\dfrac{\pi}{4}$
%\item $ \dfrac{3\pi}{4}$
%\item $4\sqrt{2}$
%\end{enumerate}
%\end{multicols}
$|2 - 2\text{i}|^2 = 4 + 4 = 8 = \left(2\sqrt{2}\right)^2$, donc $|2 - 2\text{i}| = 2\sqrt{2}$.

$2 - 2\text{i} = 2\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \text{i} \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{- \pi}{4} + \text{i} \sin \frac{- \pi}{4}\right) = 2\text{e}^{- \frac{\pi}{4}}$.

Donc l'argument du nombre proposé est égal à la somme des arguments des facteurs soit, $- \frac{\pi}{4}, \:0$ et $\frac{\pi}{2}$, soit $\frac{\pi}{4}$. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 6 points}

\bigskip

%Pour permettre un apport de lumière naturelle dans une habitation et réaliser des économies d'électricité, une solution réside dans l'installation d'un conduit de lumière au niveau de la toiture. Il s'agit d'un tube cylindrique en aluminium recouvert d'un film multicouche à base de polymère.
%
%Dans ce conduit, le flux lumineux, exprimé en lumens (lm), diminue de $0,5\,\%$ tous les décimètres.
%
%On rappelle qu'un décimètre vaut dix centimètres.
%
%\begin{center}
%\scalebox{0.9}{
%\psset{xunit=0.2cm,yunit=0.3cm,arrowsize=3pt 3,dash=3pt 3pt}
%\def\xmin {-9}   \def\xmax {17}
%\def\ymin {-7}   \def\ymax {20}
%\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
%\psline[linewidth=2pt](0,0)(0,13)
%\psline[linewidth=2pt](4,0)(4,13)
%\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linewidth=0pt](0,0)(4,13)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(5,18)(4,17)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(4,17)(0,13)(4,9)(0,5)(4,1)(-1,-4)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(6,18)(5,17)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(5,17)(0,12)(4,8)(0,4)(4,0)(0,-4)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(7,18)(6,17)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(6,17)(0,11)(4,7)(0,3)(7,-4)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(8,18)(7,17)
%\psline[linestyle=dashed]{->}(7,17)(0,10)(4,6)(0,2)(6,-4)
%\uput[r](4,6.5){conduit de lumière}
%\uput[u](3,-6){flux lumineux à la sortie}
%\uput[u](3,-7){du conduit de lumière}
%\uput[u](4,18){flux lumineux à l'entrée du conduit de lumière}
%\end{pspicture}
%}
%\end{center}


\textbf{Partie A}

\medskip

%Dans cette partie, on suppose que le flux lumineux à l'entrée d'un tel conduit de lumière est de \np{4000} lumens.
%
%On pose $u_0 = \np{4000}$. Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $(u_n)$ le flux lumineux, en lumens, à la sortie d'un conduit de longueur $n$ décimètres.

\begin{enumerate}
\item %Justifier que $u_1 = \np{3980}$.
Retrancher 0,5\,\%, c'est multiplier par $1 - 0,005 = 0,995$.

Donc $u_1 = u_0 \times 0,995 = \np{4000} \times 0,995 = \np{3980}$.
\item %Calculer le flux lumineux, en lumens, à la sortie d'un conduit d'une longueur de 20~cm.
20~cm = 2~dm. Donc le flux au bout de 20~cm est égal à $u_2 = u_1 \times 0,095 = \np{3960,10}$.
\item %Justifier que la suite $(u_n)$ est une suite géométrique dont on précisera les éléments caractéristiques.
Retrancher 0,05\,\%, c'est multiplier par $0,995$ : la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,995, de premier terme $u_0 = \np{4000}$.
\item %Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
On sait que quel que soit le naturel $n$, \: $u_n = u_0 \times 0,995^n = \np{4000} \times 0,995^n$.
\item %Un conduit de lumière de 2 mètres de long permettrait-il d'obtenir un flux lumineux d'au moins \np{3600} lumens en sortie?
2~m = 20~dm. Le flux au bout de 2~m est donc égal à $u_{20} = \np{4000} \times 0,995^{20} \approx \np{3618,44}$, donc plus de \np{3600} lumens.
\item %On considère l'algorithme ci-dessous où $n$ désigne un entier naturel et $U$ un nombre
réel.

%\begin{center}
%\fbox{
%$\begin{array}{l}
%n \leftarrow 0\\
%U \leftarrow \np{4000}\\
%\text{Tant que } U >\np{3000}\\
%\hspace*{1cm} n \leftarrow n+1\\
%\hspace*{1cm} U \leftarrow U \times 0,995\\
%\text{Fin Tant que}\\
%\end{array}$
%}
%\end{center}

\begin{enumerate}
\item %Indiquer le contenu de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme.
On trouve à la calculatrice $n = 58$.

