\documentclass[10pt,a4paper]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 ! 
\usepackage{fourier} 
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{multicol,diagbox}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo}
%Tapuscrit : François Hache
\usepackage{pst-all,pst-func}
\usepackage[left=3cm, right=3cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
\newcommand{\barre}[1]{\overline{\,#1\vphantom{b}\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {},
pdftitle = {Métropole 8 septembre 2020},
allbordercolors = white,
pdfstartview=FitH}  
\usepackage[french]{babel}
\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}
\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}	%%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}	%%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}	%%%le i des complexes
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat STI2D STL}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{8 septembre 2020}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D \& STL/SPCL~\decofourright\\[10pt]Métropole -- La Réunion -- 8 septembre 2020}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Exercice 1 \hfill 4 points}

\bigskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. 

%Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
%
% Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.
% 
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct.

Le point A a pour affixe $z_{\text{A}} = - 1 + \text{i}\sqrt{3}$  et le point B a pour affixe $z_{\text{B}} = 2\e^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.

%	\begin{enumerate}
%		\item Les points A et B sont confondus.
%		\item Les points A et B sont symétriques par rapport à l'origine du repère.
%		\item Les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses du repère. 
%		\item Les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées du repère.
%	\end{enumerate}
On a $z_{\text{B}} = 2 \left(- \dfrac{1}{2} + \text{i}\left( - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\right) = - 1 - \text{i}\sqrt{3}$ : les points A et B sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses du repère.
\item  Une forme exponentielle de $2\e^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \times 2\text{i}$ est :	

%\begin{enumerate}
%%		\item  $4\e^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
%%		\item  $4\e^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$
%%		\item  $4\e^{\text{i}\frac{5\pi}{12}}$
%%		\item  $4\e^{-\text{i}\frac{2\pi}{3}}$
%%	\end{enumerate}

Comme $\text{i} = \text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}},\: 2\e^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \times 2\text{i} = 2\e^{\text{i}\frac{\pi}{6}} \times 2\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{2}} = 4\e^{\text{i}\left(\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}\right)} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{4\pi}{6}} = 4\text{e}^{\text{i}\frac{2\pi}{3}}$.
\item La valeur exacte de l'intégrale $\displaystyle\int_0^2 \left(\e^x + 1\right)\:\text{d}x$ est :

$\displaystyle\int_0^2 \left(\e^x + 1\right)\:\text{d}x = \left[\e^x + x \right]_0^2 = \e^2 + 2 - \left(\e^0 + 0 \right) = \e^2 + 2 - 1 = \e^2 + 1$.
\item Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x) = \e^{-2x} + 10$.

Cette fonction $g$ est une solution de l'équation différentielle:

%	\begin{enumerate}
%		\item $y' = y$
%		\item $y' + 2y = 0$
%		\item $y' - 2y = 10$ 
%		\item $y' + 2y= 20$
%	\end{enumerate}
$g$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle : $g'(x) = - 2\e^{-2x}$, donc :

$2g(x) + g'(x) = 20$, quel que soit le réel $x$ : 

$g$ est donc solution de l'équation différentielle : $y' + 2y = 20$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2 \hfill 6 points}

\bigskip

Léo envisage l'achat d'un téléphone portable dont la capacité de stockage est de $32$~giga- octets (Go). Selon la notice, la configuration initiale du téléphone nécessite 20\,\% de cette capacité pour le système d'exploitation.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation après la configuration initiale du téléphone.
$\dfrac{20}{100} \times 32 = 6,4$~gigaoctets  sont utilisés par le système d'exploitation.
\end{enumerate}

En raison des différentes mises à jour, Léo estime que le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation augmente de 0,5\,\% par mois.

\begin{enumerate}[resume]
\item %On note $u_0$ le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation après la configuration initiale de son téléphone. Ainsi $u_0 = 6,4$.

%Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, on note $u_n$ le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation, $n$ mois après la configuration initiale du téléphone.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que $u_1 = 6,432$. Interpréter le résultat.
On a $u_1 = u_0 \left(1 + \dfrac{0,5}{100}\right) = 6,4 \times 1,005 = 6,432$~(gigaoctets).

