\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{multirow}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pstricks,pst-plot,pst-tree,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\usepackage[left=3.5cm, right=3.5cm, top=3cm, bottom=3cm]{geometry}
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{hyperref}
%\hypersetup{%
%pdfauthor = {APMEP},
%pdfsubject = {STI2D},
%pdftitle = {Mexique juin 2023},
%allbordercolors = white,
%pdfstartview=FitH}


\usepackage[french]{babel}
%\DecimalMathComma
\usepackage[np]{numprint}

\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\e}{\text{\,e\,}}
\renewcommand{\i}{\text{i}}
\setlength\parindent{0mm}
\setlength\parskip{5pt}

\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat STI2D -- corrigé}
\lfoot{\small{Mexique }}
\rfoot{\small{juin 2023}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
%\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D - Enseignement de spécialité~\decofourright\\[7pt]Mexique juin  2023}}

%\vspace{0,25cm}
%
%\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}

\end{center}

%\medskip

%\begin{center}
\textbf{\large Exercice 1\hfill physique-chimie et mathématiques\hfill 4 points}

\medskip

\textbf{Étude en laboratoire de la décharge d'un supercondensateur}

\medskip

On réalise un montage qui permet de charger un supercondensateur de  capacité égale à 372~F avec un générateur (interrupteur sur 1), puis de le décharger dans le conducteur ohmique de résistance $R$ (interrupteur sur 2).

\medskip

Le graphique ci-dessous représente l'enregistrement de l'évolution de la tension aux bornes du supercondensateur au cours de sa décharge.

\begin{center}
\psset{xunit=0.036cm,yunit=4.55cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-20,-0.1)(360,2.6)
\multido{\n=0+10}{37}{\psline[linewidth=0.025pt](\n,0)(\n,2.5)}
\multido{\n=0.0+0.1}{26}{\psline[linewidth=0.025pt](0,\n)(360,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=50,Dy=0.5](0,0)(360,2.5)
\uput[u](360,0){$t$ (en s)}\uput[r](0,2.6){$u$ (en V)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{360}{2.3 2.71828 0.0112 x mul exp div}
\psplot[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt]{0}{89}{2.3 0.02576 x mul sub}
%%%%%%%%%%%%
\blue
\uput[l](0,2.3){$2,3$} \uput[d](89.3,0){$\tau$}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Données }: énergie $W_c$ accumulée par le supercondensateur
$W_c= \dfrac12 \times C \times u^2.$


Avec $C$ : capacité du supercondensateur en farad (F)\\
\phantom{Avec }$u$ : tension aux bornes du supercondensateur en volt (V)\\
\phantom{Avec }$W_c$: énergie stockée dans le supercondensateur en joule (J)\\
\phantom{Avec }1 W h = \np{3600} J

\begin{enumerate}[start=3]
\item À partir du graphique, on peut dire que la tension initiale dans le supercondensateur est: $u_i=2,3$ V.

Donc l'énergie initiale est égale à:
$W_c= \dfrac{1}{2} \times C \times u_i^2 = \dfrac{1}{2}\times 372 \times 2,3^2 = 983,94$~J.

\item La masse du supercondensateur est de $60$~g, donc de $0,06$~kg.

Son énergie initiale est en Joule, de $983,94$, donc elle est en Wh de $\dfrac{983,94}{\np{3600}}$.

Donc son énergie massique en Wh/kg est de
$\dfrac{\frac{983,94}{\np{3600}}}{0,06}$,
soit environ de $4,56$.

Cette énergie massique est comprise entre 4 et 5, ce qui est typique d'un supercondensateur.
\end{enumerate}

L'évolution de la tension aux bornes du supercondensateur, après fermeture de l'interrupteur K en position 2, est modélisée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par: $f(x) = 2,3\e^{-\np{0,0112}x}$,
 où $x$ représente le temps en seconde.
 
\begin{enumerate}[start=5]
\item On détermine une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $f$ au point d'abscisse 0.% est :  $y = -\np{0,02576}x + 2,3.$

$f'(x)=2,3\times (-\np{0,0112}) \e^{-\np{0,0112}x} = -\np{0,02576}\e^{-\np{0,0112}x}$
donc $f'(0)=-\np{0,02576}$.

$f(x) = 2,3\e^{-\np{0,0112}x}$ donc $f(0)=2,3$.

La tangente a pour équation: $y=f'(0)(x-0)+f(0)$ soit $y=-\np{0,02576} x + 2,3$.
 
