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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat STI2D Épreuve d'enseignement de spécialité~\decofourright\\[10pt]Nouvelle-Calédonie 9 septembre 2023}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Physique-Chimie et Mathématiques}
\end{center}
\medskip

\textbf{Exercice 1 \hfill  2 points}

\medskip

\textbf{Montée en température du moteur}

\medskip

\emph{La température du moteur (exprimée en $\degres$C) est modélisée par une fonction $\theta$ dépendant du temps (exprimé en secondes) écoulé depuis le démarrage du moteur. \\
On admet que la fonction $\theta$, définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$, est une solution sur cet intervalle de l'équation différentielle suivante :}
\[y' = - \dfrac{1}{180}y + \dfrac49.\]
\begin{enumerate}[start=7]
\item Déterminons les solutions sur $[0~;~+\infty[$ de cette équation différentielle.

Les solutions de  l'équation différentielle $y'+ay=b$ sur  $\R$ sont les fonctions $y$ définies par  

$y(x)=C\e^{-ax}+\dfrac{b}{a}$ où $C$ est une constante quelconque.

$a=\dfrac{1}{180}\ b=\dfrac{4}{9}$  par conséquent sur $[0~;~+\infty[$ $y(t)=C \e^{-\frac{1}{180}t}+\dfrac{\frac{4}{9}}{\frac{1}{180}}$ 

c'est-à-dire $\theta(t)=C \e^{-\frac{1}{180}t}+80$ où $C$ est une constante quelconque.

À $t = 0$, la température du moteur est de $20\degres$ C.


\item Déterminons $C$ pour que la condition initiale soit vérifiée.

$\theta(0)=20$ \:ou \: $C\e^0+80 = 20$ d'où $C=20 - 80 = - 60$.

La fonction $\theta$ est définie sur $[0~;~+\infty[$ par :
\[\theta (t) = 80 - 60\e^{-\frac{1}{180}t}.\]

\item Résolvons sur $[0~;~+\infty[$ l'équation $\theta(t) = 79$.

\begin{align*}
80 - 60\e^{-\frac{1}{180}t}&=79\\
- 60\e^{-\frac{1}{180}t}&=-1\\
\e^{-\frac{1}{180}t}&=\dfrac{1}{60}\\
-\frac{1}{180}t&=-\ln 60\\
t&=\ln 60\times 180\\
\end{align*}
L'ensemble solution de l'équation est $\{180 \ln 60\}$

\medskip

\emph{Le changement de carburant ne doit pas modifier la montée en température du moteur. La température optimale de fonctionnement du moteur est de $79\degres$ C.\\
Cette température doit être atteinte en moins de vingt minutes.}
\item Cette condition est respectée,
car $180\times \ln 60\approx 737$, or à 20 minutes correspondent $\np[s]{1200}$.

Nous avons bien $737<\np{1200}$
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

\emph{Les questions $1$ et $2$ sont indépendantes.}

\medskip

\textbf{Question 1}

\medskip

On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

Soient $z_1$ et $z_2$ les nombres complexes définis par :
\begin{center}$z_1 = \sqrt 2 + \text{i}\sqrt 2$ \quad et  \quad $z_2 = \e^{\text{i}\frac{\pi}{12}}$.\end{center}

\begin{enumerate}
\item Écrivons $z_1$ sous forme exponentielle, en détaillant les calculs.

Une forme exponentielle d'un nombre complexe z non nul est $z=\vert z\vert \e^{\text{i}\theta}$.

$\vert z\vert = \sqrt{\sqrt{2}^2+\sqrt{2}^2}=\sqrt{2+2}=2$

$\cos \theta =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ et $\sin \theta =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Il en résulte $\theta= \dfrac{\pi}{4}$.

Une écriture sous forme exponentielle de $z$ est , par conséquent $z=2\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}$

\item Montrons que $2 z_2^3 = z_1$.

En utilisant la formule de Moivre $\left(\e^{\text{i}\theta}\right)^n=\left(\e^{n\text{i}\theta}\right)$,
nous avons 

\[2 z_2^3=2\left(\e^{\text{i}\frac{\pi}{12}}\right)^3 =2\left(\e^{3\text{i}\frac{\pi}{12}}\right)=2\left(\e^{\text{i}\frac{\pi}{4}}\right)=z_1\]
\raggedleft Q.E.D.


                                                                                                                                                                                                                                                                                                      
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Question 2}

\medskip
{\footnotesize
Soit la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par 
\[f(x) = (10x - 4)\e^{-x}.\]

On nomme $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ donnée dans le repère ci-dessous.

La droite $T_1$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1 et on admet que la dérivée de $f$ est définie pour tout réel $x$ par 
\[f'(x) = (-10x + 14)\e^{-x}.\]
}

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture*}(-1,-1)(8,4)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-1,-0.95)(8,4)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,labelFontSize=\scripstyle]{-3}{8.5}{10 x mul 4 sub 2.71828 x  exp div}
\psplotTangent{1.}{4}{10 x mul 4 sub 2.71828 x  exp div}
\uput[ul](1,2.2){\small A}\uput[ul](1.6,3.2){\small $T_1$}
\uput[d](7.8,0){$x$} \uput[r](0,3.9){$y$}\uput[r](3,1.3){\red $\mathcal{C}_f$}
\psdots(1,2.2)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Calculons la valeur exacte de l'ordonnée du point A.

Pour ce faire, calculons $f(1)$ 

$f(1) = (10\times 1-4)\e^{-1}=6\e^{-1} \approx 2,21$.
\item Calculons $f'(1)$.

$f'(1) = (-10\times 1 + 14)\e^{-1}=4\e^{-1}\approx 1,47$.

Cette valeur est le coefficient directeur de $T_1$, tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 1.
\item La courbe représentative de la fonction $f$ suggère l'existence d'un maximum
sur l'intervalle [1~;~2].

Déterminons la valeur exacte de ce maximum.

Les maximums sont à rechercher parmi les points où la dérivée s'annule.

Résolvons donc $f'(x)=0$ soit $(-10x+14)\e^{- x}=0$.

Pour tout $x, \: \e^{-x}\not= 0$, nous sommes amenés à résoudre

$-10x+14 =0 \iff 14 = 10x \iff 7 = 5x$ d'où $x=\dfrac{7}{5} = 1,4$.

La fonction admet un maximum pour $x = \dfrac{7}{5}$.
\end{enumerate}
\end{document}