Au bout de un mois, le système d'exploitation occupera 6,432~gigaoctets de la capacité de stockage.
		\item %Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison.
Chaque terme de la suite est le produit du terme précédent par 1,005 : la suite $\left(u_n\right)$ est donc une suite géométrique de premier terme $u_0 = 6,4$ et de raison $1,005$.
		\item %Déterminer une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
On sait que le terme général de la suite géométrique de premier terme $u_0$ et de raison $q$ est $u_n = u_0 \times q^n$.

Ici $u_n = 6,4 \times 1,005^n$, quel que soit le naturel $n$. 
		\item %Calculer le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation 2 ans après la configuration initiale du téléphone.
2 ans correspondent à 24 mois, donc 
		
		$u_{20} = 6,4 \times 1,005^{24} \approx 7,214$.
	\end{enumerate}	
	
%Léo estime que pour utiliser son téléphone dans de bonnes conditions, celui-ci doit
%disposer d'une capacité de stockage disponible d'au moins $4$~Go.

	\begin{enumerate}[resume]
		\item %Déterminer le plus petit entier naturel $n$ vérifiant l'inéquation 
		
		\[6,4 \times  1,005^n > 28.\]
		
%Indiquer la démarche utilisée.
Si Léa veut avoir 4~Go libres sur 32~Go il faut que le système n'occupe pas plus de 

$32 - 4 = 28$~Go, d'où l'inéquation à résoudre .

$\bullet~~$\emph{Méthode} 1 : avec la calculatrice.

On tape 6,4 Entrée (on a $u_0$), puis

$\times 1,005$ Entrée : on obtient $u_1$

Entrée : on obtient $u_2$

\ldots \ldots jusqu'à obtenir un terme de la suite supérieur à 28.

$\bullet~~$\emph{Méthode} 2 :

On a $6,4 \times  1,005^n > 28 \Rightarrow 1,005^n > \dfrac{28}{6,4}$ ou 

$1,005^n > 4,375$ et par croissance de la fonction logarithme népérien $n \ln 1,005 > \ln 4,375$ et enfin $n > \dfrac{\ln 4,375}{\ln 1,0045}$.

Or $\dfrac{\ln 4,375}{\ln 1,0045} \approx 295,9$. La solution la plus petite est donc 296 mois soit 24 ans et 8 mois.



		\item %Interpréter le résultat précédent.
La place prise par le système d'exploitation dépassera 28~Go au bout de 296~mois soit 24~ans et 8 mois.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}
Léo estime que, chaque mois, les nouvelles photos et les nouveaux messages occuperont 450 mégaoctets (Mo) supplémentaires. Il décide de ne rien supprimer.

\begin{enumerate}[resume]
\item %Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre de gigaoctets utilisés par le système d'exploitation, les photos et les messages au bout de $n$ mois après la configuration initiale du téléphone.

Ainsi $v_0 = 6,4$.
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que $v_n = 6,4 \times 1,005^n + 0,45n$.
Chaque mois 450 Mo = 0,450 Go de photos seront stockés, donc au bout de $n$ mois celles-ci prendront $0,45n$~Go de mémoire.

La place prise par le système d'exploitation plus les photos sera donc :

$v_n = u_n + 0,45n = 6,4 \times 1,005^n + 0,45n$
		\item %Calculer le nombre de gigaoctets utilisés $2$ ans après la configuration initiale du téléphone.
	Au bout de 2 ans = 24~mois la place prise sera de :
	
	$v_{24} = 6,4 \times 1,005^{24} + 0,45 \times 20 \approx 18,014$~(Go).
		\item %Léo écrit l'algorithme suivant.
		
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l|}\hline
%$n \gets 0$\\
%$v \gets 6,4$\\
%Tant que $v \leqslant 28$\\
%\quad $n \gets n+1$\\
%\quad $v \gets  6,4 \times 1,005^n+0,45n$\\
%Fin Tant que\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%
%Que représente le contenu de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
$n$ donnera le plus petit nombre de mois à partir desquels le téléphone aura moins de 4~Go de capacité de stockage 
		\item %On rappelle que, pour être utilisé dans de bonnes conditions, le téléphone doit disposer d'une capacité de stockage disponible d'au moins $4$~Go.
		