%On rappelle qu'une équation de la tangente à la courbe représentative d'une fonction $f$ au point d'abscisse $a$ est
%\begin{center} $y = f'(a)(x - a) + f(a)$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.\end{center}
\item L'abscisse $\tau$ du point d'intersection de cette tangente avec l'axe des abscisses est la solution de l'équation: $0 =-\np{0,02576} x + 2,3$; donc $\tau=\dfrac{2,3}{\np{0,02576}}\approx 89,3$.

%On donnera une valeur approchée à $10^{-1}$ près.
\item On sait que: $\tau = RC$ et $R = 0,235~\Omega$.

Donc $C=\dfrac{\tau}{R}=\dfrac{89,3}{0,235} \approx 380$ F.

La valeur obtenue à partir de ce modèle est un peu supérieure à celle  donnée par le  constructeur.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\large Exercice 3\hfill  mathématiques \hfill 4 points}

\medskip

%Les questions sont indépendantes.

\textbf{Question 1}

\medskip

On considère l'équation différentielle  $(E) :\qquad   y' = - 2y + 40.$

\begin{enumerate}
\item %Déterminer l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
L'équation différentielle $y'=ay+b$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{at}-\dfrac{b}{a}$ où $k$ est un réel quelconque.

Donc l'équation différentielle $y'=-2y+40$ a pour solutions les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-2t}-\dfrac{40	}{-2}$ où $k$ est un réel quelconque, soit les fonctions $f$ définies par $f(t)=k\e^{-2t}+20$.

\item  %En déduire la solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $f(0) = 200.$
$f(0)=200 \iff k\e^{0}+20=200 \iff k=180$

La solution $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie $f(0) = 200$ est définie par\\
$f(t)=180\e^{-2t}+40$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par  $f(x) = (x - 1)\e^x$.

$f'(x)=1\times \e^{x} + (x-1)\times \e^{x}=x\e^{x}$

Pour tout réel $x$, on sait que $\e^{x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x$. Ce qui justifie le tableau ci-dessous:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\def\esp{\hspace*{2cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & -\infty & \esp & 0 & \esp  & +\infty \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{-} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{+} &    \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

\medskip

\textbf{Question 3}

\medskip

On considère les nombres complexes 
$z_1 = 2\e^{\i\frac{\pi}{3}}$ et  $z_2 = \sqrt 2 \e^{\i\frac{\pi}{4}}$.


\begin{enumerate}
\item $z_1  \times z_2 = \left ( 2\e^{\i\frac{\pi}{3}}\right ) \times \left ( \sqrt 2 \e^{\i\frac{\pi}{4}}\right )
=2\sqrt{2} \e^{\left (\i \frac{\pi}{3} + \i\frac{\pi}{4}\right )}
=2\sqrt{2} \e^{\i \frac{7\pi}{12}}
$

\item On en déduit que 
$z_1  \times z_2 = 2\sqrt{2} \left ( \cos \frac{7\pi}{12} +  \i \sin \frac{7\pi}{12}\right )$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 4}

\medskip

L'évolution de l'effectif de la population d'un pays, exprimé en millions d'habitants, est modélisée par la fonction $f$ définie sur [0~;~40] comme suit : 
$f(t) = 10\e^{0,02t}$, où $t$ correspond au nombre d'années écoulées depuis le 1\up{er} janvier 2020.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Estimer le nombre d'habitants donné par ce modèle au 1\up{er} janvier 2020 et au 1\up{er} janvier 2021.
Le 1\ier{} janvier 2020 correspond à $t=0$; $f(0)=10\e^{0}=10$.

Donc  le nombre d'habitants donné par ce modèle au 1\up{er} janvier 2020 est de 10 millions.

Le 1\ier{} janvier 2021 correspond à $t=1$; $f(1)=10\e^{0,02} \approx 10,2$.

Donc  le nombre d'habitants donné par ce modèle au 1\up{er} janvier 2021 est d'environ $10,2$ millions.

\item Pour déterminer l'année durant laquelle l'effectif de la population dépassera 20 millions d'habitants, on cherche la plus petite valeur de $t$ pour laquelle $f(t)>20$.

$f(t)>20
\iff 10\e^{0,02t}>20
\iff \e^{0,02t}>2
\iff 0,02t>\ln(2)
\iff t>\dfrac{\ln(2)}{0,02}$

$\dfrac{\ln(2)}{0,02} \approx 34,66$ donc c'est au cours de la 34\ieme{} année, c'est-à-dire en $2054$ que l'effectif dépassera 20 millions.

\end{enumerate}
\end{document}