\emph{Rem.} Méthode mathématique :

On résout $\np{4000} \times 0,995^{n} \leqslant \np{3000} \iff 0,995^n \leqslant \dfrac{3}{4}$.

Avec $\dfrac{3}{4} = 0,75$,\: $0,995^n \leqslant 0,75 \iff n \ln 0,995 \leqslant \ln 0,75$ (par croissance de la fonction logarithme népérien)  $\iff n \geqslant \dfrac{\ln 0,75}{\ln 0,995}$ (car $\ln {0,995} < 0$).

Or $\dfrac{\ln 0,75}{\ln 0,995} \approx 57,4$. 

Le premier entier solution est $n = 58$.
\item %Interpréter la réponse obtenue à la question précédente dans le contexte du conduit de lumière.
$u_{58}$ est le flux au bout d'un conduit de $5,8 \times 10 = 58$~m.

Le résultat précédent signifie qu'à la sortie d'un conduit de 58~m, le flux lumineux sera inférieur à \np{3000}~lumens.
\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0.25cm}

\textbf{Partie B}

\medskip

%Dans une pièce sombre, on souhaite remplacer un éclairage électrique par l'installation d'un conduit de lumière d'une longueur de 4 mètres pour obtenir en sortie un flux lumineux d'au moins \np{3100} lumens.

\begin{enumerate}
\item %Déterminer le flux lumineux nécessaire à l'entrée de ce conduit.
Avec une déperdition de 0,05\,\% par dm; il faut trouver un flux minimal $v_0$ tel que :

$v_0 \times 0,995^{40} \geqslant \np{3100} \iff $  $v_0 \geqslant \dfrac{\np{3100}}{0,995^{40}}$.

On a $\dfrac{\np{3100}}{0,995^{40}} \approx \np{3788,25}$, donc à l'unité près au moins \np{3789}~lumens.
\item ~%La courbe ci-dessous modélise le flux lumineux, en lumens, à l'entrée de ce conduit en fonction de l'heure pour une journée donnée.

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.0006cm,showpoints=false,labelFontSize=\scriptstyle}
\begin{pspicture*}(-2,-1000)(24.4,8400)
\multido{\i=1000+1000}{8}{\psline[linecolor=gray](0,\i)(25,\i)}
\multido{\i=500+1000}{8}{\psline[linecolor=lightgray](0,\i)(25,\i)}
\multido{\n=0.25+0.25}{100}{\psline[linecolor=lightgray](\n,0)(\n,8400)}
\multido{\n=1+1}{24}{\psline[linecolor=gray](\n,0)(\n,8400)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=1,Dy=1000](0,0)(0,0)(24.4,8400)
\psBezier2[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1pt](5.5,0)(10.1,7700)(13.25,7700)
\psBezier2[plotpoints=1000,linecolor=blue,linewidth=1pt](13.25,7700)(16.4,7700)(22,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green](0,3789)(24,3789)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green,ArrowInside=->](8,3789)(8,0)
\psline[linestyle=dashed,linecolor=green,ArrowInside=->](19,3789)(19,0)
\end{pspicture*}
\end{center}

%Déterminer, avec la précision permise par le graphique, la plage horaire durant laquelle ce flux lumineux à l'entrée du conduit est suffisant.
Le flux lumineux à l'entrée du conduit est suffisant entre 8 et 19~h.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\bigskip

%L'octane est un hydrocarbure qui entre dans la composition de l'essence.
%
%Lorsqu'on chauffe un mélange d'octane et de solvant dans une cuve, une réaction chimique transforme progressivement l'octane en un carburant plus performant, appelé iso-octane. 
%
%La concentration d'octane, en moles par litre, dans la cuve est modélisée par une fonction $f$
%du temps $t$, exprimé en minutes. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur
%l'intervalle $[0~;~+\infty[$, est une solution, sur cet intervalle, de l'équation différentielle suivante:

\[(E)~:~y'+ 0,12y = 0,003.\]

À l'instant $t = 0$, la concentration d'octane dans la cuve est de $0,5$~mole par litre (mol.L$^{-1}$).