%Au bout de combien de mois le téléphone de Léo n'aura-t-il plus suffisamment
%de capacité de stockage ?
On peut comme dans la question précédente utiliser soit la calculatrice (c'est plus rapide qu'avec $u_n$) ou on fait tourner l'algorithme :

$v_{40} \approx 27,685$ et $v_{41} \approx 28,273$.

Le téléphone de Léo n'aura plus suffisamment de capacité de stockage au bout de 40 mois. 
	\end{enumerate}
%Pour un téléphone d'une capacité de stockage de $64$~Go, on admet que la configuration initiale nécessite $10$~Go.

%Avec une telle capacité de stockage, Léo pourra -t-il utiliser ce téléphone dans de bonnes conditions deux fois plus longtemps que le modèle de $32$~Go ?
\item En supposant que le système d'exploitation nécessite au départ 20\,\% puis chaque mois 0,5\,\% de plus de capacité de stockage, le nombre $w_n$ de gigaoctets pris par le système est égal à :

$w_n = 10 \times 0,2 \times 1,005^n = 2\times 1,005^n$.

Il faut donc résoudre l'inéquation :

$2\times 1,005^n > 64 - 4$, soit $2 \times 1,005^n > 60$
On a donc $1,005^n > 30$ soit $n \ln 1,005 > \ln 30$ et enfin $n > \dfrac{\ln 30}{\ln 1,005} \approx 681,9$.

Léo pourra donc utiliser son téléphone $691$ mois soit plus de 2 fois plus qu'avec un téléphone de 32 Go.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\bigskip

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ près.

\smallskip

Une voie de chemin de fer relie deux gares A et B sur une distance de 360 kilomètres.

\smallskip

La gare A est située au kilomètre 0 et la gare B est située au kilomètre 360.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%Sur cette voie de chemin de fer circule une locomotive destinée au transport de marchandises.
%
%\smallskip
%
%Cette locomotive peut tomber en panne entre les gares A et B.
%
%\smallskip
%
%Lorsque cela se produit, la distance, en kilomètre, entre la gare A et le lieu où la locomotive tombe en panne est une variable aléatoire notée $D$.
%
%\smallskip
%
%On admet que $D$ suit la loi uniforme sur l'intervalle [0~;~360].
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer $P(D = 50)$.
$P(D = 50) = 0$.
\item %Cette voie de chemin de fer passe dans un tunnel dont l'entrée est située à $10$~km de la gare A et la sortie à $15$km de la gare A.

%Calculer la probabilité que la locomotive tombe en panne dans ce tunnel.
On a $P(10 \leqslant D \leqslant 15) = \dfrac{15 - 10}{360} = \dfrac{5}{360} = \dfrac{1}{72} \approx 0,0139$ soit 0,014 au millième près.
\item %La probabilité que la locomotive tombe en panne avant le kilomètre $200$ est-elle le double de la probabilité qu'elle tombe en panne avant le kilomètre $100$ ?
On a $P(D < 100) = \dfrac{100}{360} = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}$ et 

$P(D < 200) = \dfrac{200}{360} = \dfrac{20}{36} = \dfrac{10}{18} = 2 \times \dfrac{5}{18}$. La proposition est vraie.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur une période donnée de quatre semaines complètes, on s'intéresse aux trains de voyageurs sur la même voie partant de la gare A et arrivant avec un léger retard en gare B, c'est-à-dire avec un retard de moins de 10 minutes. On suppose que de tels légers retards sont tous indépendants les uns des autres.

\smallskip

La probabilité qu'un train arrive avec un léger retard est estimée à $0,02$.

\smallskip

De la gare A à la gare B, il y a 16 trajets par jour du lundi au vendredi, 12 trajets le samedi et 8 le dimanche.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Vérifier que sur cette période de quatre semaines complètes, 400 trains circulent sur cette voie de la gare A vers la gare B.
Par semaine il y a : $5 \times 16 + 12 + 8 = 80 + 20 = 100$ trains, donc en 4 semaines il y a 400 trains qui circulent de A vers B.
%Sur cette voie, le nombre de trains en léger retard sur la période considérée est une variable aléatoire notée $X$.
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item %Préciser ses paramètres.
		$X$suit une loi binomiale de paramètres $n = 400$ et $p = 0,02$.
		\item %Déterminer la probabilité qu'exactement $5$ trains arrivent en léger retard sur cette période.
		On sait que $P(X = 5) = \binom{400}{5} \times 0,02^5 \times (1 - 0,02)^{400 - 5} = \binom{400}{5} \times 0,02^5 \times 0,98^{395} \approx \np{0,0911}$, soit 0,091 au millième près.
	\end{enumerate}
\item On décide d'approcher la loi binomiale précédente par la loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart type $\sigma = 2,8$.
	\begin{enumerate}
		\item ~
%Justifier le choix des paramètres $\mu$ et $\sigma$.
$\bullet~~$L'espérance la loi binomiale est $E = n \times p = 400 \times 0,02 = 8$, d'où l'explication de $\mu = 8$ ;

$\bullet~~$L'écart type de la loi binomiale $\sigma(X) = \sqrt{np(1 - p)} = \sqrt{400 \times 0,02 \times 0,98} = 20\sqrt{\np{0,0196}} = 20 \times 0,14 = 2,8$, d'où le choix de ce nombre pour l'écart type de la loi normale.
		\item %En utilisant l'approximation choisie, calculer la probabilité $P(4 \leqslant X \leqslant 12)$.
La calculatrice donne $P(4 \leqslant X \leqslant 12) \approx 0,847$.
		\item %Déterminer la probabilité qu'il y ait, sur ce trajet, au moins $4$ trains en léger retard sur la période considérée.
		On a $P(X \leqslant 4) \approx \np{0,07656}$, donc $P(X \geqslant 4) = 1 - P(X \leqslant 4) \approx 1 - \np{0,07656}$, soit environ 0,923.
	\end{enumerate}
%Durant ces quatre semaines complètes, $11$ trains ont été en léger retard sur ce trajet. 

%Cette observation remet-elle en cause le pourcentage de trains ayant un léger retard estimé à 2\,\% ? On utilisera un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%.
\smallskip

%\emph{On rappelle que l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% d'une fréquence obtenue sur un échantillon de taille $n$ est :}

%\[\left[p -1,96\sqrt{\dfrac{p(1 -  p)}{n}}~;~p + 1,96\sqrt{\dfrac{p(1 -  p)}{n}}\right]\]

%\emph{lorsque la proportion $p$ dans la population est connue}.
\item L'intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\% est :

$\left[0,02 -1,96\sqrt{\dfrac{0,02(1 -  0,02)}{400}}~;~0,02 + 1,96\sqrt{\dfrac{0,02(1 -  0,02)}{400}}\right] \approx [\np{0,0063}~;~\np{0,0337}]$.

Or la fréquence observée est égale à : $\dfrac{11}{400} = \np{0,0275}$.

Comme $\np{0,0275} \in [\np{0,0063}~;~\np{0,0337}]$, on ne peut pas remettre en cause l'estimation de 2\,\%.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 5 points}

\bigskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité}

\smallskip

%Un signal Wi-Fi est émis avec une puissance de $20$ décibels-milliwatt (dBm).
%
%\smallskip
%
%L'atténuation de la puissance du signal dépend:
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] de la fréquence $F$ du signal, exprimée en gigahertz (GHz), 
%\item[$\bullet~~$] de la distance $D$, en mètre, parcourue par ce signal,
%\item[$\bullet~~$] des matériaux traversés.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%\medskip
%
%Pour une distance $D$ supérieure ou égale à $1$ mètre et en l'absence d'obstacle, cette atténuation, exprimée en dBm, est donnée par la formule

\[32,35 + 8,7\ln (F \times D)\] 

La fréquence $F$ du signal émis est égale à $2,4$ GHz.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Montrer qu'une approximation de l'atténuation de la puissance du signal peut être donnée par $A = 40 + 8,7\ln{} (D)$.
Avec $F = 2,4$, la formule devient $32,35 + 8,7\ln{}(2,4 \times D) = 32,35 + 8,7(\ln {}2,4 + \ln {}D) $