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item %Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $(E)$.
On sait que la solution générale de  l'équation différentielle $(E)$ est de la forme :

\[f(t) = - \dfrac{0,003}{0,12} + K\text{e}^{-0,12t} = 0,025 + K\text{e}^{-0,12t},\: K \in \R.\]
\item %Donner $f(0)$.
On sait que $f(0) = 0,5 \iff 0,025 + K\text{e}^{-0,12\times 0} = 0,5 \iff$ (par croissance de la fonction logarithme népérien) $K = 0,475$.
\item %Vérifier que la fonction $f$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+ 0,025$.
On a donc pour $t \geqslant 0$, \: $f(t) = 0,475\e^{-0,12t}+ 0,025$.
\end{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item %Calculer la fonction dérivée de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
$f$ étant une solution de l'équation différentielle, on a donc :

$f'(t) = 0,003 - 0,12f(t) = 0,003 - 0,12\left(0,475\e^{-0,12t}+ 0,025\right) = 0,003 - 0,475\e^{-0,12t} - 0,03 = -0,057\e^{-0,12t}$.

$\bullet~~$On pouvait également dériver l'expression trouvée de $f(t)$ :

$f'(t) = - 0,12 \times 0,475\e^{-0,12t} = -0,057\e^{-0,12t}$.
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
Comme $\e^{-0,12t} > 0$, quel que soit le réel $t$, $f'(t)$ est du signe de $- 0,057$, donc $f'(t) < 0$ en particulier sur $[0~;~+\infty[$.

Conclusion :  $f$ est décroissante sur cet intervalle.
\item %Interpréter cette réponse dans le contexte de l'exercice.
Le résultat précédent montre que la concentration va baisser à partir de 0,5.

Comme on sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} \e^{-0,12t} = 0$, et donc qu'aussi $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} 0,475\e^{-0,12t} = 0$, la concentration va décroitre de 0,5 à 0,025.
\end{enumerate}
\item %Calculer, en justifiant votre réponse, à la minute près, le temps nécessaire pour obtenir une concentration en octane dans la cuve de $0,25$ mole par litre.
Il faut résoudre l'équation :

$f(t) = 0,25 \iff 0,475\e^{-0,12t}+ 0,025 = 0,25 \iff 0,475\e^{-0,12t}= 0,225 \iff \e^{-0,12t} = \dfrac{0,225}{0,475} \iff \e^{-0,12t} = \dfrac{9}{19} \iff - 0,12t = \ln \frac{9}{19}\iff t = \dfrac{\ln \frac{9}{19}}{- 0,12}$.

Or $\dfrac{\ln \frac{9}{19}}{- 0,12} \approx 6,227$. Il faut donc un peu plus de 6 minutes pour avoir une concentration de 0,25 mole par litre.
\item
\begin{enumerate}
\item %Calculer, en justifiant votre réponse, $\ds \lim_{t\to +\infty} f(t)$.
Comme $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} - 0,12t = - \infty$, on sait que $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{- 0,12t} = 0$ et par conséquent $\displaystyle\lim_{t \to + \infty}0,475\text{e}^{- 0,12t} = 0$, donc finalement :

$\displaystyle\lim_{t \to + \infty}\text{e}^{- 0,12t} + 0,025 = 0,025$.
%Interpréter le résultat dans le contexte.
Au bout d'un certain temps la concentration en octane va se rapprocher de 0,025.
\item %Le processus de transformation de l'octane en iso-octane est arrêté au bout d'une heure. Expliquer ce choix.
Au bout d'une heure (60 min), la concentration en octane est égale à :

$f(60) = 0,475 \text{e}^{- 0,12 \times 60} + 0,025 \approx \np{0,025355}$, donc très proche de la valeur 0,025. Il est donc inutile de continuer le processus après une heure.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
%\newpage

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 5 points}

\bigskip

%Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct \Ouv, le bras articulé d’un robot, fixé au point O, est représenté par deux segments [OA] et [AB], chacun de longueur 2 unités.
%
%Deux exemples de position du bras articulé sont donnés ci-dessous à titre indicatif.
%
%\bigskip
%
%\hfill
%\psset{unit=1cm,radius=2pt}
%\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {4.5}
%\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {4.5}
%\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(4,4) 
%\psaxes[labelFontSize=\small,arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-90][$y$,180]
%\uput[dl](0,0){O}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
%\Cnode*(2;68){A} \uput[u](A){A} 
%\Cnode*(2.7,2.4){B} \uput[ur](B){B}  
%\psline(0,0)(A)(B)
%\end{pspicture}
%\hfill
%\psset{unit=1cm,radius=2pt}
%\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {4.5}
%\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {4.5}
%\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(4,4) 
%\psaxes[labelFontSize=\small,arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-90][$y$,180]
%\uput[dl](0,0){O}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
%\Cnode*(2;68){A} \uput[u](A){A} 
%\Cnode*(1.9,0.2){B} \uput[ur](B){B}  
%\psline(0,0)(A)(B)
%\end{pspicture}
%\hfill{}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item ~%Tracer sur la copie un repère orthonormé \Ouv.

%Placer le point A d'affixe $z_{\text A}= 2\i$ puis construire l'extrémité B du bras articulé lorsque son affixe $z_{\text B}$ a pour argument $\dfrac{\pi}{4}$.
\psset{unit=1cm,radius=2pt}
\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {4.5}
\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(4,4) 
\psaxes[labelFontSize=\small,arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-90][$y$,180]
\uput[dl](0,0){O}
\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
\Cnode*(2;90){A} \uput[ur](A){A} 
\Cnode*(2,2){B} \uput[ur](B){B}  
\psline(0,0)(A)(B)
\end{pspicture}
\item %Donner l'affixe du point B sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
On a $z_{\text{B}} = 2 + 2\text{i}$.

On a $\left|z_{\text{B}} \right|^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$, d'où $\left|z_{\text{B}} \right| = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

En factorisant ce module on a $z_{\text{B}} = 2\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 2\sqrt{2}\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$ (d'après l'énoncé).
\end{enumerate}

\item %L'extrémité B du bras peut-elle atteindre un objet qui se trouve à une distance de $4,5$ unités du point O ?
On a vu que OB $= \left|z_{\text{B}} \right| = 2\sqrt{2} \approx 2,828$ ; donc OB $ > 2,5$. La réponse est oui.
\item %Pour soulever un objet lourd dont le point d'accroche est le point C (voir figure ci-contre), il faut rigidifier l'articulation en A. On décide alors de bloquer l'angle $\left ( \vectt{AO}~,~\vectt{AB}\right )$ tel qu'une mesure de cet angle soit constamment égale à $\dfrac{\pi}{2}$ radians.

%\begin{multicols}{2}
%
%\hfill
%\psset{unit=1cm,radius=2pt}
%\def\xmin {-0.5}   \def\xmax {4.5}
%\def\ymin {-0.5}   \def\ymax {4.5}
%\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\Cnode*(2.83;15){C}
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](2.33,0)(3.13,0)(C)
%\Cnode*(2.83;15){C}
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(4,4) 
%\psaxes[labelFontSize=\small,arrowsize=3pt 2, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-90][$y$,180]
%\uput[dl](0,0){O}  \uput[ur](C){C} 
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{u}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{v}$}
%\Cnode*(2;68){A} \uput[u](A){A} 
%\Cnode*(2.5,1.2){B} \uput[ur](B){B}  
%{\psset{radius=0pt}
%%\psplot{0}{4}{-0.4 x mul 2.145 add}
%\Cnode*(1.8;68){H} \Cnode*(0.87,1.6){L} \Cnode*(0.95,1.765){K} 
%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray,linecolor=lightgray](A)(H)(L)(K)
%}
%\psline(0,0)(A)(B)
%\end{pspicture}
%\hfill{}
%
%\columnbreak

\begin{enumerate}
\item %Déterminer la longueur OB.
Le triangle OAB est rectangle en A isocèle puisque OA = AB = 2.

On a donc d'après le théorème de Pythagore : $\text{OA}^2 + \text{AB}^2 = \text{OB}^2 = 2^2 + 2^2 = 4 + 4 = 8$, donc OB $ = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
\item %Le point C a pour affixe $z_{\text C} = 2\sqrt{2}\e^{\i\frac{\pi}{12}}$.

%Justifier que l'extrémité B du bras articulé pourra atteindre le point d'accroche C de l'objet.

Puisque $\left|z_{\text{B}} \right| = \left|z_{\text{C}} \right| = 2\sqrt{2}$, B pourra atteindre le point C.
\item %Lorsque le bras articulé saisit l'objet, les points B et C sont confondus.

%Calculer la mesure de l'angle que forme alors le bras [OA] avec l'axe [O$x$).
On a vu que le triangle OAB est rectangle isocèle en A, donc $\left(\widehat{\text{BOA}}\right) = \dfrac{\pi}{4}$.

Donc $\left(\widehat{\vect{\text{O}x},~ \vect{\text{OA}}}\right) = \left(\widehat{\vect{\text{O}x},~ \vect{\text{OC}}}\right) + \widehat{\text{COA}}  = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{12} + \dfrac{3\pi}{12} = \dfrac{4\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3}$.
\end{enumerate}
%\end{multicols}
\end{enumerate}
\end{document}