$\approx  32,35 + 7,617 + 8,7\ln {}D$, soit environ $40 + 8,7\ln{}D$.
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer $A$ pour une distance $D$ de $10$ mètres.
		Si $D =10$, alors $A \approx 40 + 8,7\ln{}10 \approx 60,03 \approx 60$~dBm à l'unité près.
		\item %Pour quelle distance $D$ la valeur $A$ est-elle de $80$ dBm?
Il faut résoudre l'équation $80 = 40 + 8,7\ln{}D \iff 40 = 	8,7\ln{}D \iff \ln{}D = \dfrac{40}{8,7}	\iff$

$ D = \text{e}^{\frac{40}{8,7}}\approx 99,26 \approx 99,3$~(m).
	\end{enumerate}
\item %Une valeur approchée $P$ de la puissance du signal, en décibel-milliwatt, à une distance $D$ de l'émetteur est donnée par $P = 20 - A$.

%Justifier que $P =- 20 - 8,7\ln{} (D)$.
$P = 20 - A = 20 - (40 + 8,7\ln{} (D)) = - 20 - 8,7\ln{}D$.
\end{enumerate}

%Dans la suite de l'exercice, la puissance du signal, en dBm, est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [1~;~400] par

\[f(x) = -20 - 8,7\ln{} (x)\]

où $x$ est la distance, en mètre, parcourue par le signal.

%Lorsque l'unité utilisée est le dBm, la puissance d'un signal est un nombre négatif.

\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$, sur l'intervalle [1~;~400].
Sur l'intervalle [1~;~400],\: $f'(x) = - \dfrac{8,7}{x}$
		\item %Étudier le signe de $f'$ sur l'intervalle [1~;~400] et en déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur ce même intervalle.
$1 \leqslant x > \leqslant 400 \Rightarrow \dfrac{1}{400}\leqslant \dfrac{1}{x} \leqslant\dfrac{1}{1} \Rightarrow -1 \leqslant- \dfrac{1}{x} \leqslant- \dfrac{1}{400} \Rightarrow - 8,7 \leqslant- \dfrac{-8,7}{x} \leqslant - \dfrac{1}{400}$.

Ceci montre que sur [1~;~400],\: $f'(x) < 0$ : la fonction $f$ est donc strictement décroissante sur cet intervalle de $f(1) = - 20$ à $f(400) = - 20 - 8,7\ln{}400)\approx - 72,13$.
	\end{enumerate}
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~400], $f(2x) = f(x) - 8,7\ln{} (2)$.
Sur [1~;~400], $f(2x)  = - 20 - 8,7\ln{}(2x) = - 20 - 8,7(\ln {}2 + \ln{}x) = - 20 - 8,7\ln{}2- 8,7\ln{}x =$

$ - 20 -  8,7\ln{}x - 8,7\ln{}2 = f(x) - 8,7\ln{}2$.
		\item %Lorsque la distance parcourue par le signal est doublée, de combien de décibels- milliwatt la puissance du signal diminue- t-elle ?
Le résultat précédent montre que si la distance est doublée la puissance du signal est diminuée de $8,7\ln 2 \approx 6$~dBm.
	\end{enumerate}
\item %Le tableau suivant indique la qualité du signal en fonction de sa puissance.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|c|X|}\hline
%Puissance du signal 				&Qualité du signal\\ \hline
%Supérieure à $- 50$ dBm				& Excellente\\ \hline
%Comprise entre $- 60$ et $- 50$ dBm	&Bonne\\ \hline
%Comprise entre $- 70$ et $- 60$ dBm	& Moyenne\\ \hline
% Inférieure à $-70$ dBm					&Faible\\ \hline
% \end{tabularx}
%\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la qualité du signal lorsqu'il a parcouru 10 mètres? 
Pour $D = 10$, la perte est de $- 20 - 8,7\ln{} (10) \approx - 40,03$ : la qualité du signal est donc excellente.
		\item %Résoudre l'équation $f(x) = - 60$.
$f(x) = - 60 \iff -20 - 8,7\ln{} (x) = -60 \iff 40 = 8,7\ln{} (x) \iff \ln{}(x) =  \dfrac{40}{8,7} \iff x = \text{e}^{\frac{80}{8,7}} \approx 99,3 \approx 100$.

$S = \{100\}$.		
		\item %En déduire la distance maximale pour laquelle la qualité de signal est bonne.
La qualité du signal est bonne à au maximum 100~m.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}